〓〓β

baka

（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×24÷3かな？

　　 2月25日（木） 0:07:28　　　　35832

むらい

今中２で樹形図やってるので必死に（というほどでもないけど）数えました。
各点に反時計回りに、０（＝Ａ）、１，２，３，…２３　と名前をつけ
０の場合　
０＆６＆１２～１８　（７通り）
０＆７＆１３～１８　（６通り）
中略
０＆１２＆１８　（１通り）　　で０を通るのが　７＋６＋５＋…＋１＝２８通り

以下同様にして重複を３で割って　２２４
式は#35832のbakaさんと同じです。

サイタマ　　 2月25日（木） 0:12:05　　　　35833

むらい

ちなみに、またカウンタが高速変動していますね。　

サイタマ　　 2月25日（木） 0:13:36　　　　35834

うっしー

「正n角形の頂点から任意の３点を結んでできる三角形のうちで、鋭角三角形になるものの総数を求めよ」
というのが、大学入試問題の典型例として見受けられますが、
今回はその姉妹問題（妹かな？）という感じですね。

ｎのフィールド　　 2月25日（木） 0:20:36　　 HomePage:３研　　35835

ゴンとも

最初は28通りで3位だったのですが
回転して同じなものを省かないので点の24を掛けて
そして3で割って
28*24/3=224通り・・・・・・(答え)

豊川市　　 2月25日（木） 0:21:29　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　35836

algebra

(6,6,12)→24　(6,7,11)→48　(6,8,10)→48　(6,9,9)→24　(7,7,10)→24
(7,8,9)→48　(8,8,8)→8　24+48+48+24+24+48+8=224

　　 2月25日（木） 0:22:25　　　　35837

マサル

スミマセン、正解者掲示板のID, passwordは直前に修正したのですが、肝心の順位表作成cgi用のデータを修正するのを忘れてました....。m(__)m

　　 2月25日（木） 0:24:33　　　　35838

スモークマン

同じですが...
24
=6+6+12・・・3
=6+7+11・・・6
=6+8+10・・・6
=6+9+9・・・3
=7+7+10・・・3
=7+8+9・・・6
=8+8+8・・・1

合計=28
28*24/3=224

　　 2月25日（木） 0:24:53　　　　35839

黒アイス

あーややこしやーややこしやー

三角形の3頂点の選び方は「全ての頂点間が6区間以上離れていること」である。(1区間＝中心角15度の扇形の弧の部分)
その総数は「24個のリンゴを1人6個以上を条件に3人で分ける」総数と同じである。
で、その総数は28通り(これは1頂点を固定したとき)
後はダブりに注目して28＊24/3＝224(通り)

　　 2月25日（木） 0:31:47　　　　35840

むらい

#35839のスモークマンさんの式を見て思い出しましたが
今年の埼玉県の高校入試に、まったく同じ５本の鉛筆をＡさんＢさんＣさんで
わける方法は何通りありますか？　ただし３人とも最低１本をもらいます。
という、こちらにいらっしゃるプロな方なら
１分もかからないような問題が出題されたのですが、
驚くほど正答率が低いようです（私調べ）

その他の問題など
http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/10/stm/stm1/stm1-su/su2.html

参考までに今年のこの入試問題での平均点は４０前後と噂され、偏差値７０の
生徒でも７０点いけた人は数少ないのではという話です（私調べ）

サイタマ　　 2月25日（木） 0:36:06　　　　35841

ウパー

計算ミスってたー
黒アイスさんの考え方で考えたら簡単だったんですねー

　　 2月25日（木） 0:42:06　　　　35842

黄金のまどろみ

僕も計算ミスってました。悔しい・・・

　　 2月25日（木） 0:47:46　　　　35843

mhayashi

各選んだ点の間には，選ばれなかった 5 個の点が絶対に存在するのでそれらを無視する．
つまり 24 個中 5*3 = 15 個は無視して残り 9 個の点で考える．
点 A を固定した場合，9 個の点で三角形は 8C2 = 28 個作れる．
実際，点 A の位置は 24 通りの可能性があって，かつ重複分を調整して
28*24/3 = 224 通り．

KANSAI　　 2月25日（木） 0:50:33　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　35844

おかひで博士

皆様と同じく、8C2 * 24 / 3で。
念のため書き出してみると
(6,6,12)(6,7,11)(6,8,10)(6,9,9)(7,7,10)(7,8,9)(8,8,8)
の７種類で、正三角形が１つと二等辺三角形３つとそれ以外が３つなので、
1 * 24 / 3 + 3 * 24 + 3 * 24 * 2 = 224

兵庫県神戸市　　 2月25日（木） 8:38:38　　　　35845

Ｍｒ.ダンディ

Ａを通る三角形の数は　8Ｃ2（個)。１つずつずらして　8Ｃ2×24（個）。そこで重複分を考慮して、8Ｃ2×24/3　
でいいと思います。が、重複分を考えるときに「3で割る」ことについて、少し吟味を・・・
--------------------
Ａから時計回りに区切られた数が、例えば（6,7,11)の三角形があるとき、もとが(7,11,6)や(11,6,7)の三角形を
回転させたときにも、これに重なる場合があります。
しかし、(8,8,8)のように正三角形の場合は１つのパターンを回転しているうちにもとの図形に重なることが２回起こる。
このように、もとが正三角形の場合とそうでない場合とで、1/3 になる理由が違っていますよね。
（私はこのことが分かるのに時間がかかってしまいました）

　　 2月25日（木） 9:41:57　　　　35846

abcba@jugglermoka

今回の問題で12N等分した場合は、
18N^(3)＋18N^(2)＋4N通りになる。

　　 2月25日（木） 10:04:37　　　　35847

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，どこかで類題を解いたような気がします。こんな感じでやりました。

題意を満たす三角形の頂点を，反時計回りに P，Q，R としておきます。

(解法1)
地道に数える解法です。
まず，P が A に一致する場合を考えます。
すると，条件より，Q は弧BC 上になければなりません。(C，A を除いた弧CDA 上では条件に合う R を取れません。)
ここで，Q が B に一致する場合は，やはり条件より，R は弧CD 上になければならず，7 通り。
以下同様に，Q が弧BC 上を動くと，6 通り，5 通り，4 通り，3 通り，2 通り，1 通り，となり，
結局，P が A に一致する場合は，7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 通り，になります。
P は，24等分点のどこにあってもいいので，これの 24 倍になりますが，
P，Q，R をこの順に循環した 3 通りを重複して数えているので 1/3 倍して，
28 * 24 * 1/3 = 224 通り
になります。

(解法2)
やはり，まず，P が A に一致する場合を考えます。
(解法1)からも分かりますが，P，Q，R の間には，必ず 5 個以上の等分点がある必要があります。
そこで，実質，A と，5 * 3 = 15 個の点を除いた 24 - 1 - 15 = 8 個の点から 2 点，Q，R を選ぶ，と考えてもいいでしょう。
すると，これは，8C2 = (8 * 7)/(2 * 1) = 28 通り，です。
後は同じで，P は，24等分点のどこにあってもいいので，これの 24 倍になりますが，
P，Q，R をこの順に循環した 3 通りを重複して数えているので 1/3 倍して，
28 * 24 * 1/3 = 224 通り
になります。

ネコの住む家　　 2月25日（木） 11:12:42　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35848

uchinyan

掲示板を読みました。

#35832，#35833，#35848の(解法1)
題意を満たす三角形の一点を固定して地道に数える解法。

#35837，#35839，#35845
題意を満たす三角形の各頂点の位置が等分点のどこにあるかを考える解法。
題意を満たす三角形を △PQR として，P，Q の間の等分の弧を x 個，Q，R が y 個，R，P が z 個，として，
x + y + z = 24, x, y, z >= 6
になります。
これは，実は，#35840などと同じに考えられます。

#35840，#35844，#35845，#35848の(解法2)
題意を満たす三角形の各頂点が等分の弧単位で 6 個以上離れていることに注目して，組み合わせで考える解法。
組み合わせで考える際に，
・24 個のりんごを 6 個以上ずつ 3 人で分ける。
・一頂点を固定して 24 - 1 - 15 = 8 個の点から残りの 2 点を選ぶ。
などのバリエーションがあります。

なお，

#35846
＞このように、もとが正三角形の場合とそうでない場合とで、1/3 になる理由が違っていますよね。
えーと，題意を満たす三角形を △PQR として，P，Q，R をこの順に循環した 3 通りを重複して数えている，という意味では，同じでは？

#35847
＞今回の問題で12N等分した場合は、
＞18N^(3)＋18N^(2)＋4N通りになる。
？　ホント？　私が何か勘違いしてるのかな？

ネコの住む家　　 2月25日（木） 11:56:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35849

清川育男

2月２４日ですね。

　　 2月25日（木） 12:25:20　　　　35850

マサル

#35850（清川育男さん）

あ、224になったのは偶然です。(^^;（最初、答えを間違ってファイルに書き込んでたくらいですからｗ）

　　 2月25日（木） 12:50:28　　　　35851

Ｍｒ.ダンディ

#35849
>> このように、もとが正三角形の場合とそうでない場合とで、1/3 になる理由が違っていますよね。
> えーと，題意を満たす三角形を △PQR として，P，Q，R をこの順に循環した 3 通りを重複して数えている，という意味では，同じでは？
ん～と、つきつめれば同じことなのでしょうが、私が言いたかったのは、Ａを頂点とする28通りの三角形の中
には、【正三角形は１つ】しかなく、それを回転しているうちに、自身の三角形と重なるときがおき、24通りでなく、
正三角形でないものは、回転するとどれも24通りのものができるが、初めに【別のものとして数えているもの
を】回転しているうちに、他方と一致する事が起こる。・・（という違いをいいたかったのですが、ちょっと
細かすぎましたね）

　　 2月25日（木） 15:28:19　　　　35852

ハラギャーテイ

春らしい強い風がふいています。少し早いですが、春一番みたいです。プログラムで解きました。

山口　　 2月25日（木） 15:07:53　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　35853

hide

裏返し、回転して重なる物も１つと数えると、
「６以上の数３つで和が２４」
になる物を考えればよい。
(6,6,12),(6,7,11),(6,8,10),(6,9,9),(7,7,10),(7,8,9),(8,8,8)
の７通り。
二等辺三角形になる物が３つ、正三角形が１つあるので、
48*3+24*3+8=224

　　 2月25日（木） 15:55:18　　　　35854

ぽっぽ

質問です

全ての長さが整数である三角形ＡＢＣがある
ＡＢの延長上にＤをＡＣの延長上にＥをとる（ただし△ＡＢＣ∽△ＡＤＥでは無い物として、ＡＤもＡＥの長さもも整数とする）
このときＤＥが整数となるようなＤ，Ｅは無数に取ることができるか
※無数と言うのは表現の仕方が下手なのですが違う種類が無数にあるかと言うことです　例えば
ＡＤ＝3　ＡＥ＝5　ＤＥ＝7のときと
ＡＤ＝6　ＡＥ＝10　ＤＥ＝14のときは同じ種類なものとします
　
これはばち丸様のサイトで
http://blog.goo.ne.jp/akeot/e/899b8130f1c380d6e63f71a93da0389f
と言う問題があって、６０度や１２０度ではなく他の角でも成り立つか気になって質問しました
できましたらつぎのようなことも教えて欲しいです

ＡＢ＝ａＡＣ＝ｂＢＣ＝ｃの三角形ＡＢＣがある
ＡＢの延長上にＤをＡＣの延長上にＥをとる（ただし△ＡＢＣ∽△ＡＤＥでは無い物として、ＡＤもＡＥの長さもも整数とする）
ＡＤの長さをＸ、ＡＥの長さをＹ、ＤＥの長さをＺとする。
このときｍ、ｎを用いた２次以下の多項式でＸ，Ｙ，Ｚを表すことはできるか

表現が下手でごめんなさい

要は６０度出ないときもばち丸様と同じことが言えますかと聞いています

　　 2月25日（木） 17:05:28　　　　35855

ぽっぽ

1３行目　誤ＡＤもＡＥの長さもも整数とする
　　　　正　ＡＤもＡＥもＤＥの長さもも整数とする

　　 2月25日（木） 17:07:27　　　　35856

???

誤差が必要でした．
Option Explicit
Const gosa As Double = 0.000000000001
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Dim r As Double
Dim x(23) As Double
Dim y(23) As Double
Dim d(2) As Double
Dim j1 As Integer
Dim j2 As Integer
Dim j3 As Integer
r = 1 / Sqr(2)
For j1 = 0 To 23
x(j1) = r * Cos(j1 / 24 * 2 * Application.Pi())
y(j1) = r * Sin(j1 / 24 * 2 * Application.Pi())
Next j1
Cells(1, 1).Value = 0
For j1 = 0 To 23 - 2
For j2 = j1 + 1 To 23 - 1
d(0) = Sqr((x(j2) - x(j1)) * (x(j2) - x(j1)) + (y(j2) - y(j1)) * (y(j2) - y(j1)))
If d(0) + gosa >= 1 Then
For j3 = j2 + 1 To 23
d(1) = Sqr((x(j3) - x(j1)) * (x(j3) - x(j1)) + (y(j3) - y(j1)) * (y(j3) - y(j1)))
If d(1) + gosa >= 1 Then
d(2) = Sqr((x(j3) - x(j2)) * (x(j3) - x(j2)) + (y(j3) - y(j2)) * (y(j3) - y(j2)))
If d(2) + gosa >= 1 Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = j1
Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = j2
Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = j3
Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
End If
End If
Next j3
End If
Next j2
Next j1
Range("A1").Select
End Sub

　　 2月25日（木） 17:41:30　　　　35857

スモークマン

#35855
むかし考えたのは...各辺が整数の直角三角形を二つくっつけたらすべての辺は整数になるので...
たとえば...3:4:5 だから...15:20:25
なので...16,20,12 を16→25,20→40 にすれば...残りの辺は 25 (25,40,25 という二等辺△) ができます...ってことは...無数にあり得る？
そういうことでいいのかな...?

　　 2月25日（木） 18:57:39　　　　35858

英ちゃん

最近早寝早起きでリアルタイム参加してません・・・。
8C2*24/3=224です。

ひゃっふー　　 2月25日（木） 19:58:07　　 HomePage:BLOOOOOOOOG　　35859

uchinyan

#35855
題意がピンと来ないのですが，ばち丸さんのところと同じ趣旨ならば，
m, n の係数に無理数も許すならば，常にできます。
m, n の係数を整数に限るならば，常にはできません。できる場合は，cos(∠A) が有理数となる場合です。
このとき，∠A をもつ辺の長さが整数の三角形が無数に存在します。

ネコの住む家　　 2月25日（木） 21:38:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35860

ぽっぽ

ありがとうございます
題意が分かりにくすぎましたね
ｍ、ｎであらわす方は係数が整数なら常にできる分けではないようです
「無数にあるか」の方に行いてはどうなのでしょうか
cos(∠A)が無理数なときでも無数にあるとは言えませんが成り立つ例がありますし
例　ＡＢ＝3　ＡＣ＝4　ＢＣ＝2　ＡＤ＝5　ＡＥ＝12　ＤＥ＝8　であるとき

ＡＢ＝3　ＡＣ＝4　ＢＣ＝2のときについてはＤ，Ｅの取り方はもっとありそうなのでこの場合は無数に存在すると思います
他の場合はどうなのでしょうか

　　 2月25日（木） 23:03:10　　　　35861

ばち丸

うちのところにあった書き込み（ぽっぽさん。宣伝ありがとうございます）
が気になって来てしまいました。
uchinyanさんがおっしゃる通りだと思います。
△ABCの3辺の長さが整数ならば余弦定理からcosAは有理数になるので、
（cosAが無理数で全ての辺が有理数であることはあり得ない）ある角がAと同じになる、3辺の長さが整数の、相似でない三角形は無数に存在すると思います。

　　 2月26日（金） 1:15:16　　　　35862

スモークマン

#35862
ありそうには思うけど...
たとえば...m/n=1/5 のとき...
(b^2+c^2-a^2)*5=2bc,
を満たす比の異なる整数解が２個以上あるか？
ということですよね...
すぐ言えるのだろうか...^^;

　　 2月26日（金） 11:26:45　　　　35863

ばち丸

#35863
言えそうでした。けど今言ってしまうと本体（うちの問題）の答えを言ってしまうのと同じことになりますからねえ。

　　 2月26日（金） 12:13:58　　　　35864

スモークマン

ばち丸さんへ ^^
了解♪ Orz～v

　　 2月26日（金） 12:23:48　　　　35865

uchinyan

2010年東大理系の数学の入試問題を解いてみました。
例によって，仕事の合間に考えているので，時間はほとんど一日かかっています (^^;
簡単に感想など。

第1問　ちょっとだけ空間図形の体積
(1)は，簡単。
(2)は，ちょっと工夫が要るかなぁ，とは思いますが，気付けば難しくはありません。

第2問　定積分による不等式の証明
(1)は，これも，ちょっと工夫が要るかなぁ，とは思いますが，よくあるパターンなので，それほど難しくはないと思います。
(2)は，(1)をどう使うかですね。

第3問　確率
(1)は，一見ややこしく感じます。ただ，状態遷移図が描ければ難しくないです。
(2)は，(1)を使えばいいです。状態遷移図が描いてもいいでしょう。
(3)は，これも，(1)を使えばいいです。状態遷移図が描いてもいいでしょう。

第4問　座標を使った平面図形
(1)は，計算するだけ。
(2)は，これも計算するだけですが，若干工夫をした方が楽になります。

第5問　円に内接する三角形の形状，三角関数
これも，計算するだけです。ただ，簡単なだけに，見落としがないように注意が必要です。

第6問　空間図形
(1)は，合同という条件を使って，計算すればできます。
(2)は，これは面倒だと思います。試験場では頭が痛くなってきそう．．．
(3)は，(2)ができれば簡単です。

全体的な感じとしては，第6問の(2)以外はそれほど難しくないと思います。
それだけに，第1問，第3問，第5問は確実に解いて，第2問，第4問も半分は欲しい気がします。

マサルさんの感想は？

ネコの住む家　　 2月26日（金） 18:05:44　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35866

uchinyan

#35861
＞cos(∠A)が無理数なときでも無数にあるとは言えませんが成り立つ例がありますし
＞例　ＡＢ＝3　ＡＣ＝4　ＢＣ＝2　ＡＤ＝5　ＡＥ＝12　ＤＥ＝8　であるとき
？　cos(∠A) は有理数では？

ネコの住む家　　 2月26日（金） 18:02:42　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35867

ぽっぽ

勘違いでした

　　 2月26日（金） 19:12:49　　　　35868

uchinyan

2010年京大理系の数学の理系乙(理学部，工学部，医学部医学科などは，確かこっち。)の入試問題を解いてみました。
簡単に感想など。

第1問　ベクトルを使った空間図形の証明
証明すべきこと，条件などをうまく式にしていければ，難しくないでしょう。
ただ，個人的には初等幾何で証明する方が楽そうに思いました。

第2問　座標平面における角度の最大値
角度をどう表すかがポイントでしょうか。下手にやると計算が大変になりそうです。
もっともこれも，個人的には初等幾何を交えて考える方が楽そうに思いました。

第3問　三角関数のグラフの面積
難しくはないですが，条件をどう式で表して変形していくかがポイントになりそうです。

第4問　三角形の辺の長さ
三角関数がらみの定理を使って計算すればできます。

第5問　整数の約数に関する証明など
これは，今回の問題では，一番骨があるように思います。
論理的にしっかりと議論できるかがポイントかな。

第6問　確率＋極限値
まずは，題意をしっかりと理解して確率を求めること。
極限値の計算は，よくあるパターンです。

全体的な感じとしては，第5問以外はそれほど難しくないと思います。
京大らしさは感じますが，純粋な初等幾何の証明問題もないし，昨年よりは易しいのではないかなぁ。
それだけに，第2問，第5問以外は確実に解いて，できたら第2問も完答したい気がします。

ネコの住む家　　 2月27日（土） 13:04:35　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35869

apato

久しぶりの掲示板．．．
合計を２４として組み合わせを考えると
１cm以上→６以上
（６，６，１２）頂点がどこかで２４通り。
（６，７，１１）頂点がどこかで２４通りだが、逆パターンがあり×２をして４８通り。
（６，８，１０）さっきと同じく４８通り。
（６，９，９）二等辺なので２４通り。
（７，７，１０）同じく２４通り。
（７，８，９）同じく４８通り。
（８，８，８）２４通りだが、同じ形なので３で割り、８通り。
２４×３＋４８×３＋８＝１５２
１５２通り。

恐竜の町　　 2月27日（土） 16:36:35　　　　35870

die neue Frau

とにかく、(8,8,8)から1つを大きくしていく方法で、それぞれが6以上になるように設定すると
(8,8,8)、(9,8,7)、(9,9,6)、(10,8,6)、(10,7,7)、(11,7,6)、(12,6,6)のいずれかになりますね
正三角形は8通り、2等辺3角形は24通り、それ以外は24×2＝48通り
8+24×3+48×3＝224
が答え
もう、かなりの人が解いてたから、もうやめたと思ったら、私もできてたのですね
場合分けがうまくいけばどうにか解ける問題ですね

地上の楽園でもないな　　 3月1日（月） 17:39:48　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　35871

fumio

私にとってはとっても難しかったです。ははは。
やっと、解けました。ははは。

　　 3月2日（火） 13:14:07　　　　35872