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マサル
ふぅ、なんとかなった...（のだろうか？）

今回の問題、23:00を過ぎても全く問題が出来ず、超アセって（やや胃が痛くなりながら）作りました。四角形AMCNが「凧形」であることを利用して...という問題なのですが、どうしても問題で与える面積比と答えの値が似たものになってしまい...。まぁ、あまり良い出来とは言えません..。申し分けございませんでした。m(__)m
iMac　　 9月29日（木） 0:11:40　　 HomePage:ブログ　　38388
UFO
補助線に気づくのに時間が掛かった・・・

ちなみに、小６です。
　　 9月29日（木） 0:14:17　　 　　38389
Ｍさん
正方形の１辺を１　
P(0,t)として、気合で解きました。
PB⊥QCで、Q(1-t,0)
面積の条件からt＝2/3　となりました。
∴△PDC=1/6
第２グループ　　 9月29日（木） 0:21:55　　 HomePage:受付中　　38390
ツォン
10分以上かかってしまった・・・
　　 9月29日（木） 0:22:37　　 　　38391
ひろちゃん
通分をまちがえてしまった
　　 9月29日（木） 0:23:42　　 　　38392
スモークマン
最初に気付けば...あとは自動的に...^^
BP垂直CQ...DP=AQ
四角形CPAQ=△CDA=1/2
四角形CNAQ=1/4
四角形CNAQ+△CQM=1/3
△CQM=1/12
△CQM+△CAQ=1/4
△CAQ=1/4-1/12=1/6=△CDP
♪
金光＠岡山　　 9月29日（木） 0:37:14　　 　　38393
abcba@jugglermoka
今回の問題で四角形ANCMの面積が正方形のN分の1の場合は
��DCPの面積は正方形の(N-2)/2N倍になる。
　　 9月29日（木） 0:38:58　　 　　38394
新参者
DP=AQから解きました。ΔDPC=ΔAQC、四角形APCN=四角形ANCQ、
ΔANC=1/12、四角形ADCN=5/12∴△PDC=1/6
　　 9月29日（木） 0:43:54　　 　　38395
小学六年生
DP=AQに気づけば一瞬でした。でも、それに気づくまで何分かかったことか…。のぞみ号さんのように3分で解けるようになりたいです。
地底世界　　 9月29日（木） 1:04:15　　 　　38396
リョウフフ
DP=AQかな〜と思って解いてみたらそうでした
でもなぜそうなのかよくわからないで使ってしまいました。すみません
今でもよくわからない...orz
　　 9月29日（木） 1:47:20　　 　　38397
aibo
今回のは何となくで解きました。
正方形の１辺を30とおき、
△MBC＝225
四角形AMCN＝300
四角形ANCD＝375

四角形ANCQ＝四角形ANCPより
△DPCー△QMC＝75
よりDP-QM＝5
でDP＝10、QM＝5
と置いて面積が一致したので答えを得る。
ちなみに
間違っていなければ
四角形PANC＝四角形ANCQ＝△BMCとなる。
　　 9月29日（木） 2:57:22　　 HomePage:aibo　　38398
imai
座標で
　　 9月29日（木） 7:16:08　　 　　38400
Ｍｒ.ダンディ
正方形ＡＢＣＤ＝1　、△ＣＰＤ＝ｘ　とおくとき
△ＣＱＢ≡△ＢＰＡ　より　ＰＤ＝ＱＡ　→　△ＣＡＱ＝ｘ
△ＣＮＡ＝□ＣＮＡＭ＋△ＣＭＢ−△ＣＡＢ＝1/12
ＰＮ＝ＮＱより
□ＣＰＡＮ＝□ＣＮＡＱ＝ｘ＋1/12
△ＣＰＤ＋□ＣＰＡＮ＋△ＣＮＡ＝1/2　だから
ｘ＋（ｘ＋1/12）＋1/12＝1/2
よって　　　ｘ＝1/6　　　と求めました。
　　 9月29日（木） 8:45:39　　 　　38401
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
最近いろいろあって数学頭になっているせいか，最初は思わず座標で解いてしまいましたが，再考してこんな感じで。
これは，算数としてはそこそこ考える，という意味で，算チャレとしても適度な難易度のような気がします。
(数学では簡単です。)

まず，□ABCD = 1 とします。すると，□AMCN = 1/3 です。
そして，∠PAB = 90°= ∠QBC，∠PBA = 90°- ∠PBC = ∠QCB，AB = BC なので，△PBA ≡ △QCB，PA = QB で，
DP = DA - PA = AB - QB = AQ，になります。
そこで，△AQC = △AQD = △DPC = △CPD になり，
□AQCP = △ACP + △AQC = △ACP + △CPD = △ACD = □ABCD * 1/2 = 1/2，□AQCN = □AQCP * 1/2 = 1/4 です。
一方で，△AMC = △ABC * 1/2 = □ABCD * 1/4 = 1/4 です。
そこで，
△CPD = △AQC = (□AQCN + △AMC) - □AMCN = (1/4 + 1/4) - 1/3 = 1/2 - 1/3 = 1/6 = □ABCD * 1/6
つまり，△CPD は □ABCD の 1/6 倍になります。
ネコの住む家　　 9月29日（木） 18:00:18　　 　　38402
あめい
PB⊥CQより２つの傾きの積が−１よりAQ=DP。面積の関係から△DCP=△QMC+1/6。DP=aとおき１次方程式で計算してａ＝1/3。よって面積1/6。
といった具合に出しましたが、傾きとか１次方程式とか中学でした。
　　 9月29日（木） 16:19:40　　 　　38403
uchinyan
掲示板を読みました。

#38388
マサルさんの想定解。
＞四角形AMCNが「凧形」であることを利用して...という問題なのですが、
という解法。ただ，詳細は不明。
それと，AC⊥MN はいえますが，
AB = 1 として，DP = 1/3 = AQ だから，PA = 2/3，PQ = √5/3，AN = PN = QN = √5/6 ≠ 1/2 = AM だけど，
これでも「凧形」と言うんでしたっけ？
きっと，私が何か勘違いしてますね。
この件に関し，#38408
＞対角線が垂直に交わればタコ型じゃなかったかなー。
とのことです。それならば問題ないですね。失礼しました。

#38393，#38395，#38396，#38401，#38402
DP = AQ に注目して解く解法。詳細にはバリエーションがあります。
#38401は一部数学っぽいですが，一次方程式は工夫次第で算数で解けるので，こちらに分類しました。

#38397，#38398
勘混じり？の解法，かなぁ．．．

#38390，#38400，#38403
数学による解法。
ネコの住む家　　 9月30日（金） 11:16:41　　 　　38404
あみー
微妙。
トップが３分はちょい遅いかな…。
　　 9月29日（木） 14:27:31　　 　　38405
ゴンとも
座標でやりました。

P(0,b),B(a,0)と置くと
直線PB：y=-b*x/a+b この傾き-b/aとC(a,a)を通ることから
直線CQ：y=a*(x-a)/b+a ここでy=0としてQのx座標は
solve(0=a*(x-a)/b+a,x);x=a-b
一方で
PN:NQ=1:1　より △APN+△CPN=△ANQ+△CNQ　より
△ANQ+△CNQ=(a^2-b*a/2-(a-b)*a/2)/2　これと
△QCN=(a/2-a+b)*a/2　を足して桃色の部分は
(a/2-a+b)*a/2+(a^2-b*a/2-(a-b)*a/2)/2　　これが正方形の1/3だから
(a/2-a+b)*a/2+(a^2-b*a/2-(a-b)*a/2)/2=a^2/3　これをbについて解くと
solve((a/2-a+b)*a/2+(a^2-b*a/2-(a-b)*a/2)/2=a^2/3,b);b=2*a/3　より
これが正方形の面積の何倍かは
△CDP/□ABCD=((a-2*a/3)*a/2)/a^2　より
factor(((a-2*a/3)*a/2)/a^2);1/6・・・・・・(答え)
豊川市　　 9月29日（木） 20:57:02　　 　　38406
ロシヤ人
マサルさんに聞きます。
PをDに持っていく。
△PDCの面積＝０とすれば、ANCMの面積＝1/2
Pの位置を、DA線上でズラす、△PDCの面積が＋α
△PDCの面積（＋α）が正四角形から削ったので、ANCMの面積が1/3
1/2-1/3=1/6
こんな考え方？
当方76歳の「算チャレ」フアン。
　　 9月29日（木） 19:54:54　　 MAIL:yasuhirovich@oboe.ocn.ne.jp 　　38407
あみー
対角線が垂直に交わればタコ型じゃなかったかなー。
　　 9月29日（木） 23:12:22　　 　　38408
やいめ
対角線ＡＣを引けば、算数でとけますね。
　　 9月29日（木） 23:43:36　　 　　38409
uchinyan
#38408
なるほどそうですか。それならば問題ないですね。失礼しました。
ネコの住む家　　 9月30日（金） 9:16:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38410
せ
ＡＢ上にＡＱ＝ＢＱ’（＝ＤＰ）になるような点Ｑ’をとる。
面積を比べると△ＡＰＮ＝△ＡＱＮ、△ＣＰＮ＝△ＣＱＮ、△ＣＱＭ＝△ＣＱ’Ｍとなる（頂点共有で底辺の長さが同じ）
すると残る部分である△ＣＤＰ＋△ＣＢＱ’　が正方形の１／３の面積にならないといけないので△ＣＤＰはその１／２なので１／６となります。
　　 9月30日（金） 11:19:29　　 　　38411
しんちゃん
せさん、すごい！
ベスト・アンサーとして一票。
　　 9月30日（金） 16:20:48　　 　　38412
さいと散
#38410
wikiには
＞凧形は線対称な図形で
と書いてありますが？？
　　 9月30日（金） 23:18:03　　 　　38413
ma-mu-ta
「凧形」は、隣り合う2本の辺の長さが等しい組が2組ある四角形で、その性質として、対角線が直交すること、線対称な図形であること、円に外接すること、などが挙げられます。
対角線が直交するということに注目すると、菱形に代表されるように、その四角形の面積は　対角線×対角線÷2　で求められます。
算数では、これを利用することを目的として、隣り合う辺の長さが等しくないものでも、対角線が直交する四角形のことを 「たこ型四角形」 或いは単に 「たこ型」 と呼んでいます。（「形」と「型」の違いにご注目ください。また、小学生対象なので通常はひらがな表記となっています。）
対角線が直交するという性質を持つ四角形については、これを総称する特別な名称がありませんので、便宜的な名づけ方であると思われます。
　　 10月1日（土） 1:32:44　　 　　38414
マサル
#38407 （ロシヤ人 様）
　MNの延長とADの交点をLとすると、△PDC = 四角形LANC であることが言えれば、ご指摘の通りになりそうですね。そしてこれは、DP=ARとなる点RをAD上にとり、さらにRを通りACと平行な直線とMNとの交点をSとして、△PDC = △ARC = △ASC = 四角形LANC と等積変形していくことで証明できそうです。
　そしてこのことを「直観的に」予感されたのであれば、それも素晴らしいことだと思います。

（凧型、たこ型について）
　私も「凧型」と言うかどうか自信がなかったのですが、中学入試の先生が以前こんな使い方（#38408のあみーさんのご説明のような使い方）をしてたかなーと思って使っちゃいました。#38414 のma-mu-taさんの書き込みで現状が分かった気がします。ありがとうございました ＆ 混乱をまねきまして申し訳ございませんでした。m(__)m
iMac　　 10月1日（土） 6:54:24　　 HomePage:ブログ　　38415
wowka
端に苦労^^;
　　 10月1日（土） 12:35:24　　 　　38416
あみー
厳密に定められていない定義の分野といえます。
wikiはともかく…。

タコ型と言い切るのはやや危ない(理由は#38414)ので，私も「対角線が直角に交わる四角形」と表現するようにしています。
　　 10月1日（土） 21:22:29　　 　　38417
新　がさつよ
ＤＰの長さをＸとして、方程式を立てたら解けました。ぼくはなんてバカなんだ。そして、我が校の生徒はなんてくずなんだ。社会に出たときに、くず扱いされるんだろうな、馬鹿なやつは。インド人や中国人に仕事をとられ、のたれ死ぬのがオチだろうよ。
　　 10月2日（日） 21:10:54　　 　　38418
uchinyan
「たこ形」と「たこ型」の話，いろいろとあるんですね。参考になりました。
ネコの住む家　　 10月3日（月） 11:57:50　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38419
福助
死ね
　　 10月3日（月） 13:08:40　　 　　38420
あめい
半年ほど前から、こちらの掲示板も見るようになったのですが、(私も含めて)回答者数が増えてきたように感じます。算数・数学のおもしろさ・醍醐味は答そのものよりもいかにエレガントな答えの出し方ができたかだと思うのですが、多くの人が解き方を書いてくださって、発想、視点に感心頻りです。今回はしんちゃんさんも書ていらっしゃいましたが、せさんのおもしろかったです。自分でも前２つの等積はすぐ出たものの使えず、だったのですが△ＣＱＭと同じ面積の三角形の発想、補助線が１本、難しい計算もいらないって素敵ですね。
人数が多くなっての弊害、これも仕方ないものなのでしょうね。
　　 10月4日（火） 13:53:19　　 　　38421
せ
お二人もの方に回答を面白いと言っていただき大変恐縮しています。
高校数学で大きくつまずいた文系学部出身者なため、算数の知識と「ごく微量」の数学の知識と人生経験（笑）を武器に毎週問題に挑戦しています。
私もこちらの掲示板で他の方々の解答を見させていただき、毎回その考え方や着眼点の鋭さに感心することしきりです。
　　 10月5日（水） 9:44:21　　 　　38422
マサル
お知らせというか、情報ということで。

　しばらく更新の止まっている算チャレVer3.0ですが、今日確認しましたところ、主催者のＡЯＯＴさんが、本業のほうがお忙しくてしばらくは再開できそうもない...とのことでした。よろしくお願いしますー。
Mac mini　　 10月5日（水） 17:39:17　　 HomePage:Men@Work　　38423

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