kasama
(~ヘ~;)ウーン、図が成立しないような。。。
湘南　　 3月21日（木） 0:22:59　　 　　40394
マサル
すみません、ちょっと朝まで対応できない状況です。ミスがあるようなのですが…すみません。
　　 3月21日（木） 0:44:39　　 　　40395
マサル
帰宅しました。

すみません、AD:BC=2:5、とだけしておけば問題なかった（と思う）のに...完全なチェック不足です。ここのところミスが多いのには、自分でも判っている理由があるのですが...何度もすみません。m(__)m

ちなみに想定した解は「１」でした。
iMac　　 3月21日（木） 6:58:45　　 HomePage:ブログ　　40396
Mr.ダンディ
BC＝5　ｃｍという条件を無視して、AD＝2ｃｍ、PC＝3ｃｍのもと（三角関数を使って）計算していくと
PQ:CP＝AQ：AC＝2√7：（3√3＋√7）
PQ＝6√7/（3√3＋√7）≒2.024…（ｃｍ）という値になりました。
今回も、AD＝2ｃｍ、PC＝3ｃｍで一意的に決まると　（BC＝5ｃｍの条件を見落とし）、計算していくと上記のようになり
ミスでは？　と思っていました。
条件過多だったようですね。納得しました。
　　 3月21日（木） 8:14:54　　 　　40397
deu
BA と CD の交点を X とすると三角形 XBC は ∠X=60°の三角形で P が内心．
よって，∠BPC = 120°で，あとは三角形 BCQ のみに注目すれば一意に定まるが，AD = 2cm を全く使っていない！
しかも答えに √73 が残るしおかしいなー，といった感じでした．

どこに注目すれば 1cm になるのか，いまだにわからずにいます…．
　　 3月21日（木） 9:55:07　　 　　40398
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今回もいろいろとあったようですね。マサルさんかなりお忙しいのかな。
もちろん出題はして欲しいですが，あまり無理をなさらないように。
ちなみに，想定算数解法はどんなのだったのかな？
ネコの住む家　　 3月21日（木） 11:59:42　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　40399
ようせん
「このような図は存在しない」と言われたら解く気が全く無くなるというw

解いても意味無ぇや、みたいなwww
　　 3月21日（木） 13:00:09　　 　　40400
ようせん
メネラウスの定理使って計算したらPQ=0(60度を使ってない・・・)になって、確かに図は存在しないですね

今回正解できた人ってマサルさんと同じミスをしてるのでは、と思ってみたり
　　 3月21日（木） 13:35:31　　 　　40401
マサル
厚顔はなはだしいですが、AD:BC=2:5、という条件ならばいかがでしょうか。＞皆さん

実はそれなりに苦心して作った（しかし、数学でチェックしておけば何てことはなかったのですが、それを怠った）問題だったのですが...orz
iMac　　 3月21日（木） 14:10:00　　 HomePage:ブログ　　40402
abcba@baLLjugglermoka
点PからADおよびBCに平行な線を引きDCとの交点をEとする。四角形ADPCは平行四辺形になりPE=2、��EPCは二等辺三角形なのでEC=2。BPの延長線とDCの交点をFとすれば、��QAP∽��FPCとなる。ここからPQを計算するとPQ=−19/18、あれ負の値?、問題文を見るとこの図は存在しないとのコメントが書きが...勿論、PQが負の値というのは計算ミスしている可能性は大ありです(^^^;;;)
　　 3月21日（木） 14:31:43　　 　　40403
abcba@baLLjugglermoka
#40403平行四辺形ADPCではなく平行四辺形ADEPでした。
　　 3月21日（木） 14:35:37　　 　　40404
いちごみるく
下のかたの記号設定そのまま使わしてもらいますね
AD=PE=EC=2xとするとEF=4x/3でCF=10x/3
BQ+CF=BC=5xよりBQ=5x/3
よってBC:BQ=5:5/3=3:1=CP:PQよりPQ=1
　　 3月21日（木） 15:52:33　　 　　40405
いちごみるく
ってことですよね？
　　 3月21日（木） 15:53:59　　 　　40406
uchinyan
#40402
＞AD:BC=2:5、という条件ならばいかがでしょうか。＞皆さん
なるほど。それならば条件過多は解消されそうですね。

AD：BC = 2：5 として，算数解法を考えてみました。こんなのはどうでしょうか。

AP を延長し BC との交点を E とします。
AE//DC，AD//BC なので □AECD は平行四辺形で EC = AD です。
さらに，AE//DC より ∠EPC = ∠DCP = ∠ECP なので △ECP は EC = EP の二等辺三角形です。
そこで，BE：EP = (BC - EC)：EC = (BC - AD)：AD = (5 - 2)：2 = 3：2，です。
これより，△BAE において，
∠ABP = ∠EBP なので，BA：BE = AP：EP，BA：AP = BE：EP = 3：2，になります。
ここで，AB 上に AR = AP となる点 R を取ると，
∠RAP = 60°なので △ARP は正三角形になり，RP = AR = AP，∠ARP = 60°，です。
そこで，RB：RP = (BA - AR)：RP = (BA - AP)：AP = (3 - 2)：2 = 1：2，になり，
しかも ∠BRP = 180°- ∠ARP = 180°- 60°= 120°，です。
一方で，□AECD は平行四辺形だったので ∠EAD + ∠CDA = 180°で，
∠BAD + ∠CDA = ∠BAE + ∠EAD + ∠CDA = 60°+ 180°= 240°
∠ABC + ∠DCB = 360°- (∠BAD + ∠CDA) = 360°- 240°= 120°
∠PBC + ∠PCB = (∠ABC + ∠DCB)/2 = 120°/2 = 60°
∠BPC = 180°- (∠PBC + ∠PCB) = 180°- 60°= 120°
∠BPQ = 180°- ∠BPC = 180°- 120°= 60°
そこで，
∠BPC = 120°= ∠BRP，∠PBC = ∠RBP，より，
△PBC ∽ △RBP，PB：PC = RB：RP，PB：3 = 1：2，PB = 3/2 cm，
∠BPQ = 60°= ∠BAP，∠PBQ = ∠ABP，より，
△BPQ ∽ △BAP，BP：PQ = BA：AP，(3/2)：PQ = 3：2，PQ = 1 cm，
つまり，PQ = 1 cm，になります。

この算数解法は，一見，AD = 2 cm，BC = 5 cm，としても，そのまま通用しそうに見えます。
しかし，この場合は，cos(∠PCB) = cos(∠PCE) = (PC/2)/EC = (3/2)/2 = 3/4 で，
PB^2 = CP^2 + CB^2 - 2 * CP * CB * cos(∠PCB) = 3^2 + 5^2 - 2 * 3 * 5 * 3/4 = 23/2，PB = √46/2 ≠ 3/2
となって，一致しません。
むしろ，
BC^2 = PB^2 + PC^2 - 2 * PB * PC * cos(∠BPC) = (3/2)^2 + 3^2 + 2 * 3/2 * 3 * 1/2 = 63/4，
BC = 3√7/2 cm，AD = 3√7/5 cm
となるべきようです。

こうして見てくると，なかなか面白い問題でした。出題ミスが残念です。
ネコの住む家　　 3月23日（土） 10:02:28　　 　　40407
ＡＤ１６４の息子
恥を忍んで告白します。
最初問題を見た瞬間、根拠もなく「三角形ＱＢＣは５：４：３の直角三角形。
だから４−３＝１　答え１ｃｍ」これで掲示板に入れてしまったので、
「後はこれから遡って解法を考えよう」としたら全然辻褄が合わなくて・・
改めてＨＰを見ると問題が変わっていたので、妙に納得しました。
恥ずかしくて、「正解」として送信はできません。。。
　　 3月22日（金） 18:43:42　　 　　40408
abcba@baLLjugglermoka
BPの延長線とCDの交点をEとする。PC上に��PEFが正三角形になるようなFをとる。これより、��BPC∽��EFCとなる。PからADおよびBCに平行な線を引きCDとの交点をGとすると、PG=GC=�△箸覆襦�ここからCE=�　�10/3となる。そしてEF＋FC=3cmなので、BP+PC=4.5cmである。ここから、BP=1.5cmとなる。一方、BP上に��PQHが正三角形になるようなHをとると、��BHQ∽��BPCなので相似比よりBQ=�　�5/3となる。∠PBQ=∠PBCより、QP:PC=1:3となり、PQ=1cmが得られた
　　 3月22日（金） 19:16:25　　 　　40409
algebra
∠ＱＢＰ＝∠ＣＢＰ＝θ とおくと、∠ＰＢＣ＝120°、............
ＢＣ＝3√7/2、sinθ＝√21/7、cosθ＝2√7/7、............
ＰＱ＝1 (正弦定理を用いました。)
　　 3月22日（金） 22:01:56　　 　　40410
algebra
訂正：∠ＢＰＣ＝120°
　　 3月22日（金） 22:02:54　　 　　40411
老算兵
皆さんの解法を参考にしながら私なりに考えてみました
比例として使用する数字は○で囲みました（実数はそのまま使います）

ＡＰを延長しＢＣとの交点をＥとする
ＢＰを延長しＤＣとの交点をＦとする
△ＢＰＥ∽△ＢＦＣとなる
∴　ＦＣ＝��／��
△ＡＢＥから　∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ＝６０
∴　∠ＱＰＢ＝∠ＦＰＣ＝６０
ＰＦを一辺とする正三角形を作りＰＣ上の点をＧとする
△ＦＧＣ∽△ＢＰＣとなる
△ＰＦＣをＰＣで折り返すとＦＣがＢＣ上にくる
ＦＣをＢＣに拡大すると拡大した△ＰＦＣが△ＢＰＣからはみ出す
はみ出した部分は正三角形だからＢＰ＝4.5-3＝1.5となる
ＰからＦの方へ３�竸�ばした点をＨとする
ＨからＣへ線を引くと△ＰＨＣは正三角形となる
ＢＨをＢＰに縮小した△ＢＨＣをＢＰで折り返せば縮小したＨＣがＱＰに重なる
∴　ＨＣ×ＢＰ÷ＢＨ＝１　となる
　　 3月26日（火） 14:59:23　　 　　40412
ゴンとも
座標で・・・

QC=x軸,P(0,0),緑の角=a,赤い角=60-a,DAとPQを伸ばしてその交点とPまでの距離をbとして
直線CB,PBとの交点B,直線DAとAP,DCとの交点をそれぞれA,Dを求め
AD,BCの長さの比からtan(a)を求めBP/sin(60*%pi)=AP/sin(60*%pi-a)からbを求め
ABの直線の方程式を求めy=0としてPQの長さを　xmaxima で求めると

e1:y=sqrt(3)*x$
e2:y=tan(a)*(x-3)$
e3:y=-tan(a)*x$
e4:y=-tan(a)*(x-3)$
e5:y=tan(a)*(x+b)$
solve([e1,e2],[x,y])$
solve([e3,e5],[x,y])$
solve([e4,e5],[x,y])$
part(%th(3),1)$
rhs(part(%,1))$
rhs(part(%th(2),2))$
factor((3-%th(2))^2+%^2)$
part(%th(6),1)$
rhs(part(%,1))$
rhs(part(%th(2),2))$
part(%th(8),1)$
rhs(part(%,1))$
rhs(part(%th(2),2))$
factor((%th(5)-%th(2))^2+(%th(4)-%)^2)$
solve(factor(25*%-4*%th(8))=0,tan(a))$
factor(rhs(part(%,2)))$
rhs(part(solve(1-a^2=a^2*%^2,a),2))$
rhs(part(solve(%th(2)^2*(1-b^2)=b^2,b),2))$
factor((-(%-sqrt(3)*%th(2))/2))$
sqrt(ev(%th(15),tan(a)=%th(4))^2+ev(%th(14),tan(a)=%th(4))^2)/(sqrt(3)/2)$
sqrt(ev(%th(12),tan(a)=%th(5))^2+ev(%th(11),tan(a)=%th(5))^2)/%th(2)$
solve(%=%th(2),b)$
part(%,1)$
rhs(%)$
ev(%th(16),tan(a)=%th(9))$
ev(%,b=%th(2))$
ev(%th(17),tan(a)=%th(11))$
ev(%,b=%th(4))$
e6:%=k*%th(3)+l$
e7:ev(%th(24),tan(a)=%th(14))=k*ev(%th(25),tan(a)=%th(14))+l$
solve([e6,e7],[k,l])$
part(%,1)$
rhs(part(solve(rhs(part(%,1))*x+rhs(part(%,2))=0,x),1))/-1;

Enter押して　1・・・・・・(答え)
豊川市　　 3月27日（水） 11:29:45　　 　　40413
マサル
今年の大阪オフミですが、

５月１日　夕方〜

で実施いたします。平日ですので、人数があまり集まらないかな、とは予想していますが、まぁまったりと皆さんとお話ができればと思っております。m(__)m
iMac　　 3月27日（水） 12:04:07　　 　　40414