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算数星人 |
| △ABDをAを中心に回転させて考えました。 |
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10月11日（木） 0:32:05
39880 |
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すぐる学習会 |
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ごめんなさい。
長年の感覚で送信してしまいました。 |
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高田馬場
10月11日（木） 0:45:33
MAIL:kishimotoakihisa@hotmail.com HomePage:すぐるホームページ 39881 |
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だいすけ |
| 勘で正解者掲示板に入ろうとしてみたら、一発で当たってしまいました |
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大阪府吹田市
10月11日（木） 0:57:08
39882 |
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すぐる学習会 |
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ごめんなさい。
長年の感覚で送信してしまいました。 |
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高田馬場
10月11日（木） 0:59:45
MAIL:kishimotoakihisa@hotmail.com HomePage:すぐるホームページ 39883 |
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むらかみ |
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難しかったです。
25秒って... |
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10月11日（木） 1:02:28
39884 |
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数樂 |
| あえて語らず… |
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10月11日（木） 3:31:13
HomePage:数樂 39885 |
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ma-mu-ta |
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ACとPDの交点をQとすると、△PCQ∽△ADQより、∠PCQ＝∠ADQだから、
△ABDをADがACに重なるようにAを中心として回転させると、BDはPCと重なります。 Bの移動先をEとして、EBを結びます。 EC＝BD＝PC×2より EP＝PC だから、EC：PC＝BC：MC＝2：1，EB//PM よって、EB：PM＝2：1となり、EB＝PM×2＝2×2＝4 △AEBと△ACDは相似な二等辺三角形だから、 AB：AD＝EB：CD＝4：6＝2：3 したがって、AB＝AD×2/3＝5×2/3＝10/3 (cm) |
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10月11日（木） 5:40:59
39886 |
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CRYING DOLPHIN |
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昨晩考えてわからなかったので、朝起きてから試しに「花子」で作図したら、一発で正確な図を描けた。
長さを算出したら「3.33333...」と出てきたので10/3と入力、そして正解。 というわけで、真面目に考えていませんorz |
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誰もいない市街地
10月11日（木） 10:46:19
HomePage:ブログもやってる 39887 |
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通りすがり |
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(´ヘ｀;) う〜ん・・・今回はムズ過ぎ。運がよければ当勘で答えを出せますが(まっ、それも実力のうちと思うけど)、まともに解けた人は何人いるのでしょうねσ(^_^;) かく言う私も手も足も出ませんでした。
こんな問題は算数でやるのをあきらめ、いつもゴンともさんがやっているように、座標を使って難易度を下げてアプローチするのがいいですね。頭を使わずに必ず解けるやり方ですが、恐ろしい数式が出てきます。でも、そこは数式ソフトでゴリ押して解くのであります。 解法ですが、△ABDの外接円(半径R=25/8)の中心を原点とすると、 A={0,25/8}、C={-3,-7/8}、D={3,-7/8}、P={x,√(R^2-x^2)} なので、 B=P+t*(P-D)、M=(PtB+PtC)/2 となって、PM=2の条件を当てはめると、 25*t^4*x^2-2696*t^3*x^2+3480*t^2*x^2-1568*t*x^2+784*x^2-3750*t^4*x+15588*t^3*x-21192*t^2*x+10032*t*x+5625*t^4-22500*t^3+33236*t^2-19904*t+3264=0・・・�� また、BD=2PCから 25*t^2*x-28*t*x+100*x-75*t^2+300・・・�� となる。これを解いて、 x=(3*2^(5/2)*sqrt(7)-121)/54 t=(96*sqrt(14)+718)/773 となるから、AB=10/3。何かぁ〜解が他にもありそうな気もするけど、まぁ算数でとける範囲内が有効ということで。。。 |
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10月11日（木） 11:06:02
39888 |
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doba |
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PCがBDの半分、MがBCの中点ということと、
PMというへんな所の長さがわかっていることから、 中線連結が使えるようにPCのP側の延長上にQをQP=PCとなるようにとる、 ということに気付けば、そこから先はすぐですが、 その補助線を描かずに三角比や座標で計算しようすると、 壮絶な計算を強いられるという、なんともよくできた問題ですね。 後で気になって、AB=10/3を使って他の長さを手計算してみたら、 BC=(√(1485+168√14))/9 PC=(20√6+5√21)/18 PB=(-4√6+11√21)/18 とかになりました(^^; （計算が合っている保証はないですが検算する根性もありません…） |
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10月11日（木） 14:25:13
39889 |
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ハラギャーテイ |
| 三角関数による解法でMATHEMATICAを利用しました。 |
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山口
10月11日（木） 14:56:53
HomePage:制御工学にチャレンジ 39890 |
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マサル |
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今回のは、布団に入ったけれど眠れない日に、ふと思いついた問題です。「あ、この図形の、この部分を表示しないようにしたら、難しい問題になるんじゃ？」ってな感じで。すぐに起きてメモ用紙をとりだして数値設定して寝ました。
こういうことってそれなりの頻度であるんですが、大抵は「実は楽な解法があった」とか「図形が成立しない」とかでほとんどはポシャるのですが、まぁ今回は偶然うまくいきました。...って、これから不具合が発見される可能性もありますが。(^^; |
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会社のMac mini
10月11日（木） 15:13:02
HomePage:ブログ 39891 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，すごく難しかった。 最初，算数で考えても分からず。 仕方がないので三角関数でトライするも，すごい式がでてきて「こりゃダメだ」と思ったものの，ちょっとしたきっかけで解けました。 その後，算数で再度トライ。三角関数の解法がある意味ヒントになって，かなりの時間を費やしましたが，何とか。 今回は，数学も含めて，苦戦の履歴を書いておきます (^^; (解法1) 三平方の定理＋三角関数 BD の中点を Q とし，BD 上で BP = PR となる点 R を取り，A から BD に垂線を下ろしその足を H とします。。 明らかに ∠ADQ = ∠ACP，△ADQ ≡ △ACP なので， A を中心に △ACP を反時計回りに回転し AC を AD に重ねると，△ACP は △ADQ に重なります。 これより，AP = AQ，∠PAQ = ∠CAD = ∠CPD，△APQ ∽ △ACD がいえ，k > 0，a > 0 として， AP = AQ = 5k，PQ = 6k，PH = QH = 3k，AH = 4k，BP = a，BH = a + 3k，BQ = a + 6k = DQ = CP，DH = a + 9k，PD = a + 12k がいえます。そこで，三平方の定理より， AB^2 = AH^2 + BH^2 = (4k)^2 + (a + 3k)^2 = a^2 + 6ak + 25k^2 一方で，∠PAQ = ∠CAD = ∠CPD = 2α とすれば， cosα = 4/5，sinα = 3/5，cos(2α) = 2(cosα)^2 - 1 = 7/25 さらに，BP = BR = a，BM = MC なので，中点連結定理より，RC = PM * 2 = 4 cm がいえ， △PCR に余弦定理を使って， PR^2 + PC^2 - 2 * PR * PC * cos(2α) = RC^2 a^2 + (a + 6k)^2 - 2a(a + 6k) * 7/25 = 4^2 2a^2 + 12ak + 36k^2 - 14a(a + 6k)/25 = 16 a^2 + 6ak + 18k^2 - 7a(a + 6k)/25 = 8 25a^2 + 150ak + 450k^2 - 7a^2 - 42ak = 200 18a^2 + 108ak + 450k^2 = 200 9a^2 + 54ak + 225k^2 = 100 そこで， AB^2 = a^2 + 6ak + 25k^2 = (9a^2 + 54ak + 225k^2)/9 = 100/9 AB = 10/3 cm になります。 (解法2) 何とか算数 (解法1)の回転を少し変えたらできました！ BD の中点を Q とします。 明らかに ∠ADQ = ∠ACP，△ADQ ≡ △ACP なので， A を中心に △ADQ を時計回りに回転し AD を AC に重ねると，△ADQ は △ACP に重なります。 そこで，改めて，△ABD を A を中心に時計回りに回転し AD を AC に重ね，B の移動先を E とします。 明らかに，∠EAB = ∠CAD，AE = AB なので，△AEB ∽ △ACD，です。 さらに，CE = BD = CP * 2，CB = CM * 2 なので，中点連結定理より，EB = PM * 2 = 4 cm，です。 そこで，△AEB ∽ △ACD より，AB：EB = AC：CD，AB：4 = 5：6，AB = 10/3 cm，になります。 分かってしまえば，恐ろしく簡単ですね。でも，苦労した．．． |
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ネコの住む家
10月11日（木） 16:39:27
39892 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
気付いた人は割りとあっさり，そうでない人は，まぁ勘はおいといて (^^;，苦労した，という感じでしょうか。 #39880，#39886，#39889(表現は違いますが実質同じ)，#39892の(解法2)，#39898 △ABD を A を中心に時計回りに回転し AD を AC に重ね，B の移動先を E として，△AEB で考える解法。 #39897 #39892の(解法1)を算数にアレンジし直した解法。 BD の中点を Q とし，BD 上で BP = PR となる点 R を取り，PC 上に PS = BP = PR となる点 S をとると， △ABP ∽ △CRS がいえることを使う解法。 #39881，#39882，#39896 勘による解法？ #39892の(解法1) 数学，三角関数，で，プログラムは使わない，解法。 #39887，#39888，#39890 プログラム，作図ソフトも含む，による解法。 |
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ネコの住む家
10月12日（金） 12:33:25
39893 |
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呑ちゃん |
| でちた |
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10月11日（木） 18:11:29
39894 |
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uchinyan |
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私の#39892の(解法1)は，初等幾何で，そして多分，算数で，できそうです。
もう一度検討して，詳細はまた明日にでも。 |
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ネコの住む家
10月11日（木） 21:55:02
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 39895 |
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abcba@baLLjugglermoka |
| 自分は勘で答えを当ててしまいました。 |
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10月12日（金） 8:52:16
39896 |
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uchinyan |
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私の#39892の(解法1)を，算数にアレンジした解法です。
(解法3) BD の中点を Q とし，BD 上で BP = PR となる点 R を取ります。 明らかに ∠ADQ = ∠ACP，△ADQ ≡ △ACP なので， A を中心に △ACP を反時計回りに回転し AC を AD に重ねると，△ACP は △ADQ に重なります。 これより，AP = AQ，∠PAQ = ∠CAD = ∠CPD，△APQ ∽ △ACD がいえ，AP：PQ = 5：6，BQ = BP + PQ = DQ = CP がいえます。 さらに，BP = BR，BM = MC なので，中点連結定理より，RC = PM * 2 = 4 cm です。 ここで，PC 上に PS = BP = PR となる点 S をとると，△APQ ∽ △PSR がいえ， ∠APQ = ∠PSR，∠APB = ∠CSR，PQ = CS，AP：CS = AP：PQ = 5：6，BP：RS = PS：RS = 5：6，となって， △ABP ∽ △CRS がいえ，相似比は 5：6 なので， AB：CR = 5：6，AB：4 = 5：6，AB = 10/3 cm になります。 要は，△ABP ∽ △CRS が本質で，#39892の(解法1)で AB^2 = a^2 + 6ak + 25k^2 = (9a^2 + 54ak + 225k^2)/9 = 100/9 とうまくいったのは，このせいだったんですね。 |
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ネコの住む家
10月12日（金） 12:27:27
39897 |
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Ｍｒ.ダンディ |
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ようやく算数で解けました。（同じ解法が書かれてあるかもしれませんが、とりあえず書き込んでみます）
△ＡＢＤを ＡＤがＡＣに重なるように、Ａを中心に回転させ Ｂの移った先をＢ’としＢ’とＢを結びます。 すると、∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＰ となるから、ＢＤ＝Ｂ’Ｐ＝2*ＰＣ よりＰはＢ’Ｃの中点となります。 ＣＰ：ＣＢ’＝ＣＭ：ＣＢ＝1：2 より、ＡＢ＝2*ＰＭ＝4 △ＡＢ’Ｂと△ＡＣＤは 相似となり相似比は ＡＢ：ＣＤ＝2：3 したがって ＡＢ＝ＡＢ’＝5*（2/3）＝10/3 ＡからＣＤに垂線を下ろすと3：4：5 の三角形ができるので、それにこだわり、かなりの遠回りをしました。 （大変難しい問題でした） |
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10月12日（金） 12:28:25
39898 |
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ゴンとも |
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座標でやりました。mathematicaのsolveでしかできない方程式を解きました。解答中の・・・は計算を略したということです。
(二重根号はずしや分母の有理化を手でやりました。) 座標にB(0,0),D(2*a,0),P(b,0),PC=aとおき 赤丸のcos,sinはそれぞれ7/25,24/25より 直線PC:y=24*(x-b)/7 ここでPC=aよりこの直線のx座標をcとしてMP=2,CD=6からxmaximaで solve((c-b)^2+(24*(c-b)/7)^2=a^2,c)$ rhs(part(%,2))$ factor(24*(%-b)/7)$ num(factor((%th(2)/2-b)^2+(%/2)^2-4));25*b^2-14*a*b+25*a^2-400 num(factor((%th(3)-2*a)^2+%th(2)^2-36));25*b^2-86*a*b+97*a^2-900 この方程式をmathematica 8.0 home edition で解くと Solve[25 b^2 - 86 a b + 97 a^2 - 900 == 0 && 25 b^2 - 14 a b + 25 a^2 - 400 == 0, {a, b}] ・・・a=5*(sqrt(21)+4*sqrt(6))/18,b=(-4*sqrt(6)+11*sqrt(21))/18 より 点C,Dから半径5の円はxmaximaで b:(-4*sqrt(6)+11*sqrt(21))/18$ a:5*(sqrt(21)+4*sqrt(6))/18$ factor((25*b+7*a)/25)$ factor(24*a/25)$ factor(2*a)$ (x-%th(3))^2+(y-%th(2))^2-25;(y-(4*sqrt(21)+16*sqrt(6))/15)^2+(x-(31*sqrt(21)+4*sqrt(69)/45)^2=25 (x-%th(2))^2+y^2-25;y^2+(x-5*(sqrt(21)+4*sqrt(6))/9)^2=25 この2式を連立方程式としてmathematica 8.0 home edition で解いて点Aの座標は Solve[(y - (4 Sqrt[21] + 16 Sqrt[6])/15)^2 + (x - (31 Sqrt[21] + 4 Sqrt[6])/45)^2 == 25 && y^2 + (x - 5 (Sqrt[21] + 4 Sqrt[6])/9)^2 == 25, {x, y}] ・・・x=4*(sqrt(21)+sqrt(6))/9,y=-2*(4*sqrt(6)-sqrt(21))/9 これとB(0,0)との距離は expand((4*(sqrt(21)+sqrt(6))/9)^2+(-2*(4*sqrt(6)-sqrt(21))/9)^2)$ sqrt(%);10/3・・・・・・(答え) |
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豊川市
10月15日（月） 0:29:35
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 39899 |
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晴れ |
| 最近、問題の印刷ができないが、私だけかな。 |
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10月15日（月） 8:06:12
39900 |
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のり |
| △ＡＢＤを点Ａを中心として回転，ＡＤをＡＣに重ねて△ＡＢ’Ｃを作ると，ＣＰ＝Ｂ’ＰとなることからＢＢ’＝４となりました。 |
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10月17日（水） 17:54:11
39901 |