みかん

真横と真縦…４×２＝８ 縦１・横３の対角線…３×４＝１２ 縦１・横２の対角線…６×４＝２４ 縦２・横３の対角線…２×４＝８ 縦１・横１の対角線…５×２＝１０ 全部足して、８＋１２＋２４＋８＋１０＝６２通り。

3月2日（木） 0:08:24　　 　　26814

Taro

どうやらこれのようですね。 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A018808

じたくぅ　　 3月2日（木） 0:09:28　　 　　26815

ヘラクレス辻。

16Ｃ2=120　から かぶる部分を引きました （4Ｃ2−１）×８　　　（縦横） （２＋５＋２）×２　　（ななめ）　　１２０−５８＝６２ 間違えて２通おくったので出来れば最初のほうを消してほしいです （最初のほうのリンク間違えたんで）

第参新埼玉市　　 3月2日（木） 0:13:33　　 HomePage:ドンピシャ　　26816

呑ちゃん

16Ｃ2−（4Ｃ2−１）×１０−（3Ｃ2−１）×４＝６２ 全部選んでから重複するのを引きました。 でも今回も遅かった。

河童ランド　　 3月2日（木） 0:15:16　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:ＨＯＰＥＳよいとこ一度はおいで　　26817

DrK

私は(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,3)、(1,0)の組み合わせになるものを考えました。最初は(1,0)の組み合わせを考えないで失敗でした。 5×2+6×4+3×4+2×4+4×2=62が答えですね

今度こそ地上の楽園　　 3月2日（木） 0:16:32　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　26818

スモークマン

傾きの異なるものを数え上げました。 #26814,#26818 と同じです。。。

金光　　 3月2日（木） 0:21:38　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26819

消しゴムパトロール

傾き1.5が２本、２が６本、３が３本、それぞれ逆数があって２倍、傾き１が５本、それぞれマイナスがあって２倍、傾き０と無限が４本ずつ。 ((2+6+3)*2+5)*2+4*2=62 パソコンを換えたのでクッキーが消えていた…

3月2日（木） 0:24:09　　 MAIL:k-kawakami@air.ocn.ne.jp 　　26820

トモヒロ

・角の4点を基準に数えると 7本＋6本＋5本＋4本＝22本 ・（上記の4点を除く）周囲の8点を基準に上記と重複しないものを数えると 8本＋8本＋6本＋6本＋4本＋4本＋2本＋2本＝40本 中の4点を通る直線は上記の直線にすべて含まれるので… 22+40＝62

名古屋　　 3月2日（木） 0:59:10　　 　　26821

い

左から順に数えました。

3月2日（木） 8:41:01　　 　　26822

やや

前回の問題について ラ・サール中の出題は、ＡＤとＢＣが平行な台形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ上にＰ、ＣＤ上にＱを、ＰＱがＡＤと平行になるようにとる。ＰＱが、台形ＡＢＣＤの面積を2等分するとき、ＰＱの長さを求めよ。ただし、ＡＤ＝７cm、ＢＣ＝17cmとする。 (ＡＤ＝７cm、ＢＣ＝17cmは別の数値だったかもしれません。図がついていました。) 前回の問題で、GH の長さを求める前半の段階までで、上の問題を思い出しました。 他の方の指摘にもあるように、相似比と面積比の関係を駆使しました。 この問題、後半は算数らしく、発想のよさを問う良問だと思います。無論、角の条件は一切関係ありません。これも、かきこみにあるとおり、比を利用しますが、逆比の感覚がある塾の6年生や新中1のお子さんの方が得意でしょう。

3月2日（木） 10:19:24　　 　　26823

ハラギャーテイ

おはようございます。 勘です。私のやり方では面倒くさいことだけわかりました。

北九州　　 3月2日（木） 10:47:18　　 HomePage:信号処理に挑戦　　26824

uchinyan

はい、こんにちは。今回も簡単でしたね。これぐらいならば、大学入試の方が難しい (^^; 16 個の点で引ける直線の本数 16C2 から、重複するものを除きました。重複は、次の場合だけです。 ・4 点が一直線になるもの 10 本が、各本ごとに 4C2 通りあるので 10 * 4C2 本。 ・3 点が一直線になるもの 4 本が、各本ごとに 3C2 通りあるので 4 * 3C2 本。 ・ただし、それぞれの直線につき 1 本ずつは残さないといけないので、(10 + 4) 本を足します。 結局、16C2 - 10 * 4C2 - 4 * 3C2 + 10 + 4 = 120 - 10 * 6 - 4 * 3 + 10 + 4 = 62 本 になります。 この後、念のためにと、地道に数えてみました。むしろこの方が、考えるという意味では、面白いかな。 下から横方向の直線を a, b, c, d と名前をつけます。そして、下から順番に数えます。 ・a について：a 上の点から a 上の点への直線を考えます。 これは明らかに 1 本です。 ・b について：b 上の点から b, a 上の点への直線を考えます。 b 上へは、明らかに 1 本です。 a 上へは、b 上の左端の点から、4, 4, 4, 4 となります。したがって、4 * 4 = 16 本です。 合わせて、1 + 16 = 17 本です。 ・c について：c 上の点から c, b, a 上の点への直線を考えます。 c 上へは、明らかに 1 本です。 b 上へは、c 上の左端の点から、2, 2, 2, 2 となります。したがって、4 * 2 = 8 本です。 a 上へは、c 上の左端の点から、2, 2, 2, 2 となります。したがって、4 * 2 = 8 本です。 合わせて、1 + 8 + 8 = 17 本です。 ・d について：d 上の点から d, c, b, a 上の点への直線を考えます。 d 上へは、明らかに 1 本です。 c 上へは、d 上の左端の点から、2, 2, 2, 2 となります。したがって、4 * 2 = 8 本です。 b 上へは、d 上の左端の点から、2, 2, 2, 2 となります。したがって、4 * 2 = 8 本です。 a 上へは、d 上の左端の点から、2, 3, 3, 2 となります。したがって、2 * (2 + 3) = 10 本です。 合わせて、1 + 8 + 8 + 10 = 27 本です。 以上ですべてです。 したがって、合計は、1 + 17 + 17 + 27 = 62 本 になります。 この地道な数え上げ解法では、傾きの同じものを順次排除する、という感じですね。 この排除はかなり規則的なので、数えるのも難しくないです。

ネコの住む家　　 3月2日（木） 16:20:33　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26825

uchinyan

掲示板、読みました。 解法としては．．．大きく分けて、 ・傾きに注目して数え上げる：#26814, #26818, #26819, #26820, #26825の後半(一部、考え方) ・何らかの点を基準にして数えていく：#26821, #26822, #26825の後半 　ただし、これらは、基準の取り方によって、実際にはかなり異なります。 ・全体から重複を引く：#26816, #26817, #26825の前半 の三種類のようです。 なお、一般の状況として、#26815がありますが、こんな一般式になるとはね。 ふ〜む．．． (ちょっと追加) #26815のリンク先の一般式は、一般式を a(n) とすると、 a(n) = 1/2 * (f(n,1) - f(n.2)) f(n,k) = Sum{(n - |x|) * (n - |y|)}, - n < x < n, - n < y < n, (x,y) = k です。あまり説明がないのですが、(x,y) = k は、x, y の最大公約数が k、ということのようです。 さらに、0 はあらゆる整数を約数にもつ、と解釈して、(0,k) = (k,0) = k と考えるのでしょう。 この解釈のもとでは、 n = 4 f(4,1) = Sum{(4 - |x|) * (4 - |y|)}, - 4 < x < 4, - 4 < y < 4, (x,y) = 1 (x,y) = 1 となる x >= 0 を考えると、 x = 0, y = 1 x = 1, y = 0, 1, 2, 3 x = 2, y = 1, 3 x = 3, y = 1, 2 ここで、x -> -x, y -> -y なども可能なこと、0 -> -0 は意味がないこと、などに注意すると、 f(4,1) = 2 * {(4 - 0) * (4 - 1) + (4 - 1) * (4 - 0)} + 4 * {(4 - 1) * (4 - 1) + (4 - 1) * (4 - 2) + (4 - 1) * (4 - 3) + (4 - 2) * (4 - 1) + (4 - 2) * (4 - 3) + (4 - 3) * (4 - 1) + (4 - 3) * (4 - 2)} = 2 * {12 + 12} + 4 * {(9 + 6 + 3) + (6 + 2) + (3 + 2)} = 2 * 24 + 4 * 31 = 48 + 124 = 172 同様にして、 f(4,2) = Sum{(4 - |x|) * (4 - |y|)}, - 4 < x < 4, - 4 < y < 4, (x,y) = 2 x = 0, y = 2 x = 2, y = 0, 2 f(4,2) = 2 * {(4 - 0) * (4 - 2) + (4 - 2) * (4 - 0)} + 4 * {(4 - 2) * (4 - 2)} = 2 * {8 + 8} + 4 * 4 = 32 + 16 = 48 そこで、 a(4) = 1/2 * (172 - 48) = 62 となって、確かに、今回の答えと一致しますね。 x, y の最大公約数を考えていることから、これは、傾きを意識して数え上げているように思われますが．．．

ネコの住む家　　 3月2日（木） 13:50:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26826

uchinyan

#26823 前回の問題についてのラ・サール中の問題の解説、ありがとうございます。 なるほど。これだと、例えば、前回の問題で GH を求める場合と同じような考えで、面積の条件だけで求まりますね。 ポイントは、#26807辺りの書き込み、17^2 - 13^2 = 13^2 - 7^2 でしょう。 (ちょっと追加) なお、先週の問題は、マサルさんの追加条件なしでは、 30 * CE = GH * GH + 221 からどうしようもなく、CE も GH も求まりません。追加条件で、CE 及び GH の両方が求まります。 その意味では、ラ・サール中の問題とは、似て非なる問題と思った方がいいかもしれません。

ネコの住む家　　 3月3日（金） 16:14:55　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26827

L'A

数え上げて終了

3月2日（木） 13:17:38　　 　　26828

uchinyan

(考え方を少し変更しました。) #26826の追加部分の補足 #26815のリンク先の一般式、 a(n) = 1/2 * (f(n,1) - f(n.2)) f(n,k) = Sum{(n - |x|) * (n - |y|)}, - n < x < n, - n < y < n, (x,y) = k ですが、何となく分かったように思います。なかなかうまい考え方のようです。 今回の問題では、如何に同じ点を通る直線の重複を除くががポイントになります。 その除き方ですが、次のように考えているようです。例えば、 A-----B-----C-----D-----E-----F-----G-----H となっているとします。このときは、結局は AH の 1 本だけしか意味がないのですが、これを 隣り合う二つの点からなる直線：線分 AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH を延長した 7 本 隣り合う三つの点からなる直線：線分 AC, BD, CE, DF, EG, FH を延長した 6 本 と考えます。隣り合う二つの点からなる直線は、隣り合う三つの点からなる直線を含んでいるので、 (隣り合う二つの点からなる)意味のある直線は、7 - 6 = 1 本 になります。 ここで、隣り合う四つ以上の点からなる直線は、隣り合う二つの点からなる直線 及び 隣り合う三つの点からなる直線 に、 原理的には含まれているので、差をとれば相殺されて考える必要がない、ことになります。 なお、後で、それらを考える必要がある場合も考察します。 さて、この考えの下に、今回の問題を、傾きに注目して数えていきます。 傾きを、横方向を x、縦方向を y として、y/x と書きます。また、x と y の最大公約数をg(x,y)と書くことにします。 すると、x > 0, y >= 0 に対して、 ・0/1 = 0/2 = 0： 隣り合う二つの点からなる直線は、g(1,0) = 1 で、3 * 4 = 12 本。 隣り合う三つの点からなる直線は、g(2,0) = 2 で、2 * 4 = 8 本。 そこで、意味のある直線は、12 - 8 = 4 本になります。 実際の引き算は、横方向の四つの各直線ごとに 3 - 2 = 1 を行う必要がありますが、 最終的な本数はそれらの和なので、結局、上式に一致します。以下も同様です。 ・1/1 = 2/2 = 1： 隣り合う二つの点からなる直線は、g(1,1) = 1 で、3 * 3 = 9 本。 隣り合う三つの点からなる直線は、g(2,2) = 2 で、2 * 2 = 4 本。 そこで、意味のある直線は、9 - 4 = 5 本になります。 ・2/1 = 4/2 = 2： 隣り合う二つの点からなる直線は、g(2,1) = 1 で、2 * 3 = 6 本。 隣り合う三つの点からなる直線は、g(4,2) = 2 で、0 本。 そこで、意味のある直線は、6 - 0 = 6 本になります。 ・3/1 = 6/2 = 3： 隣り合う二つの点からなる直線は、g(3,1) = 1 で、1 * 3 = 3 本。 隣り合う三つの点からなる直線は、g(6,2) = 2 で、0 本。 そこで、意味のある直線は、3 - 0 = 3 本になります。 ・3/2 = 6/4 = 3/2： 隣り合う二つの点からなる直線は、g(3,2) = 1 で、1 * 2 = 2 本。 隣り合う三つの点からなる直線は、g(6,4) = 2 で、0 本。 そこで、意味のある直線は、2 - 0 = 2 本になります。 以上ですべてですが、実際の傾きは、x/y -> y/x, y -> -y が可能なこと、0 -> -0 は無意味なことを考慮すると、 1 * 2 * 4 + 2 * (1 * 5 + 2 * 6 + 2 * 3 + 2 * 2) = 8 + 2 * (5 + 12 + 6 + 4) = 8 + 54 = 62 本 となって、正解が得られます。 上記の場合分けを x/y -> y/x を補って#26826の追加部分と比べると、対応がつくことが分かると思います。 これ以上の詳細は冗長になるので省略しますが、一般式が導けること、少なくとも導けそうなこと、も分かると思います。 なお、a(n) の 1/2 は、傾きとしては意味がない x -> -x, y -> -y の同時変換が可能なことを補完しているものと思われます。 なお、この考え方を拡張すると、例えば、ちょうど二つの点だけを通る直線の本数も、同様に計算できます。 今求まっているのは、正確には、隣り合う二つの点からなる意味のある直線 なので、 これから、隣り合う三つの点からなる意味のある直線 を引けばいいです。 ところが、 隣り合う三つの点からなる意味のある直線 は、隣り合う四つの点からなる直線 から 隣り合う三つの点からなる直線 を引けばいい ことになります。 先ほどの議論から予想がつくと思いますが、傾きは同じにして、 隣り合う三つの点からなる直線は g(x,y) = 2 の場合で、1 * 2 * 8 + 2 * (1 * 4 + 2 * 0 + 2 * 0 + 2 * 0) = 24 本 隣り合う四つの点からなる直線は g(x,y) = 3 の場合で、1 * 2 * 4 + 2 * (1 * 1 + 2 * 0 + 2 * 0 + 2 * 0) = 10 本 そこで、隣り合う三つの点からなる意味のある直線 は、24 - 10 = 14 本となるので、 ちょうど二つの点だけを通る直線 は、62 - 14 = 48 本 になります。 これは、例の数列サイトの id A018809 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A018809 ですね。

ネコの住む家　　 3月3日（金） 15:48:48　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26829

スモークマン

たいしたことではないですが。。。 数え方で、右下隅から数えて異なる直線の数を表すと、 0 0 0 1 3 1 1 4 5 3 3 6 8 9 9 9 で、合計 62 何か規則性がありますかね・・・？

金光　　 3月3日（金） 0:29:36　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26830

ウラル

ようは４点を通る直線と、３点を通る直線のなかで、重複するものを考えなくてはならなかったのですね。

3月3日（金） 9:14:39　　 　　26832

uchinyan

#26830 ＞何か規則性がありますかね・・・？ どうなんでしょう。 多分何かあるのでしょうが、結局は、#26829につながってくるのではないかなぁ．．． 実は、私が、#26825の後半で書き込んだ地道な数え上げの解法を、傾きを意識しながらも、下から順番に数えるとしたのは、 規則性を見つけて漸化式を作れないかな、という下心があったからです。 確かにある程度の規則性、b 上の点から a 上の点へはすべて引ける、一度下の段で引いた直線にのっている場合は考えなくてよい、 正方形の縦方向の対称軸に関して各段の左右の可能な直線の本数は対称、などが分かります。 これらは、結局は傾きを意識していることと同じで、その変換性を表しています。 しかし、一見して分かる強力な規則性は得られそうになかったので、地道な方法として紹介しました。 その後掲示板を読んで、#26815の一般解を知ったので、まずは、それの解釈を試みました。 それが、#26829ですが、なかなかうまく考えられているようです。 ちなみに、#26826の解の分類の1番目と2番目は、傾きに注目している、結局はせざるを得ない、点では、大差ありません。 その一方で、3番目の解法は、傾きを意識しなくていいし、ほとんど暗算でできてしまうので、その意味では、優れているといえます。 しかし、これは、４×４(以下)の特殊性で、除くべき直線の傾きが、斜めの場合には、1 に限られているからです。 ５×５の場合は、3 点が一直線になるもの が、傾き 1 と 2 と 1/2 の三種類になり、傾きを意識しないといけなくなります。 一般の n × n ではますます大変そうです。 その意味では、拡張性に問題がありそうで、個人的には、最初から傾きに注目する地道な解法の方が優れていると思います。 #26825で、地道な方法を追加したのは、検算はもちろんですが、一般化を意識したことが主たる理由です。まぁ、あれでは失敗ですが．．． もっとも、良し悪しは状況や目的によって違うので、一概には言えませんね。

ネコの住む家　　 3月4日（土） 9:05:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26833

餃子の王将

やったーって喜ぶのも変かな？ これが初めてっすよ。わかる？この嬉しさ？ 気合いダーー！気合いダーー！気合いダーーーーーーーーーーーーーーーーーー！！！！！！！！

3月3日（金） 19:46:21　　 MAIL:wurong.zhu@morganstanley.com 　　26834

スモークマン

ちなみに、5*5 のとき。。。 ０　　０　　０　　０　　１ ４　　２　　０　　２　　５ ６　　３　　２　　３　　７ ９　　８　　６　　８　　１０ １２　１３　１３　１３　１３ 合計　140 とかなりやっかい。 重なりを除く方法なら、 25C2-(12*5C2+8*4C2+24*3C2)=(25*24-12*5*4-8*4*3-24*3)/2=96 96+(12+8+24)=140 と比較的簡単！ 問題が 5X5 だったら正解するのは大変だったかも〜

金光　　 3月3日（金） 21:09:08　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26835

スモークマン

5*5 のとき、2点だけの直線の数が 108 にならないとおかしいか。。。 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A018809 からすると。。。

金光　　 3月4日（土） 11:42:12　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　26836

uchinyan

#26835, #26836 (う〜ん、どうしても表がずれてしまう．．．再度、挑戦！　お、うまくいった ^^/) まぁ、あまりやってもしょうがない気もしますが、あくまでも、ご参考。 #26835 私の#26825の後半の数え上げ方でやると、説明は面倒なので省略しますが、次の傾きの表を書けば、６×６まで使えて、 ±０／１｜±０／１｜±０／１｜±０／１｜±０／１｜＊｜±０／１｜±０／１｜±０／１｜±０／１｜±０／１ ＋１／５｜＋１／４｜＋１／３｜＋１／２｜＋１／１｜∞｜−１／１｜−１／２｜−１／３｜−１／４｜−１／５ ＋２／５｜＋１／２｜＋２／３｜＋１／１｜＋２／１｜∞｜−２／１｜−１／１｜−２／３｜−１／２｜−２／５ ＋３／５｜＋３／４｜＋１／１｜＋３／２｜＋３／１｜∞｜−３／１｜−３／２｜−１／１｜−３／４｜−３／５ ＋４／５｜＋１／１｜＋４／３｜＋２／１｜＋４／１｜∞｜−４／１｜−２／１｜−４／３｜−１／１｜−４／５ ＋１／１｜＋５／４｜＋５／３｜＋５／２｜＋５／１｜∞｜−５／１｜−５／２｜−５／３｜−５／４｜−１／１ ・n = 2 １　２　２ １　０　０ -> 2 + 0 + 4 = 6 ・n = 3 １　２　４　２ １　３　３　３ １　０　０　０ -> 3 + 0 + 9 + 8 = 20 ・n = 4 １　６　７　７　６ １　４　４　４　４ １　４　４　４　４ １　０　０　０　０ -> 4 + 0 + 16 + 16 + 26 = 62 ・n = 5 １　　８　１１　　８　１１　　８ １　　７　　９　　８　　９　　７ １　　４　　６　　４　　６　　４ １　　５　　５　　５　　５　　５ １　　０　　０　　０　　０　　０ -> 5 + 0 + 25 + 24 + 40 + 46 = 140 ・n = 6 １　１６　１７　１６　１６　１７　１６ １　１２　１２　１１　１１　１２　１２ １　１０　１０　１０　１０　１０　１０ １　　６　　６　　６　　６　　６　　６ １　　６　　６　　６　　６　　６　　６ １　　０　　０　　０　　０　　０　　０ -> 6 + 0 + 36 + 36 + 60 + 70 + 98 = 306 そんなに難しくないです。 出てくる数字も割ときれいに並ぶし、直接に規則性を読み取れないかな、と思ったのですが．．． #26836 同じく私の数え上げの方法でやると、 ０　　８　１１　　８　１１　　８ ０　　７　　８　　６　　８　　７ ０　　４　　３　　０　　３　　４ ０　　４　　２　　０　　２　　４ ０　　０　　０　　０　　０　　０ -> 0 + 0 + 12 + 14 + 36 + 46 = 108 これは、ちょっと面倒ですね。

ネコの住む家　　 3月5日（日） 9:06:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　26837

大岡　敏幸

数え上げました（＾＾）何か規則性みたなものがないか今から調べてみようと思います。ちなみに ９９９８ ６３３５ ４１１３ １０００ って感じになりました。

石川県　　 3月5日（日） 10:11:41　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　26838

N.Nishi

そんなにパターンがないようだったので直線の傾きのパターンに分けて考えました。

3月5日（日） 14:23:40　　 　　26839

あるてぃ

同じく直線の傾きで・・・

3月6日（月） 17:15:30　　 　　26840

はるきすと

たてよこ→４×２ １：１：√２→５×２ １：２：√５→３×２×２×２ １：３：√１０→３×２×２ ２：３：√１０→２×２×２ うーん、何かいい方法がありそうやねぇ〜(^^♪

3月7日（火） 3:09:47　　 　　26841