〓〓β

Taro

パンクの自転車を押して必死にギリギリ帰宅でした。
連続送信規制にもひっかかりましたが、どうせ違っていた答えでした(汗)

Osaka　　 5月24日（木） 0:07:32　　　　29873

おかひで博士

あぁぁぁぁ～
カンタンだったのに慎重になりすぎた・・・

１５！＝２＾１１　×　３＾６　×　５＾３　×　７＾２　×　１１　×１３
素因数分解すると６つの素数であらわせる
これらの素数が分母・分子に分かれると約分できてしまうので
６つの素数が分母か分子　⇒　２＾６＝６４
このままだと、分母＞分子と分母＜分子が半分ずつあるので
６４÷２＝３２通り

兵庫県　　 5月24日（木） 0:09:29　　　　29874

きょろ文

意味ちょっと取り違えてました＾＾；
それにしても皆さん早すぎです・・・

15までの素因数は6個あるので
(2^6)/2=32

√2の隣　　 5月24日（木） 0:10:44　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　29875

ちゃーみー

素因数分解してから気付きました orz。

自宅　　 5月24日（木） 0:10:53　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　29876

英ちゃん

分母と分子を素因数分解したときに共通の因数が出たら約分できるため、
１から１５までの中で素数は６個
よって分母か分子か二通りのため2^6=64
半分条件に合わないため32通り

2^6がすぐ出てこなかった。

居間　　 5月24日（木） 0:13:16　　 HomePage:虚数なページ　　29877

みかん

１～１５の整数を分母と分子に振り分けるものと勘違いして４通りで送信し、撃沈。
１５以下の素数を分母か分子に振り分けるだけでよかったんですね。

　　 5月24日（木） 0:20:42　　　　29880

missk

考えてみれば非常に簡単だったんですね。
6種類の要素に対して掛け合わせながら調べたのが馬鹿みたい!!
要素の種類に対して含まれるか含まれないかを考えればできるものは2^6=64通り
分母が分子よりも大きい場合は、その半分ですので64/2=32か。
目から鱗でした。

地上の楽園　　 5月24日（木） 0:22:21　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　29881

missk

でも、考えたらそれが普通ですね。
つくづく私はアホですね。

地上の楽園　　 5月24日（木） 0:24:37　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　29882

sugitakukun

素因数分解しかけて気づきました…が、何か変なオートコンプリートが出てきてタイムロス^^;
やりかたは皆様と同じ、６種の素因数の分かれ方です。

慌ててはいけない、ということですかね…orz

Ｋ府Ｋ市Ｓ区　　 5月24日（木） 0:35:17　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　29883

ヒデー王子

ブログ書いてから戻ってみれば順位表に懐かしい名が・・・
長野さんお元気ですか？（私が久しぶりなだけですか）

のんのの家　　 5月24日（木） 0:58:48　　 HomePage:つれづれ日誌　　29884

スモークマン

気付けば簡単ですね ^^v
2^11,3^6,5^3,7^2,11,13 の6種類の中から 0～6個取りだした時、残りとの関係は大きいか小さいかのいずれかになる（１対１）なので、2^6/2=2^5=32

金光　　 5月24日（木） 1:08:24　　　　29885

ダンディ海野

最終的には皆さんと同じ方法で２＾6／２を計算したのですが・・・
はじめ（#29880）のみかんさんと同じミスをして、素因数分解にきがついて
１５！＝2^11*3^6*5^3*7^2*11*13 としてからも、各累乗を分母・分子のど
ちらに振り分けようかと考える要領の悪さ。
ほんに私は　（アホ）＾2　！
わたしはドジをしたのですが、発想の転換がせまられる大変いい問題だと思います。

　　 5月24日（木） 1:10:05　　　　29886

doba

#29872 スモークマンさん
まず１問目です。

L=LCM(a,b),G=GCM(a,b)とおき、
a=AG, b=BGとすると、
AとBは互いに素で、L=ABG
与えられた式は
ABG+G+AG+BG=ABG^2と書ける。
両辺をGで割って整理すると
(A+1)(B+1)=ABG
{(A+1)/A}{(B+1)/B}=G
(1+1/A)(1+1/B)=G
ここで、1＜1+1/A≦2, 1＜1+1/B≦2より
1＜G≦4
また、a≧bより、A≧B, 1+1/A≦1+1/B

G=4のとき
1+1/A=1+1/B=2
A=B=1

G=3のとき
1+1/B≧√3
B≦(√3+1)/2
∴B=1
(1+1/A)・2=3
A=2

G=2のとき
G＞1+1/B≧√2
1＜B≦√2+1
∴B=2
(1+1/A)(1+1/2)=2
A=3

以上より、(A,B,G) = (1,1,4) or (2,1,3) or (3,2,2)
(a,b) = (4,4) or (6,3) or (6,4)

もしかしたら、「L=ABG」も証明した方がいいかもしれませんね。

　　 5月24日（木） 6:57:41　　　　29887

doba

#29872 スモークマンさん
２問目は方針だけ。
x^n-y^nがx+yで割り切れることを使えばいいですね。

　　 5月24日（木） 7:02:34　　　　29888

ハラギャーテイ

おはようございます。MATHEMATICAのFactorIntegerで
素因数分解をしてだいたいの数を見当をつけあとは
認証頼り。

山口　　 5月24日（木） 7:15:18　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　29889

スモークマン

#2987,#2988
dobaさんへ。
お見事♪両方とも正解です^^
1同士も素であるといっても矛盾は出ない様ですよね？^^;

金光　　 5月24日（木） 8:18:40　　　　29890

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今回はやさしいと思います ^^v
要するに，15! を互いに素になるように二つの因数に分ければいいです。
15! の中の素数は，2, 3, 5, 7, 11, 13 の六つで，これらを二つの組に分けることになります。
同じ素数が異なる組に入っていたら互いに素な組にならないので。
これは，2^6 = 64 通り。しかし，分子 < 分母なので，今の場合はこの半分 64/2 = 32 個です。

ネコの住む家　　 5月24日（木） 8:49:59　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29891

uchinyan

掲示板読みましたが，皆さん同じようです。

ネコの住む家　　 5月24日（木） 8:54:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29892

doba

#29890 スモークマンさん
》1同士も素であるといっても矛盾は出ない様ですよね？
それって、２問目でxy≠1の条件がない場合のことかな？
x=y=1なら、x^n+y^n(=2)は思いっきりx+y(=2)で割り切れるような．．．

証明の途中で、2y^nがx+yで割り切れないことを言うのですが、
その中で、xy≠1が必要になります。

xまたはyが偶数の場合
　x+yは奇数で、yとx+yは互いに素→y^nとx+yは互いに素→2y^nとx+yは互いに素
　x+y≠1なので、2y^nはx+yで割り切れない。
xもyも奇数の場合
　x+yは偶数で、yとx+yは互いに素→yと(x+y)/2は互いに素→y^nと(x+y)/2は互いに素
　xy≠1より、x+y≠2、(x+y)/2≠1なので、y^nは(x+y)/2で割り切れない。
　よって、2y^nはx+yで割り切れない。

ってな感じです。

　　 5月24日（木） 9:03:40　　　　29893

uchinyan

#29893
今，問題を見たばかりなので勘違いしてるかもしれませんが，私も，dobaさんと同意見です。
ただ，証明は，y not= 1 だけがポイント？なので，偶数奇数で分けなくてもできそうな気も．．．

ネコの住む家　　 5月24日（木） 9:23:28　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29894

doba

#29894 uchinyanさん
「互いに素」を根拠に「割り切れない」を言うので、
x+yが偶数の場合は、2y^nとx+yが互いに素ではなく、どうしてもy^nと(x+y)/2を比較しないとならなくなります。
一方、x+yが奇数の場合は、(x+y)/2は整数でないので、あくまでも2y^nとx+yの比較をする必要があります。
というわけで、微妙にロジックが違うので、場合分けはやっぱり必要かな？

　　 5月24日（木） 9:48:15　　　　29895

長野　美光

#29884
ヒデー王子さん＆みなさん
お久しぶりです。
昨年７月以来インドネシア漬けで、１５０日くらい行ってます。
５月も４日に帰ってきたので、３日のオフミに行けなくて残念でした。
あちらでは、夜ネットにつながる環境にないので、なかなか参加できません。
また、ちょいちょいは来ますので、よろしくお願いします。

はままつし　　 5月24日（木） 10:08:38　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　29896

uchinyan

#29895
ごめんなさい。
x, y を陽に偶数奇数に分けなくてもいいと思いますが，結局は似たような議論，場合分け，かえって複雑？，になるようです (^^;

私が思った証明。p が q を割り切ることを p | q と書きます。
x^n + y^n = (x^n - y^n) + 2 * y^n
n は偶数なので，因数定理より，明らかに，x + y | x^n - y^n がいえます。
x + y と 2 * y^n とが共通因数 a not= 1 をもつとすると，a | 2 * y^n から a | y or a | 2 or (a = 2b and b not= 1 and b | y) です。
a | y の場合は，a | x + y なので，a | x です。しかし，これは，x, y が互いに素，ということと矛盾します。
a | 2 の場合は，a = 2 ですが，x + y がこれ以外の 1 でない因数をもつと，x + y | x^n + y^n のためには最初の場合に帰着し矛盾です。
そこで，x + y = 2 しかありえませんが，これは，xy not= 1 に矛盾します。
b | y の場合は，最初の場合に帰着します。
したがって，右辺は，x + y を因数にもたないので，x^n + y^n も x + y を因数にもちません。

なお，これは，dobaさんのヒントに従った証明ですが，
問題を見て最初に思い付いた証明は少し違って，
x^n + y^n = (x + y) * (x^(n-1) + y^(n-1)) - xy * (x^(n-2) + y^(n-2))
を使うものです。
同じような議論で x + y が xy と互いに素なことがいえるので，x + y が x^2 + y^2 を割り切るかどうかに帰着します。
そして，
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
より，x + y が 2 を割り切るかどうかに帰着し，x + y = 2 がありえないことから証明される，というものです。

(ちょっと追加)
x, y は正の整数から明らかなのでうっかりしていましたが，x + y は 2 以上の整数です。
上記の議論では，随時これを補って頂く方が正確ですね。
(追加終わり)

なお，#29872の一問目は，最初見たときから，dobaさんと同様の解法を思いつきました。

ネコの住む家　　 5月24日（木） 16:48:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29897

スモークマン

#29893,#29894,#29895,#29897
dobaさん、uchinyanさん、考えて下さってありがとうございます。Orz～
わたしの、「1同士も素であるといっても矛盾は出ない様ですよね？」は、第1問目の方に関しての疑問でした。^^;

uchinyanさんの、、、あとの証明方法をわたしも思ったのですが、、、^^v
ちなみに友人からの解答は、、、

x^n+y^n=K(x+y)、Kは整数
と仮定して背理法で証明する。
nが偶数なので
x^n-y^n=(x+y)(x-y){x^(n-2)+x^(n-4)*y^2+...+x^2*y^(n-4)+y^(n-2})
であるからx^n-y^nはx+yの倍数であり
x^n^-y^n=L(x+y) 、Lは整数
これから2x^n=(K+L)(x+y)、2y^n=(K-L)(x+y)
他方(x,y)=1なので(x^n,y^n)=1　よって(2x^n,2y^n)=2
よって2はx+yの倍数になるが、これはxy≠1に矛盾する。

というもので、、、おそらくdobaさんの想定されたものではないのかな・・・^^v

金光　　 5月24日（木） 13:06:35　　　　29898

uchinyan

#29898
＞わたしの、「1同士も素であるといっても矛盾は出ない様ですよね？」は、第1問目の方に関しての疑問でした。^^;
なるほど。1問目ならば，確かにそうですね ^^

2問目の友人さんの証明は，考え方に大差はないと思いますが，簡潔で，何というかキレイで，いいですね。

ネコの住む家　　 5月24日（木） 16:46:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29899

ダンディ海野

#29898
２問目、次のような方法は間違ってますか？

ｎは正の偶数だから　ｎ＝２n' (ｎ':自然数）　とし
ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｙ^n＝ｘ^(2n')＋ｙ^(2n') とおきます。
すると　ｆ（-ｙ）＝（-ｙ）^(2n')＋ｙ^(2n')＝{（-ｙ）^2}^n'＋（ｙ^2）^n'
＝(ｙ^2）^n'＋（ｙ^2）^n'＝２（ｙ^2）^n' ＞０
よって　ｆ（-ｙ）＝０　はありえないので、ｆ（ｘ）は｛ｘ-（-ｙ）｝で割り切れない。
すなわち、（ｘ+ｙ）は（ｘ^n＋ｙ^n ）の約数ではない。

　　 5月24日（木） 17:35:47　　　　29900

uchinyan

#29900
実は最初，私も似たようなことを考えたのですが，このままでは間違いだと思います。
何故なら，因数定理は，x, y が互いに素，などを意識しない式の議論ですが，
今の場合，明らかに，x = y = a などのとき，x + y は x^n + y^n の約数です。
ここらを除く議論を追加しないとダメだと思います。

なお，x^n - y^n の場合は，因数定理を用いたとしても，式の変形の範囲として恒等的に
x^n - y^n = x^(2m) - y^(2m)
= (x^2 - y^2)(x^(2m-2) + x^(2m-4) * y^2 + ... + x^2 * y^(2m-4) + y^(2m-2))
= (x + y)(x - y)(x^(2m-2) + x^(2m-4) * y^2 + ... + x^2 * y^(2m-4) + y^(2m-2))
がいえるので問題ありません。

要するに，否定の場合には，より慎重な議論が必要ということでしょう。

ネコの住む家　　 5月24日（木） 19:09:22　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29901

スモークマン

#29900
ダンディ海野さんへ。
スマートな、、、けど、、、x,y は、正の整数に反してるかな？Orz～

金光　　 5月24日（木） 18:12:07　　　　29902

ダンディ海野

uchinyanさんの(#29901)での反例によるご指摘
スモークさんの(#29902)での「x,y は、正の整数に反してる」とのご指摘
ともにおっしゃるとおりですね。間違っていることははっきりしました。有難うございました。
「x, y が互いに素」も「xy≠1」も使わないし、話がうますぎるなぁとは思っておったのですが・・・
　やはり、uchinyanさん・dobaさん・友人さんの解法に帰着するのですね。勉強になりました。

　　 5月24日（木） 19:57:15　　　　29903

banyanyan

今週はどうかしています。完全に忘れていました。今頃になって算チャレのあったことに気付きました。orz

京都市　　 5月25日（金） 3:48:06　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画－算数　　29904

missk

ところで、分母＜分子の場合はどうなるんでしょう?
分母が1の場合は分数ではないと定義すれば2^(6-1)-1=2^5-1=31
分母が1の場合でも分数として考えるなら2^5=32

地上の楽園　　 5月25日（金） 18:09:04　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　29905

スモークマン

#29905
分母が1でも分数と考えるべきだと思います。。。^^
ちなみに、分母＝分子になるような n は存在するでしょうか？

金光　　 5月26日（土） 11:29:18　　　　29906

大岡　敏幸

今回はスピード勝負問題だったんですね。算チャレ上位陣にとってはアクセスする時間が勝敗を分けたのではないでしょうか。
１～１５を全て×ので　２＾11×３＾6×５×７×１１×１３　　６つの数字がそれぞれ素なので、６つの数字から０～６つ選ぶ個数を考える。
6Ｃ0＋6Ｃ1＋・・・＋6Ｃ6＝６４　分母が分子より大きくないといけないので、ちょうど半分　よって６４／２＝３２
長々と書きましたがこれを１０～２０秒で頭の中でできるのは、さすがとしか言いようがありません。
（今回、個人的には早く出来ました。）

石川県　　 5月27日（日） 15:19:20　　　　29907

スモークマン

友人問です・・・ｖ

問題
Aを16桁の整数とする。Aから連続する桁かの数字をうまく取り出すと、
それらの数字の積を平方数にできることを証明せよ。

よく分かりません。。。よろしくお願いしま～す。Orz～

金光　　 5月30日（水） 8:24:01　　　　29908

doba

#29908 スモークマンさん
途中まで考えました。

まず、今回の「平方数」の定義には、０も含まれると考えていいのですよね？
（そうでないと、7070707070707070とかいう反例ができるので．．．。）

Ａの各ケタの中に、0,1,4,9のうちのどれかが１個でも出現すれば、
その１ケタだけ取り出せば題意を満たすので、
2,3,5,6,7,8のみからなる16桁の整数のみについて考えれば
よいことになります。
さらに、8が１個でも出現するものについては、その8を全て2に置き換えても、
題意を満たすか満たさないかの判定は変わらず、
同じ数字が２つ連続する場合は、明らかに題意を満たすので、
実際に検討するのは、
2,3,5,6,7のみからなり、同じ数字が連続しない16桁の整数だけでよいことになります。

ここで面倒くさいのは、「６」の存在ですね。（他は素数）

　　 5月30日（水） 10:24:41　　　　29909

doba

#29908 スモークマンさん
あ、出来ちゃいました。
例外処理するのは０だけでよさそうですね。

★Aの各ケタの中に、０が１個でも出現する場合は、必ず題意を満たす。

★０が１個も出現しない場合

Aの左からmケタ目からnケタ目までの積をP(m,n)と書くものとする。

また、ある自然数nを素因数分解したとき、
ある素数pが偶数回（０回も含む）出現する場合にf(n,p)=0,
奇数回出現する場合にf(n,p)=1となるような
nとpの関数f(n,p)を考え、
f(n,2),f(n,3),f(n,5),f(n,7)を並べたものを
v(n)=(f(n,2),f(n,3),f(n,5),f(n,7))と定義する。

f(n,2),f(n,3),f(n,5),f(n,7)はいずれも0か1の値をとるので、
v(n)には16通りのパターンがある。

もし、v(P(1,n)) (n=1,2,…,16)が全て異なる場合、
v(n)は16通りしかないので、全てのパターンが出現し、
n(P(1,k))=(0,0,0,0)となるようなkが存在する。
そのとき、P(1,k)は明らかに平方数。

もし、v(P(1,n)) (n=1,2,…,16)の中のある２つが同じである場合、
v(P(1,j))=v(P(1,k)) (1≦j＜k≦16)となるような整数j,kが存在する。
この場合、
P(j+1,k)=P(1,k)/P(1,j)は
n(P(j+1,k))=(0,0,0,0)を満たし、
そのとき、P(j+1,k)は明らかに平方数。

　　 5月30日（水） 11:06:15　　　　29910

呑ちゃん

ごめんなさい。
飲みすぎちゃいました。
お休みなさい。
ごめんやしておくれやしてごめんやっしゃ～！

酔っぱらい天国　　 5月30日（水） 23:41:15　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPESよいとこ一度はおいで　　29911