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CRYING DOLPHIN |
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よくある形ではあるものの、定番の補助線(CからEFに垂線)では算数で
解けなさそうだったので、別の作戦で。 △EBC(3：4：5の直角三角形…☆)を、Cを中心として90度時計回りに 回転させると、CBはCDと一致する。次に、移動後のEをGとすると、 二辺挟角相等より、△ECFと△GCFは合同…★ ここでFからECに垂線FHを下ろすと、△FHCは直角二等辺三角形で、 △EHFは☆★より△EBCと相似な3：4：5の直角三角形。 以上より、EH：HF：HC＝[3]：[4]：[4]、EC＝5cm＝[3]＋[4]だから [1]＝5/7cm、[4]＝20/7cm。以上より面積は5×20/7÷2＝50/7cm^2。 |
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遠くの灯り
8月4日（木） 0:27:18
MAIL:ナイショ HomePage:算数＆隧道 38141 |
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Ｍさん |
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無意識のうちに、ＦからＥＣに垂線ＦＧを引きこの長さをｘとして
汚い式で無理やりｘを出しましたorz 最終的な式は 7x^2+120x-400=0 です・・・ |
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第２グループ
8月4日（木） 0:31:17
HomePage:受付中 38142 |
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きょろ文 |
| FD = xとおいて 三角形AEFの三平方の定理でときました |
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8月4日（木） 0:35:21
38143 |
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みかん |
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簡単そうなのに方針が思いつかなかったので、とりあえず関数電卓をたたいてしまいました（汗）。
答えが分数になるのはともかく、シンプルできれいな問題ですね。 問題の出典とかがあるのでしょうか？ |
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8月4日（木） 0:40:52
38144 |
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新参者 |
| CRYING DOLPHINさんと移動は同じですが、ΔFDCとΔAEGの相似により、FD：DC＝1：7から解きました。 |
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8月4日（木） 0:44:59
38145 |
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☆.。.：*・ ザ・キャロビー ☆.。.：*・゜ |
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http://amezor-x.net/kalobby/1108011043270229.jpg
で |
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8月4日（木） 0:50:16
38146 |
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abcba@jugglermoka |
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今回はむやみやたらに補助線を引こうとせず角度の関係をまじめに調べれば簡単に解けるという問題でした。大まかな解法は以下です。(途中の証明はかなり省略しています。)
CEの延長線上にAから垂線を下ろしその点をXとすればXE:XA:AE=3:4:5からFD:DC=1:7となるここから答えは出ますね。 角度の関係から��AXC∽��FDCは容易に分かります。 余談ですが先週の問題も斜辺を除く2辺の比が1:7となっていましたがこれは偶然かな... |
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8月4日（木） 0:51:12
38147 |
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新参者 |
| CRYING DOLPHINさんと移動は同じですが、ΔFDCとΔAEGの相似により、FD：DC＝1：7から解きました。 |
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8月4日（木） 0:54:56
38148 |
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マサル |
| よくあるネタ（今回で言えば、△CDFを90°回転させてCDとCBを一致させて...みたいな）から作ってみました。BDとCEの交点をGとでもすると、△FGCが直角二等辺三角形になることを利用する方法を想定していました。 |
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iMac
8月4日（木） 1:02:37
HomePage:Men @ Work 38149 |
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stale |
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斜辺に垂線を下ろして、適当な線分をx,yとして処理しました
そのあと相似比から解く方に気づきました なかなか算数で解くのは難しいです |
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8月4日（木） 1:45:16
38150 |
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aibo |
| 移動まで気づいて、対角線×対角線÷2に持っていくのは分かりましたが、掃除に気づかず…#38141をみてそこで３：４：５を使うのかと勉強になりいました。ちなみに当方FD=xの二次方程式使ってしまいました。修行不足です。 |
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8月4日（木） 2:25:16
HomePage:aibo 38151 |
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ハラギャーテイ |
| おはようございます。三角関数です、すみません。 |
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山口
8月4日（木） 8:49:07
HomePage:制御工学にチャレンジ 38153 |
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浮浪 |
| シンプルでいい問題だなぁ。 |
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8月4日（木） 8:49:45
38154 |
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あめい |
| 回転移動というのが苦手で、いつも補助線で何とか挑戦しています。今回は、Fを通り、ECに垂直な直線を引き、EC,BC,CDの延長戦との交点をG,H,Iとし、FG=GC=aとしました。△HGC,△HCI,△FDI,△CGIが３：４：５の三角形になるので、HC=5a/4,IF=a/3,ID=4a/15,CI=4+4a/15をだし、△HCIでCH:CI=3:4なので、5a/4,C：4+4a/15＝3:4より、a=20/7を導きました。何とか算数の範囲でしょうか？ |
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8月4日（木） 9:44:49
38155 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，世の中的には難しいと思いますが，受験算数や算チャレとしては標準的かなぁ。シンプルでいい問題ですね。 これもいろいろな解法があるかも，ですが，私はこんな感じで。 (解法1) CB = CD なので，△EBC を C を中心に時計回りに回転して B を D に重ね E の移動先を E' とします。 ∠CDE' = ∠CBE = 90°なので，F，D，E' は同一直線上にあり，図形CE'DF は △CE'F になります。 さらに，∠E'CF = ∠E'CD + ∠FCD = ∠ECB + ∠FCD = ∠BCD - ∠ECF = 90°- 45°= 45°= ∠ECF，CE' = CE より，△CEF ≡ △CE'F です。 そこで，□CEFE' はたこ型で CF⊥EE' になり，CF と EE' の交点を G とすると △E'GF ∽ △E'AE です。 一方で，△E'GF ∽ △CDF でもあるので，△CDF ∽ △E'AE となって， CD：DF = E'A：AE = (E'D + DA)：(AB - EB) = (EB + DA)：(AB - EB) = (3 + 4)：(4 - 3) = 7：1，4：DF = 7：1，DF = 4/7 cm となって，AF = 24/7 cm となり， △ECF = △CEF = □CEFE'/2 = (□CEAE' - △EAF)/2 = (□ABCD - △EAF)/2 = (4 * 4 - 24/7 * 1 * 1/2)/2 = 50/7 cm^2 になります。 (解法2) △CEF ≡ △CE'F までは(解法1)と同じです。 ここで，F より EC に垂線を下ろしその足を H とすると，∠HCF = ∠ECF = 45°なので，△HCF は直角二等辺三角形で HC = HF です。 また，∠FEH = ∠FEC = ∠FE'C = ∠BEC より △EHF ∽ △EBC で，△EBC は 3：4：5 の三角形なので EC = 5 cm，EH：HF：FE = 3：4：5 です。 そこで，EH：HC= EH：HF = 3：4 なので，FH = HF = 5 * 4/(3 + 4) = 20/7 cm となり， △ECF = EC * FH * 1/2 = 5 * 20/7 * 1/2 = 50/7 cm^2 になります。 (解法2)は，△CFD を C を中心に反時計回りに回転して D を B に重ね，F と F の移動先 F' とを結んで考えた方が分かりやすいと思います。 実は，実際にはそうして考えたのですが，最初に思い付いた(解法1)の設定でもできるな，と思って，敢えてこうしてみました。 |
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ネコの住む家
8月4日（木） 12:17:01
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 38156 |
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夕凪 |
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こちらに書き込むのは初めてです。
とりあえず図形を移動させて、求めたい面積をやっこ型にして、適当に長さをｘとおいて、感覚的に角度が同じだといいなぁと思いながら、左上の直角三角形でピタゴラってみました。 ざっくりしてますが、こんな感じです。こんな感じで教壇にたってます(笑) |
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8月4日（木） 12:33:06
38157 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
#38141，#38156の(解法2) △EBC を C を中心として 90 度時計回りに回転し移動後の E を G とすると △ECF ≡ △GCF となることと， F から EC に垂線 FH を下ろすと △FHC は直角二等辺三角形，△EHF は △EBC と相似で 3：4：5 の直角三角形になること， を使う解法。 #38145，#38156の(解法1) △EBC を C を中心として 90 度時計回りに回転し移動後の E を G とすると △ECF ≡ △GCF となることと， ΔFDC ∽ ΔAEG で FD：DC = 1：7 になること， を使う解法。 #38146 F から EC に垂線 FH を下ろすと △FHC は直角二等辺三角形になることと，3：4：5 の直角三角形の比を使って解く解法。 回転を使わずに比だけでうまく解いており，なかなか面白いです。 #38147 CE の延長線上に A から垂線を下ろしその点を X とすれば XE：XA：AE = 3：4：5 と， 角度の関係から ��AXC ∽ ��FDC とから，FD：DC = 1：7 となることを導き解く解法。 これも，回転を使わずに比だけでうまく解いており，面白いです。 #38155 ＞Fを通り、ECに垂直な直線を引き、EC,BC,CDの延長戦との交点をG,H,Iとし、FG=GC=aとしました。 その後，3：4：5 と相似を使って解く解法。 一次方程式の範囲のようなので，説明次第で算数，と判断しました。 #38149 マサルさんの想定解 ＞よくあるネタ（今回で言えば、△CDFを90°回転させてCDとCBを一致させて...みたいな）から作ってみました。 ＞BDとCEの交点をGとでもすると、△FGCが直角二等辺三角形になることを利用する方法を想定していました。 うーんと，いまいちよく分からないのですが，#38156の最後の設定での(解法2)のような感じでしょうか。 #38142，#38143，#38144，#38150＆#38151，#38153，#38157(「ピタゴラって」るようなので多分) 数学による解法。 |
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ネコの住む家
8月4日（木） 13:21:59
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 38158 |
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しんちゃん |
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方眼紙を使って解きました。
図が書けないので座標で説明します。 A(0,4) B(0,0) C(4,0) D(4,4) E(0,3) とします。 G(7,4) H(4,7) をとると、四角形CGHEは正方形になり、 AGとCHの交点がＦになります。 CF：FH=4：3 になるので、 △CEＦは△CEHの4/7、つまり正方形CGHEの 4/14 です。 正方形CGHEの面積は25平方センチになるので、 △CEＦの面積は、50/7平方センチになります。 |
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8月4日（木） 14:03:20
MAIL:shinya905ssn1@yahoo.co.jp 38159 |
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しんちゃん |
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訂正です。
H(4,7)→H(3,7) |
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8月4日（木） 14:12:04
MAIL:shinya905ssn1@yahoo.co.jp 38160 |
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スモークマン |
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#38146
やっとわかりました ^^;v 3:4:5 3+4=7 が5 △=凧型の面積/2={(4+4)(3+4)/4}*(5/7)^2=50/7 ちなみにわたしは... (4^2-△AEF)/2 △AEF はピタゴラスから... AF=x, FD=y x+y=4 (4-3)^2+x^2=(3+y)^2 1+x^2=(7-x)^2 14x=48 x=24/7 (16-12/7)/2=8-6/7=50/7 Orz... |
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金光＠岡山
8月4日（木） 15:48:55
38161 |
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ゴンとも |
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座標で解きました。
E(0,0),直線ECをx軸とすると直線EA:y=-4*x/3となり このx座標をaとおきEA=1からAの座標がでて それを通り傾きが直線EAの傾きに掛けて-1だから 直線AFの傾きは3/4でありそれはAの座標を通るので下のe1が直線AF それと直線CF:y=-x+5の交点Fがでてそのy座標が高さで 底辺5として△EFCの面積を以下のようにだしました。 solve(a^2+(-4*a/3)^2=1,a)$ part(%,1)$ rhs(%)$ e1:y=3*(x-%)/4-4*%/3$ e2:y=-x+5$ solve([e1,e2],[x,y])$ part(%,1)$ 5*part(%,2)/2$ rhs(%);50/7・・・・・・(答え) |
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8月4日（木） 19:20:59
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 38162 |
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あみー |
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作った事ある問題だった。ちなみに調べたら答えも一緒でした。それでも電車の中では計算できませんが…。
１回44/7とか送って正解者に出なかったからまあ今日はいいかと。 でも悔しいな…。 |
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8月4日（木） 23:49:52
38163 |
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ペルソナ |
| わこつ |
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8月5日（金） 18:49:54
38164 |
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ばち丸 |
| ＣＦを延長してＣＥ＝ＥＧの直角２等辺三角形を作り３：４：５でＣＥ＝５、ＣＤ：ＤＧ＝４：３から解きました。平凡な解法だと思うけど似ている人いませんね。 |
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8月5日（金） 22:15:24
38165 |
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ばち |
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まちがえた。ごめん。ぼけ老人だな。
ＣＦを延長してＣＥ＝ＥＧの直角２等辺三角形をつくり△ＢＣＥに３：４：５を適用してＣＥ＝５、ＣＦ：ＦＧ＝４：３から解きました。平凡な解法だけど似ている人いませんね。 |
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8月5日（金） 22:21:30
38166 |
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hide |
| 加法定理でtanを求め1:7を得ました。 |
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ラダトーム
8月6日（土） 15:42:53
38167 |
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Ｍｒ.ダンディ |
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はじめは #38167と同じく「加法定理でtanを求め1:7」を使って、答えを出し、その後算数で解いて、
同じ解法はないかと書き込みを読んでいくと、マサルさんの#38149と同じでした。 △ＣＤＥをＣＤがＣＢに重なるように回転させたときのＦの行き先をＧとすると 結局 △ＣＦＥ≡△ＣＧＥがいえ、ＦＧとＣＥの交点をＨとすると ∠ＦＥＨ＝∠ＤＥＣ 、∠ＦＨＥ＝90° △ＦＥＨ∽△ＣＥＤ →（3：4：5）を使って、ＦＨ＝・・・ という解法でした。 （最近、数学で解いてから、算数で解くことが増えてきたような気がする。お粗末） |
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8月7日（日） 23:55:10
38168 |
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英ちゃん |
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FからECに推薦FHを下ろし、相似を使いました。
今福島に帰省しています。原発から60kmの場所ですが、何も変わっていません。一つ変わったことといえばスーパーに行っても子供が異常に少ないことです。 |
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綱島
8月8日（月） 12:15:01
HomePage:つぃったー 38169 |
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ナンジャイナ |
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45度に注目し、折り返してみました。すると、FEの長さ（底辺）が３＋FDで
高さ４センチの三角形になりました。S＝（３＋FD）×４÷２。後は正方形の 面積の等式にFD=(S/2)-3を代入して求めました。いろいろな解き方が、あるのですね。ここを見てびっくりしました！！ |
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8月8日（月） 23:57:51
38170 |
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近藤孝英六甲中学校1年 |
| 3：4：5の三角形を手がかりに解きました。僕は数学研究部に入っているのであまり難しくなかったようにおもいますが。みなさんはどうでしたか？ |
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8月9日（火） 14:03:52
38171 |
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あんくん |
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ＥからＦＣに垂線ＥＧをひいて無理やり直角二等辺三角形をつくってから
四角形ＥＧＣＢをＧを中心に時計回りに９０度まわして台形Ｂ´Ｅ´ＣＢにし、 高さから１：７を出しました Ｆから垂線を引いてる人が多いみたいですね 僕のやり方は効率がわるかったみたいです・・・（＾＾； |
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8月9日（火） 21:12:59
38172 |
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CRYING DOLPHIN |
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#38171
第１２６回から毎回参加している者です。 これまでの経験から私見を述べさせていただくと、今回の問題は 算チャレとしては易し過ぎず難し過ぎずの標準レベル、 中学入試であれば灘一日目の難問レベルだと思います。 私の印象に残っている、算チャレ平面図形を取り急ぎ３つ挙げると… ・(第１９７回)直角三角形と正方形の重なった図形 ・(第３７８回)四角形にくっついた三角形の面積 ・(第６１２回)半円内の三角形の面積の最大値 どちらも、解法を思いついた／知った瞬間に大きな衝撃を受けました。 興味があれば過去問を探してみてください。 (但し、いずれも半端ない難問です。挑戦する際はご覚悟を) |
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遠くの灯り
8月10日（水） 10:15:36
HomePage:算数＆隧道 38173 |