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だいすけ |
| 求まる？ |
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8月13日（木） 0:03:22
34905 |
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Taro |
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#34905
求まらないかも。ＲとＢを一致させた場合とか考えたらそう思えます。 不定なんて回答も送っていたりします^^; |
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死にかけのPC
8月13日（木） 0:08:41
34906 |
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ちゃーみー |
| ∠RQB = 45°のもとで解きました。面積は一意には定まりません。 |
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とうきょうとせたがやく
8月13日（木） 0:07:56
MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 34907 |
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あみー |
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考えても形が定まらん。
というか定まりようもなく |
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内緒
8月13日（木） 0:08:14
MAIL:amimorisama@hotmail.com 34908 |
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mhayashi |
| 夏だけに祭りに参加してみました（ |
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KANSAI
8月13日（木） 0:11:06
HomePage:M.Hayashi's Web Site 34909 |
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tfnt |
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条件が足りないようですね。
孤PRが孤ABの半分として解きました。 ちゃーみーさんと同じ条件になります。 |
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8月13日（木） 0:11:20
34910 |
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ミラクル石部 |
| 定まらないですね。う〜ん、条件落ちですね。 |
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8月13日（木） 0:12:10
34911 |
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ぺぷし@鼻セレブ |
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はじめに点Qをとったあとに直線PQ・RQを決定する条件が足りませんねー
私も∠RQB=45と設定しました。 |
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8月13日（木） 0:17:06
34912 |
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3号機バル |
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もう定まらないんで
面積をSとおいて 1/8√15≦S≦13/8√15 で出しました・・・ |
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8月13日（木） 0:26:30
34913 |
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kasama |
| 一意に定まらないのでは？とりあえず、∠ＲＱＢ＝４５°として解きました(;^_^A |
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和歌山
8月13日（木） 0:36:17
34914 |
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マサル |
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今帰宅しました。
弧PR=弧AB÷2という条件が、（問題確定直前まであったのに）抜け落ちていました...。スミマセン、修正は明日になるかも知れません。m(__)m |
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8月13日（木） 1:02:57
34915 |
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圭太 |
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見て、一意に定まらない？！と感じましたが・・やはり。
わかりやすい45度で求めたら入れました。＾＾； 何か条件書き忘れたのかな？ |
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天地人
8月13日（木） 1:04:29
34916 |
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圭太 |
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あぁ。。弧PRが、弧ABの半分かぁ。図から推測できたのに残念OTL
結果的には、∠RQB=45度でしたけど。＾＾； |
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天地人
8月13日（木） 1:17:04
34917 |
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ma-mu-ta |
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条件不足で一意に定まらないのに正解者が出るのは？
抜けたのは分かりやすい条件ではないかと。。。 ここへ入れたので一応答えを送りました。 |
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8月13日（木） 1:32:03
34918 |
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Mr.ダンディ |
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問題を見た途端、いつもの私の見落としかと何度も問題を読み直しました。
だが、そうでもなさそうで条件漏れだと確信し、どんな条件が抜けていたのか予想することに頭を切り替 えました。 図の感じから ∠RQB＝∠RQA でもなさそうなので ∠RQB＝60°,∠RQA＝30°ではと考えたのですが、答え が有理数でなくなるのでダメ 3：4：5の三角形がどこかに隠れているのかと考えたが ダメ ・・・ そのうち訂正文が出て、一件落着！ (予想の立て方が甘かった むむむ・・） |
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大阪
8月13日（木） 7:16:40
34919 |
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doba |
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訂正が出てから見たのですが、最初は訂正までスクロールしておらず（笑）
訂正を確認してからも、∠PQA=45°はわかったものの結局ごり押しでしか解けず（涙） 後で落ち着いて考えたら、次のような方法が見つかりました。 円の中心をOとして、 △PQRをOを中心に反時計回りに 90°回転させたものを△P'Q'P 180°回転させたものを△P''Q''P' 270°回転させたものを△RQ'''P'' とおくと、△PQRの面積は、正方形PP'P''Rから正方形QQ'Q''Q'''を引いて ４で割ったものであり、 PP''=7、QQ''=6より、(49/2 - 36/2)/4 = 13/8 ちなみに、ごり押しでは PQ=(√31+3√2)/2、QR=(√31-3√2)/2となりました。 |
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8月13日（木） 8:33:31
34920 |
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CRYING DOLPHIN |
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円の中心をOとし、Oから弧ABの中点Mに向けて線を引き、PQとの交点をSとする。
弧の条件から、△PORは、OP＝OR＝3.5cmの直角二等辺三角形。…★ また、△SOQは、OS＝OQ＝3cmの直角二等辺である。 そのために、まず△ROQと△POSが合同であることを示す。 (最初は単に90度回転させるだけと思ってたけど、そうはいかないようで)…Orz ★より、OR＝OP。また、角度の条件より角ROQ＝角POSは容易に判明。 ここで角OPQ＝○、角QPR＝△とおくと、★より○△(○と△の和)＝45度…◆ 角PRO＝○△。また、△PQRについて角PRQ＝90−△＝○△○△−△＝○○△ となる。だから角ORQ＝○＝角OPS。 以上より、2辺とその間の角が等しく、△ROQと△POSの合同がいえた。…▼ これでやっとOS＝OQ＝3cmがわかった。 以下、( )は図形の面積を表す。 (△PQR)＝(四角形POQR)−(△POQ) ＝{(△POR)＋(△POQ)}−{(△SOQ)＋(△POS))} ▼より ＝(△POR)−(△SOQ) てことで、答えは 3.5×3.5÷2−3×3÷2＝13/8 とやっと求まる！ ああ、Orzの部分が容易に言えたならなあ。。 |
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誰もいない市街地
8月13日（木） 9:59:28
HomePage:算数と隧道 34921 |
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ちゃーみー @ 会社 |
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どういうときに PQ×QR が簡単に求まるかなぁ，と考えたところ，
∠RQB = 45°なら方べきの定理ですぐに求まる (AB に関する P の対称点をとる) のでそのように解釈しました． 答えも今日の日付になりますし．訂正後の問題はちょっと難しかったです． |
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8月13日（木） 10:20:21
34922 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
えと，毎回そうなのですが， 今朝，画面を下までスクロールせずに図と問題文だけを見て問題を頭の中に入れて，朝の用事で PC を離れて頭の中で考え出したのですが， どうにも図形が確定しないので，おかしいな，と思って再び PC の前に来て問題文を確認，でも同じ。 これで皆さん解けたのかなぁ，と思ってスクロールしたら，「お詫び」があった次第。情けない話です (^^; 解法は，若干，勘半ばで，こんな感じです。 AB の中点を O とし，O に関して図形全体を 180°回転し，P，Q，R の移動先を P'，Q'，R' とします。 すると，弧PR = 弧AB/2 の条件より，□PRP'R' は正方形になります。 ここで，R' から PQ に，R から P'Q' に，それぞれ垂線を下ろしその足を C，C' とします。 すると，図形の対称性より，Q' は R'C 上，Q は RC' 上にあり，△PQR，△RC'P'，△P'Q'R'，△R'CP は合同，□CQC'Q' は正方形，になります。 ここは，厳密にはもう少し論証が必要でしょうが，まぁ，明らかっぽいし，面倒だし，算数だし，省略 (^^; そして，AQ'：Q'Q：QB = 1：12：1 で，PP' = AB = 7 cm，CC' = Q'Q = 7 * 12/(1 + 12 + 1) = 6 cm より， △PQR = (□PRP'R' - □CQC'Q')/4 = (PP' * PP' * 1/2 - CC' * CC' * 1/2) * 1/4 = (7 * 7 - 6 * 6)/8 = 13/8 cm^2 になります。 来週は，少し遅いお盆休みですね。 |
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ネコの住む家
8月15日（土） 14:26:55
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34923 |
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スモークマン |
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やっと...^^;
何とかの定理・・・で Orz 最初半径が7だと思ってたから... (7√2)*6+7*x=7*y x^2+y^2=(7√2)^2 7^2*(y-x)^2=42^2*2 7^2*(7^2*2-2xy)=42^2*2 三角形PQR=xy/2 =(49^2-42^2)/(2*49) =49/2-18 =13/2 実際は直径が7なので... (13/2)/2^2=13/8 ここで...8月13日の韻を踏まれてることに気付きました♪ |
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金光＠岡山
8月13日（木） 12:23:25
34924 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。やはり，条件不足で図形が確定しないことにより，大分混乱があったようですね。
∠RQB = 45°を仮定した解法は，弧PR = 弧AB/2 -> ∠RQB = 45°としたとしての，大筋の分類です。 #34907，#34912，#34914，#34916，#34920，#34922 ∠RQB = 45°を経由した解法。∠RQB = 45°を導くのは，例えば，#34920などや#34921のようにすれば可能です。 ただ，この後どうしたのかは，皆さんあまり具体的には書き込まれていないので不明ですが， #34922の方べきの定理，#34920の三平方の定理？，など，いろいろありそうです。 (ただし，方べきの定理も，円周角一定の定理などを使って証明するのが普通なので，算数ではないかも．．．) #34910 ＞孤PRが孤ABの半分として解きました。 と，正しく条件を類推しています。 ただ，その後，どう解かれたのかは，書き込みがないので不明です。 #34920，#34923 #34920は，△PQR を円の中心に関して，90°，180°，270°回転して正方形を二つ作り，その差から求める解法。 #34923は，図形全体を円の中心に関して 180°回転する，と，最初の設定が若干違いますが，実質同じです。 #34921 円の中心を O とし O から 弧AB の中点 M に向けて線を引き，PQ との交点を S としたとき， △SOQ が OS = OQ = 3 cm の直角二等辺になることを用いる解法。 #34920などの解法の正方形を 1/4 にして，真面目に，考えている感じです。 #34924 ＞何とかの定理・・・で Orz ？と三平方の定理を使った数学解法。 多分，円の中心を O として，∠POR = 90°なので □POQR は円に内接する，ことから，トレミーの定理かな。 どうやらそのようでした。#34926をご覧ください。 #34928 三角関数＋プログラムという解法。 #34929 直線 PQ と円との交点を S とすると △QSR が QS = QR の直角二等辺三角形になることと，方べきの定理を使う解法。 ただし，純粋な算数解法かどうかは微妙かも。 |
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ネコの住む家
8月15日（土） 14:29:29
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34925 |
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スモークマン |
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#34925
uchinyanさんへ ^^ それです・・・その『トレミーの定理』です♪ 算数頭がますます遠のいて行ってます...^^;;;...Orz... |
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金光＠岡山
8月13日（木） 14:04:02
34926 |
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abcba@jugglermoka |
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先週の問題が簡単過ぎたこともあって、今回は手ごたえありました。
正六角形を使えばよいかと試行錯誤するものの上手くいかず、てこずりました。 |
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8月13日（木） 14:25:30
34927 |
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ハラギャーテイ |
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三角関数を強引にMATHEMATICAで処理をしました。孫が帰ってきて大変です。孫だけ
ならいいのですが、息子と嫁なので余計に大変です。 |
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山口
8月13日（木） 14:51:56
HomePage:制御工学にチャレンジ 34928 |
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abc |
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#34922と同じく次のように方べきの定理を用いました。
直線PQと円との交点をSとすると、△QSRはQS=QRの直角二等辺三角形です。 ∴ PQ*QR=PQ*QS 方べきの定理よりPQ*QS=AQ*QB=(7*13/14)*(7*1/14)=13/4 よって、△PQRの面積は、(1/2)*PQ*QR=13/8 となります。 |
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8月13日（木） 14:54:55
34929 |
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スモークマン |
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#34929
そっか...これがスマートだな♪ |
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金光＠岡山
8月13日（木） 15:44:43
34930 |
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湯川 |
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相似とピタゴラスの定理のお世話になりました。
スマートな解答は思い付きませんでした。 |
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8月13日（木） 19:03:11
34931 |
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doba |
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#34920で、∠PQA=45°は次のようにして導きました。
弧PRの長さが半円の半分なので、中心角POR=90°で、∠ORP=45° ∠POR=∠PQRより、４点POQRは同一円周上にあり、 円周角の定理より∠OQP=∠ORP=45° |
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8月14日（金） 14:57:34
34932 |
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doba |
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追記：
もちろん、△PQRを90°ずつ回転させる考え方では、 直角三角形の角度の関係から、PQと、RQを回転させたものがうまく重なることが言えるので、 内側の図形が正方形になるのも明らかで、 先に∠PQA=45°に触れる必要はないのですが、 その解法を思いつく前に下記方法で∠PQA=45°だけは気づいてました。 そのために、逆にABを軸に折り返した図形とかを考えてしまい、 簡単な解法に気づくのが遅れたという．．．。 |
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8月14日（金） 15:14:47
34933 |
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黒アイス |
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どう考えても算数では解けず、結局高校数学を使って解いてしまった。
問題文の赤字の部分が抜けていたのにもかかわらず、答えを出せたのはどうしてですか。 |
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8月14日（金） 23:14:34
34934 |
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uchinyan |
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#34913
＞面積をSとおいて ＞1/8√15≦S≦13/8√15 時間が取れたので確認してみたのですが，S = △PQR だとしたら，これは違うのではないかなぁ．．． 皆さんはどう思いますか？ 数学になってしまいますが，問題の形にしておきましょうか。お暇ならば考えてみてください。 (1) 今回の問題で，弧PR = 弧AB/2 の条件はなしとし，それ以外の条件は同じにして， P，R が半円の 弧AB 上にあるとき，△PQR の最大と最小を求めてください。 (2) (1)において，P，R が半円ではなく円全体の円周上にある，とだけ変えた場合の，△PQR の最大と最小を求めてください。 |
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ネコの住む家
8月15日（土） 14:51:18
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34935 |
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君の船 |
| なかなか面白かったです |
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海王星
8月16日（日） 17:36:40
34936 |
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スモークマン |
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#34935
uchinyanさん提示問・・・ (1) 今回の問題で，弧PR = 弧AB/2 の条件はなしとし，それ以外の条件は同じにして， P，R が半円の 弧AB 上にあるとき，△PQR の最大と最小を求めてください。 方べきの定理より... xy=13/4 y=13/2 のとき、、、x の最大値は √13/2 から、Max=13√13/8 y=1/2 のとき、Min=√13/8 (2) (1)において，P，R が半円ではなく円全体の円周上にある，とだけ変えた場合の，△PQR の最大と最小を求めてください。 証明はわかりません...図的に...^^; (7/2)^2=(13t)^2+t^2 t^2=49/4*14=7/8 Max=(13t)^2/2=169*7/16=1183/16 Min=(t)^2/2=7/16 でいいのかな...? |
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金光＠岡山
8月16日（日） 20:41:01
34937 |
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uchinyan |
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#34937
スモークマンさん，考えて頂いてありがとうございます。 (1) 答えは合っているようです。しかし，説明がよく分からないです．．． (^^; ＞方べきの定理より... ＞xy=13/4 x, y とは，何でしょうか？ どうやって，方べきの定理が使えるのでしょうか？ ＞y=13/2 のとき、、、x の最大値は √13/2 から、Max=13√13/8 xy = 13/4 ならば，x = 1/2 では？「x の最大値」というのは意味が通じません．．． xy = 13/4 は使っていないのでしょうか？ 「x の最大値」はどうやって出したのでしょうか？ ＞y=1/2 のとき、Min=√13/8 これも同じで，どう考えているのか，分からないです。 (2) は，考え方も分からないし，答えも違うようです。 ヒントになるかなぁ．．． この問題，実は，答えを出すだけならば，直感なども交えて，図形の対称性から割と容易に分かります。 しかし，(1) はともかく，(2) は説明が結構面倒なようです。 (1) は，√ が入るので算数では無理ですが，考え方は算数っぽく，初等幾何の範囲でできます。 (2) は，少なくとも私は，直感解法はともかく，残念ながら初等幾何の範囲では解けていません。 一番自然には微分を使う解法ですが，うまくやらないと，大変なことになるようです。 まぁ，単に私がうまく解けていないだけかもしれません．．． ただ，微分を使わずに，二次方程式が正の実数解をもつ条件に持ち込んで，不等式を解くことでもできます。 この方が計算は楽なようです。 |
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ネコの住む家
8月17日（月） 13:40:32
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34938 |
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スモークマン |
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#34938
uchinyanさんへ ^^; いい加減ですみません...Orz... (1) AB を 13 : 1 に内分する点から円周までの距離は... BQ<RQ・・・つまり、BQ が最短 PQ<AR・・・つまり、AR が最長 以上から...Q からの垂線と円の交点をQ' とし、その反対側の円との交点を Q" とすると...直角三角形PQR を Q を中心に回転させるとき... Min△PQR=BQ*QQ'/2=(7/14)*(√13/2)*(1/2)=√13/8 Max△PQR=QQ'*AR/2=(√13/2)*(13/2)*(1/2)=13√13/8 (方べきの定理より...(13/2)*(1/2)=QQ'*QQ"・・・QQ'=QQ" なので...) なら...いいでしょうか...^^;? (2) 直感的に(=いい加減ですが...^^;)...P と R が AB の対称点の時だと考えられるので... ∠PQR=90度の時、A 側の時が最大で、 B 側の時が最小かななんて... このときは...まさに問題の三角形のPQ,RQ を等辺に持つ直角三角形になるので... PQ^2=(7/√2)^2=PQ^2+RQ^2 PQ : RQ = 13 : 1 だから... (7/√2)^2=(13t)^2+t^2 t^2=49/2*170=49/340 よって... Min△PQR=(49/340)/2=49/680 Max△PQR=(49/2-49/340)/2=8281/680 なんてことを... 最初のは...再々々々計算間違ってたようです...Orz...^^; |
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金光＠岡山
8月17日（月） 17:41:27
34939 |
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uchinyan |
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#34939
(1) は，OKです。 ちょっとうるさいことを言うと， ＞BQ<RQ・・・つまり、BQ が最短 ＞PQ<AR・・・つまり、AR が最長 の辺りを明らかとしていいかどうかですが，まぁ，いいでしょう (^^; (2) は，直感的には正しいです。 ただ， ＞PQ : RQ = 13 : 1 だから... は，おかしいですね。AQ：QB = 13：1 ですが，PQ：RQ は 13：1 になりません。 もしそうならば，今回の問題の答えが，△PQR = 13t^2/2 = 637/680 cm^2 になってしまいます。 |
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ネコの住む家
8月17日（月） 18:55:52
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34940 |
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スモークマン |
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#34940
uchinyanさんへ ^^ (2) は...そっか...たしかに...Orz... x^2+y^2=(7/2)^2 y=x-3 x^2+(x-3)^2=2x^2-6x+9=(7/2)^2 8x^2-24x+36-49=0 x^2-3x-13=0 (x-3/2)^2=13+9/4=61/4 x=3/2±√61/2 y=-3/2±√61/2 x^2+y^2=35, 35+3√61 よって... Max=(35+3√61)/2 Min=35/2 になりました...計算間違えてなければ...^^;v |
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金光＠岡山
8月17日（月） 18:58:11
34941 |
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uchinyan |
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#34941
う〜ん，まだおかしいような．．． |
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ネコの住む家
8月17日（月） 20:58:17
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34942 |
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通りすがり |
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#34940
えとっ、49/2-3*√62ですか？ |
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8月18日（火） 12:10:33
34943 |
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通りすがり |
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#34940
それと、Max=√13/2？ |
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8月18日（火） 12:55:37
34944 |
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スモークマン |
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#34941
バカなことにやっと...円の中心からの距離出したって仕方がないことに...^^; しかも...49/4 になってないから...計算も間違ってることに...^^; x^2+(x-3)^2=49/4 8x^2-24x=49-36=13 (x-3/2)^2=13/8+9/4=31/8 x=3/2±√62/4 y=-3/2±√62/4 2Min=((6+√62)/4-3)^2+((-6+√62)/4)^2 =2*((-6+√62)/4)^2 =(49-6√62)/4 2Max=(-(6-√62)/4+3)^2+(-(6+√62)/4)^2 =((6+√62)/4)^2+((6+√62)/4)^2 =2*((6+√62)/4)^2 =(36+62+12√62)/8 =(98+12√62)/8 =(49+6√62)/4 今度は...いいかな...^^;?...また/まだ計算間違ってるかなあ...? |
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金光＠岡山
8月18日（火） 16:45:29
34945 |
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taku |
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久しぶりに解きました。高校数学で。
円の中心をＯ，ＡＢの中点をＭとし， △ＯＭＱで余弦定理からcos∠ＯＭＱ＝13/49より， △ＰＱＲ＝２△ＱＭＲ＝13/8。 方べきの定理ですか、なるほど・・・。 |
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岡山県
8月18日（火） 16:29:04
MAIL:takuo@kcv.ne.jp 34946 |
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みらい |
| まりさん、簡単でしたか？ |
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8月18日（火） 18:02:20
34947 |
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uchinyan |
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#34945
正解です。Min, Max は，それぞれの最後の値の半分ですね。 というわけで，通りすがりさんのは，残念ながら，違うようです。 |
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ネコの住む家
8月18日（火） 18:18:03
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34948 |
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uchinyan |
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#34946
＞円の中心をＯ，ＡＢの中点をＭとし， 「PR の中点をＭとし，」 かな？ |
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ネコの住む家
8月18日（火） 18:57:17
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34949 |
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スモークマン |
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#34948
uchinyanさんへ ^^ できれば...正統な解答の披歴をお願いいたします m(_ _)m...γ (1)もそうですが...とくに(2) はそれがたしかにそうだとは証明できてないわけですので... 是非とも教えていただきたいんです...よろしくお願いいたします〜Orz〜 |
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金光＠岡山
8月19日（水） 10:53:32
34950 |
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uchinyan |
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#34950
私自身，明らかっぽい割には計算が大変で，あまりうまく解けていないので，どなたかにうまく解いて欲しかったのですが．．． 分かりました。ただ，今日は忙しく時間が取れないので，もうしばらくお待ちください。 その間に，どなたかがうまく解いてくれるとうれしかったりして (^^; |
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ネコの住む家
8月19日（水） 12:15:42
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34951 |
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スモークマン |
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#34951
uchinyanさんへ ^^ 了解〜♪ 無理なお願いなのにありがとうございます Orz〜 お暇なときに...またお願いしますね ^^v |
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金光＠岡山
8月19日（水） 12:26:40
34952 |
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tutpr92 |
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初めまして。
高校数学とかマスメティカとか皆様、凄いですね…。 わたしは、下にもあると思いますが、 図形を90度ずつ回転させて出来る大きい正方形から 小さい正方形を引いて４で割るという、 小学生なやり方でしか解けませんでした。 今から眠気まなこをこすりつつ、 皆様のやり方で再度チャレンジしてみます。 |
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8月19日（水） 14:41:47
MAIL:eb80597@gmail.com 34953 |
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uchinyan |
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#34935の
＞(1) 今回の問題で，弧PR = 弧AB/2 の条件はなしとし，それ以外の条件は同じにして， ＞P，R が半円の 弧AB 上にあるとき，△PQR の最大と最小を求めてください。 ＞(2) (1)において，P，R が半円ではなく円全体の円周上にある，とだけ変えた場合の，△PQR の最大と最小を求めてください。 の解法です。ただ，正直言って，あまりうまく解けていないので，皆さん，もしうまい解法があれば教えてください。 まずは，真っ正直に，(1)と(2)が同時に解けるオールマイティの微分でやってみます。 円の中心を O(0,0)，AB を x 軸とし，OA = OB = r，OQ = c，0 < c < r，RQ = a > 0，PQ = b > 0，∠RQB = x，0 <= x < 2π，とします。 すると， R(a * cos(x) + c, a * sin(x)) P(b * cos(x + π/2) + c, b * sin(x + π/2)) = (- b * sin(x) + c, b * cos(x)) です。そこで， (a * cos(x) + c)^2 + (a * sin(x))^2 = OR^2 = r^2 (- b * sin(x) + c)^2 + (b * cos(x))^2 = OP^2 = r^2 つまり， a^2 + 2c * cos(x) * a - (r^2 - c^2) = 0 b^2 - 2c * sin(x) * b - (r^2 - c^2) = 0 a > 0，b > 0 なので， a = - c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) b = c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) そして，△PQR = S = S(x) とすると， S(x) = ab/2 です。後は，S(x) を微分して調べればいいです。 dS/dx = 1/2 * (da/dx * b + a * db/dx) ここで， da/dx = c * sin(x) - c^2 * cos(x) * sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) = c * sin(x) * (- c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)))/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) = a * c * sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) db/dx = c * cos(x) + c^2 * sin(x) * cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) = c * cos(x) * (c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) = b * c * cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) より， dS/dx = 1/2 * ab * c * (sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))) = Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) * (sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))) = Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) * f(x) 最後は， f(x) = sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) とおきました。 Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) > 0 なので， f(x) の正，負，0 を調べればいいです。一見これは，なかなか難しそうです。しかしよく見ると．．． 0 <= x < π/2 では sin(x) >= 0，cos(x) > 0，f(x) > 0 π/2 <= x < 3π/4 では， sin(x) > 0，cos(x) <= 0，|sin(x)| > |cos(x)| sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) |sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > - cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) > 0 f(x) > 0 3π/4 <= x < π では， sin(x) > 0，cos(x) < 0，|sin(x)| <= |cos(x)|，等号は x = 3π/4 sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) |sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= - cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= 0 f(x) <= 0，等号は x = 3π/4 π <= x < 3π/2 では， sin(x) <= 0，cos(x) < 0，f(x) < 0 3π/2 <= x < 7π/4 では， sin(x) < 0，cos(x) >= 0，|sin(x)| > |cos(x)| sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) |sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) - sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) < 0 f(x) < 0 7π/4 <= x < 2π では， sin(x) < 0，cos(x) > 0，|sin(x)| <= |cos(x)|，等号は x = 7π/4 sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) |sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) - sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) >= 0 f(x) >= 0，等号は x = 7π/4 そこで，0 <= x < 2π で， 0 <= x < 3π/4 では，f(x) > 0，dS/dx > 0，S は単調増加 x = 3π/4 では，f(x) = 0，dS/dx = 0，S は極大かつ最大 3π/4 < x < 7π/4 では，f(x) < 0，dS/dx < 0，S は単調減少 x = 7π/4 では，f(x) = 0，dS/dx = 0，S は極小かつ最小 7π/4 < x < 2π では，f(x) > 0，dS/dx > 0，S は単調増加 になります。以上より， S(x) = ab/2 = 1/2 * (- c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))) * (c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))) に注意して， (1) 0 <= x <= π/2 で考えればいいので，S(x) は単調増加で， S(0) <= S(x) <= S(π/2) 1/2 * (r - c) * sqrt(r^2 - c^2) <= △PQR <= 1/2 * (r + c) * sqrt(r^2 - c^2) r = 7/2，c = 7/2 - 7/(13 + 1) = 3 より， 1/8 * sqrt(13) <= △PQR <= 13/8 * sqrt(13) になります。 (2) S(7π/4) <= S(x) <= S(3π/4) 1/2 * (r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2)) <= △PQR <= 1/2 * (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2)) r = 7/2，c = 3 より， (49 - 6 * sqrt(62))/8 <= △PQR <= (49 + 6 * sqrt(62))/8 になります。 この解法のポイントは f(x) の評価ですが，真っ正直やろうとすると大変で，式がきれいな形をしていることを利用して何とかできました。 ただ，そうしたことができる裏には，きれいな関係が隠れているわけで，もっと簡単にできそうな気もします。 なお，お気づきかと思いますが，全く同様にして，f(x) の二つ前の式の sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) を直接に評価することも可能です。 |
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ネコの住む家
8月20日（木） 14:12:28
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34954 |
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uchinyan |
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#34954の続き
(1) は，スモークマンさんと原則同じですが，次のようにすれば初等幾何の範囲でもできます。 今，円の中心を O とし，T を 弧AB 上の点，T' を 弧TA 上の T とは異なる点とします。 すると， T' が A に一致せず，T が B に一致しない場合は，O は，∠QTT' 内の領域にあり，T'Q に関して T と反対側にあるので， ∠QTT' > ∠OTT' = ∠OT'T > ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。 T' が A に一致し，T が B に一致しない場合は，O は，∠QTT' 内の領域にあり，T'Q = AQ 上にあるので， ∠QTT' > ∠OTT' = ∠OT'T = ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。 T' が A に一致せず，T が B に一致する場合は，O は，T'Q に関して T と反対側にあり，TQ = BQ の延長上にあるので， ∠QTT' = ∠OTT' = ∠OT'T > ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。 T' が A に一致し，T が B に一致する場合は，明らかに，T'Q > TQ になります。 結局，常に，T'Q > TQ なので，T が 弧AB 上を B から A に移動するとき，TQ は単調に増加すると分かります。 これより，△PQR = PQ * RQ * 1/2 なので，P，R が 弧AB 上にあるときの PQ，RQ に関して， Q から AB に垂線を立て 弧AB との交点を C とすると， BQ <= RQ <= CQ <= PQ <= AQ がいえます。そこで， CQ * BQ * 1/2 <= △PQR = PQ * RQ * 1/2 <= AQ * CQ * 1/2 AQ = 7 * 13/(13 + 1) = 13/2，BQ = 7 * 1/(13 + 1) = 1/2， OC = OA = OB = 7/2，OQ = OB - BQ = 7/2 - 1/2 = 3，CQ = sqrt(OC^2 - OQ^2) = sqrt((7/2)^2 - 3^2) = sqrt(13)/2 なので， 1/8 * sqrt(13) <= △PQR <= 13/8 * sqrt(13) になります。 |
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ネコの住む家
8月20日（木） 14:02:02
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34955 |
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uchinyan |
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#34955の続き
(2) は，次のようにすれば，微分を使わなくてもできます。 #34954と同じ設定で， a^2 + 2c * cos(x) * a - (r^2 - c^2) = 0 b^2 - 2c * sin(x) * b - (r^2 - c^2) = 0 a > 0，b > 0 なので， cos(x) = - 1/2c * (a - (r^2 - c^2)/a) sin(x) = + 1/2c * (b - (r^2 - c^2)/b) (cos(x))^2 + (sin(x))^2 = 1 より， (1/2c * (a - (r^2 - c^2)/a))^2 + (1/2c * (b - (r^2 - c^2)/b))^2 = 1 a^2 - 2(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2/a^2 + b^2 - 2(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2/b^2 = 4c^2 a^2 + b^2 - 4(r^2 - c^2) + + (r^2 - c^2)^2 * (1/a^2 + 1/b^2) = 4c^2 (a + b)^2 - 2ab - 4(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2 * ((a + b)^2 - 2ab)/(ab)^2 = 4c^2 ここで，a + b = s，ab = t とおくと，a，b が正の実数であることより， (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = s^2 - 4t >= 0 s > 0, t > 0 です。逆に，こうなる s，t が存在すれば a，b は存在します。また， △PQR = ab/2 = t/2 です。そして，先ほどの a，b の式は， s^2 - 2t - 4(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2 * (s^2 - 2t)/t^2 = 4c^2 (1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * s^2 = 2t + 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t ここで，この式より，t > 0 ならば s > 0 の解を取ることができ，s > 0 は満たされます。 そして，t > 0 の元で， s^2 - 4t >= 0 (1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * s^2 - (1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * 4t >= 0 2t + 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t - 4t - 4(r^2 - c^2)^2/t >= 0 2t - 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t <= 0 t^2 - 2r^2 * t + (r^2 - c^2)^2 <= 0 r^2 - sqrt(r^4 - (r^2 - c^2)^2) <= t <= r^2 + sqrt(r^4 - (r^2 - c^2)^2) r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2) <= t <= r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2) ここで，r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2) > 0 で，0 < c < r より， (r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2)) * (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2)) = r^4 - c^2 * (2r^2 - c^2) = r^4 - 2 * c^2 * r^2 + c^4 = (r^2 - c^2)^2 > 0 なので，r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2) > 0 もいえます。そこで，t > 0 は成立しています。 そして， (r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2))/2 <= △PQR = t/2 <= (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2))/2 がいえます。そこで，r = 7/2，c = 7/2 - 7/(13 + 1) = 3 なので， (49 - 6 * sqrt(62))/8 <= S <= (49 + 6 * sqrt(62))/8 になります。 なお，最大，最小の等号は a = b，つまり RQ = PQ，のときなので，△PQR が二等辺三角形になるときで， ∠RQB = 3π/4，7π/4 となって，#34954と，状況も確かに一致しています。 |
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ネコの住む家
8月20日（木） 14:26:58
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34956 |
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スモークマン |
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#34954,#34955,#34956
uchinyanさんへ ^^ 詳細な解法、誠にありがとうございました m(_ _ )m...v 大変な計算力についていけるかどうか自信ありませんが...熟読玩味です ^^;♪ |
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金光＠岡山
8月20日（木） 22:55:55
34957 |
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香取巻男 |
| #34953のtutpr92 さん。詳細の説明をおねがいします。なぜならこのサイトでは算数らしい解法が最もエレガントな方法なのですから。高等数学の方法はむしろ野暮というものです。よろしくお願いします。 |
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8月26日（水） 18:08:15
34958 |