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ＡＤ１６４の息子
ＡＰ＝ＰＱ＝ＱＥはＡＰではなくＢＰですか？

補助線たくさん引いて二等辺三角形作って解いていきました。解法うまく書けませんが（３０分ほど前に目覚めたので）・・・
　　 6月7日（木） 0:21:39　　 　　39436
sodo
遅ればせながら、ご結婚おめでとうございます。
東京都墨田区　　 6月7日（木） 0:22:20　　 MAIL:sodo@pop17.odn.ne.jp 　　39437
あれん
BP=PQ=QE ですか？
　　 6月7日（木） 0:24:33　　 　　39438
あれん
BP=PQ=QE ですか？
　　 6月7日（木） 0:25:17　　 　　39439
かえる
ＡからＢＥに下ろした垂線の足をＨとする。

三角形ＡＭＤに余限定理を用いて、ｃｏｓ角ＭＡＤ＝11/16
半角公式を用いて、ｃｏｓ1／2角ＭＡＤ＝３√6/8
ＡＰ＝8ｘとおくと、ＡＨ＝３√6ｘ
三平方の定理より、ＰＨ＝√10x
ＢＨ＝3ＰＨ＝３√10ｘ
三平方の定理より、ＡＢ＝12ｘ
12ｘ＝６ゆえｘ＝1／2
よって、ＡＰ＝8×1／2＝４
　　 6月7日（木） 0:26:46　　 　　39440
マサル
スミマセン、BP=PQ=QEでした。修正させていただきました。m(__)m
MacBookAir　　 6月7日（木） 0:35:59　　 HomePage:ブログ　　39441
ミッキー
問題図のAB, AE, AC 上にある点が全て同じ色に見えるのですが・・・
違うのかもしれませんが、色弱のせいか同じ色に見えます。
　　 6月7日（木） 0:57:13　　 　　39442
ミッキー
#39442
ＲＧＢ値を確認しました。同じ色ですね。
　　 6月7日（木） 1:00:09　　 　　39443
数樂
カンです。合ってるかは分りませんが、…
BDを結ぶ。
ECを結ぶ。
ECとADの交点をN、ECとBDの交点をRとする。
このとき、
∠ABD＝∠AEC
またAB=AE=6と図形の対称性から
四角形ABREは1辺6のひし形
よってEN//ABであるから、
△ABQ∽△NEQとなり、
相似比は2:1でAN＝6をAQ:QN=2:1に比例配分し、
AQ＝6×2/3＝4
こんな感じです。
　　 6月7日（木） 3:57:08　　 HomePage:数樂　　39444
数樂
いい忘れていました。
ご結婚おめでとうございます。
末永くお幸せにしてください。
　　 6月7日（木） 4:34:28　　 HomePage:数樂　　39445
「数学」小旅行
ご結婚、おめでとうございます。
互いに、いたわりと感謝を表す言葉、
「ありがとう」を大切にして、
明るい家庭を！　御幸せに！
　　 6月7日（木） 6:30:26　　 MAIL:yuji.miyaguchi@gmail.com 　　39446
namba
数学で解きました

△ACDで余弦定理を用い　cos∠CAD＝11/16
AQ＝x　とすると図形の対称性よりAP＝x
△APQで余弦定理を用いて　PQ＝√5x/√8
対称性よりBP//CDがわかり△BPM∽△DCM
△ACDに余弦定理を用いCD＝5√2
PM＝AM-AP=6-x、BP＝PQ＝√5x/√8、CM＝6、CD＝5√2と△BPM∽△DCMより
x=4

図形は苦手です………
　　 6月7日（木） 9:49:23　　 　　39447
namba
↓△BPM∽△DCM はB、M、Dが一直線上になっていることを言わないとダメでしたね。

一直線上になる理由は………勉強不足で分からず
　　 6月7日（木） 10:37:41　　 　　39448
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，算数では分からず，数学(パップスの中線定理＋余弦定理)で解いてしまいました。
掲示板を読む前にもう少し考えます。

どうやらできたかな，と思ったら，マサルさんの想定解と等価なような気もしますが，一応。

まず，AB = AE = 6 cm より ∠ABE = ∠AEB で，BP = EQ も合わせて，△ABP ≡ △AEQ，AP = AQ，∠BAP = ∠EAQ で，
AC = AD = 12 cm なので，△ABC ≡ △AED，BC = ED，∠BCA = ∠EDA，また ∠ACD = ∠ADC より ∠BCD = ∠EDC で，
結局，この図は全体として A を通る BE の垂直二等分線に関して線対称で，BE//CD です。
ここで，AD の中点を N，NM の延長と AB の延長との交点を R とすると，
AM = CM = AC/2 = 6 cm = AD/2 = AN = DN，∠AMN = ∠ANM，
MN//CD//BE，△ABP ∽ △ARM，△APQ ∽ △AMN，BP：RM = AP：AM = PQ：MN，RM：MN = BP：PQ = 1：1，RM = MN，
∠AMR = 180°- ∠CMR = 180°- ∠AMN = 180°- ∠ANM = ∠DNM
そこで，△ARM ≡ △DMN，AR = DM = 9 cm となり，
AP：AM = AB：AR = 6：9 = 2：3，？ = AQ = AP = AM * 2/2 = 6 * 2/3 = 4 cm，になります。
ネコの住む家　　 6月7日（木） 13:39:50　　 　　39449
マサル
昨晩は、記号の表記ミス、失礼いたしました。m(__)m

この問題、私はADの中点をNとして、MNの延長とAEの延長の交点をRとして....という解法を想定していました。
iMac　　 6月7日（木） 12:04:38　　 HomePage:算チャレ　　39450
namba
マサルさんのヒントから算数でとけました。

PE//MR、PQ＝QE　よりMN＝NR…��
またNはADの中点よりAN＝ND…��
∠DNM＝∠ANR…��
�　銑�より△NMD≡△NRA
よってAR＝MD＝9　
△AQE∽△ANRよりAQ：AN＝AE：AR
よってAQ：6＝6:9　　これよりAQ=4

　　 6月7日（木） 12:43:10　　 　　39451
abcba@baLLjugglermoka
初めは��ABP∽��DAMでAQ=AP=9/2だと思っていましたが、考え直して、対称図形のイメージからCDとBC,DEが直行すると仮定すれば、MD=9を含め問題の条件を全て満たすのでこれで正解という解法です。(かなり無理矢理ですね（＾＾：：)
　　 6月7日（木） 12:54:33　　 　　39452
ＡＤ１６４の息子
なんかあやしい解法です。。

昨夜パソコンの前で泥酔して寝て、０時過ぎに目が覚めて、「確か今日は問題の日だよな」と思って解いてみたのですが・・

問題文では触れられていないＡＭにも緑色の丸がついている（確かに６ｃｍですが）のに気づいて、「これはヒントに違いない」と思い、確かにマサルさんのヒントと同じＮも取っているのですが、そこから先の多数の二等辺三角形の底角の等しい印、平行線の補助線も多数書いてあるのですが、その意味が酔いが醒めた今では全く解読できず。。。　比の式が二つ書いてあるので、最後は相似に持ち込めたんでしょうが。

今夜帰って、もう一度解読します。
　　 6月7日（木） 13:00:45　　 　　39453
uchinyan
掲示板を読みました。
どうやら若干のトラブルがあったようですが，問題そのものも，数学では簡単ですが，算数で解くのはなかなか難しいようです。

#39436，#39453
＞補助線たくさん引いて二等辺三角形作って解いていきました。
という解法。詳細は不明。今後の書き込みに，乞うご期待，かな (^^;

#39444
＞ECとADの交点をN、ECとBDの交点をRとする。
＞このとき、
＞∠ABD＝∠AEC
＞またAB=AE=6と図形の対称性から
＞四角形ABREは1辺6のひし形
＞よってEN//ABであるから、
と議論していく解法。結論は正しいのですが，□ABRE がひし形になるところが，いまいちよく分からないです。
図が左右に対称なのはほとんど明らかですが，BE に関して A，R が対称なのは，あまり明らかではないように思います。

#39450，#39451
AD の中点を N，MN の延長と AE の延長との交点を R として，△NMD ≡ △NRA を導いて解く解法。
マサルさんの想定解です。

#39449
AD の中点を N，NM の延長と AB の延長との交点を R として，△ARM ≡ △DMN を導いて解く解法。
マサルさんの想定解と等価なことを図の左側で行っています。ただ，若干，無駄があるかなぁ。

#39452
＞対称図形のイメージからCDとBC,DEが直行すると仮定すれば、
＞MD=9を含め問題の条件を全て満たすのでこれで正解
という解法。一種の特殊化かな？

#39440
数学，三平方の定理＋余弦定理，による解法。

#39447，#39448
数学，余弦定理を繰り返し使用，による解法。
ただ，これも結果は正しいようですが，#39448での指摘のように，論理的に不備があるようです。
ネコの住む家　　 6月7日（木） 14:32:11　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39454
ハラギャーテイ
遅くなりました。MATHEMATICAによる三角関数です。
山口　　 6月7日（木） 15:55:31　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39455
スモークマン
やっとこさ...当てはめて...^^;
角BAQ=90°で、△APQが正三角形なら成立することがわかるので...
△BAQ〜△DMA とわかり...
AB : AQ =DM : AM = 6 : AQ = 9 : 6
AQ=4
Orz...
皆さんので勉強ぉぅ〜^^;v
♪
　　 6月7日（木） 19:56:44　　 　　39456
ミッキー
#39442 で指摘したＡＣ上の緑色の点について。
今気付いたのですが、これはＡＢ＝ＡＥ＝ＡＭ＝６ｃｍってことなんですね。
失礼しましたm(_ _)m
　　 6月7日（木） 21:08:30　　 　　39457
巷の夢
メネラウスの定理を△ABDに２回使いAP＝AQを求めました。
富士の嶺　　 6月7日（木） 21:15:11　　 MAIL:メネラウスの定理 　　39458
hide
ゴリゴリゴリゴリ……

△ABEは二等辺三角形なので��AQE＝��AQB
なので△AQEと△AQBの正弦定理より
2sin��QAE＝sin��QAB　　....★
△ADMに余弦定理で
cos��MAD＝(36+144-81)/2/12/6＝11/16
また
sin��MAD＝(3��15)/16

AQ＝x , sin��QAE＝kとおく
△AQEに正弦定理で
6/sin��AQE＝QE/sin��QAE
整理し
6k＝QEsin��AQE
△APQに正弦定理で
x/sin��APQ＝PQ/sin��MAD
ここでsin��APQ＝sin��AQE , PQ＝QEより
x＝16/3��15*QEsin��AQE＝32/��15*k

加法定理より
sin��QAB＝sin(��QAE＋��QAP)＝11/16*k＋(3��15)/16*��(1-k^2)
★より
sin��QAB＝2k
これを解き
k＝��15/8

∴x＝4
ラダトーム　　 6月7日（木） 21:57:11　　 　　39459
数樂
#39451
なるほどすっきりしました。
　　 6月8日（金） 3:21:58　　 HomePage:数樂　　39460
ＡＤ１６４の息子
二等辺三角形５つ　その底辺と平行な補助線　何か相似な三角形を作ろうとしていたのはわかるのですが・・・　　比の式二つも改めて検算すると一つはX＝４だけど、もうひとつはX＝８／３

「そうだ、同じ状態になれば思い出すに違いない」と「い○ちこ」を飲み始めたらますます混乱・・・

そんなわけで、今回の解法についてはご放念下さい。
　　 6月8日（金） 18:08:09　　 　　39461
xswc
こんなに簡単でいいの!?っていうくらい一瞬で解けました。あっているかわかりませんが...
三角形ACDは二等辺三角形で,CDに中線を引きCDとの交点をFとします。
ACDは二等辺三角形であるから,その中線は∠Aの垂直二等分線となるので,六角形ABCDEはAFに関して対称な図形です。よってBEとAFの交点をGとすれば,PG=GQとなります。
よって三角形ABPと三角形GMPにおいて,BP:PG=AP:PM=2:1
よって,AQ=AP=AM×2/3=4...(答)
　　 6月9日（土） 20:11:04　　 　　39462
たけのこ
いつも楽しい問題ありがとうございます。

二等辺三角形ですので　ＡＱ＝ＡＰ＝？
ＡＤと平行な補助線を　ＰからＡＤに向けてひき、　ＡＤとの交点をＲとします。
そうすると、△ＰＱＲ≡△ＥＱＡ　になり、ＡＱ＝ＱＲ＝？　です。
そして、ＡＲ＝２×？　なので　
ＡＰ：ＡＲ＝？：２×？＝１：２
ＡＭ：ＡＤ＝６：１２　　　　　
△ＰＡＲ∽△ＡＢＤから求めました。　わかりにくくてすみません。ががが
　　 6月9日（土） 22:34:12　　 　　39463
せ
すいません
カンです。
先週の問題が解けなかったので、マサルさんのご結婚の件、先ほど知りました。
おめでとうございます。
末長くお幸せに。
　　 6月11日（月） 11:39:47　　 　　39464
水田X
まさるさん　ご結婚おめでとうございます。大阪のオフ会の時に宣言すればもっとよかったのに〜笑　うちは趣味、価値観がけっこう似てるので１０年仲良くやってます。算数はやらないけど脳トレには興味もっています。
　　 6月12日（火） 19:25:49　　 　　39465
諦
APの中点をXとして三角形PAEで中点連結定理からQX=AE/2=3
三角形AXQと三角形AMDは相似なのでAX:AM=XQ:MD
よってAX=6×(3/9)=2
XはAPの中点なのでAP=4
三角形APQは二等辺三角形なのでAQ=AP=4
ひっっさしぶりに解いたので何か説明すらできてませんが・・・。
　　 6月13日（水） 5:58:44　　 　　39466

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