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あみー |
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正三角形の半分、か…。
ちゃんとした解法とは言えないなあ |
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内緒
7月1日（木） 0:05:30
MAIL:amimorisama@hotmail.com 36401 |
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ちゃーみー |
| 図形でどうやって解くのだろう。正弦定理で機械的に解きました。 |
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とうきょうとせたがやく
7月1日（木） 0:10:11
MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 36402 |
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fumio |
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こんばんは、三角形の移動で正三角形を見つけました。
5センチ＝��+�△箸いΔ海箸如�おもしろかったです。 ではまたね。 |
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7月1日（木） 0:16:05
36403 |
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ぽっぽ |
| 14秒！Taro様様です・・・ |
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7月1日（木） 0:20:55
36404 |
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い |
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QPBCは同一円周上にある
△QPRが正三角形になるようなRをAC上にとると △APCは二等辺三角形なのでAR＝QC よってAR;RQ＝2:1 よってQP＝5/3 間違ってそう… |
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7月1日（木） 1:04:34
36405 |
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い |
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QPBCは同一円周上にある、とは言えないかもしれません
すみませんでした |
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7月1日（木） 1:29:48
36406 |
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黒アイス |
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ごり押し三角関数定理で完全高校数学。
QPBCは同一円周上にあります。(∠QPA=∠QCBから) |
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7月1日（木） 1:38:41
36407 |
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Ｍｒ.ダンディ |
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三角関数を使ってゴリゴリと・・・・（またもや、知恵の輪を力づくではずした感じ）
ぼちぼちと算数でも考えてみます。 |
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7月1日（木） 1:54:28
36409 |
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ma-mu-ta |
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PQ，BCの延長の交点をRとし、QCの延長上に点Sをとって正三角形QRSを作ると、
△AQP∽△ABC∽△RSC このとき、∠QRB＝∠QBRとなり、△QRBは二等辺三角形 QR＝QB＝5より RS＝QS＝QR＝5 すると、AQ＝RS＝5より△AQP≡△RSCだから、QP＝SC QP＋QC＝SC＋QC＝QS＝5， QP：QC＝1：2 より QP＝5×1/(1＋2)＝5/3 |
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7月1日（木） 2:35:54
36410 |
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abcba@jugglermoka |
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これって算数解?
ＰからACに垂線を下ろしてACとの交点をDとすれば△PAQ∽△CABにより 2AD:AB=AC:ABなので点DはACの中点になる。ここからPQ=5/3と求まる。 |
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7月1日（木） 7:50:52
36411 |
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CRYING DOLPHIN |
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△QCBを移動させて△RDAをつくる。ただし移動後の点Bは点Aに一致し、
移動後の点Cは辺AB上にあり、移動後の辺QCは辺ACと交点を持たない。 角QBC＝角RAD＝o、角ABQ＝角QAB＝xとすると、60度＝ox、180度＝oooxxx。 すると、△AQRは正三角形であり[★]、点Pは辺QR上にあることがわかる。 さらに、角DPR＝角RDP＝oxxなので、△RDPはRD＝RPの二等辺三角形[☆]。 RP＝RD＝QCであることと★☆よりQP＋QC＝5cm、そしてQP：QC＝1：2 より、答えは5÷3＝5/3cm。 正確な作図をして5/3という答えモドキをだしたのち、それを立証する ために編み出した強引な解法です。 △QBCと△RAPが合同でなかったところが廃道(謎)の入口でした... |
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誰もいない市街地
7月1日（木） 9:28:04
HomePage:算数と隧道 36412 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今日はいろいろと忙しいのですが，平面幾何らしい問題は，久し振り，という感じで，すっかり堪能してしまいました (^^; (解法1) △BPQ を B の回りに時計回りに回転し BP を BC に重ね，P，Q の移動先を P'，Q' とします。 すると，BQ = BQ'，∠QBQ' = ∠QBP' + ∠P'BQ' = ∠QBC + ∠PBQ = ∠PBC = ∠ABC = 60°なので， △BQQ' は正三角形で，QQ' = QB = AQ = 5cm です。 さらに，∠BP'Q' = ∠BPQ = ∠QAP + ∠AQP = ∠CAB + 60°= ∠CAB + ∠ABC = ∠P'CA より P'Q'//AC で， QQ' とBP' との交点を R とすると，△P'Q'R ∽ △CQR になります。 さらに， ∠QRC = ∠QRB = 180°- ∠RBQ - ∠RQB = 180°- (∠CBA - ∠QBA) - ∠Q'QB = 180°- (60°- ∠CAB) - 60°= ∠CAB + 60°= ∠P'CA = ∠QCR より，△CQR は QR = QC の二等辺三角形で，△P'Q'R も Q'R = Q'P' の二等辺三角形になり， QP + QC = Q'P' + QC = Q'R + QR = QQ' = 5 cm です。 そこで，QP：QC = 1：2 より，QP = 5 * 1/(1 + 2) = 5/3 cm になります。 △BCQ を B の回りに反時計回りに回転し BC を AB に重ねて正三角形を作っても，同様にできます。 この方が分かりやすそうですね。 (解法2) QP を P の方に延長し QD = 5 cm となる点 D を取ります。すると，△QAD は正三角形です。 さらに，AB 又はその延長上に ∠DEA = ∠DAB となる点 E をとります。△DAE は DA = DE の二等辺三角形です。 すると，△DEP，△QBC において， DE = DA = QA = QB = 5 cm ∠DEP = ∠DEA = ∠DAE = ∠DAQ - ∠QAB = 60°- ∠QAB = ∠CAB - ∠QAB = ∠QBC ∠DPE = ∠QPA = 180°- ∠QAP - ∠AQP = 180°- ∠CAB - ∠ABC = ∠ACB = ∠QCB ∠EDP = 180°- ∠DEP - ∠DPE = 180°- ∠QBCQ - ∠QCB = ∠BQC より，△DEP ≡ △QBC となり，DP = QC になります。 そこで，QP + QC = QP + DP = QD = QA = 5 cm，QP：QC = 1：2 より，QP = 5 * 1/(1 + 2) = 5/3 cm になります。 (解法3) 算数ではないですが．．． ∠AQP = 60°= ∠CBP より，□QPBC は円に内接します。また，QA = QB より ∠QAB = ∠QBA です。 そこで，∠PCQ = ∠PBQ = ∠QAP なので，△PAC は PA = PC の二等辺三角形です。 ここで，P より AC に垂線を下ろしその足を H とすると，AH = CH です。 一方で，∠PQA = 60°より QH = PQ/2 になり，AH = CH = CQ + QH = PQ * 2 + PQ/2 = PQ * 5/2 です。 これらより，AQ = AH + QH = PQ * 5/2 + PQ/2 = PQ * 3，AQ = 5 cm より，PQ = 5/3 cm になります。 まだまだありそうですね。 掲示板を読むのは遅くなるかもしれません．．． |
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ネコの住む家
7月1日（木） 14:33:50
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36413 |
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Ｍｒ.ダンディ |
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何とか算数で解きなおしました。
ＢＣのＣ側も延長上にＡＢ＝ＢＤである点Ｄをとって、正三角形ＡＢＤをつくり、ＢＤの中点をＭとします。 ＱからＡＢ，ＢＤに垂線ＱＨ，ＱＨ’をおろすと△ＱＰＨ∽△ＱＣＨ’となり ＱＨ：ＱＨ’＝１：２ 、△ＱＡＢ＝△ＭＱＢ よって、ＢＱの延長とＡＭ，ＡＤの交点をそれぞれＥ，Ｆとすると ＡＥ＝ＥＭ △ＡＤＣとＢＦで、メネラウスの定理より ＡＦ：ＦＤ＝1：2 ⇒ＡＦ：ＡＢ＝1：3 △ＡＰＱ∽△ＡＣＢ より、ＰＱ＝（1/3）ＡＱ＝5/3 （※） （全然、いけてないな〜） 〔追記〕（※）タイプミスがあったので修正しました。 （uchinyanさん ご指摘有難うございました） |
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7月1日（木） 19:26:52
36414 |
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マサル |
| えと、私は、ACの延長上に、∠RBA=90°となる点Rをとり、さらにRからBCに垂線RHを、またQからABに垂線QIをとって、△RHC≡△QIPを導く、という解放を考えていました。 |
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7月1日（木） 15:57:30
36415 |
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ハラギャーテイ |
| 偶然入りました。5/2かなと思って駄目なので5/3にしたら当たりました。本当に偶然です。 |
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山口
7月1日（木） 16:16:21
HomePage:ハラギャーテイの制御工学 36416 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
ただ，私には，まだ？，理解できていない解法がいくつかあります (^^; #36401，#36403 残念ながら，正三角形，というキーワードはあるものの，詳細が分からない解法たちです。 #36402，#36407，#36409 数学による解法。 #36405 □QPBC が円に内接すること，△APC は二等辺三角形になること，を使い， さらに，△QPR が正三角形になるような点 R を AC 上に取って考える解法。 #36410 ＞PQ，BCの延長の交点をRとし、QCの延長上に点Sをとって正三角形QRSを作ると、 として考える解法。 #36411 ＞ＰからACに垂線を下ろしてACとの交点をDとすれば△PAQ∽△CABにより ＞2AD:AB=AC:ABなので点DはACの中点になる。 として考える解法。ただ，私には，「2AD:AB=AC:AB」がどうしていえるのか分からないです (^^; #36412 ＞△QCBを移動させて△RDAをつくる。ただし移動後の点Bは点Aに一致し、 ＞移動後の点Cは辺AB上にあり、移動後の辺QCは辺ACと交点を持たない。 として考える解法。ただ，私は，まだ追い切れていません (^^; #36413の(解法1) △BPQ を B の回りに時計回りに回転し BP を BC に重ねて正三角形を作って考える解法。 同じようにして，△BCQ を B の回りに反時計回りに回転し BC を AB に重ねて正三角形を作って考える解法も示唆されています。 #36413の(解法2) QP を P の方に延長し QD = 5 cm となる点 D を取って正三角形を作り， さらに，AB 又はその延長上に ∠DEA = ∠DAB となる点 E を取って二等辺三角形を作って考える解法。 #36413の(解法3) □QPBC が円に内接すること，△APC は二等辺三角形になること，を使う解法。 #36405とほぼ同じですが，若干面倒です。 #36414 ＞ＢＣのＣ側も延長上にＡＢ＝ＢＤである点Ｄをとって、正三角形ＡＢＤをつくり、ＢＤの中点をＭとします。 その後，相似，三角形の面積比経由で，メネラウスの定理，相似などを使って解く解法。 なお， ＞△ＡＰＱ∽△ＡＣＢ より、ＰＱ＝（1/3）ＡＱ＝3/5 △ABF ≡ △ABC も使っているようですが，最後は 5/3 ですね (^^; #36415 マサルさんの想定解。 ＞ACの延長上に、∠RBA=90°となる点Rをとり、さらにRからBCに垂線RHを、またQからABに垂線QIをとって、△RHC≡△QIPを導く という解法。なるほど。これは簡単だ。 #36416 勘！ |
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ネコの住む家
7月1日（木） 18:27:31
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36417 |
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鯨鯢(Keigei) |
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遅くなりました。
QA＝QB と 四角形QPBCが円に内接することから、∠PAQ＝∠PBQ＝∠PCQ。 よって、△PACは AC を底辺とする二等辺三角形になる。 △PQRが正三角形になるように、線分 AQ 上に点R をとると、 CR＝AQ だから、3QP＝5cm、QP＝(5/3)cm になります。 |
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7月1日（木） 18:45:47
36418 |
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あっ |
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余弦定理を２回つかった。
算数の解き方わかりませんでした。 |
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7月1日（木） 19:40:27
36419 |
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スモークマン |
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同じく...
算数わからず...^^; 5^2+x^2-10x*cos60°=x^2+4x^2+4x^2*cos60° 6x^2+5x-25=(2x+5)(3x-5)=0 x=5/3 |
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7月2日（金） 17:13:36
36420 |
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ど〜もどす |
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簡単すぎて声も出ない
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7月2日（金） 21:45:47
36421 |
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ゴンとも |
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座標に置きました。今回座標にのりやすく3ステップぐらいでできました。
図を座標に A(-5,0),Q(0,0),C(2*a,0),P(-a/2,-sqrt(3)*a/2)と置くことにした。 ここで点A,Pを通る直線を求めると e1:-sqrt(3)*a/2=k*-a/2+l$ e2:0=k*-5+l$ solve([e2,e3],[k,l]);k=sqrt(3)*a/(a-10),l=5*sqrt(3)*a/(a-10) 直線AP:y=sqrt(3)*a*x/(a-10)+5*sqrt(3)*a/(a-10) これとx^2+y^2=25との交点がBなのでそれを求めると e3:y=sqrt(3)*a*x/(a-10)+5*sqrt(3)*a/(a-10)$ e4:x^2+y^2=25$ solve([e3,e4],[x,y]);x=-(5*a^2+50*a-250)/(2*a^2-10*a+50),y=(5*sqrt(3)*a^2-50*sqrt(3)*a)/(2*a^2-10*a+50) この点と(2*a,0)との距離は factor((2*a+(5*a^2+50*a-250)/(2*a^2-10*a+50))^2+(0-(5*sqrt(3)*a^2-50*sqrt(3)*a)/(2*a^2-10*a+50))^2); 25*(a-10)^2/(a^2-5*a+25) より 5*(10-a)^2/sqrt(a^2-5*a+25) 点Bと(-5,0)との距離は factor((-5+(5*a^2+50*a-250)/(2*a^2-10*a+50))^2+(0-(5*sqrt(3)*a^2-50*sqrt(3)*a)/(2*a^2-10*a+50))^2); (4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/(a^2-5*a+25) より sqrt(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/sqrt(a^2-5*a+25) ここで△ABCに余弦定理を使用して (2*a+5)^2=25*(a-10)^2/(a^2-5*a+25)+(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/(a^2-5*a+25)-(5*(10-a)/sqrt(a^2-5*a+25))*(sqrt(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/sqrt(a^2-5*a+25)) これをmupad light 2.5.3 で解くと solve((2*a+5)^2=25*(a-10)^2/(a^2-5*a+25)+(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/(a^2-5*a+25)-(5*(10-a)/sqrt(a^2-5*a+25))*(sqrt(4*a^4-10*a^3+225*a^2-625*a+625)/sqrt(a^2-5*a+25)),a); a=10(不適),5/3・・・・・・（答え） |
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豊川市
7月4日（日） 14:37:17
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 36422 |
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どーもです |
| ど〜もどすさん、うそはやめましょう。 |
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秘密っす
7月6日（火） 20:05:47
36423 |
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uchinyan |
| 今週はお休みでしたね。うっかりしておりました (^^; |
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ネコの住む家
7月8日（木） 10:13:26
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36424 |
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ハルカ |
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急にすいません＾＾；
ちょっと気付いたんですが、 四角形BPQCは円に内接するので、∠PQR:∠QBC=弧PQ:弧QC=1:2となって、 ∠QBP=20° ∠QBC=40°というのは正しいのでしょうか？ |
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7月14日（水） 0:57:53
36425 |
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ぽっぽ |
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#36425 PQ:QCは1：2だけど弧PQ：弧QCは1：2でないと思います
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7月14日（水） 7:20:44
36426 |