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英ちゃん

http://gyazo.com/477bd57c289698f3ef59e5b0b656666e.png
こんな感じです。
6cm^2を引き忘れたりてんやわんやでした。

居間　　 7月9日（木） 0:11:49　　 HomePage:ブログ　　34757

長野　美光

天津で解いています。

ＡＲを結ぶと、ＰＱ//ＡＲの等脚台形ができ、
高さは、△ＰＱＲの面積より 6cm です。
一方、ＡＲ⊥ＲＢおよび、ＲＢ＝2cm より、
△ＰＡＲ：△ＡＲＢ＝６：２＝３：１

一方、円の中心をＯ、ＲＢの中点をＳとすると、
ＯＳ//ＡＲ//ＰＱおよび、ＲＳ＝１ｃｍより、
△ＰＱＯの面積は、7cm^2 になります。

さらに、△ＲＯＢ≡△ＰＯＱ、△ＡＲＢ＝△ＰＯＱ×２　より
△ＡＲＢ＝14cm^2
△ＰＡＲ＝△ＡＲＢ×３＝42cm^2
以上より、四角形ＡＰＲＢの面積は　14＋42＝56(cm^2)
となりました。

はままつ　　 7月9日（木） 0:16:32　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　34758

ルルゥ

孤PRは孤ABの半分の長さなので、∠PAR=45度
同じ考え方で∠QRA=45度
AP=RQより四角形APQRは等脚台形
Qから辺ARへ垂線を引きARとの交点をHとおく。
△PQRの面積が6cm^2なのでQH=6cm
よってARの長さは6*2+2=14cm
∠ARBは直角なので、求める四角形の面積は
14*6*1/2+14*2*1/2=56cm^2

　　 7月9日（木） 0:55:36　　　　34759

おかひで博士

PもRも１３５°・・・気づくの遅すぎました

兵庫県　　 7月9日（木） 0:20:33　　　　34760

むらい

ＱＯ⊥ＡＢで、四角形ＱＰＡＯ∽四角形ＢＲＱＯ　
△ＰＲＱ＝△ＰＡＱ＝△ＲＱＢより　半径をｒとすると
求める面積は　r^2 + 6 となったのですが、ここで大いなる勘違い。

ＲＢ//ＱＯ　と勝手に決め付けて、半径６が出たため、４２を送信しました。

よく見ると（よく見なくても）　どう考えても平行じゃないのでやり直し。

結局、三角関数で力任せにＱＲを出し（６√２）
∠ＰＱＲ＝１３５°と正弦定理で力任せに半径（５√２）を出しました。

算数はまったく使いませんでした・・・
出直します。

サイタマ　　 7月9日（木） 0:26:51　　　　34761

はなう

算数でとくのをようやく断念しました。これから掲示板みて勉強します

　　 7月9日（木） 0:44:25　　　　34762

Mr.ダンディ

大筋のみ書いてみます。

(1) R から直線PQに下ろした垂線をRH とすると、△PQR＝6(cm^2)より　RH＝6(cm)
(2) △PQH が直角二等辺三角形となり、RH＝6,PH＝8 より PR＝10 (cm)
(3) △POR も直角二等辺三角形となり、△POR＝10*5*(1/2) ＝25　(cm^2)

(4) △AOP＋△BOR＝△AOP＋△POQ＝△AOQ＋△PAQ＝△AOQ＋△PRQ＝25＋6＝31 (cm^2)
(5) □APRB＝△POR＋(△AOP＋△BOR)＝25＋31＝56　(cm^2)
・・・・以上でした。（少し遠回りしたかな？）・・・

大阪　　 7月9日（木） 1:13:26　　　　34763

鯨鯢(Keigei)

PQ=2cm,∠PQR=135°、
RからPQにおろした垂線の足をHとすると、
RH=6cm, QH=6cm だから、PH=8cm, PR=10cm。
ABの中点をOとすると、△OPR=25cm^2、
△OAP=△OQR, △OPQ=△ORB と併せて、
求める面積は、25×2+6=56cm^2。

中将棋盤から　　 7月9日（木） 1:13:36　　　　34764

通りすがり

台形ＰＱＲＢは４５°の等脚台形なので
ＱＲ：ＰＢ＝３：４
よって△ＢＰＲ＝８cm^2、△ＢＰＡ＝４８cm^2　合計５６cm^2

楽しい問題でした。

　　 7月9日（木） 1:26:42　　　　34765

スモークマン

やっと...^^;
説明するのもややこしいい方法(3:4:5 と直角二等辺三角形)です...
6=2*6/2・・・高さ 6
6+2=8
6:8:10
から...
半径が5√2
6√2*8√2/2+2*8/2=56

金光＠岡山　　 7月9日（木） 1:31:41　　　　34766

3号機バル

最初むらいさんと同じことをして４２で送信してしまいましたｗ

45度って簡単にでるんですかね。

　　 7月9日（木） 1:57:17　　　　34767

みかん

半円の中心をＯ，ＲからＰＱの延長に下ろした垂線の足をＳとする。

弦の長さの条件より、弧ＰＱ＋弧ＱＲ＝四分円の円周となる。
よって角ＰＯＲ＝９０度

ＳＲの長さは、三角形ＰＯＲ＝６ｃｍ＾２より６ｃｍと分かる。
四角形ＰＯＲＳにおいて、角Ｏ＝角Ｓ＝９０度、ＯＰ＝ＯＲである。

四角形ＰＯＲＳを点Ｏを中心に９０度ずつ回転させてくっつけると正方形が
出来上がる。よって正方形の対称性から、ＱＳ＝６ｃｍが導ける。
あとは正方形の半分の台形から必要ない部分を引けばいいので、
｛（６＋８）×１４｝÷２）−（６×６÷２×２＋６）
＝９８−４２
＝５６ｃｍ＾２ですね。

（※９日２０時、uchinyanさんのご指摘により一部修正）

　　 7月9日（木） 19:56:52　　　　34768

ゴンとも

#34767
>45度って簡単にでるんですかね。

問題文の弧ＡＰ＝弧ＱＲ、弧ＰＱ＝弧ＲＢ
から∠POR=90度より
ABの中点をOとすると
∠PQR=∠PQO+∠RQO=(180-∠POQ)/2+(180-∠QOR)/2=180-∠POQ/2-∠QOR/2
=180-(∠POQ+∠QOR)/2=180-∠POR/2=180-90/2=180-45=135
となると45がでると思います。

豊川市　　 7月9日（木） 2:48:36　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　34769

ゴンとも

今回は算数でできました。点A,Rを結ぶと□PQRAは等脚台形とわかると終わりって感じでした。

先ず、問題文の弧ＡＰ＝弧ＱＲ、弧ＰＱ＝弧ＲＢから　∠POR=90度より
ABの中点をOとすると∠PQR=∠PQO+∠RQO=(180-∠POQ)/2+(180-∠QOR)/2=180-∠POQ/2-∠QOR/2
=180-(∠POQ+∠QOR)/2=180-∠POR/2=180-90/2=180-45=135度
より点A,Rを結ぶと□PQRAは等脚台形
題意の条件で弧PQ=弧RBよりRB=PQ=2
また△PQR=6cm^2より等脚台形の高さは6
ここでQから線分ARに垂線を下ろしその足をSとすると
∠RQS=∠PQR(=135)-90=45
また∠QRS=180-∠QSR(=90)-∠RQS(=45)=45
より∠QRS=∠RQS=45 より　QS=RS=6よりAR=2*RS(=6)+PQ(=2)=14
ここでABが直径なので∠ARB=90 より
△ARB=AR*RB/2=14*2/2=14　また
△APR=AR*QS/2=14*6/2=42 より
□PABR=△ARB+△APR=42+14=56・・・・・・(答え)

豊川市　　 7月9日（木） 3:41:59　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　34770

abcba@jugglermoka

難しかったです。
いつも通り朝一の参加なので頭脳はさえてるはずなのに...
最終的に閃いた方法は大筋皆様と同じかもしれませんがPQRBは等脚台形なのでPQの延長線上にXをとり三角形PQRの面積は6なので底辺２、高さ6で三角形RQPは６，８，１０の3:4:5の直角三角形であることが
わかり半円の中心Cに対し直角三角形PCRの面積は25になる。
よって、四角形APRBの面積=(25+6)×2-6=56
と求めました。こんな感じで書くと上手く解いたように見えますが
この方法に行き着く前は色々アイデアは思いつくものの全部的外れでこれしかないというしらみつぶしで解けました。(早く図形が苦手ではないといえる日がくる様にがんばります。)
自分としては勉強になりました。有難う御座いました。

　　 7月9日（木） 9:10:37　　　　34771

鯨鯢(Keigei)

もう１つ解法を思いついたので記しておきます。
直線AP,RQの交点をSとすると、
△SPQ,△SARは直角二等辺三角形で、△SPQ=1cm^2。
面積比から、SQ：QR=1：6, SQ：SR=1：7, PQ：AR=1：7。
よって、AR=14cm, △PAR=7△PQR=42cm^2。
また、△ARB=14*2/2=14cm^2。
求める面積は、42+14=56cm^2

　　 7月9日（木） 9:55:54　　　　34772

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，個人的には少し難しかった。久しぶりに平面幾何を楽しめた気がします。こんな感じで解きました。

(解法1)
円の中心を O とします。
弧AP = 弧QR，弧PQ = 弧RB より，△OAP ≡ △OQR，△OPQ ≡ △ORB です。
そこで，□APRB = △OAP + △OPR + △ORB，△PQR = △OPQ + △OQR - △OPR = △OAP + △ORB - △OPR より，
□APRB = △OPR * 2 + △PQR = △OPR * 2 + 6 になります。
ここで，R より PQ の Q の方の延長上に垂線を下ろしその足を H とします。
弧PR = 弧PQ + 弧QR = 弧AP + 弧RB なので，弧PR は半円の弧APQRB の半分です。
そこで，∠POR = 180/2 = 90°で，△OPR は直角二等辺三角形です。
□PQRO において，∠PQR = ∠OQP + ∠OQR = ∠OPQ + ∠ORQ = (360 - ∠POR)/2 = (360 - 90)/2 = 270/2 = 135°です。
そこで，∠RQH = 180 - ∠PQR = 180 - 135 = 45°になり，△HQR は QH = RH の直角二等辺三角形です。
△PQR = 6 = PQ * RH * 1/2 = 2 * RH * 1/2 より RH = 6 cm なので，QH = RH = 6 cm，PH = PQ + QH = 2 + 6 = 8 cm です。
これより，△RHP は 3：4：5 の直角三角形で，PR = 10 cm になります。
そこで，△OPR = PR * PR/2 * 1/2 = 10 * 10/2 * 1/2 = 25 cm^2 になり，
□APRB = △OPR * 2 + 6 = 25 * 2 + 6 = 50 + 6 = 56 cm^2 になります。

(解法2)
似たり寄ったりですが，一応。
円の中心を O とします。
弧AP = 弧QR，弧PQ = 弧RB より，□PARQ，□QPBR は等脚台形で，PQ//AR，QR//PB で，△APQ = △PQR = △QRB = 6 cm^2 です。
そこで，□APRB = 五角形APQRB - △PQR = 五角形APQRB - △APQ = □AQRB = △AQB + △QRB = △AQB + 6 になります。
そして，弧AQ = 弧AP + 弧PQ = 弧QR + 弧RB = 弧QB なので，Q は半円の弧APQRB の真ん中で，
∠QOA = ∠QOB = 90°，△QAB は QA = QB の直角二等辺三角形，になります。
ここで，A から QP の P の方の延長上に垂線を下ろしその足を I とします。
□APQO において，∠APQ = ∠OPA + ∠OPQ = ∠OAP + ∠OQP = (360 - ∠QOA)/2 = (360 - 90)/2 = 270/2 = 135°です。
そこで，∠API = 180 - ∠APQ = 180 - 135 = 45°になり，△IAP は IA = IP の直角二等辺三角形です。
△APQ = 6 = PG * AI * 1/2 = 2 * AI * 1/2 より AI = 6 cm なので，PI = AI = 6 cm，QI = PQ + PI = 2 + 6 = 8 cm です。
これより，△AIQ は 3：4：5 の直角三角形で，AQ = 10 cm になります。
そこで，△AQB = AQ * AQ * 1/2 = 10 * 10 * 1/2 = 50 cm^2 になり，
□APRB = △AQB + 6 = 50 + 6 = 56 cm^2 になります。

ネコの住む家　　 7月9日（木） 12:33:31　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34773

まさ

なかなかむずかしかったけどとけてすっきり

　　 7月9日（木） 13:14:47　　　　34774

uchinyan

(少し追加修正しました。)
掲示板を読みました。皆さん工夫されていて面白い解法がたくさんです。

#34757
□APQR が等脚台形で PQ//AR から，等脚台形の高さ，AB を辺とする長方形が描けることを使う解法。
この図だけでは詳細はいろいろ考えられそうでよく分からないのですが，
左右の白い部分の三角形が直角二等辺三角形になることを何らかの方法で示し，例えば，Q は半円の弧の真ん中など，
等脚台形の高さが 6 cm ということから，
AB = 6 * 2 + 2 = 14 cm^2，□PARQ = 6 * 14 - 6 * 6 * 1/2 * 2 = 48 cm^2
□APRB = 48 - 6 + 14 * 2 * 1/2 = 56 cm^2
などと，するのでしょうか。

#34758
円の中心を O，RB の中点を S とし，PQ//AR//OS を使って比の関係から求める解法。
45°を明示的には使っておらず，なるほど，という感じがして，新鮮でした。

#34759，#34770
□APQR が等脚台形で ∠PAR = ∠QRA = 45°，∠ARB = 90°を使って求める解法。
実質，#34757と同じだと思います。

#34761，#34762
数学による解法。

#34763，#34764，#34766(一部数学ですが)，#34771，#34773の(解法1)
R から PQ の延長に垂線を下ろし，そこにできる三角形が，直角二等辺三角形，3：4：5 の直角三角形，などを使う解法。
ただ，後半の面積の求め方にはバリエーションがあるようです。

#34765
□PQRB が ∠QPB = 45°の等脚台形であることを使う解法。
ただ，詳細はもうひとつ分からないです。
＞ＱＲ：ＰＢ＝３：４
これは，PQ，BR を伸ばした交点を C とすると，△CQR が直角二等辺三角形になることから，
RC = △PQR の PQ を底辺としたときの高さ = 6 cm で，QR：PB = CQ：CP = 6：(6 + 2) = 6：8 = 3：4，かな。
＞よって△ＢＰＲ＝８cm^2、△ＢＰＡ＝４８cm^2　合計５６cm^2
前者は明らか。後者は，△PCR ∽ △BPA で面積比が 1：2 から，でいいのでしょうか。
その後，解説が追加されました。私の解釈は異なっていたようです。
#34782，#34783をご覧ください。

#34768
前半の設定は#34763などと同じ。しかし，後半が，少なくとも私にとっては，複雑です (^^;
＞四角形ＰＱＲＳを点Ｏを中心に９０度ずつ回転させてくっつけると正方形が
PQRS って四角形ではないし．．．
多分，□PORS の間違いで，O の回りに 90°ずつ回転させて四つで正方形を作るのでしょう。
面積の求め方は，どこか#34757を連想させます。
(その後，やはり，PQRS は PORS の間違いだったようで，修正されています。)

#34772
AP と RQ の延長の交点を S とし，△SPQ が直角二等辺三角形で面積が 1 cm^2 から，PQ：AR = 1：7 を出し，
AR = 14 cm などを求めていく解法。
若干，#34765と似たところもありますが，こちらの方が私には分かりやすいです。

#34773の(解法2)
A から QP の延長に垂線を下ろし，そこにできる三角形が，直角二等辺三角形，3：4：5 の直角三角形，などを使う解法。
#34763などに類似した解法だと思います。

#34780
与えられた図形を 180°回転したものを下に付けて円にすると，
正方形の四隅から，底辺 2 �僉す發� 1 �僂猟廠册鹽�辺三角形を切り取った図形になることを利用する解法。
この後は，例えば，#34772と#34758の考え方を流用すれば，正方形の対角線の半分が 8 cm と分かり，
(8 * 8 * 1/2 * 4 - (6 + 1 + 1) * 2)/2 = 56 cm^2
と出せますね。

#34781
PQ と BR とを延長し，そこにできる三角形が，直角二等辺三角形，3：4：5 の直角三角形，などを使う解法。
#34763など，#34773の(解法2)に類似した解法だと思います。

#34784
円の中心を O とし O に関して P に対称な点を P' とすると，求める面積が △PRP' + 6 になることを使う解法。
設定は大分違いますが，#34763など，#34773の(解法2)に類似した解法だと思います。

こうしてみてくると，解法は，3：4：5 を使うかどうかで大きく二つに分かれるようです。
3：4：5 は，2 cm，6 cm^2 の数字に依存しているので，これが変わると，少なくとも算数で解くのは難しくなりそうです。
その意味では，3：4：5 を使わない解法の方が優れているように思います。
また，45°，直角二等辺三角形などを明示的に使うかどうかですが，
これは，弧AP = 弧QR，弧PQ = 弧RB から直接にいえるので，使う使わないは，論理的には等価だと思います。
多分，#34759辺りが標準的な算数解法のように思います。
ただ，そうした中で，45°を明示的には使っていない#34758は，新鮮に感じました。

ネコの住む家　　 7月14日（火） 10:49:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34775

君の船

お久しぶりです。
今回は簡単でしたね！

海王星　　 7月9日（木） 17:15:52　　　　34776

ハラギャーテイ

解いたのはしばらくぶりでした。数式でも簡単でした。

山口　　 7月9日（木） 17:52:49　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　34777

みかん

（#34775）
＞PQRS って四角形ではないし．．．
ご指摘の通り、四角形ＰＯＲＳの誤りです。元記事も修正しておきました。

　　 7月9日（木） 19:54:52　　　　34778

ばち丸

45度に気がついたら後はそれほど厳しくなく・・・。

ばち丸の知ってる囲碁が好きなおばさんは、熱い風呂も好きで45度くらいまで沸かすそうだ・・・。どうでもいいか。

ばち丸も問題を公開しました。よろしければお越しください。
http://blog.goo.ne.jp/akeot/

　　 7月9日（木） 22:06:53　　　　34779

胃の中の蛙

この図形を180°回転したものを下に付けて円にすると、正方形の四隅から
底辺2�僉�高さ1�僂猟廠册鹽�辺三角形を切り取った図形になるので、
この正方形から考えました。

　　 7月9日（木） 22:09:02　　　　34780

次郎長

久しぶりにすっきり解けましたので、書き込みします。どなたかと重複していたらゴメンナサイ。

ＰＱとＢＲを延長し交点をＳとすると△ＰＱＲ＝６ｃｍ２なので、ＳＲ＝６、△ＳＱＢは、ＱＳ＝６、ＢＳ＝８，ＢＱ＝１０の直角三角形。
△ＡＱＢ＝１０×１０／２＝５０ｃｍ２
◇ＡＰＲＢ＝△ＡＱＢ＋△ＡＰＱ＋△ＢＱＲ−△ＰＱＲ＝５０＋６＋６−６＝５６
伊丹から羽田への飛行機の中で思い出し、羽田空港タッチダウンと同時に
５６の答え。おしっこがもれそうになった。
久しぶりの一発正解

　　 7月10日（金） 13:23:22　　　　34781

通りすがり

>uchinyanさん

PBに対してRからの垂線との交点をOとすると、
△ROBは△PQRと同じ高さである1cm^2の直角二等辺三角形となるので、
△ROBと△PQRの面積比1：6より、OB:QR=1:6、PB:QR=8:6=4:3

△APBも直角三角形で、△ROBに対して底辺と高さが6倍と8倍で
△APB＝1＊6＊8＝48cm^2と考えました。

　　 7月12日（日） 16:54:34　　　　34782

uchinyan

#34782
通りすがりさん，詳しい解説をありがとうございます。

＞△APBも直角三角形で、△ROBに対して底辺と高さが6倍と8倍で
底辺 AP，高さ PB，として，AP：RO = QR：OB = 6：1，PB：OB = 8：1，ですね。

よく分かりました。ありがとうございます。

ネコの住む家　　 7月13日（月） 10:36:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34783

黒アイス

またパソコンが壊れたので遅れました。

円の中心をOとする。
Oを中心にし、Pと対称な点をP”とする。
まず、∠POR=∠P”OR=90°である。(弧の二等分)
三辺相等より、△PQR=△RBP”=6�僉�2である。
よって、求める面積は△PRP"+6�僉�2と置き換えられる。
角関係を調べると、∠PQR=135°がわかる。
ここから、PR=10�僂�わかる。(三角関数、面積とピタゴラスが思いついた方法)
よって、求める面積は10＊10＊1／2+6=56�僉�2である。

　　 7月13日（月） 21:47:46　　　　34784

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