tomh

48/5で入れないみたいですが…?

新潟市　　 5月17日（木） 0:11:25　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　29828

きょろ文

延長させて、折り返して、面積比で底辺の長さを求めて・・・ 結局、ＡからＢＣに垂線を下ろして、その足をＨとしたら 三角形ＡＨＣが3：4：5の三角形になります。 前回の問題が解けなかったのがくやしい。

√2の隣　　 5月17日（木） 0:12:48　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　29829

pi-nattuhakata

答えが2通りでませんか？

5月17日（木） 0:19:06　　 　　29830

pi-nattuhakata

答えが2通りでませんか？

5月17日（木） 0:19:18　　 　　29831

算数

ＣＡの延長にＢから垂線をおろし交点をＤとする 角ＡＢＤは角Ｂと等しくなりＢＣ：ＡＣ＝ＢＤ：ＡＤ なのでＢＤ＝４．８、ＡＤ＝２．４　 よって△ＡＢＣ＝(６．４×４．８−２．４×４．８ )/２＝９．６

5月17日（木） 0:19:25　　 　　29832

スモークマン

こりゃできた。。。^^v 前回はさっぱり閃きませんでした。。。 途中で頭痛くなりました。^^; 左に3cmの二等辺△右に3:4:5 の直角△ができ、 3*4=5*h 8*h/2=8*3*4/2*5=48/5

金光　　 5月17日（木） 0:19:36　　 　　29833

Holly

BからACに垂線を下ろして 第199回 http://kurihara.sansu.org/sansu/199.html みたいな感じで解きました。。 ※アドレスに閉じカッコが入っていたので修正しました。失礼しました＞#29851 内容は#29845と大体同じだと思いますm(__)m

5月17日（木） 17:23:20　　 　　29835

pi-nattuhataka

勘違いでした。申し訳ありませんでした…。

5月17日（木） 0:24:31　　 　　29836

呑ちゃん

４８／５で私も入れなかった。残念・・・。 ま、どうせ最初は間違えていたんだから仕方がない。 では、また。ごきげんよう。

酔っぱらい天国　　 5月17日（木） 0:27:18　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPESよいとこ一度はおいで　　29837

ちゃーみー

睡眠不足で図形で考える体力が残っていなかったので三角関数でやりました。 が，∠B=2∠C と立式してしまい泥沼に…。あーあ。

自宅　　 5月17日（木） 0:39:44　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　29838

スモークマン

#29810,#29822 dobaさん、uchinyanさん、なかさん、考えて下さってありがとうございます〜ご返事が遅くなってすみません。Orz〜 解答は、uchinyanさんのものと同じでした。 dobaさんのものは、ピタゴラス数にならないってことですよね？ わたしは、、、お粗末な考えですが、、、 √3 の格子を考えて、その格子点上に与えられたn 個の点を3点が直線にならないようにとれば。必ず三角形になる。しかも、どの2点間も (m√3)^2+(p√3)^2=3*(m^2+p^2) だが、もし、3*(m^2+p^2) が有理数（この場合は整数）になるとしたら、3*(m^2+p^2)=z^2 になるはずだから、 z=3q ,3(m^2+p^2)=3^2*q^2,m^2+p^2=3zq^2 mod 3 では、m,p が同時に3の倍数のはずなので、m=3m',p=3p' 27(m'^2+p'^2)=3q^2,9(m'^2+p'^2)=q^2 q=3q' なので、 m'^2+p'^2=q'^2 を満たすものがあればよいが、 逆に、そうならないように点を配置すれば、2点間は無理数になれる。 格子点は無数にあり、そうならないものがあるはず。（この辺りちょっといい加減か・・・^^;） しかも、√3*√3=3 なので、いずれの△も3の有理数倍の面積になるはず。 なぜなら、その3点を含む長方形（整数）からかどの3個の直角三角形（有理数）を引いたものだから。 ってないい加減なことを考えてました。。。^^;

金光　　 5月17日（木） 0:44:07　　 　　29839

ダンディ海野

ABを軸として∠CBAを折り返し,ACの延長線との交点をDとする。 ∠CBD＋∠BCD＝２∠CBA＋∠BCD＝９０度　　　∴∠BDC=９０度 また∠CBD＝２∠CBA　より　８：BD＝４：AD よって　AD＝a, BD＝２a　とおいて△BCDで三平方の定理にあてはめて 式をたてて解くと　a＝12/5 ∴△ABC＝４*（2*12/5)/２＝４８／５ 以上のように解きました。 GOOD　NIGHT！　zzzzzz

5月17日（木） 0:51:02　　 　　29840

tl

#29833 こんな感じですね。http://ff.sansu.org/sansu/toi549.gif

5月17日（木） 0:59:53　　 　　29841

英ちゃん

http://www.diced.jp/~eityan/s-m/hoka/549.gif こんな感じに３：４：５の三角形を利用して解きました。

居間　　 5月17日（木） 1:00:30　　 HomePage:虚数なページ　　29842

圭太

５１位の人時事的に削除した方がいいかもしれませんね＾＾；；

アルビレックス　　 5月17日（木） 1:09:04　　 HomePage:圭太の研究所　　29843

doba

#29839 スモークマンさん x,y座標がともに√3の整数倍である格子点上の点のみを考えるというのは、非常にいいアイディアだと思いますよ。 その格子点上の任意の異なる２点間の距離は必ず無理数になるということが証明できるので。 スモークマンさんの式変形は、途中で３をかける回数を間違ってしまっているので、そこでせっかくのアイディアが途切れてしまったようですが、実際には、 3*(m^2+p^2)=z^2を仮定すると、 zは３の倍数→m,pは３の倍数→両辺を９で割ってもまた同じ形式の式→zを３で割ったものは３の倍数→m,pを３で割ったものは３の倍数→両辺をさらに９で割っても同じ形式の式→… という議論が無限に続くことになり、z,m,pは何回でも３で割り切れるというありえない事態を招くことになります。 矛盾をきちんと言うには、最初でm,pの最大公約数を括り出して、互いに素なmとpに関する式にしておくと、どちらも３で割り切れることと互いに素であることの矛盾を言うだけで済みます。（ただし、mまたはpが０の場合は、例外として処理する必要があります。）

5月17日（木） 1:30:44　　 　　29844

doba

今回の問題ですが、 ＢからＡＣの延長への垂線の足をＤ、 ＡからＢＣへの垂線の足をＥとすると、 △ＣＡＥと△ＣＢＤは相似で、 ＣＡ：ＣＢ＝１：２なので、 面積比は△ＣＡＥ：△ＣＢＤ＝１：４ また、∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＥなので、 △ＡＢＤ≡△ＡＢＥ よって、面積比としては △ＣＡＥ：△ＡＢＤ：△ＡＢＥ＝１：(3/2)：(3/2)＝２：３：３ ∴ＢＥ：ＥＣ＝３：２ 　ＤＡ：ＡＣ＝３：５ となりました。 この問題で面白いのは、ＢＣ＞ＡＣでありさえすれば、 その値によらず面積がすっきり求まるということですね。

5月17日（木） 1:59:15　　 　　29845

浮浪

なるほど・・・

5月17日（木） 7:23:43　　 　　29846

スモークマン

#29844 dobaさんへ。 なるほどね〜♪ ありがとうございました。Orz〜 多分、、、√3以外でもいくらでもありそうですよね。^^

金光　　 5月17日（木） 8:54:03　　 　　29847

ダンディ海野

多くの人が自分と同じ方法で解くだろうと思っていましたが、この 掲示板を見ているといろいろな方法があるものだなあと感心しました。 　そういう意味では面白く、とってもいい問題だったと思います。 （進学校・進学塾ではいい教材になりそうですね。） 私としては #29845 の doba さんの解法がすっきりしていて好きですね。 （最後の行の「DA:AC＝３：５」は AC:底辺、BD＝BE＝8*（3/5）より 不要かな？）

5月17日（木） 10:00:47　　 　　29848

ハラギャーテイ

おはようございます。三角関数とMATHEMATICA（数式処理ソフト) です。

山口　　 5月17日（木） 9:57:16　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　29849

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． 比較的易しく感じました ^^v どなたかとかぶるとは思いますが，一応，解法。 BC 上に ∠BAD = ∠CAE = ∠ABC となる点 D，E をとり，A より BC に垂線を下ろしてその足を H とします。 ∠ABD = ∠ABC = ∠BAD より，DA = DB，∠ADC = 2 * ∠ABC で，2 * ∠ABC + ∠ACB = 90°なので， ∠CAD = 180 - ∠ADC - ∠ACD = 180 - 2 * ∠ABC - ∠ACB = 180 - 90 = 90°です。 そこで，∠DAE = ∠CAD - ∠CAE = 90 - ∠CAE = 2 * ∠ABC + ∠ACB - ∠ABC = ∠ABC + ∠ACB です。 さらに，∠DEA = ∠CAE + ∠ACE = ∠ABC + ∠ACB = ∠DAE なので，DA = DE です。 結局，DA = DB = DE です。 一方で，∠CAE = ∠ABC = ∠CBA，∠ACE = ∠BCA なので，△EAC ∽ △ABC です。 そこで，EC：AC = AC：BC，EC：4 = 4：8，EC = 2 cm です。 これから，DA = DB = DE = 1/2 * BE = 1/2 * (BC - EC) = 1/2 * (8 - 2) = 6/2 = 3 cm です。 ∠CAD = 90°だったので，△CDA は DA：AC：CD = 3：4：5 の直角三角形です。 また明らかに，△CAH ∽ △CDA なので，△CAH も AH：HC：CA = 3：4：5 の直角三角形です。 そこで，AH = 3/5 * AC = 3/5 * 4 = 12/5 cm で，△ABC = 1/2 * BC * AH = 1/2 * 8 * 12/5 = 48/5 cm^2 になります。 同じことですが，△ABE が直角三角形になること，D として BE の中点をとる，とした方が簡単かもしれません。

ネコの住む家　　 5月17日（木） 12:03:44　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29850

uchinyan

掲示板を読みました。 #29829 ＞延長させて、折り返して、面積比で底辺の長さを求めて・・・ という解法。これだけではよく分かりませんが，#29845と同じかな？　 #29832 ＞ＣＡの延長にＢから垂線をおろし という解法。ただ， ＞なのでＢＤ＝４．８、ＡＤ＝２．４ は，確かに求まりますが，この説明だけではどうやったかは分からず。 #29845と同じかな？ #29833，#29841 多分，私の#29850と同じ。 #29835 リンク先が開けないのでよく分かりません．．． が，#29845と同じかな？ #29838，#29849 三角関数による解法。普通にやれば，三角関数でも暗算レベルですね。 #29840 三平方の定理による解法。 #29842 B から垂線を立てて直角三角形を作る解法。 ただ，6cm はどうやって求めたのか，図だけからはよく分からず。 #29845 面積比をうまく使う方法。これもなかなかうまい方法ですね！ #29833，#29841，#29850流も，面積比でも求まります。 また．．． ＞この問題で面白いのは、ＢＣ＞ＡＣでありさえすれば、 ＞その値によらず面積がすっきり求まるということですね。 まぁ，どうでもいいことですが， △ABC = 1/2 * BC * AC * (BC^2 - AC^2)/(BC^2 + AC^2) ですね。

ネコの住む家　　 5月18日（金） 11:07:38　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29851

☆.。.：*・　ザ・キャロビー　☆.。.：*・゜

＞角Ｂ×２＋角Ｃ＝９０度 をそのまま単純に使って http://sugiue-t.s3.x-beat.com/cgi-bin/uploader/source/up0170.jpg http://sugiue-t.s3.x-beat.com/cgi-bin/uploader/source/up0171.jpg http://sugiue-t.s3.x-beat.com/cgi-bin/uploader/source/up0172.jpg http://sugiue-t.s3.x-beat.com/cgi-bin/uploader/source/up0173.jpg 的な

5月17日（木） 17:15:01　　 　　29856

uchinyan

#29856 なるほど。これは，図形の変形が面白いし，算数らしくていいですね！

ネコの住む家　　 5月17日（木） 18:39:09　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29857

スモークマン

#29856 はおもしろいけど、思いつきにくいなあ。。。^^; 最後の図は正方形がその△の5倍になるのはなんだかすごい♪ ∠B*2+∠C=90°を、ふつうに使うなら、、、BC 上に BD=AD となる点を取った時、△ADC が、∠A=90°の直角三角形（3:4:5) になることを使う方(#29841)が自然だと思います。。。^^

金光　　 5月17日（木） 21:34:12　　 　　29858

井合宗太郎

３：４：５の三角形で ２∠Ｂ＋∠Ｃ＝９０度 だとは知らなかった。 知っていれば瞬殺だな

5月17日（木） 21:38:43　　 MAIL:igoso@nifty.com 　　29859

ダンディ海野

井合宗太郎さん （#29859）の「３：４：５の三角形で ２∠B＋∠C ＝90度」は意味のない 文。記憶にとどめないほうがよいと思います。 例えば問題図において、BC＝18cm,AC＝12cm 　の場合にBC上に ∠ABC＝∠BAD なる点Dをとると△ADCは　２∠B＋∠C＝90度　をみたし ５：１２：１３　の三角形になります。 ８cm,４cm という条件のもとではじめて　３：４：５　が成り立つのでは ないでしょうか。 （#29841)においても ∠ABC＝∠BAD のとき AD＝ｘ とおいて三平方の定理を 使ってｘ＝３ を求めるなどして　３：４：５ を導いておられるのだと思います。

5月19日（土） 0:37:26　　 　　29860

小島

お久しぶりでーす。高校生になってなかなか時間がなくてできませんでした。今テスト期間中ですがきてしまいました。そうえば学校の因数分解がわからなかった（泣）ですが誰か教えてもらえませんか？ Ｘ３乗＋Ｙ３乗＋Ｚ３乗−３ＸＹＺ　　　結構簡単に見えるんですがとけなない自分が情けないです・・

春日井　　 5月19日（土） 18:52:25　　 　　29861

ダンディ海野

#29861 の小島さん。結論から言いますと次の式になります。 （ｘ+ｙ+ｚ）（ｘ^2＋ｙ^2＋Z＾2−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ） 対称性から出来るとすれば（ｘ+ｙ+ｚ）（ｘ^2＋ｙ^2＋Z^2・・・・・）のような形では ないかと予想を立ててから「・・・」の部分を調整しながら見つけていく方法が１つ。 他の方法としては （ｘ+ｙ+ｚ)^3 を展開してからそれを変形して　 ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３xyz＝（ｘ+ｙ+ｚ)^3−３(xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+z^2x+3xyz) ＝（ｘ+ｙ+ｚ)^3−3｛ｘｙ（ｘ+ｙ+ｚ）+ｙｚ（ｘ+ｙ+ｚ）+ｚｘ（ｘ+ｙ+ｚ）｝ 　 ＝（ｘ+ｙ+ｚ)^3−３（ｘ+ｙ+ｚ）（ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ） 　 ＝（ｘ+ｙ+ｚ）｛(ｘ+ｙ+ｚ)^2−３ｘｙ-３ｙｚ-３ｚｘ｝ 　 ＝（ｘ+ｙ+ｚ）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ） となります。（先ほど送ったものを具体的な式に直しました）

5月20日（日） 0:56:55　　 　　29862

uchinyan

#29861 あまり賢くないですが，次のように地道にやればできます。 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y)^3 - 3 * x^2 * y - 3 * x * y^2 + z^3 - 3xyz = (x + y)^3 + z^3 - 3xyz - 3xy(x + y) = {(x + y) + z}^3 - 3 * (x + y)^2 * z - 3 * (x + y) * z^2 - 3xyz - 3xy(x + y) = (x + y + z)^3 - 3 * [(x + y) * z^2 + {(x + y)^2 + xy} * z + xy(x + y)] ここで，第2項は， (x + y)z　xy z　　　　　(x + y) の，たすきがけ，と考えられて = (x + y + z)^3 - 3 * {(x + y) * z + xy} * {z + (x + y)} = (x + y + z)^3 - 3 * (xy + yz + zx) * (x + y + z) = (x + y + z) * {(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)} = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) 通常の因数分解の実数の範囲ではここまでです。 多分，もう少し勉強が進むと，複素数の範囲までの興味深い因数分解も可能ですが， それは，今後のお楽しみに取っておきましょう ^^

ネコの住む家　　 5月19日（土） 23:17:49　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29863

久保文男

こんばんは。

5月20日（日） 0:07:40　　 　　29864

スモークマン

#29861 こんなの見つけました。。。v x^3+y^3+z^3-3xyz =(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz =(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z) =((x+y)+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2)-3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) スマートだなって思いました。♪ 次の問題は？ (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3を因数分解せよ。

金光　　 5月20日（日） 12:41:33　　 　　29865

ダンディ海野

#29865 なるほどスマートな解法ですね。 (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3　の因数分解ですが (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3＝{(a-b)+(b-c)}{(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2}+(c-a)^3 ＝−（c-a){(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2}+(c-a)*(c-a)^2 ＝(c-a)(・・・・・・・・)＝３（ｃ-a)（a-ｂ)（ｂ-a） という方法が一般的なのでしょうが、ここでこの問題を書かれた意図は・・ x^3+y^3+z^3−3xyz＝(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zｘ）　の式に ｘ＝a−b, y＝b−c ,ｚ＝c−a を代入すると　ｘ+ｙ+ｚ＝０だから （a-ｂ)^3＋（ｂ-ｃ)^3＋（ｃ-a)^3−３（a-ｂ)（ｂ-ｃ)（ｃ-a）＝０ ∴（a-ｂ)^3＋（ｂ-ｃ)^3＋（ｃ-a)^3＝３(a-ｂ)(ｂ-ｃ)(ｃ-a） こういうことなのでしょうか？　なるほど、普通前者の方法で解いてしまい ますよね。

5月20日（日） 15:57:48　　 　　29866

小島

多くの人に協力していただいてとてもありがたいです。一応みなさんのやり方でやっていたのですが、途中から３という数字にひっかかってしまい、間違えました。いつもこういう凡ミスで１００点を逃してしまいます・・・ もう少し確実性を鍛えたいと思います。 ありがとうございました。

春日井　　 5月20日（日） 16:46:50　　 　　29867

スモークマン

#29866 ダンディ海野さん、ご明察通りです♪ どこかの入試問題で、 (1) x+y+z=0 のとき、x^3+y^3+z^3-3xyz の値を求めよ。 があり、 (2)　がこの因数分解の問題になってたようです。^^v なるほどな〜って思ったもんで。。。^^

金光　　 5月20日（日） 19:31:18　　 　　29868

大岡　敏幸

オフミ以来、久しぶりに来ました（＾＾）　ｔａｒｏさんにアドバイスしてもらった通りに相似を探して、頂点Ａから垂線をおろし∠Ｂ×２＋∠Ｃ＝９０°より３：４：５の三角形を求めました。　８×４／５×３×１／２＝４８／５　今回は算数らしく解けた感じがします（＾＾）Ｖ

石川県　　 5月20日（日） 23:16:22　　 　　29869

ファルコン

大岡さん、お久しぶりです！

5月21日（月） 15:33:43　　 MAIL:falcon.bmw.e34-540i@ezweb.ne.jp 　　29870

大岡　敏幸

おおーーーっ！ファルコンさん、久しぶりです。また色々とあの話がしたいですね（＾＾）　ヒデー王子さんにも宜しくお伝えください。

石川県　　 5月22日（火） 18:22:48　　 　　29871

スモークマン

友人問です^^ 1.次の方程式の正の整数解(a,b)をすべて求めよ。 LCM(a,b)+GCD(a,b)+a+b=ab ただしa>=bとする。 LCM、GCDは最小公倍数、最大公約数を表す 2.ｘとｙは互いに素な正整数で、nは正の偶数とする。 このとき、x+yはx^n+y^nの約数ではないことを証明せよ。 ただし、xy≠1 とする。 解答が遅くなる場合はご免遊ばせ・・・^^;

金光　　 5月23日（水） 9:23:31　　 　　29872