�������裶�������ʬ�β�����

だいすけ
新年最初の問題ですね〜
速い方はホント速い！
大阪府吹田市　　 1月8日（木） 0:05:43　　 HomePage:だいすけの部屋　　33574
ミキティ
問題の本質とは関係ないのですが、解答フォームのメルアド欄に
デフォルトで　??????@hogehoge.ne.jp　とあるのは仕様なんでしょうか。
　　 1月8日（木） 0:06:02　　 　　33575
ぺぷし＠鼻セレブ
やっとこさ6位に入った
例えば５ケタの数は６ケタ目が０であると考えると0と2と9が自由に並べ替えられるので、
各位の和が奇数になるのは９を１．３．５回使ったとき
つまり
6×2^5+6c3×2^3+6×2=364
　　 1月8日（木） 0:08:41　　 　　33576
cocolo
明けましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。
新年早々，「各位の和が偶数」と勘違いして「305個」で送ってしまいました…。嗚呼…。
兵庫　　 1月8日（木） 0:08:48　　 　　33577
Taro
0を含めた6桁の整数を考え
6×2＾5＋20×2＾3＋6×2＝364
市のはずれ　　 1月8日（木） 0:08:51　　 　　33578
はなう
あけましておめでとうございます
皆さんの式をみて、そりゃそうか、と。
漸化式→断念して書き出し　という無駄な手順・・
　　 1月8日（木） 0:11:20　　 　　33579
むらい
式は#33578さんのTaroさんと同じです。
９が奇数個あるのは自明なので、１個のとき３個のとき５個のときで
場合分けしました。
最初地味に１桁のときから調べてたけど、途中で方向転換。
しかし上位の人は早すぎ〜　１分以内ってことは暗算でしょうか。
サイタマ　　 1月8日（木） 0:11:31　　 　　33580
あみー
２強に割り込みたいと願うも。
接続障害って…orz

６着も微妙でしたが＾＾；
　　 1月8日（木） 0:11:50　　 　　33581
あみー
まじめに解法を語ると…
整数は728個あります。

先頭は半々で２か９なので，奇偶は半々なのは明らかです。

…返す返すも電波弱い地域が悔しい＞＜
　　 1月8日（木） 0:13:35　　 　　33582
ちゃーみー
やり方は #33576, #33578 と同じです．3^6 のほぼ半分なんですね．
今年もよろしくお願いします．
とうきょうとせたがやく　　 1月8日（木） 0:13:36　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　33583
CRYING DOLPHIN
年末年始を挟んで、２回連続2009がらみの問題でしたか。

本年も宜しくお願いいたします。
誰もいない市街地　　 1月8日（木） 0:14:26　　 HomePage:算数とか隧道とか　　33584
ちゃーみー
ほぼ半分なのは二項定理で…とか考えなくても
#33582 のように考えれば当たり前ですね．なるほど．

#33580
6 x 2^5 = 192, 20 x 2^3 = 160, 6 x 2 = 12
とだけ計算用紙に書かれています．
とうきょうとせたがやく　　 1月8日（木） 0:16:59　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　33585
ぺぷし＠鼻セレブ
なるほど、(3^6-1)/2というのもありですねー
　　 1月8日（木） 0:18:47　　 　　33586
Taro
#33580
私のところでも#33582のちゃーみーさんとほとんど同じことが書かれています。
違いは最後の12がないくらいです(^^;

今年もどうそよろしくお願いします。
市のはずれ　　 1月8日（木） 0:20:12　　 　　33587
あみー
３の６乗＝729個，000290＝290と考え，000000となる１個を引く。
そしてその半分、が最短手順でしょう。

728個を(243＋81＋27＋９＋３＋１)×２としてしまい遅れました。
　　 1月8日（木） 0:20:41　　 　　33588
Die neue Frau
今回はもたつくと命取りですね。
解法は、各桁の合計が奇数ということから、奇数である9が1個、3個、5個の場合だけを考えればよい。
1個の場合は6C1×2^5=192
3個の場合は6C3×2^3=160
5個の場合は6C1×2=12
以上から192＋160＋12=364が答え
4分は掛かりすぎでした
極楽浄土　　 1月8日（木） 0:20:55　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　33589
英ちゃん
0,2,9を0,1,9と勘違いしてしまいました。ショック。
居間　　 1月8日（木） 0:21:06　　 HomePage:何か　　33590
Die neue Frau
#33576,#33578,#33580,#33583,#33585,#33587が私の#33589と同じですね
#33582、#33588は巧いと思いました。
極楽浄土　　 1月8日（木） 0:29:24　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　33591
スモークマン
0,1,2 の3進法で考えても同じなので、
すべての数は、3^6-1個
各桁の和は、対称性から偶数と奇数の場合は同じと考えて（←ここいい加減 ^^;）(3^6-1)/2=364 で、、、ビンゴ♪
金光＠岡山　　 1月8日（木） 0:30:21　　 　　33592
Die neue Frau
#33591はなんか、uchinyanさんの書き方になってしまいました
極楽浄土　　 1月8日（木） 0:31:06　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　33593
英ちゃん
漸化式K_n+2=4K_n+1 - 3K_nを求めて解きました。
一般化するとn桁のとき(3^n-1)/2
こりゃうまい解き方がありそうだと思ったらあみーさんの#33582でした。
居間　　 1月8日（木） 0:33:11　　 HomePage:何か　　33594
Mr.ダンディ
多くの皆さんと同じ解法です。（あみーさんの発想は出てこなかったですね）

「早くできた！」と思うときには、必ず信じられない時間で解いている人がいるもんですね。（51秒）
私など問題を読んでいるだけで１分位かかっているような気がします。
大阪　　 1月8日（木） 0:34:03　　 　　33595
Taro
整数の平均を調べてみたら409035でした。
これは111111＊11/3＝407407と少しずれていますね。
市のはずれ　　 1月8日（木） 0:42:37　　 　　33596
あみー
吉川様はじめ皆様、本年もよろしくお願いいたします。
書き忘れました。
　　 1月8日（木） 0:57:03　　 　　33597
tomh
皆様、今年もよろしくお願いします。 m(__)m
新潟市　　 1月8日（木） 1:34:39　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　33598
ハラギャーテイ
おはようございます。

プログラムです。

昨年、母が亡くなったので年賀のあいさつなしでした。
今年もよろしくお願いします。
山口　　 1月8日（木） 5:54:24　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33599
BossF
6C1x2^5+6C3x2^3+6C5x2
root of isle　　 1月8日（木） 6:14:47　　 HomePage:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp　　33600
BossF
おっと、あけおめ〜
root of isle　　 1月8日（木） 6:15:22　　 HomePage:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp　　33601
abcba@jugglermoka
Happy new year!!今年もよろしくお願いします。
今回の問題で各桁の数が０、奇数１種類、０以外の異なる偶数ｎ種類（nは４以下）
のいずれかであり、各桁の和が奇数でx桁以内の数はΣ_k=1^k=y (xC２k-１（n+１）^(x-２k+１))個ある。
ただし、Σ_k=1^k=y はΣ記号の範囲を表し、xC２k-１は二項定数を表し、
２ｙ-１はｘ以下の最大の奇数とする。
　　　　　　　　　　　　　
　　 1月8日（木） 8:41:16　　 　　33602
君の船
新春第１問ですね。
吉川さん、今年もよろしくお願いします。
海王星　　 1月8日（木） 9:25:10　　 　　33603
uchinyan
はい，こんにちは。今年も宜しくお願い致します。さて，今回の問題は．．．
今日はいろいろあって仕事をお休みしました。そこで時間があったので，いろいろと検討してみました (^^;
少し長くなりますがご勘弁を。

(解法1)
最初に思いついた解法です。
0, 2 は偶数，9 は奇数なので，各位の数字の和が奇数になる場合は，9 が 1 個，3 個，5 個となる場合です。
9 が 1 個の場合：9 の桁を選ぶのに 6C1 = 6 通り，残りの 5 桁は 0 又は 2 なので 2^5 = 32 通り，そこで，6 * 32 = 192 個。
9 が 3 個の場合：9 の桁を選ぶのに 6C3 = 20 通り，残りの 3 桁は 0 又は 2 なので 2^3 = 8 通り，そこで，20 * 8 = 160 個。
9 が 5 個の場合：9 の桁を選ぶのに 6C5 = 6 通り，残りの 1 桁は 0 又は 2 なので 2^1 = 2 通り，そこで，6 * 2 = 12 個。
以上ですべてなので，192 + 160 + 12 = 364 個。

(解法1)の n 桁への拡張
n 桁だったらどうなるのだろう，と，素朴に思いました。
明らかに自然に拡張できて，A = ��[kは1以上n以下の奇数]{nCk * 2^(n-k)} ですね。
さて，この和をどうやって求めるかですが．．．
ここで，各位の数字の和が偶数の場合の B = ��[kは0以上n以下の偶数]{nCk * 2^(n-k)} を考えると，
A + B = ��[k=0,n]{nCk * 2^(n-k)} = (1 + 2)^n = 3^n
B - A = ��[k=0,n]{nCk * (-1)^k * 2^(n-k)} = ((-1) + 2)^n = 1
そこで，A = (3^n - 1)/2，b = (3^n + 1)/2 になります。
確かに，n = 6 で A = (3^6 - 1)/2 = 728/2 = 364 になります。
このきれいな結果は何かあるな，と思ったので，その後，少し検討してみました。
まず，一般化なら漸化式だろう，というのが(解法2)です。

(解法2)
n 桁以下の数であって，各位の数字の和が奇数となる数の個数を a(n) 個，偶数となる個数を b(n) 個，とすると，
(n+1) 桁以下の場合は，(n+1) 桁目は 0，2 又は 9 なので(n 桁以下の場合も含んでいるのに注意)，
a(n+1) = ((n+1) 桁目が 0 又は 2 で n 桁以下の和が奇数) + ((n+1) 桁目が 9 で n 桁以下の和が偶数) = 2 * a(n) + b(n)
b(n+1) = ((n+1) 桁目が 9 で n 桁以下の和が奇数) + ((n+1) 桁目が 0 又は 2 で n 桁以下の和が偶数) = a(n) + 2 * b(n)
a(1) = 1, b(1) = 2
a(2) = 2 * a(1) + b(1) = 2 * 1 + 2 = 4, b(2) = a(1) + 2 * b(1) = 1 + 2 * 2 = 1 + 4 = 5
a(3) = 2 * a(2) + b(2) = 2 * 4 + 5 = 13, b(3) = a(2) + 2 * b(2) = 4 + 2 * 5 = 4 + 10 = 14
a(4) = 2 * a(3) + b(3) = 2 * 13 + 14 = 40, b(4) = a(3) + 2 * b(3) = 13 + 2 * 14 = 13 + 28 = 41
a(5) = 2 * a(4) + b(4) = 2 * 40 + 41 = 121, b(5) = a(4) + 2 * b(4) = 40 + 2 * 41 = 40 + 82 = 122
a(6) = 2 * a(5) + b(5) = 2 * 121 + 122 = 364, b(6) = a(5) + 2 * b(5) = 121 + 2 * 122 = 121 + 244 = 365
そこで，答えは 364 個，です。

(解法2)の一般解
a(n+1) = 2 * a(n) + b(n)
b(n+1) = a(n) + 2 * b(n)
a(1) = 1, b(1) = 2
を解きます。
a(n+1) + b(n+1) = 3 * (a(n) + b(n)) = ... = 3^n * (a(1) + b(1)) = 3^n * (1 + 2) = 3^(n+1)
a(n+1) - b(n+1) = a(n) - b(n) = ... = a(1) - b(1) = 1 - 2 = -1
a(n+1) = (3^(n+1) - 1)/2, b(n+1) = (3^(n+1) + 1)/2
a(n) = (3^n - 1)/2, b(n) = (3^n + 1)/2
確かに，(解法1)の n 桁の場合と一致します。

(解法3)
(解法2)がヒントになっていますが，少し見方を変えて考えてみます。
一般に，n 桁以下ではなく，ちょうど n 桁の場合，n が 2 以上ならば，次のことがいえます。
n 桁目は 2 又は 9 なので，
(ちょうど n 桁の各位の数字の和が奇数となる数の個数)
= (n 桁目が 2 で (n-1) 桁以下の数字の和が奇数となる数の個数) + (n 桁目が 9 で (n-1) 桁以下の数字の和が偶数となる数の個数)
= ((n-1) 桁以下の数字の和が奇数となる数の個数) + ((n-1) 桁以下の数字の和が偶数となる数の個数)
= ((n-1) 桁以下の数の個数) = 3^(n-1)
(ちょうど n 桁の各位の数字の和が偶数となる数の個数)
= (n 桁目が 2 で (n-1) 桁以下の数字の和が偶数となる数の個数) + (n 桁目が 9 で (n-1) 桁以下の数字の和が奇数となる数の個数)
= ((n-1) 桁以下の数字の和が偶数となる数の個数) + ((n-1) 桁以下の数字の和が奇数となる数の個数)
= ((n-1) 桁以下の数の個数) = 3^(n-1)
なので，結局，
(ちょうど n 桁の各位の数字の和が奇数となる数の個数) = (ちょうど n 桁の各位の数字の和が偶数となる数の個数) = 3^(n-1)
ただしこれは，2 桁以上の場合です。
1 桁，n = 1，の場合は 0 があるので特別で，奇数の場合が 1 個，偶数の場合が 2 個で，偶数の場合が 1 個多くなります。
そこで，n 桁以下は全体で 3^n 個，これから特別な 0 を考慮して，
(n 桁以下の各位の数字の和が奇数となる数の個数) = (3^n - 1)/2
(n 桁以下の各位の数字の和が偶数となる数の個数) = (n 桁以下の各位の数字の和が奇数となる数の個数) + 1 = (3^n + 1)/2
今回の問題では，n = 6 として，(3^6 - 1)/2 = 728/2 = 364 個，になります。

なお，多少回りくどいですが，
(n 桁以下の各位の数字の和が奇数となる数の個数)
= ��[k=1,n](ちょうど k 桁の各位の数字の和が奇数となる数の個数)
= ��[k=1,n]{3^(k-1)}
= (3^n - 1)/(3 - 1)
= (3^n - 1)/2
としてもいいですね。
ネコの住む家　　 1月8日（木） 12:07:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33604
だいすけ
Ｎ桁のとき、Ｎ−１桁の3^(N-1)個の数の頭に２または９を付ける
と考えて、１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＝３６４としました
大阪府吹田市　　 1月8日（木） 12:18:28　　 HomePage:だいすけの部屋　　33605
君の船
なるほど。恥ずかしながら僕はひたすら書き出していきました
海王星　　 1月8日（木） 12:23:47　　 　　33606
o
９が０個，２個，４個，６個の場合を引く。
芳川さん，図形では,円や球の骨のあるのも出題してはどうですか。
　　 1月8日（木） 12:29:00　　 　　33607
０
吉川さんでした。失礼。
　　 1月8日（木） 12:29:47　　 　　33608
次郎長の本家
時間かかりましたが、すっきりと入れました。
ああ気持ちいい。627回が解けず連続正解が途切れてしまいましたが、またこつこつ頑張ります。私の目標は正解回答率80％です。私の解き方はだいすけさんと同じです。
　　 1月8日（木） 12:30:10　　 　　33609
uchinyan
掲示板を読みました。

#33576，#33578，#33580，#33583，#33589，#33595(多分)，#33600，#33602(多分)，#33604の(解法1)
9 が 1 個，3 個，5 個と場合分けする解法。
#33602
＞今回の問題で各桁の数が０、奇数１種類、０以外の異なる偶数ｎ種類（nは４以下）
＞のいずれかであり、各桁の和が奇数でx桁以内の数はΣ_k=1^k=y (xC２k-１（n+１）^(x-２k+１))個ある。
＞ただし、Σ_k=1^k=y はΣ記号の範囲を表し、xC２k-１は二項定数を表し、
＞２ｙ-１はｘ以下の最大の奇数とする。
これって，{(n+2)^x - n^x}/2 になるのではないのかな？

#33607
＞９が０個，２個，４個，６個の場合を引く。
という解法。#33576などの裏返しですが，一応別に分類しました。

#33579
＞漸化式→断念して書き出し　という無駄な手順・・
#33606
＞ひたすら書き出していきました
書き出す解法。

#33582，#33588，#33592，#33604の(解法3)の前半
0 を除き，和が奇数なのと偶数なのが同数個ということを使う解法。

#33594，#33604の(解法2)
漸化式。

#33599
プログラム。

#33605，#33609，#33604の(解法3)の後半
＞Ｎ桁のとき、Ｎ−１桁の3^(N-1)個の数の頭に２または９を付ける
という解法。#33582などと似ていますが，一応別に分類しました。
ネコの住む家　　 1月8日（木） 13:01:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33610
君の船
度々すみません。お暇な方への問題。

ｘが、不等式
log2（ｘ−１）＋log1/2（３−ｘ）≦０
を満たしながら動くとき、

ｙ＝4^ｘ−6・2^ｘ＋10

の最大値と最小値を求めよ。
海王星　　 1月8日（木） 13:38:19　　 　　33611
マグロボ
皆さんすごい…僕なんか書き出して「これは1桁増えるごとに３倍になっていくのでは？」と思って１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＝３６４にしました。こんな考え方でもだいすけさんと同じ式になってしまい、だいすけさんに申し訳ないというかなんというか…
　　 1月8日（木） 16:42:16　　 　　33612
???
Option Explicit
Dim a(6) As Integer
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Cells(1, 1).Value = 0
Call saiki(1)
Range("A1").Select
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
a(n) = 1
While a(n) <= 3
If n < 6 Then
Call saiki(n + 1)
Else
Call check(0)
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub
Sub check(ByVal x As Integer)
Dim wa As Integer
Dim nn As Long
Dim j As Integer
wa = 0
For j = 1 To 6
wa = (wa + m(a(j))) Mod 2
Next j
If wa Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
nn = 0
For j = 1 To 6
nn = nn * 10 + m(a(j))
Next j
Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = nn
Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
End If
End Sub
Private Function m(ByVal n As Integer) As Integer
Select Case n
Case 1
m = 0
Case 2
m = 2
Case Else
m = 9
End Select
End Function
　　 1月8日（木） 17:19:11　　 　　33613
みかん
問題を見てすぐに方針が立ったので３分以内に送れていたとは思うんですが、
残念ながら昨日は仕事で自宅に居らず…。

どう頑張っても１分以内で解答送信は私には不可能です。
　　 1月8日（木） 19:13:00　　 　　33614
万打無
私は1桁の場合、2桁の場合…と場合分けして考えましたが、よく考えたら0の位置を気にせず6桁で考えれば、その中に全ての桁の数値含まれることになるんですね。（例：009020＝9020）
　　 1月9日（金） 11:54:30　　 　　33615
スモークマン
#33605　だいすけさんの

『Ｎ桁のとき、Ｎ−１桁の3^(N-1)個の数の頭に２または９を付ける
と考えて、』・・・は、、、

結局、全体でも言えるから、#33582 のあみーさんの考え方と同じですね♪

すっきりしました ^^v
金光＠岡山　　 1月9日（金） 12:18:05　　 　　33616
だいすけ
#33616
あっ、なるほど！
結局(3^6-1)/2か!!
大阪府吹田市　　 1月9日（金） 14:47:35　　 HomePage:だいすけの部屋　　33617
ハラギャーテイ
#33611

Mathemaiticaでプログラム

Maximize[4^x - 6*2^x + 10, Log[2*(x - 1)] + Log[1/2*(3 - x)] <= 0, x]
と
Minimize[4^x - 6*2^x + 10, Log[2*(x - 1)] + Log[1/2*(3 - x)] <=0, x]

にて最大値２６、最小値-8+4^(log3/log2)

山口　　 1月9日（金） 17:31:47　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33618
Mr.ダンディ
#33611
真数条件より　1＜ｘ＜3　・・・(1)
与式を変形して　log[2](x-1)−log[2](3-x)≦0
よって　log[2]{(x-1)/(3-x)}≦0　より　(x-1)/(3-x)≦1
これを解いて、(1)とあわせて　1＜ｘ≦2
Ｘ＝2^x とおくと　2＜Ｘ≦4　・・・・・・(2)
ｙ＝Ｘ^2−6Ｘ＋10＝(Ｘ−3)^2＋1
(2)より　Ｘ＝3（x=log[2]3）のとき最小値１、Ｘ＝4（ｘ＝2）のとき最大値２ をとる。
ハラギャーテイさんと違う結果がでましたが・・？
大阪　　 1月9日（金） 21:56:32　　 　　33619
私立轟高等学校理数科番長
まず、条件1だけで考えます。
1桁　3通り
2桁　2×3＝6通り
3桁　2×3×3＝18通り
4桁　2×3×3×3＝54通り
5桁　2×3×3×3×3＝162通り
6桁　2×3×3×3×3×3＝486通り

次に、条件2を考えます。
偶数＋偶数＝偶数
奇数＋奇数＝偶数
奇数＋偶数＝奇数　　　※ちなみに条件より0は偶数である。

0、2⇒偶数は2通り　　　9⇒奇数は1通り

1桁　1通り　（2通りは偶数）
2桁　1奇×2偶＝2通り　
　　　1偶×1奇＝1通り　3通り　（3通りは偶数）　※0は先頭にこれない
3桁　3奇×2偶＝6通り
　　　3偶×1奇＝3　9通り　（9通りは偶数）
4桁　9奇×2偶＝18
　　　9偶×1奇＝9　27通り　（27通りは偶数）
5桁　27奇×2偶＝54
　　　27偶×1奇＝27　81通り　（81通りは偶数）
6桁　81奇×2偶＝162
　　　81偶×1奇＝81　243通り

1＋3＋9＋27＋81＋243＝364通り
　　 1月10日（土） 3:57:44　　 　　33620
君の船
#33619
おお、Mr.ダンディさん正解です。しかも模範解答と全く同じ解法です！

#33618　ハラギャーティさん
何か勘違いされているのでは？
海王星　　 1月10日（土） 9:53:58　　 　　33621
ハラギャーテイ
#33619

MATHEMATICAのほうが間違っているみたいです。
ただし、最小値の
-8+4^(log3/log2)
は計算するとおなじ１でした。
プログラムはx<3のまま解いているようです。
警告は出ていましたが、無視をしていました。
山口　　 1月10日（土） 9:58:46　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33622
uchinyan
えと，君の船さんの#33611ですが，出題の仕方が悪いと思います。
2，1/2 が対数の底なのか真数の一部なのか判然としません。
どうやら底のようですが，ハラギャーティさんは，真数の一部として解かれています。
(もっとも，この解釈にも二通りありそうですが。)
なお，ハラギャーティさん流の答えは，通常は，最大値はなし，最小値は 1 とするべきなのでしょう。
ただ，MATHEMATICAの結果にも一理あります。
特に，- 8 + 4^(log3/log2) = 1 は筆算でも簡単にできます。
これらの確認は，あいまいな出題をなさった君の船さんへの宿題にしておきましょうか (^^;
ネコの住む家　　 1月10日（土） 12:16:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33623
君の船
#33623　uchinyan様へ
確かに表記が曖昧ですね。申し訳ありません。
１つめの式で表記をわかってくださると甘んじてしまいました。こちらの怠慢でした。
ハラギャーティ様、Ｍr.ダンディ様、ご指摘頂いたuchinyan様、ご迷惑をおかけしました。申し訳ありませんでした。
海王星　　 1月10日（土） 12:21:28　　 　　33624
ハラギャーテイ
#33623

そのようですね。

Maximize[4^x - 6*2^x + 10, Log[2, (x - 1)] + Log[1/2, (3 - x)] <=0, x]

ならx=2のとき最大値２となりました。

受験数学はすっかり忘れています。底を変えても問題の本質は変わらない
ので（数学の知識を試すには必要）、実際の問題では底を変えないのが
普通と思いました。またlogは自然対数が自然と思いました。

でもMathematicaは実用になるようです。
山口　　 1月10日（土） 18:08:38　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33625
ハラギャーテイ
それでは実用的な問題を出します。

タンクを満杯にして排水弁を最大に開けて排水すると5 時
間でタンクは空になるとする。
また空タンクの状態から排水弁を閉じて給水するとタンク
は8 時間で満タンになるとする。
タンクの水位を満タンの半分にして同時に排水弁と給水弁
を最大に開けた場合、時間がたつと水位はいくらになるか。

ただし、排水弁の水量は水位の平方根に比例する。
また給水は一定の量の水が流れ込むとする。
またここでタンクの形は円柱型とする。
山口　　 1月10日（土） 18:55:13　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33626
ハラギャーテイ

対数で思い出しました。log-1は　iπ　ですね。数学の面倒なところは
どんどん拡張され、数と言えば実数と限らないところでしょう。大抵
小学、中学、高校、大学（医学部を除く理系）と垣根がとり払われ、
本質的な数学になって行き、どこかでつまずくと全部わからなくことが
怖いです。

またlog2/log3の形で思い出しました。コッホ曲線の次元は
log4/log3=1.26...が有名です。次元に1次元、2次元などの
整数ではなく、非整数次元があるのがフラクタルです。

だからコッホ曲線は有限距離の二つの点の間の連続な曲線の
距離が無限大です。（逆に実際的と思う）
Fractal, Chaos, Waveletが面白い数学です。

ノーベル賞は昔にできたので現在社会に貢献度の大きな
数学、情報科学、制御が含まれていません。伊藤　清
先生の研究はノーベル賞ものです。代わりに誰かが経済学賞を
とりましたが、確率微分方程式の応用は経済だけにとどまり
ません。先生のご冥福をお祈りします。

山口　　 1月11日（日） 16:21:42　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33627
ゼロスターよりの使者
ちょっと事情があって、やっとトライしました。

皆様今年もよろしくお願い致します。
zerostar　　 1月12日（月） 7:19:18　　 　　33628
ハラギャーテイ

対数をよく使う実際的な問題です。

物質Aは半減期１００年でBという物質に崩壊します。
物質Bは半減期３００年でCという安定な物質となります。

最初に物質Aが１ｋｇあったとして５００年経った時に
A,B,Cのそれぞれの重さはいくらか。

logは数学では自然対数が多く、普通の工学では常用対数、
情報科学では底が２が多いようです。情報量や情報のエン
トロピーなどは２進で考えますので当然ですが。

受験生の皆様、数学は入試だけが目的ではなく、実際の
解析、設計にはものすごく必要であることを覚えておいて
ください。複素数がなければ○○工学自体が存在しえない
こともあると知っておいてください。何の役に立つかは
あとでわかると思って真剣に勉強してください。
山口　　 1月12日（月） 17:04:33　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33629
ばち丸
ハラギャーティさん。
良い指摘ですね。制御工学のプロでいらっしゃったんでしたっけ？薄学非才の私は底が２の対数なんて実際に使われるのは見たことがありません。ちなみに物理化学（化学の一分野）では常用対数じゃないかな。微分方程式を解くと底がｅになるけど無理やり常用対数に直すような気が。

役立つかどうかはさておき何よりも数学は美しいです！（←ものを知らないことを押し隠す）
　　 1月12日（月） 22:36:05　　 　　33630
ハラギャーテイ
#33630

数学は素晴らしい、同感です。
ただ数学では食えそうもないので私は工学に行きました。

制御工学では数学者が多くなりすぎて、Theorem とかCollaryとか
定義（Difinition)から始まって理論を展開されているのは
古い制御屋としては違和感を覚えます。

常用対数はやはり常用されているようですね。
がんばれ、受験生！

山口　　 1月13日（火） 9:50:37　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33631
君の船
僕は数学科を目指しています！
数学は素晴らしい！
海王星　　 1月13日（火） 10:15:40　　 　　33632
uchinyan
えと，私のような定年が気になりかけてきた年齢の者がハラギャーテイさんの問題を解くのは御趣旨に反しそうですが，
せめて答えだけでも分からないと皆さん困るでしょうから，トライしてみました。
ただ，どちらも微分方程式が顔を出すようなので，この算数サイトでの出題はどうなのかな，
という，素朴な疑問もあります．．．

ということで，取り敢えず，答えだけ。正しいでしょうか。

#33626
満タンの水位を 1 として 25/256。

#33629
この問題を解くには半減期などの知識が必要ですが．．．kg 単位で，
A = (1/2)^5 = 0.03125
B = 3 * (1/2)^(8/3) - 3 * (1/2)^6 = 0.42560　(小数第6位を四捨五入)
C = 1 - 3 * (1/2)^(8/3) + (1/2)^6 = 0.54315　(小数第6位を四捨五入)
なお，問題に指摘はなかったので，崩壊による質量欠損はなく，
A + B + C = 1
になっています。

私は，中学，高校時代は，数学にあこがれていましたが，大学で落ちこぼれ (^^;，理論物理にいきました。
しかしそこでも落ちこぼれ，結局，情報産業に身をおいています。
log はいろいろ使いましたねぇ。
中学，高校時代は，まだ計算尺の授業もあり常用対数，そして，微積で自然対数，
大学時代は，もっぱら自然対数でしたが，対数関数の複素面への拡張などは面白かったです。
社会人になってからは独学で情報理論などをかじり，底が 2 のエントロピーのお世話にもなりました。

今悔やまれるのは，物理の勉強が忙しく，大学時代に数学の勉強をちゃんとやらなかったことです。
数学の基本が分かっていないです。そのくせ，物理はきれいに忘れてしまいましたが (^^;
もう一度，大学での数学や物理を勉強しなおしたく思っています。

若い皆さん，頑張ってください。
同年代の皆様，負けずに頑張りましょう ^^/
ネコの住む家　　 1月13日（火） 12:41:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33633
ハラギャーテイ
#33633

ありがとうございます。微分と積分だけで解けるのでしょうが、
微分方程式の意味は必要と思います。算チャレファンとして
実際の問題はいろいろな知識がいるということを言いたかった
のです。すみません。

センター試験が17日、18日のようですが、夢を抱いて
頑張ってください。ただセンター試験がなかった世代としては
今の数学などやさしすぎだと思います。

uchinyanさん、ご解答ありがとうございました。全部正解です。
タンクの問題は流入量と流出量が等しくなる水位を
求めれば良いので係数を出すのが要点です。

半減期の問題は
半減期の定義（崩壊して半分になる？）だけがあるとAの量は
簡単に求められると思います。実は数式処理ソフトMathematica
では

A=1/32
B=3/64(-1+82^1/3)
Cは複雑な式です。でも1-A-Bで求められる。
と求まります。

理論物理のご専門家に解いてもらいまして感謝します。
Aだけの崩壊の問題にすれば微積の範囲のような気がしますが？
もうどこまでが数�気箸�全く忘れました。70歳のほうに近く
なってきました。
しかし、考える気力がある限り算チャレを頑張ります。
よろしくお願いします。
山口　　 1月13日（火） 16:27:11　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33634
スモークマン
#33634,#33633 ハラギャーティさん、uchinyanさんへ。
すみませんが、、、わかり易くご説明くだされば助かります...
式の立て方そのものがわかりませんもので...^^;
ついていけるかどうかわかりませんが...よろしくお願いいたします m(_ _)m
金光＠岡山　　 1月14日（水） 0:12:14　　 　　33635
ハラギャーテイ
#33635

すみません、簡単なようで難しい問題でした。

タンクの水位を満タンのとき１と正規化します。
すると給水量が1/8です。

排水だけの時はhを水位として

dh/dt=-k*√h

ですのでこれからt=0のときh=1、t=10でh=0を
解いて k を求めます。水位が落ち着くのは流入量と
流出量が等しいとおけば求まります。

また半減期の意味はたとえばAという物質は100年経つと
半分まで崩壊することと変化は指数関数的であることが
わかればAの500年後の量はわかります。uchinyanさんが
言われた崩壊による質量欠損は電子とかが放出された
結果、質量が減ることです。ここでは無視しています。

詳しくはuchinyanさんにお聞きください。ということで
uchinyanさんよろしくお願いします。
山口　　 1月14日（水） 10:18:12　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33636
uchinyan
#33635，#33636
う，どうやら振られてしまったようなので，お答えします (^^;
ただ，数学オンパレードなので，関心のない方は，ご容赦を m(__)m

長くなりそうなので，それぞれの問題に関し，別投稿にしますね。
ネコの住む家　　 1月14日（水） 14:20:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33637
uchinyan
(若干，追加修正しました。)
まず，#33626，水位の問題，に関してです。
#33636でハラギャーテイさんが設定しておられる記法で進めます。
つまり，タンクの形状は円柱状で底面積は一定なので，単位面積 1 としても一般性を失いません。
また，満タンの水位を 1 とし，一般の場合を h とします。0 <= h <= 1 です。
このとき，体積 V = 1 * h = h となります。あ，t を時間，単位は時間，にします。

まず，満タンから排水だけする場合です。
排水量は水位の平方根に比例するので比例定数を k > 0 とすると，
dV/dt = - k * √h
ここマイナスは，体積が減少することを意味しています。V = h より，
dh/dt = - k * √h
です。与えられた条件から k を求めます。この微分方程式を解くと，
1/√h * dh/dt = - k
∫(1/√h * dh/dt)dt = - ∫kdt
∫(1/√h)dh = - ∫kdt
2 * √h = - kt + 積分定数
t = 0 で V = h = 1 なので，積分定数 = 2 で，
2 * √h = - kt + 2
t = 5 で V = h = 0 なので，
0 = - 5k + 2
k = 2/5
になります。

次に，空タンクから給水だけする場合ですが，給水量は一定なので，8 時間で満タンより，給水量 = 1/8 です。

さて，いよいよ，満タンの半分から給水排水を両方行う場合ですが，これは，
dV/dt = - k * √h + 1/8
dh/dt = - 2/5 * √h + 1/8
です。これを，t = 0，h = 1/2 で解いて，時間が十分経ったとき，つまり t -> ∞，の h を求めればいいです。
x = - 2/5 * √h + 1/8 とおくと，t = 0 で x0 = - 2/5 * √(1/2) + 1/8 = 1/8 - √(2)/5 < 0 で，
dx/dh = - 1/5 * 1/√h
dh/dx = - 5 * √h = 25/2 * (x - 1/8)
dh/dx * dx/dt = dh/dt = - 2/5 * √h + 1/8 = x
25/2 * (x - 1/8) * dx/dt = x
25/2 * (1 - 1/8 * 1/x) * dx/dt = 1
∫{25/2 * (1 - 1/8 * 1/x) * dx/dt}dt = ∫dt
25/2 * ∫(1 - 1/8 * 1/x)dx = ∫dt
25/2 * (x - 1/8 * log|x|) = t + 積分定数
ここで，log は自然対数です。t = 0 で x = x0 なので，
積分定数 = 25/2 * (x0 - 1/8 * log|x0|)
つまり，
25/2 * (x - 1/8 * log|x|) = t + 25/2 * (x0 - 1/8 * log|x0|)
(x - x0) - log|x/x0|^(1/8) = 2/25 * t
log(e^(x-x0) * |x0/x|^(1/8)) = 2/25 * t
log(e^x/|x|^(1/8) * |x0|^(1/8)/e^x0) = 2/25 * t
e^x/|x|^(1/8) * |x0|^(1/8)/e^x0 = e^(2/25 * t)
|x|^(1/8)/e^x = |x0|^(1/8)/e^x0 * e^(- 2/25 * t)
残念ながら，これを x，そして h，について解くのは簡単ではありません。
しかし，時間が十分に経った t -> ∞ の状況を調べるのは可能です。
まず，|x0|^(1/8)/e^x0 は 0 でない定数です。また，e^x は正の実数です。
そこで，t -> ∞ では e^(- 2/25 * t) -> 0 なので，x -> 0 になります。
これは，- 2/5 * √h + 1/8 -> 0，√h -> 5/16，h -> 25/256 を意味します。
そこで，時間が経つと，水位は 25/256 になります。

以上で終わりですが，物理的な考察をすると，ずっと簡単に解けます。
時間が十分に経ったときの水位を求めるのですが，物理的に考えて，
水位がいつまでも変動するとは考えづらく，ある一定の値に安定するのだろうと予想できます。
実際，排水量 2/5 * √h は h が増えれば増え h が減れば減り，給水量は一定なので，バランスする h で安定するでしょう。
その場合，安定する以上，水位の変化率 dh/dt が 0 になるだろう，と考えられます。そしてまさに，
dh/dt = - 2/5 * √h + 1/8
だったので，
dh/dt = - 2/5 * √h + 1/8 = 0
この右側を解いて，h = 25/256 になります。
先ほどの面倒な計算は，この物理的直感を裏付けていることになります。

ちなみに，こうした直感は物理では，多分工学でも，とても大事です。
ただし，先ほどのような数学的な裏付けも必須ですよ。裏付けなしでは，ただの妄想ですから (^^;

なお，これくらいの問題は，大学入試の数学で出題されてもおかしくはなさそうですね。
ネコの住む家　　 1月14日（水） 18:36:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33638
uchinyan
(若干，追加修正しました。)
次に，#33629，半減期の問題，に関してです。
この問題を解くには，若干の予備知識が必要です。
なお，今回も現れる対数は自然対数です。

まず，ある物質が崩壊する物質であったとし，各時点で N 個あったとすると，
その減少する様子は N に比例することが知られています。
つまり，λ > 0 を比例定数，崩壊定数，壊変定数などといいます，t を時間とすると，
dN/dt = - λN
です。t = 0 で N = N0 としてこの微分方程式を解くと，
1/N * dN/dt = - λ
∫(1/N * dN/dt)dt = ∫(-λ)dt
∫(1/N)dN = ∫(-λ)dt
log|N| = - λ * t + 積分定数
N = 定数 * e^(-λt)
N = N0 * e^(-λt)
です。ここで，t -> t + T となったとき N -> N/2 となる T を半減期といいます。
N = N0 * e^(-λt)
N/2 = N0 * e^(-λ(t + T))
なので，
2 = e^(λT)
λ = log2/T，T = log2/λ
になります。そこで，
N = N0 * e^(- log2/T * t) = N0 * e^(- log2 * t/T) = N0 * (e^log(1/2))^(t/T)
log の定義から e^(log2) = 2 なので，
N = N0 * (1/2)^(t/T)
とも書けます。

さて，以上の準備の下に解いていきましょう。
物質 A，B，C の t 年後の重さを A，B，C とします。単位は kg です。
また，A，B の崩壊定数をλa，λb とし，A，B の半減期を Ta，Tb とします。
ここで，注意というか仮定ですが，先ほどの予備知識では個数でしたが，今回は重さです。
これは明らかに違うものなので，厳密には，その間をつなぐもの，原子 1 個あたりの重さなど，
が必要でしょうが，提示された問題では特に言及がないので，
物質の崩壊後もこれは変わらない，A，B，C の原子 1 個あたりの重さはほとんど同じ，と仮定しました。
すると，全体に定数が掛かるだけで，先ほどの崩壊の話が重さにもそのまま成立します。
以下では，この仮定の下に解きます。

まず，A ですが，これは明らかに，
dA/dt = - λa * A
がいえます。これを t = 0，A = 1 で解くと，
A = e^(- λa * t) = (1/2)^(t/Ta)
です。

次に，B です。B は，A からの崩壊分 λa * A が増え，C への崩壊分 λb * B が減るので，
dB/dt = λa * A - λb * B
dB/dt = λa * e^(- λa * t) - λb * B
になります。これを，t = 0，B = 0 で解けばいいです。
dB/dt + λb * B = λa * e^(- λa * t)
e^(λb * t) * dB/dt + λb * e^(λb * t) * B = λa * e^((λb - λa) * t)
d(e^(λb * t) * B)/dt = λa * e^((λb - λa) * t)
e^(λb * t) * B = λa/(λb - λa) * e^((λb - λa) * t) + 積分定数
t = 0，B = 0 より，
e^(λb * t) * B = λa/(λb - λa) * e^((λb - λa) * t) - λa/(λb - λa)
B = λa/(λb - λa) * (e^(- λa * t) - e^(- λb * t))
B = (1/Ta)/(1/Tb - 1/Ta) * ((1/2)^(t/Ta) - (1/2)^(t/Tb))
B = Tb/(Tb - Ta) * ((1/2)^(t/Tb) - (1/2)^(t/Ta))

最後に，C です。C は B からの崩壊分 λb * B が増えるだけなので，
dC/dt = λb * B
dC/dt = λaλb/(λb - λa) * (e^(- λa * t) - e^(- λb * t))
になります。これを，t = 0，C = 0 で解けばいいです。
C = λaλb/(λb - λa) * (- 1/λa * (e^(- λa * t) - 1) + 1/λb * (e^(- λb * t) - 1))
C = 1 - λb/(λb - λa) * e^(- λa * t) + λa/(λb - λa) * e^(- λb * t)
C = 1 - (1/Tb)/(1/Tb - 1/Ta) * (1/2)^(t/Ta) + (1/Ta)/(1/Tb - 1/Ta) * (1/2)^(t/Tb)
C = 1 - Tb/(Tb - Ta) * (1/2)^(t/Tb) + Ta/(Tb - Ta) * (1/2)^(t/Ta)

以上で，A，B，C の一般形が求まりました。

さて，Ta = 100，Tb = 300 なので，
A = (1/2)^(t/100)
B = 3/2 * (1/2)^(t/300) - 3/2 * (1/2)^(t/100)
C = 1 - 3/2 * (1/2)^(t/300) + 1/2 * (1/2)^(t/100)
t = 500 を求めると，
A = (1/2)^5
B = 3/2 * (1/2)^(5/3) - 3/2 * (1/2)^5 = 3 * (1/2)^(8/3) - 3 * (1/2)^6
C = 1 - 3/2 * (1/2)^(5/3) + 1/2 * (1/2)^5 = 1 - 3 * (1/2)^(8/3) + (1/2)^6
となります。

なお，式の立て方から明らかですが，質量欠損は考慮しなかったので，
A + B + C = 1
が成立しています。

これぐらいも，予備知識つきで，大学入試の数学に出てもおかしくはないかなぁ．．．
それとも，物理？ 微分方程式が絡むので，物理では，ちょっと無理かな。
ネコの住む家　　 1月14日（水） 18:34:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33639
スモークマン
#33636 ハラギャーティさん、ありがとうございました...Orz...
まだよくわからない私です...^^;
また、考えてみます m(_ _)m;v
金光＠岡山　　 1月14日（水） 15:04:55　　 　　33640
スモークマン
#33638,#33639 uchinyanさん、ありがとうございました ^^
書き込み入れた途端アップされてました...
熟読玩味させていただきます...♪
ご両名の方々に感謝 m(_ _)mγ
金光＠岡山　　 1月14日（水） 15:08:02　　 　　33641
uchinyan
#33641　スモークマンさんへ
大きな修正はありませんが，若干，追加修正しました。
ネコの住む家　　 1月14日（水） 18:44:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33642
ハラギャーテイ
uchinyanさん、スモークマンさん

詳しい説明と問題に興味をもたれたことに感謝します。
uchinyanさんの説明通りですので付け加えることは
ありません。すみません、uchinyanさんにご面倒をおかけました。

別の話ですが、
>ちなみに，こうした直感は物理では，多分工学でも，とても大事です。
>ただし，先ほどのような数学的な裏付けも必須ですよ。裏付けなしでは，ただの妄想ですから (^^;

制御工学は蒸気機関の安定性の研究が最初みたいでして微分方程式が平衡点で
安定かという問題は延々と続いています。

線形の微分方程式に発散する項、持続振動する項がないかを判定する数学的なものは
n次方程式の根に実数部が正（非負）のものがあるかどうかの判定と同じです。

方程式を解かずに（５次以上の多項式の根の解析的な解はないことは有名）求めねば
なりません。
Routh−Hurwitzという法でできるのですが、残念ながら非常に数学的なので私は証明を
見たことがありません。一般的な微分方程式の安定性の条件は残念ながらまだありません。
世界中の数学者がトライしています。

若い研究者に微分幾何学を知っていますかと聞かれて数学の応用もそんなところまで来たか
と思います。

山口　　 1月14日（水） 20:04:23　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33643

過去問題一覧へ戻る