マサル

今回の問題、私は１パターンしか確認できていないのですが、「他にないのか」についてちょっと不安があります..。保険をかけて、「最も少ない場合で」と入れておきましたが...ううむ。

10月29日（木） 0:10:19　　 　　35243

apato

Ｔaroさん。いつものことですが早いですねー！51秒なんて計算ドリルじゃないんだから・・・

恐竜の町　　 10月29日（木） 0:11:31　　 　　35244

あみー

多分無限にありますよ

10月29日（木） 0:12:51　　 　　35245

黒アイス

円の個数に対する交点の数を2通りの数式で表す。 そこから範囲を割り出す。(めちゃくちゃなやり方) ただ11個ではだめだという理由は分からない。

10月29日（木） 0:13:19　　 　　35246

Taro

まず、ドーナツ型の間に５個の円では5個の円は4つずつしかしか隣り合わない. そこでドーナツ型の間に2列5個の円を並べる配置を考えました。

10月29日（木） 0:16:01　　 　　35247

英ちゃん

正十二面体は五角形ですね。

いぇい　　 10月29日（木） 0:18:00　　 MAIL:eityans@gmail.com HomePage:ブログ　　35248

スモークマン

最小だから...5角形になるように円を並べる。 その外周に1個円が描ける。最初の円は3個接点があるので、内部に小さい5角形の円を並べる。これで、最初の円の接点は5個になり、内部の円の接点は4個なので、今度は内部の5角形の内周に円を描けば、5個の接点になる。円は3点で一意に決まるから、内部に上を満たす5個の円は描ける。 内部と外部の円は対称になってる...♪ これが最小であることはどうすれば言えるんだろ・・・？ Taroさんのドーナツ#35247と同じ形でした...Orz...

金光＠岡山　　 10月29日（木） 0:42:02　　 　　35249

apato

私の解き方は、Ｔaroさんと同じ解き方でした。掲示板を読みました。#35245あみーさん。はい。そうだと思います。少しだけずらして、また少しだけずらして・・・とやっていくと無限にできるでしょう。#35246黒アイスさん。確かにむちゃくちゃですが、別にいいと思いますよ。私も１１で１度×になりました。#35247のＴaroさんは、私と同じで#35248の英ちゃんさん。私は関係はわかりませんが、きっとあるでしょう。#35249スモークマンさんも、私と同じですね。

恐竜の町　　 10月29日（木） 1:13:08　　 　　35250

エルク

１１個の円では接点が（のべ？）５５個。 ２個ずつ接してることに矛盾するのでありえません。 まぁ１０個でできない理由なんて私にはわかりませんが

10月29日（木） 1:21:41　　 　　35251

CRYING DOLPHIN

#35250 少しずつずらす方式で別の並び方があるんじゃないかと私も思い、 グラフィックソフトで試してみましたが、ちょっとでもずらすと、 円の接点が４個になってしまうようです。 #35248 正十二面体を平面図(展開図ではない)で表した図ですか。 なんとなく関連がありそうに見えますが、確固たる確証はなし。 「反転」使えば証明できそうな気がしますが、その理論忘れたし(

誰もいない市街地　　 10月29日（木） 1:52:38　　 HomePage:算数と隧道　　35252

スモークマン

1個の円の回りに5個の円が接していなければならない。 効率よく外側の円は互いに接して配置する。 外側の円の接点はそのとき3個。その外側に効率よく円を配置するにはその外側の円2個に接する円を配置し、かつそれらが互いに接するときを考える。それらの円同士も接するときがいちばん効率がよいし、3点で円は一意に決まるからそのような円は描ける。そのとき、一番外側の円は、4個の接点を持っている。残りは一番外側の円5個に接する円を1個描けばすべて満たせる。これが理屈的には最適解のはず。1+5+5+1=12 以下では描けない＝いずれの円も5個の接点はもてない。・・・これで証明したことになるんだろうか...^^;?

金光＠岡山　　 10月29日（木） 1:59:45　　 　　35253

cocolo

#35248 恐らく正十二面体を平面につぶした形で考えたのですよね？(いずれの五角形も五角形5つと隣り合っているので，正十二面体をつぶした形の五角形の部分を円に置き換えれば図はできる。) 私もそれで考えました。 しかし… #35252 確かに確証無しです，私の場合…。

兵庫　　 10月29日（木） 2:15:04　　 　　35254

doba

条件として、接していない円同士は交わっていてもいいんですよね？ 12個が最小であることをきちんと言うためには、 グラフ理論を用いて 円をグラフの頂点、円が接することをグラフの辺で表して、 図形的考察から得られるいくつかの制約のもと、 どの頂点についても、それを端点とする辺がちょうど５本となるような （少なくとも１個以上の頂点を持つ）グラフの頂点の数の最小値が12個で あることを示す、というような議論が必要になるような予感がします。 制約がなければ、もちろん最小値は「６個」なのですが、 「互いに接する３つの円のいずれとも接する円は 高々２個しか存在しない」という制約から、 ６個ではダメだということはすぐわかります。 でも、この制約だけでは８個や10個でダメだということは言えません。 いずれにせよ、中学校までの範囲で、12個の例を発見することはできても それが最小であることを言うのは無理な気がします．．．

10月29日（木） 5:55:14　　 　　35255

スモークマン

・同じ図形を中の円に組み込んでいけば無限個の円が描けますよね...^^ 　↑ 　これは嘘ですね...^^; それ以上接っせられないから一意に決まっちゃう...か...? ・この条件を満たす図形は、接点の数が 1,2,3,4,5 個しかないですよね...?0=∞ としてもいいかな...^^; その時の円の最小個数は...2(2種類),3(2種類),4(2種類),6(1種類),12(1種類) 個... ・互いに接する3個の円 a,b,c に関して、それにひっつく円を考える時、(a,b) に接する円 d、(b,c) に接する円 e、(c,a) に接する円 f が考えられるが、最初の円の接点は4個まで。それらが環状につながってるとしても...その外周に接する円は1個しか取れないので、高々接点は5個までしかない...?

金光＠岡山　　 10月29日（木） 10:16:21　　 　　35256

マサル

えと、私自身は今回の問題の実例を、「正十二面体の各面に内接円を描いて、それを平面に射影する」ことによる方法で導くものとして出題しました。（ずいぶん昔に買った本に載っていたもので、オリジナルで考えたわけじゃないです..） 接点が４個とかだと、複数パターンが存在しそうなことは確認したので、他のパターンが見つけられなかった接点が５個で出題にいたりました。しかし、確信も自信も持てず、結局は「最も少ない場合で」を保険として入れたという...。そんな状態ですから、当然証明もできていません。小学生にもし出題するなら、「接点が５個になるような例を１つ示せ」とかになるかなと思いますし、そのほうが良問かなという気もします。が、それだと算チャレでは出題形式上無理でして...スミマセン。

10月29日（木） 10:27:07　　 　　35257

abcba@jugglermoka

私は他の円との接点が5個を考える前に4個の場合から考えていきました。 他の円との接点が4の場合;大きな円の中に４つの円を正方形状に並べるその四つの円の中心に円を一つ置く。1+4+1=6個が最小。 他の円との交点が5個の場合もその応用で大きな円の中に５つの円を正５角形状に並べてその中に又正５角形状に並べて中心に円を置く。これで12個。 一方、円を正n角形状に並べた図形の内部に円を正n角形状に並べた図形を置いて更にその内部に円を一つ置くと他の円との交点は5つになるので、 他の円との交点が６個以上の場合は存在しない気がします。 間違っていたらごめんなさい。 今回も楽しませて頂き有難う御座いました。

10月29日（木） 10:29:24　　 　　35258

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． う〜む，こういう問題は，いろいろと考えるのは楽しいのですが，最小性などはどうするのか，難しいことも多く，苦手です (^^; まぁ，一応，こんな感じで。 いろいろと頭の中でイメージしていて思いついた図は，次のような図です。 まず，正五角形の各頂点を中心として互に接するように円を五つ描きます。 次に，これらの五つの円の並びの内側に五つの円と接する円を一つ描きます。 さらに，五つの円の並びの外側に，隣り合う円の間に接する円を一つずつ描き，それら新しい五つの円も互に接するようにします。 最後に，今描いた五つの円の外側に，それらと内接する円を描きます。 これで最小性以外の条件は満たしています。 そこで，この場合の 12 個で認証したら，うまくいったという，いい加減さでした (^^; さて，その後，数学になりますが，少し考察してみました。正しいかどうかは，よく分かりません。 どうやら，円の大きさは必要に応じて適宜選べばよさそうで，重要なのは，円の相互の位置関係のように思われます。 そこで，グラフ理論の力を借りるのがいいかな，と思い，次のように考えました。 まず，各円の中心を考え，円が接する場合にそれら中心を結んだグラフを考えます。 つまり，円の中心がグラフの頂点，中心を結んだ線分が辺になるグラフです。 すると，各円が接することから，中心同士を結んだ線分上又はその延長上に接点があることになります。 ただし，この問題の場合，先ほどの図のように，同心円のような状況も考えなければならないので， 一番外側にある円の輪郭の外側も考え，それが同心円のような円の場合には，その中心は，無限のかなたにあると考えます。 円になっていない場合には，無限遠の中心を考えません。(実は，ここらが，苦しい．．．) するとこれは，グラフを空間上に持ち上げると，無限遠の点がある場合もズズーッと寄ってきて立体の多面体に等価になります。 (ただし，この多面体の形状は，一般には，複雑になります。) 逆に，多面体の一つの頂点をはずすなどして平面に押し付けた，と考えた方が分かりやすいかもしれません。 このグラフの頂点の数を v，辺の数を e，辺で囲まれた領域，つまり，面，の数を f とします。 すると，立体の場合と等価だということから，オイラーの公式より， v - e + f = 2 がいえます。 さて，一つの円は五つの円と接するのですから，グラフで辺の重複を考えて，2e = 5v がいえます。 また，グラフの面は三角形とは限らないことに注意すると，同様にして，3f <= 2e = 5v がいえます。 これより， 2 = v - e + f <= v - 5v/2 + 5v/3 = v/6 v >= 12 v は，頂点の数，つまり，円の中心の数，だったので，円の個数は 12 個以上，ということになります。 v = 12 に確定するかどうかは，グラフ，つまりは多面体，の面が三角形しかないかどうか，になりますが， これは一般にはいえないのではないのでしょうか。実際，変形立方体， http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89%E5%BD%A2%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93 など，頂点に辺が 5 本集まり v > 12 となる多面体が存在します。 もっとも，私が条件を見落としている可能性はあり，その条件で縛られるのかもしれません。 また，「実は，ここらが，苦しい．．．」と書いたところの議論が不十分だと思います。 いずれにせよ，同心円を考えるのが最小のようには思うのですが．．．

ネコの住む家　　 10月31日（土） 12:00:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35259

みかん

（#35257）マサルさん ＞小学生にもし出題するなら、「接点が５個になるような例を１つ示せ」とかになるかな ５個の場合は「きれいな図をフリーハンドで描く」ということが難しいと思います…。 ４個の場合ぐらいならなんとかなるか？

10月29日（木） 15:27:17　　 　　35260

uchinyan

掲示板を読みました。 どうやら皆さん同じ図をイメージしたようですね。 最小性及び一意性の議論は，皆さん試みているようですが，まだ，明確ではないようです。 なお，私の#35259における最小を与える多面体は，例えば，正20面体になりますが， 考察しているグラフは円の中心を結んだグラフなので，元とは双対になっており，マサルさん他の正12面体と等価です。 それと，私の#35259で，一つの円に n 個の円が接する場合を考えると， 2 <= (6 - n)/6 * v となり，n <= 5 は明らかです。 ただし，n = 1, 2 は多面体ができないので，別途考える必要があります。 いずれにせよ，最小の個数は， n = 1，2 個 n = 2，3 個 n = 3，4 個 n = 4，6 個 n = 5，12 個 また，同心円を考えない場合は，通常の平面グラフで考えてもいいですが，このときは， v - e + f = 1 で，v >= 6，つまり，6 個以上ですが，#35255にもあるように，6 個では無理で，奇数個は明らかにダメだから，8 個以上になります。 しかし，その後の議論が，今のところ？，私には分かりません。

ネコの住む家　　 10月29日（木） 21:59:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35261

あみー

６個以上接するケースはあり得ないのでしょうか。 そのあたりに秘密があるのか？ あと，同じものを複数書いて24，36…は抜け道過ぎか…。

10月29日（木） 21:35:39　　 　　35262

みかん

立体版に拡張するとどうなるのでしょう？ 「４つの球それぞれが、他の球と３ヶ所ずつで接している」は正四面体、 「５つの球それぞれが、他の球と４ヶ所ずつで接している」は正八面体を 想像すればよさそうですね。

10月29日（木） 23:56:11　　 　　35263

apato

#35251以降の掲示板を読みました。#35251のエルクさん。確かにそうですね。円が11個では、接点は1＋2＋・・・＋（１１−１）＝55個ですね。#35252のＣＲＹＩＮＧ ＤＯＬＰＨＩＮさん。そうですか。少しずつずらせばいけると思ったのですが、やっぱり算数って奥深いですね。#35253のスモークマンさん。とてもいい証明です。私と同じですね。#35254のｃoｃoｒoさん。はい。わたしも明確にはわかりません。#35255のｄoｂaさん。証明は難しいですね。#35256のスモークマンさん。確かにシェルピンスキーのガスケットのようにうまくはいきませんね。#35257のマサルさん。もし、一例を示す問題ならすぐできたなあ。ま、これでも十分いい問題だと思いますよ。#35258のaｂｃｂa＠ｊuｇｇｌeｒｍoｋaさん。そうですかねえ？円を小さくすれば、いくらでもできるような・・・間違っていたらスミマセン。#35259と#35261のuｃｈiｎｙaｎさん。うーんまさにこれぞ数学のプロ中のプロ！ただただ感心し、舌を巻くばかりです。#35260のみかんさん。フリーハンドではなく、選択式またはクリック式にすれば出題は不可能ではないが、算チャレの伝統をこわすことになるので・・・でも、一回やってみてもどうかな。#35262のあみーさん。うーん・・・。その秘密がよくわからないですねえ。最後にちょっと疑問がありまして、答えていただけるようであれば幸いですｍ（−−）ｍ。この問題は、接点が5個→5角形→12面体とでましたが、接点が3個のときは、20面体で２０はおかしいですねえ。いったいどういうことですか？

恐竜の町　　 10月30日（金） 0:51:35　　 　　35264

doba

皆さんが、一意性と言った時にどういう内容をイメージされているかはよくわかりませんが、想定解の図形と相似のものしかないという意味であれば、お気づきの方も多いと思いますが、「反転」を考えればそうではないことは明らかですね。 反転とは、反転の中心をOとしたとき、O以外の任意の点Pを、半直線OP上にあって、OP・OP'が一定値になるような点に移す写像です。（通常は、Oを中心とした半径rの円を考えて、OP・OP'＝r^2となるようにします。すると、この円内は円外に、円外は円内に移ります。） この写像には、全ての円または直線を、円または直線に移す、という際だった特徴があります。（特に、Oを通らない円は、必ずOを通らない円に移ります。）また、互いに接する（Oを通らない）２円はやはり互いに接する２円に移るので、想定解の図形を、いろんな点を中心とした反転で移すと、円同士の接し方は変わらない様々な図ができあがります。 特に、反転の中心として、大外の円の内側で、なおかつそれ以外の円の外側であるような点を選ぶと、全ての円が互いに外接するような解を作ることもできます。 また、72°回転すれば重なるような対称性を持つような解に限るとしても、今回の問題では互いに接しない円同士が互いに交わることについては特に禁止されていないことを踏まえると、他にも解は存在します。 皆さんが想定しているのは、正五角形の各頂点を中心とし、半径が正五角形の１辺の半分であるような５つの円の組を大小２組（小さい方をＡ群、大きい方をＢ群とします）と、それとは別に２つの円（Ｘ、Ｙとします）を用意し、Ａ群の外側にＢ群を互い違いに接するように置いて、さらにＡ群の内側に５円に接するようにＸを、Ｂ群の外側に５円に接するようにＹを配したような図だと思いますが、円同士の交わりを容認するならば、例えばＸをＡ群の内側ではなく外側に配することも可能です。（この場合、ＸはＢ群の５円とは交わりますが接するわけではありません。）　同様に、ＹをＢ群の内側に配することもできます。 さらに、Ａ群・Ｂ群自体も、隣り合うものと接するのではなく、一つ離れた物と接するようにすることができます。（正五角形ではなく、星形の頂点に中心を配し、星形の１辺の半分を半径とする円を５個組み合わせればＯＫ） Ａ群・Ｂ群として、どちらの形の５円の組み方を使うか、および、Ｘ、Ｙを内側・外側のどちらに配するかで、対称な配置だけでも16通りのバリエーションが存在します。（ただし、そのうち円同士が交わらないのは１通りだけです。） 残る問題は、全ての解が、反転だけを繰り返すことで、この16通りの解のいずれかに帰結するかどうか（実際は、反転で内外を入れ替えられるので、16通りのうち反転について独立なのは10通りだけです）という点ですが．．．これ以上は私の手には負えません(^^;

10月30日（金） 2:45:53　　 　　35265

スモークマン

とてもおもしろいのですが... #35257 マサルさんの「接点が４個とかだと、複数パターンが存在しそう」の図と、#35265 dobaさんの「想定解の反転」の図をどなたかお示し願えませんでしょうか m(_ _)m... 思い浮かばないもので...^^;

金光＠岡山　　 10月30日（金） 8:40:41　　 　　35266

CRYING DOLPHIN

#35266　接点４個の解の例 ttp://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/q669-enenen1.gif 反転理論は、XX年前に大学数学から足を洗った私には無理..λ

誰もいない市街地　　 10月30日（金） 13:19:58　　 HomePage:算数と隧道　　35267

uchinyan

#35267 私の#35259からも分かりますが，いずれも，正八面体又は正六面体を平面に押し付けて作れます。

ネコの住む家　　 10月30日（金） 14:22:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35268

スモークマン

#35267 CRYNG DOLPHINさんへ m(_ _)mγ ありがとうございました♪ 本質的には2種類と思いますが...わたしは一つしか思いつけなかった...^^;

金光＠岡山　　 10月30日（金） 14:03:36　　 　　35269

スモークマン

ひょっとして...左上の図を曲げていっていちばん外の円を反転したら右の図ができると考えられるのかな...? ↓

金光＠岡山　　 10月30日（金） 14:09:39　　 　　35270

doba

#35268 平面に押しつける、というよりは、ステレオ投影の考え方を使えば、たとえば#35267の左側の２つの図の間を連続して変化するような無限の解が存在することがわかります。他の４個の円と接する場合については、正八面体で考えることもできるのかもしれませんが、立方体で考える方が自然でしょう。（正八面体と立方体は双対の関係にあるので。） ある立方体の、すべての辺の中点を通る球面を考えます。立方体の各面に、その正方形に内接する円を描くと、それらの円はいずれも球面上の円になります。その結果、球面上に６個の円が、「ある円が他の４個の円と接する」状態に配置されることになります。 その６つの円の描かれた球面を、ある平面に接するように適当な向きに置き、球面上の平面から一番遠い点に光源を想定して平面に投影すると、球面上の円のステレオ投影による像も円となるので、求める解が得られます。 「ある円が他の５個の円と接する」場合については、正十二面体で同じことをやればいいですね。 ちなみに、球面をはさんで平行な２つの平面α，βを、いずれも球面と接するように配置して、αから球面にステレオ投影の逆変換で投影し、球面からβにステレオ投影すると、αからβへの写像は反転と同じことになります。（反転円の半径は、球面の半径の倍です。） おそらく、正十二面体からステレオ投影で得られる、元の問題の解の集合は、みなさんの想定解から適当な反転を行うことで得られる解の集合と一致すると思われます ステレオ投影について http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AC%E3%82%AA%E6%8A%95%E5%BD%B1

10月30日（金） 15:06:21　　 　　35271

doba

#35270 そんな感じだと思いますよ。 #35266で書いておられた「想定解の反転」についても、同じようにイメージできますよね。

10月30日（金） 15:14:21　　 　　35273

まるケン

#35266,#35267,#35269 接点４個の場合については、必要な円の数からして、無限の解が存在します。 今出先なので、詳細は今夜にでも。

10月30日（金） 15:16:43　　 　　35274

doba

失礼、#35273で反転という言葉が多義的に使われてしまいましたね。 想定解を連続的に変形していって、最後に外側の円がくるっとひっくり返ることをイメージすることで、「反転」によって得られる「全ての円が互いに外接する解」の形状をイメージすることができる、ということを言わんとしてました。 ちなみに、ひっくり返るっていうのは、円周の一部が視野に入っている状態で 円の直径がどんどん大きくなる→ほとんど直線→反対向きの円 という感じです。

10月30日（金） 15:32:41　　 　　35275

uchinyan

#35265 そもそもの一つの円が 5 個の円と接する場合において，一意性に関しては，多分，二つの意味があると思います。 一つは，ご指摘の，12 個の円の平面上での配置に関するものです。 これは，何を同じと見なすかの定義をしないと議論できないので，個人的には，現時点ではあまり関心がありません。 大雑把に，位相的に同じならば同じ，ぐらいでいいんじゃないか，と思っています。 必要な場合には，示されているように，適当な同相写像で作ればいいのですから。 もう一つは，12 個より多い解があるかどうかです。個人的には，こちらの方が重要なように思うのですが．．． ちなみに，私は，#35259で述べたように，解があるのでは，と思っています。

ネコの住む家　　 10月31日（土） 12:05:59　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35276

さいと散

#35256スモークマンさん　無限個の円が描けますよね #35259　uchinyanさんの図で、中心の円を取り除いて、その中に 大外の円を取り除いた図を組み込めば無限個の円が描けると思います。

10月30日（金） 19:14:19　　 　　35277

スモークマン

#35277 さいと散さんへ ^^ それで巧く行くかとわたしも思ったけど... たとえば、外、中、内の3列を考えると... 中の円は接点が6個になっちゃうような...^^;?

金光＠岡山　　 10月30日（金） 22:26:44　　 　　35278

サイト散

#35278スモークマンさんへ、 円が内側から１個、５個、５個、１個と並んでいるものを １個、５個、５個、（１対１で接触する）、５個、５個、１個と 組み込むので接点は５個のはずですが？

10月30日（金） 22:48:41　　 　　35279

doba

#35278 いえいえ、そんなことはないですよ。 内側から順に ・小さい円Ｘ ・５個のリングＡ ・５個のリングＢをＡと互い違いに接するように（Ｂの１個はＡの２個と接する） ・５個のリングＣをＢと互い違いにならないように（←ココ重要）（Ｃの１個はＢの１個と接する） ・５個のリングＤをＣと互い違いに接するように（Ｄの１個はＣの２個と接する） ・大きい円ＹをＤと接するように これで、22個の円からなる解ができます。 この方法をさらに進めると10n+2個（nは自然数）の円からなる解ができます。 ちなみに、自分はさっき20個からなる解を見つけました。 （接しない円同士は交わっていい前提です。） 1-4-4-1の10個のかたまりを、２つ組み合わせます。 私としては、やはり、８個や10個の解が本当にないのか、 それをどうやって示せばいいか、に興味があります。 #35259のuchinyanさんの議論は、円同士が交わらないことが前提となっているので（そうでないとオイラーの定理は使えないので）、その場合は12個が最小ということは示されているのですが．．．。 互いに接する関係を辺として表したグラフとして可能なものを全てリストアップして、それらの関係が実際には実現不可能だということを一つずつ論証するしかないのかなとも思いますが、えらく面倒ですね。

10月30日（金） 23:01:14　　 　　35280

スモークマン

#35279 さいと散さんへ ^^v そっか...^^; 了解です♪ 無限に繰り返せせますね！！ フラクタルって言うのかな...相似形の繰り返し♪

金光＠岡山　　 10月30日（金） 23:07:41　　 　　35281

スモークマン

#35280 dobaさんへ ^^ ご指摘のように互い違いにならないように＝（さいと散さんのおっしゃる 1:1 で接触）できますね♪

金光＠岡山　　 10月30日（金） 23:11:36　　 　　35282

まるケン

シンデレラ使って図を描こうとして今までがんばっていましたが、、、挫折です。 しょうがないので、（かなり無理がありそうですが）言葉だけで、、、 正四面体をベースに考えると、トップページの例題のように３点で接する４つの円が描けます。 言葉で説明するならば、正三角形状に並ぶ３つの円と、その外側に接する大きな円ひとつ。 同様にして、正８面体をベースにすると、３点で接する８つの円がかけます。 これまた言葉で説明すると、正方形状に並ぶ４つの円と、その外側に、やはり正方形状に並ぶ大きな４つの円。 で、この「４つの」の４を増やしていけば、３点で接する円のパターンはいくつでも作れます。 ５角錐、６角錐、、、を２つ底面であわせたような立体がベースです。 次に、４点で接する場合。 これは、４角形で構成される立体をベースに考えます。 最もわかりやすいのは立方体。 で、立方体を平らにおいて、真上から見た図をベースに考えると、 中央に小さな円。 その外側に、互いに接する４つの円。 それと、その外側に、４つの円に接する大きな円。 計６つで、４点で接する円が描けます。 一方、立方体を斜めにおいて、頂点を中心に見た場合、、、 中央に正三角形状に並ぶ小さな円３つと、その外側に、逆三角形状に並ぶ大きな円３つを描けば、４点で接する円６つが描けます。 で、これまた、中央の円の数を増やしていけば、いくらでもたくさんのパターンが描けます。 そして、最後に５角形の場合。 正１２面体の１面を正面にしてみた場合は、皆さんが思いついたパターンが出来上がります。 すなわち、中央に小さな円。 その周りに互いに接する５つの中くらいの円。 そのさらに外周に中くらいの円２つに接し、互いにも接する５つの大きな円。 最後に大きな円の外側に接する超大きな円１つ。計１２個です。 一方、１つの頂点を手前にしてみた場合をベースにすると、違うパターンが描けます。 中央に、正三角形状に並ぶ小さな円３つ。 そのすぐ外側に、同じく正三角形状に並ぶちょっと大きな円３つ。 そして、最初の円２つとあとからの円２つに接する中くらいの円３つ。 そして最後に、２番目と３番目に描いた円３つに接し、互いにも接する超大きな円３つを描けば、５点で接する１２個の円が作図完成。 これも、先の３点、４点の場合と同様に、スタートの円を４個、５個と増やしていけば、トータルで１６個、２０個、、、と、いくらでもたくさんの５点で接する円のパターンに増やすことができます。 って、やっぱり言葉で説明するのには限界がありましたね。 例の１つくらいは土日使って作図してみたいと思います。

東京　　 10月31日（土） 0:24:59　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　35283

まるケン

おはようございます。 #35277 > 中心の円を取り除いて、その中に > 大外の円を取り除いた図を組み込めば無限個の円が描けると思います。 取り除くのは、どの円でもＯＫ。 つまり、２つの１２面体を、どれかの面で張り合わせていけば、どんな大きな立体でも作れるっていうこと。 ただし、張り合わせる立体の面の数をＡ，Ｂとすれば、出来上がるのは（Ａ＋Ｂ−２）面体。 つまり、１２面体２つで２２面体。もうひとつつければ３２面体。以降、４２、５２、６２、、、 また、私の考えた別パターンで、１６面体をくっつければ、（１２＋１６−２）＝２６面体も作れる！ ま、結局「１２個より少ない数でできるか」の答えは見つかっていないし、６点で接する場合なんか、思いつきもしないんですけどね。

東京　　 10月31日（土） 9:36:57　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　35284

uchinyan

#35279，#35280 一つの円が 5 個の円と接する場合の 12 個以外の具体的な提示をありがとうございます。 私の#35259の多面体では，正20面体から一つの頂点を除いたものを二つ用意し，間に正方形を 5 個挟んだものですね。 確かに，頂点の個数，したがって，円の個数は 22 個になります。 #35280 ＞#35259のuchinyanさんの議論は、円同士が交わらないことが前提となっているので（そうでないとオイラーの定理は使えないので）、 ＞その場合は12個が最小ということは示されているのですが．．．。 え，円同士が交わってもいいんですか？それは考えていませんでした。 ただ，私の議論は，接する円同士の中心を結んだ双対グラフを考えているのですが， 交わる場合は結ばないので，同じように議論できてオイラーの定理は使えるような気がするのですが．．． そう簡単ではないのでしょうか。 それと， ＞ちなみに、自分はさっき20個からなる解を見つけました。 ＞（接しない円同士は交わっていい前提です。） ＞1-4-4-1の10個のかたまりを、２つ組み合わせます。 この例をもう少し詳しく教えてもらえませんか？

ネコの住む家　　 10月31日（土） 13:57:49　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35285

uchinyan

#35283，#35284 詳しい解説をありがとうございます。 これは，結局は，私の#35259の多面体(又はその双対多面体)の議論，dobaさんの#35271のステレオ投影の議論の具体例になっていますね。

ネコの住む家　　 10月31日（土） 13:54:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35286

ゼロ崎

ウわー　ここまで詳しく書かれた説明をみるとなんか・・・ 例題のように、囲む感じのやつになるのは何となくわかったいたんですが、そっから先は五角形の形を使って、勘で解いちゃってなんかどうしたらいいのか・・・

10月31日（土） 15:02:24　　 　　35287

あみー

#35264 こういうことかな？ ttp://blog.livedoor.jp/uusnas/ imepitaとかも案外面倒なので…。

10月31日（土） 15:51:52　　 　　35289

スモークマン

#35284 まるケンさんへ ^^ >> 中心の円を取り除いて、その中に >> 大外の円を取り除いた図を組み込めば無限個の円が描けると思います。 >取り除くのは、どの円でもＯＫ。 たしかに!! 一つの接点に新たな円が一つあればよくて... それを満たす円のセットなら条件を満たすわけですね♪ #35289 あみーさんへ ^^ こんな図は想いもしなかったけど...奇麗ですね♪ やはり...最初のシンプルな図から...接点に一つの円を加えて帳尻あうように描けば生まれるってことですね...上と同様に...どの円の代りにでもこれと同じ相似形を取り換えても成り立ちますね♪ おもしろいなあ・・・最小のフォルムさえ分かればいくらでも増やせることがわかりました Orz〜v

金光＠岡山　　 10月31日（土） 17:04:17　　 　　35290

uchinyan

#35289 なるほど。私の#35259の多面体では，正12面体ですね。

ネコの住む家　　 10月31日（土） 17:49:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35291

doba

ttp://www.tranzas.ne.jp/%7Egaf04242/work/wk091031.pdf #35265の後半で書いた16通りの例のうちの４つと、 #35280で触れた20個の円からなる解（一番下の図）です。 図を眺めて大阪万博を思い出した人は、歳がばれます(^_^; #35285 uchinyanさん 円が交わる場合、接する円同士の中心を結んだグラフが平面グラフ（もしくは球面に埋め込めるグラフ）になるとは限らないので、双対グラフを考えることもオイラーの定理を使うこともできません。 図に示した20個からなる例は、左右のかたまり同士で接しているのが大外の円と中心の円だけになるように、適当に傾けて組み合わせています。

10月31日（土） 20:23:32　　 　　35292

uchinyan

#35292 図をありがとうございます。 うーむ，これは確かに簡単にはいきそうにないですね．．．

ネコの住む家　　 10月31日（土） 22:55:38　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35293

fumio

こんにちは。楽しく解けました。ははは。 ではまた。

11月3日（火） 11:14:06　　 　　35294

apato

#35292のdobaさんの図、きれいでした。

恐竜の町　　 11月4日（水） 23:48:12　　 　　35295

apato

#35295につけたし。一番下のずは、こんなの書けるの？と思いました。下から２番目は、フラクタルですか。

恐竜の町　　 11月4日（水） 23:49:50　　 　　35296

apato

よし。あと1分で問題更新。

恐竜の町　　 11月4日（水） 23:59:11　　 　　35297