むらい
迷わず、ベクトル（一次独立）で解きましたorz
あとから気づきましたが、３月１５日問題でしたか。　うまいですね。
およそ東経約140度くらい　　 3月15日（木） 0:06:21　　 　　29544
banyanyan
合っているはずなのに入れないのでもう一度考え直してしまいました。
　　 3月15日（木） 0:07:43　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp 　　29545
ヒデー王子
最近生徒の間で算チャレが話題なので久しぶりに参加しました。
こういう入試っぽいのだと助かるな〜
のんのの家　　 3月15日（木） 0:10:12　　 　　29546
JUN
補助線ＢＳ，ＣＳを引いて、比率から面積を求めて見ました
　　 3月15日（木） 0:10:13　　 MAIL:jmrtk800@ybb.ne.jp 　　29547
banyanyan
合っているはずなのに入れないのでもう一度考え直してしまいました。
　　 3月15日（木） 0:10:23　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp 　　29548
sugitakukun
BSとCSでぶった切ってベンツ型を作りました。
で、APSを�◆�BPSを��とおいて比を作っていたのですが、結局ARSが2.5/4となって、APS=16に戻る罠…^^;

下手にメネラウスとか考えてしまうあたり、やはり図形は苦手です^^;
Ｋ府Ｋ市Ｓ区　　 3月15日（木） 0:10:54　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　29549
きょろ文
先生はやいよ(^^;
√2の隣　　 3月15日（木） 0:11:40　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　29550
トトロ＠Ｎ
出遅れました。大阪環状線が遅れのせいで帰宅が２０分遅れ。
△ＡＢＳ＝40、△ＡＣＳ＝30より△ＡＲＳ＝５
（16＋５）÷2/5÷1/6＝315
兵庫県明石市　　 3月15日（木） 0:14:48　　 　　29551
banyanyan
合っているはずなのに入れないのでもう一度考え直してしまいました。
　　 3月15日（木） 0:18:18　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp 　　29552
doba
Ｐを通るＢＣの平行線を引いて、ＡＣとの交点をＴとすると、
ＡＲ：ＲＴは５：７
あとは、△ＡＰＴを、△ＡＰＳと△ＰＴＳと△ＴＡＳに分割して．．．
とやりました。
あんまり「すっきり」ではありませんね。
#29551のトトロ＠Ｎさんのが手早くすっきりです。
　　 3月15日（木） 0:20:48　　 　　29553
きょろ文
見た瞬間ＡＳ：ＳＱを求めようとしてしまいましたが…

△ＡＳＢ=40より△ＡＳＣ=30なので△ＡＳＲ=6
△ＡＰＲは△ＡＢＣの2/3 * 1/6 =1/15なので
△ＡＢＣ=(16+6)*15=315
√2の隣　　 3月15日（木） 0:23:51　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　29554
スモークマン
これは簡単でしたね♪
普通に比例計算でやりました。
16/((2/5)^2*(5/12)*(16/21))=25*12*21/4*5=315
金光　　 3月15日（木） 0:28:27　　 　　29555
スモークマン
#29541
dobaさんへ。
素晴らしい！
友人の解答とおんなじというかそれ以上じゃないかな^^ Orz〜

友人解

方程式x^2+x+1=pyが整数解(x,y)をもつような素数pが
有限個であると仮定し、そのような素数全体をp1,..,pnとする。
P=p1p2..pnとする。
P^2+P+1はどのpiの倍数でもない。
P^2+P+1の任意の素因数をqとする。
仮定からx^2+x+1=qyは整数解をもたないはずであるが、
実際には(x,y)=(P,(P^2+P+1)/q)という整数解をもっていて矛盾である。
金光　　 3月15日（木） 0:36:38　　 　　29556
ダンディ海野
B,Cを通るPRの平行線を引いて、半直線AQとの交点をT,U とすると、
AS:ST:TQ:QU＝２：３：４：３　　となり
△ABC＝16＊（9/2）*（5/2）*（7/4）＝315・・とだしました。
それにしても皆さんの早さには恐れ入ります。
　　 3月15日（木） 0:46:09　　 　　29557
doba
#29556
スモークマンさん

本質的には、そのご友人の解答と、全く同じだと思います。
「無限にある」を言うのに、数学的帰納法の形式をとったか、
背理法の形式をとったかの違いだけなので。
背理法で書いた方が記述量も少なくてきれいですね。

発想は、「素数は無限にある」の証明と同じようなことをやればいいかな、ってとこから始めて、じゃあ、とりあえず全部掛けてやって、それと互いに素なものができればいいかな、と。その通りやったら、できちゃった、って感じです。
　　 3月15日（木） 0:51:53　　 　　29558
スモークマン
#29558
dobaさんへ。

なるほど、、、素直な発想ですね♪
p^2+p-1 でも言えますよね？
金光　　 3月15日（木） 8:16:41　　 　　29559
らーめん
ＳＢを結ぶ。ＳＣを結ぶ。
△ＳＢＱ＝�ぁ□ぃ咤達僉甅�とおき、
あとは、２辺の積を使って、、、

△ＡＰＲ：△ＡＢＣ＝２×１：５×６＝１６＋５：７０＋��

△ＡＢＣ＝２１×３０÷２＝３１５

もしくは、２１×（５/２）×（６/１）＝３１５

　　 3月15日（木） 9:15:44　　 HomePage:らーめん　　29560
英ちゃん
PS:SR=16:5を求めるのに必死でした。
SBとSCを結ぶことを全く思いつかなかったので
まだまだ修行が足りませんね。

また、今喉が痛くて病院に行くつもりです。
皆さんも体調には気をつけてください。
居間　　 3月15日（木） 9:28:15　　 HomePage:虚数なページ　　29561
uchinyan
はい，こんにちは。年度末ということもあり多忙で，こちらに足が向かない日々が続いていましたが，何とか (^^;
さて，今回の問題ですが，これは簡単でした。思いついた解法をいくつか書いておきます。

(解法1)　面積比だけでやります。
S と B，S と C をそれぞれ結びます。△APS = 16 cm^2 に注意します。
AP：BP = 2：3 なので，△APS：△ABS = 2：5 で，△ABS = 40 です。
BQ：CQ = 4：3 なので，△ABS：△ACS = 4：3 で，△ACS = 30 です。
AR：CR = 1：5 なので，△ARS：△ACS = 1：6 で，△ARS = 5 です。
そこで，△APR = △APS + △ARS = 16 + 5 = 21 になり，
△ABC = AB/AP * AC/AR * △APR = 5/2 * 6/1 * 21 = 315 cm^2 になります。

(解法2)　線比を中心にやります。
P から BC に平行に線を引き AQ，AC との交点を T，U とします。明らかに，PT：TU = 4：3 です。
AP：PB = 2：3 = AU：UC なので，AC を 30 とみなすと，AR：RU：UC = 5：7：18 です。
T から PR に平行に線を引き AC との交点を V とすると，RV：VU = 4：3 なので，AR：RV = 5：4 = AS：ST です。
そこで，△APT = 9/5 * △APS，△APU = 7/4 * △APT，△ABC = 25/4 * △APU なので，
△ABC = 25/4 * 7/4 * 9/5 * △APS = 25/4 * 7/4 * 9/5 * 16 = 315 cm^2 になります。

(解法3)　一部メネラウスの定理を使ってみます。
R から BC に平行に線を引き AP，AQ との交点を D，E とします。明らかに，DE：ER = 4：3 です。
AR：RC = 1：5 = AD：DB なので，AB を 30 とみなすと，AD：DP：PB = 5：7：18 です。
△DPR にメネラウスの定理を使うと，PS/SR * RE/ED * DA/AP = 1 より PS/SR * 3/4 * 5/12 = 1 で PS：SR = 16：5 です。
そこで，△APS = 16 cm^2 なので，
△APR = 21/16 * △APS = 21/16 * 16 = 21
△ABC = AB/AP * AC/AR * △APR = 5/2 * 6/1 * 21 = 315 cm^2 になります。

(解法4)　最初からメネラウスの定理を使ってみます。
P と C を結び，AQ との交点を X とします。
△PBC にメネラウスの定理を使うと，PX/XC * CQ/QB * BA/AP = 1 より PX/XC * 3/4 * 5/2 = 1 で PX/XC = 8/15 です。
△PCR にメネラウスの定理を使うと，PS/SR * RA/AC * CX/XP = 1 より PS/SR * 1/6 * 15/8 = 1 で PS/SR = 16/5 です。
そこで，△APS = 16 cm^2 なので，
△APR = 21/16 * △APS = 21/16 * 16 = 21
△ABC = AB/AP * AC/AR * △APR = 5/2 * 6/1 * 21 = 315 cm^2 になります。

まだまだいろろな解法がありそうですね。
ネコの住む家　　 3月15日（木） 13:08:12　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29562

掲示版を読みました。

#29544
ベクトル。

#29547，#29551，#29554，#29560，#29565，#29562の(解法1)，#29549？
補助線 BS，CS を使う解法。

#29553，#29562の(解法2)
P を通り BC に平行な補助線を使う解法。

#29557, #29567
B，C(又は Q)を通り PR に平行な補助線を使う解法。
これは思いつきませんでしたが，AQ 上に比の情報を集めて一気に解くのは，なかなかうまい方法だと思います。

#29555
途中の考え方が記載されていないので，具体的には分からず．．．

#29562の(解法3)，(解法4)
メネラウスを使った私の解法。一応算数としては，メネラウスはなし，でしょうね。
もっとも，私がメネラウスの定理を知ったのは算チャレでなんですが．．．(^^;

なお，今回の問題には関係しませんが，スモークマンさんの問題の議論，面白く読みました ^^
　　 3月16日（金） 14:33:09　　 　　29563
呑ちゃん
#29523
残念で酒。今回は参加できそうにありません。
またの機会を楽しみにしておりま酒。
ごめんやしておくれやしてごめんやっしゃ〜！
　　 3月15日（木） 14:27:21　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp 　　29564
小６の堤真人
初めて入りました！初めまして堤真人です！
　早速問題のほうに参りますがこの問題は入試っぽい感じの問題でした
まず、底辺の比は面積の比を使ってAPS:BPS＝AP:PB＝2：3
でASBは40��2　　また、上の法則を使うと、SPBは24cm2になります
で、また上の法則を使ってASB:ASC＝4：3＝40：□＝□＝30ｃｍ2
またまた、上の法則を使ってAR:AC＝ASR:SRC＝1：5　1+5＝6　＝30cm2
ASR＝30×1/6＝5ｃｍ2よって　PS：SR＝16：5　RからBに向けて補助線を引きます。そうすると、PSB：BSR＝16：5　PSB＝24cm2　BSR＝7.5cm2です。
そして、全体を求めます、上の事によってARBは40+5+7.5＝52.5ｃｍ2
またまたまた上の法則を使うと、AR:RC＝1：5よって全体は
52.5×（1+5）＝315よって、315＾2ｃｍ2です　　　以上　　疲れた〜
；＾З）＝3
　　 3月15日（木） 18:06:39　　 MAIL:masa10223@yahoo.co.jp 　　29565
久保文男
こんばんは
　　 3月16日（金） 0:34:39　　 　　29566
エルク
Ｂ，Ｑを通りＰＲに平行な線を引き
ＡＣとの交点をそれぞれＴ，Ｕとすると

ＲＴの部分が１．５になるのでＴＣが３．５
これを４：３に分けるから
ＴＵ＝２　ＵＣ＝１．５

ＡＳ：ＳＱ＝１：１．５＋２＝２：７

後は適当に底辺の比と面積比が等しいの使って
順番に求めていって出しました。

記事を見てみると
#29557
ダンディ海野さんのとほぼ同じ考えですね
　　 3月16日（金） 1:59:52　　 HomePage:エルクのブログ　　29567
スモークマン
問題（思いつき）

k,m を正の整数、pを奇素数とする時、

1+2+2^2+・・・+2^m=p^(2k+1) か、
1+p+p^2+・・・+p^(2k+1)=2^(m+1) は、

成立するか？

簡単に分かりますかねえ・・・？
しょうもない問題だったらごめんなさい。^^;v

金光　　 3月16日（金） 22:22:49　　 　　29568
算数
#29568 こんなのでいいですか…
素数は奇数なのでｐ＝２ｋ＋１（ｋは整数）とすると
右辺ｐ＋ｐ＾２＋…ｐ＾（２ｍ−１）
＝２ｋ＋１＋（２ｋ＋１）＾２＋…（２ｋ＋１）＾（２ｍ−１）
＝奇数＋奇数＾２＋…奇数＾（２ｍ−１）
＝奇数の奇数個の和
＝奇数　　
左辺は偶数、右辺は奇数なので等しいものは存在しない
　　 3月16日（金） 22:29:02　　 　　29572
スモークマン
#29568
算数さん、考えて下さってありがとうございます。
最初提示したものを少し改変し直しています。
もう一度ご確認下されば幸いです。Orz
+1 があるので、両辺は偶数ではあるんですが、、、^^;v
金光　　 3月16日（金） 23:06:20　　 　　29573
算数
#29568 わからないので諦めます　orz
　　 3月16日（金） 23:40:56　　 　　29575
スモークマン
#29575
算数さん、Orz
わたしも証明が分からないもので、、、皆さんにお尋ねしたくって。^^;
ただ、あり得ないことはあることから言えると思っているのですが。。。
でも、どちらかは成り立つかも知れないんですよね・・・？
金光　　 3月17日（土） 8:46:39　　 　　29576
ダンディ海野
#29568
問題（思いつき）
k,m を正の整数、pを奇素数とする時、
1+2+2^2+・・・+2^m=p^(2k+1) か、 .....(1)
1+p+p^2+・・・+p^(2k+1)=2^(m+1) は、......(2)
成立するか？

この問題ですが　k,m,pについて並列的に書かれているので、任意の k,m (整
数),p(奇素数)についていえるか・・ということになります。すると
ｐ＝3,k＝1,m＝2 とでもおくと、もちろん(1)も(2)もいえません。
「だから成立しない」ということになります。
しかし、題意は違うところにあると思うのですがつかめません。
例えば、「任意のp(奇素数)について(1)か(2)をみたすような整数k,mは必ず
存在しますか？」とか、「任意のp(奇素数),k(整数)について(1)か(2)をみた
すような整数mは必ず存在しますか？」とか・・・なのか？？？

私の勘違いならごめんなさい。
　　 3月17日（土） 9:10:19　　 　　29577
スモークマン
#29577
ダンディ海野さんへ。
ご指摘ありがとうございます。Orz
「(1),(2) を同時に満たすものが一つでもあるか？」
の意味のつもりでした。（訂正しました。）Orz〜

だから、あることから、否定されるのですが、背理法で証明すればいいはずなんでしょうが、、、わたしには分からないもので、、、皆様のお力をお借りできればと。。。^^;

「(1)あるいは(2) を満たすようなものが一つでもあるか？」
は別問題になるのかな・・・？
こちらも証明できればうれしいのですが。^^
金光　　 3月17日（土） 12:07:04　　 　　29578
uchinyan
#29578，#29577　何をしたいかがいまいちピンと来ませんが．．．
＞k,m を正の整数、pを奇素数とする時、
＞1+2+2^2+・・・+2^m=p^(2k+1) か、 .....(1)
＞1+p+p^2+・・・+p^(2k+1)=2^(m+1) は、......(2)
＞成立するか？
＆
＞「(1),(2) を同時に満たすものが一つでもあるか？」
ならば，ただ計算して，
1 + 2 + 2^2 + ・・・ + 2^m = (2^(m+1) - 1)/(2 - 1) = 2^(m+1) - 1 = p^(2k+1)
1 + p + p^2 + ・・・ + p^(2k+1) = (p^(2k+2) - 1)/(p - 1) = 2^(m+1)
最初の式を二番目の式に代入して，
(2^(m+1) - 1) * p - 1 = 2^(m+1) * (p - 1)
p = 2^(m+1) - 1
最初の式と合わせて
p = p^(2k+1)
したがって，k = 0 が必要ですが，k > 0 なので，明らかにダメですね。

＞「(1)あるいは(2) を満たすようなものが一つでもあるか？」
＞は別問題になるのかな・・・？
もちろん別問題です。ただ．．．
＞こちらも証明できればうれしいのですが。^^
ダンディ海野さんがご指摘のように，まずは，題意を明確にした方がよさそうです。

ちょっと追加
そもそも，
1 + 2 + 2^2 + ・・・ + 2^m = (2^(m+1) - 1)/(2 - 1) = 2^(m+1) - 1 = p^(2k+1)
を満たす k, m, p は，k > 0 ならば，なさそうです。k > 0 ならば，
2^(m+1) = p^(2k+1) + 1 = (p + 1) * (p^(2k) - p^(2k-1) + p^(2k-2) - ... + p^2 - p + 1)
なので，p >= 3 より，
p + 1 = 2^n, 2 <= n < m+1
p = 2^n - 1
そこで，
2^(m+1) - 1 = p^(2k+1) = (2^n - 1)^(2k+1)
= (2^n)^(2k+1) - (2k+1)C1 * (2^n)^(2k) + ... - (2k+1)C(2k-1) * (2^n)^2 + (2k+1)C(2k) * 2^n - 1
2^(m+1) = (2^n)^(2k+1) - (2k+1)C1 * (2^n)^(2k) + ... - (2k+1)C(2k-1) * (2^n)^2 + (2k+1) * 2^n
2^(m+1-n) = (2^n)^(2k) - (2k+1)C1 * (2^n)^(2k-1) + ... - (2k+1)C(2k-1) * 2^n + (2k+1)
しかし，左辺は偶数，右辺は奇数なので，これはありえません。
つまり，k > 0 では，k, m, p は存在しません。
存在するとしたら，
1 + p + p^2 + ・・・ + p^(2k+1) = (p^(2k+2) - 1)/(p - 1) = 2^(m+1)
の方ですね。
なお，k = 0 ならば，明らかに，m = 1, p = 3 として，
1 + 2 = 3
が存在します。またこのとき，
1 + 3 = 4 = 2^2
でもあります。
ネコの住む家　　 3月17日（土） 13:51:33　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29579
doba
#29568の問題について

ご本人の書き込みにより、
「(1),(2)を同時に満たすものが一つでもあるか？」
という問いだとなっていますが、
実際にはもっと強い結論が得られます。
証明できるのは、以下の内容です。

命題１：
1+2+2^2+・・・+2^m=p^(2k+1)を満たすような
正の整数k,mと奇素数pの組は存在しない。

命題２：
1+p+p^2+・・・+p^(2k+1)=2^(m+1)を満たすような
正の整数k,mと奇素数pの組は存在しない。

命題１は比較的あっさり証明できます。（変形／移項／因数分解）
命題２については、ある観点で場合分けが必要です。
当方の証明は後ほど。

ちなみに、結論が明らかでない状態でどのように「思いつ」いたのかが、興味のあるところですね。
　　 3月17日（土） 13:33:02　　 　　29580
uchinyan
#29580
＞命題２：
＞1+p+p^2+・・・+p^(2k+1)=2^(m+1)を満たすような
＞正の整数k,mと奇素数pの組は存在しない。
ふむ，これもいえるのですか。

＞ちなみに、結論が明らかでない状態でどのように「思いつ」いたのかが、興味のあるところですね。
確かに ^^
ネコの住む家　　 3月17日（土） 14:05:08　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29581
スモークマン
#29579,#29580,#29581
uchinyanさん、dobaさん、ありがとうございます。（dobaさん、ダンディ海野さん、失礼しました。^^;)

証明できるんですね〜♪

どうして思いついたかというと、、、
偶数の完全数からなんです。

ある数の約数の和は、(1+1/p+1/p^2+・・・+p^n_1)*(1+1/q+1/q^2+・・・+1/q^n_2)*・・・なので、
((1+p+p^2+・・・+p^n_1)/p^n_1)*((1+q+q^2+・・・+q^n_2)/q^n_2)*・・・
となりますよね。
偶数の完全数は、最低2を約数に持つので、((1+2+2^2+・・・+2^n_1)/2^n_1) から考え、それに、((1+p+p^2+・・・+p^n_2)/p^n_2) を掛けていき、それらの積が2になるわけです。しかし、偶数の完全数は、2^(m+1)-1 が、素数の時に、2^m*(2^(m+1)-1)　という数だけに限られることが証明されてるので、
約数としては、2^m,2^(m+1)-1 だけであり、このとき、
((1+2+2^2+・・・+2^m)/2^m)*(1+(2^(m+1)-1)/(2^(m+1)-1)=2 とたしかになります。（当たり前ですが）
つまり、その他の場合、いちばん単純な時、(p^(2k+1)/2^m)*(2^(m+1)/p^(2k+1)) は2にはならないので、分母の約数の和が分子になるようなものがそれぞれないか、あったとしても、同時に満たすものはないはずだっていうことから、問題にしたんです。^^;
考え方として、おかしいところがあれば教えて下さいませ。Orz〜
金光　　 3月17日（土） 20:38:27　　 　　29582
doba
命題１については#26579の追加の所にあるようなので、命題２の方を。

自然数k,mと奇素数pが
1+p+p^2+・・・+p^(2k+1)=2^(m+1)を満たすと仮定すると、
両辺にp-1をかけて
p^(2k+2)-1=(p-1)・2^(m+1)

i) kが偶数のとき
k=2n（nは自然数）とおく。
p^(2k+2)-1=p^(4n+2)-1
=(p^2-1)((p^2)^2n+(p^2)^(2n-1)+…+(p^2)+1)
=(p-1)(p+1)((p^2)^2n+(p^2)^(2n-1)+…+(p^2)+1)
なので、
(p+1)((p^2)^2n+(p^2)^(2n-1)+…+(p^2)+1)=2^(m+1)
となる。
(p^2)^2n+(p^2)^(2n-1)+…+(p^2)+1は奇数が奇数個なので、
１でない奇数であり、奇素数を因数に持つので、矛盾。

ii) kが奇数のとき
k=2n-1（nは自然数）とおく。
p^(2k+2)-1=p^(4n)-1
=(p^(2n)+1)(p^(2n)-1)
=(p^(2n)+1)(p-1)(p^(2n-1)+p^(2n-2)+…+p+1)
なので、
(p^(2n)+1)(p^(2n-1)+p^(2n-2)+…+p+1)=2^(m+1)
となる。
ここで、p^2≡1 (mod 4)より、p^(2n)+1≡2 (mod 4)となり、
(p^(2n)+1)/2は１でない奇数であり、奇素数を因数に持つので、矛盾。

仮定から矛盾が導かれたので、仮定のようなことは起り得ない。
（証明完）

ちなみに、命題１の方ですが、
＞2^(m+1) = p^(2k+1) + 1 = (p + 1) * (p^(2k) - p^(2k-1) + p^(2k-2) - ... + p^2 - p + 1)
において、(p^(2k) - p^(2k-1) + p^(2k-2) - ... + p^2 - p + 1)が奇数であり１でないことから、即座に矛盾が導けます。

#29582 スモークマンさん
なるほど、完全数ですか。
　　 3月17日（土） 17:38:09　　 　　29583
uchinyan
#29583
なるほど，確かに。
特に，命題１の私の証明は大分無駄がありましたね (^^;
ご指摘ありがとうございます。
ネコの住む家　　 3月17日（土） 17:47:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29584
ダンディ海野
#29583
dobaさん　見事ですね〜　
　　 3月17日（土） 18:35:29　　 　　29585
スモークマン
#29583
dobaさんへ。
ありがとうございます。Orz〜
uchinyanさんといい、お二人ともなんていともたやすく、華麗に解かれるのでしょう！！^^v
いろんなヒントが戴けました。^^vv
金光　　 3月17日（土） 18:40:38　　 　　29586