ひだ弟
AからBCへの垂線 と ACの中点 で正三角形ができました。
　　 6月12日（木） 0:06:01　　 　　41886
ベルク・カッツェ
AからBCに垂線、2：1の相似。
こんな感じで。
　　 6月12日（木） 0:06:24　　 　　41887
しらす
うーん最近鈍ってるなぁ
　　 6月12日（木） 0:08:06　　 　　41888
CRYING DOLPHIN
△ABCをBCを折り目として折り返して△DBCをつくる。
AB＝DB＝AD＝CDおよび、△BCDは正三角形よりAD＝ACだから、△ABDと△ADCは合同。
誰もいない市街地　　 6月12日（木） 0:09:59　　 HomePage:ブログもある　　41889
Mr.ダンディ
問題図は
円に内接する正９角形ABEFGHIJDを描き、弧JIの中点をPとし
BPとAIの交点をCとしてできる図かな・・・
　　 6月12日（木） 0:38:22　　 　　41891
たけだ
東京駅で気がつきました
　　 6月12日（木） 0:48:00　　 　　41892
小西孝一
AからBCに垂線を降ろしてできる。直角三角形とDからACに垂線を降ろして
できる直角三角形は1対2対√3とACの中点を考えると合同になるので、
50+50=100でした。
　　 6月12日（木） 1:16:53　　 　　41893
baLLjugglermoka
問題作成者です。解いて頂き有難う御座います。CRYING DOLPHINさんの解法が想定解です。今回は、気付けば暗算で解ける問題でした。ちなみに、皆様に質問ですが、この問題は既に知られている問題でしょうか?一応、僕の完全オリジナル問題です。
　　 6月12日（木） 1:22:55　　 　　41894
小西孝一
baLLjugglermoka様
算数は算チャレでしか見ないので、知りませんでした。
　　 6月12日（木） 1:33:25　　 　　41895
チュタ
等しい辺を半径と考え円を２つ描き、円周角×２＝中心角から解きました。楽しい問題をありがとうございました！
　　 6月12日（木） 1:47:37　　 MAIL:eb80597@gmail.com 　　41896
数樂
いつも勉強になります。
Tokushima　　 6月12日（木） 2:01:16　　 HomePage:数樂　　41897
おすまん
#41889 CRYING DOLPHINさま　「△ABCをBCを折り目として折り返して△EBCをつくる…」　でございますでしょうか？　 EとDを結んでできる直角三角形の合同で正解にたどりつきましたが、エレファント系の解答でした… orz

#41896 チュタさまの解法も考えてみます。（まだ解けてません…）

#41891 Mr.ダンディさま　うーん、ため息です…　
somewhere in the world　　 6月12日（木） 2:25:00　　 　　41898
あめい
参加させていただいていて、このタイプの問題は折り返し等で図を追加していくパターンだろうと予想がつくようになってきました。あやしい(?)のは３０°のところ・・・・と△ＡＢＣを折り返した図を描いてみたら#41889のCRYING DOLPHINさんと同じ求め方になりました。
正三角形！、合同な三角形！、！（そうか〜）と気持ちよく解けました。baLLjugglermokaさんありがとうございました。
（ただ解法が浮かばないときは、３０と５０で８０，図で求める角は９０より大きそうなので１８０−８０で１００と、３０，５０だけからいいかげんなかけにでれそうです）
お馬崎　　 6月12日（木） 7:14:32　　 　　41899
ハラギャーテイ
おはようございます。三角関数です。
山口　　 6月12日（木） 8:01:38　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41900
老算兵
いつもいろいろな解答方法が見られて楽しいです

△ＡＢＣをＢＣで折り返し、Ａの移動先をＥとする
△ＡＥＣは正三角形なので
△ＡＢＥ≡△ＡＣＤ
∴　∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＣ＝１００　　となりました
福岡県　　 6月12日（木） 8:52:43　　 　　41901
今年から高齢者
解答を送信しただけで、ゆっくりと寝ました。
解き方は、#41889のCRYING DOLPHINさんと同じでした。
それにしても皆さん早い。
最初に、二等分線で二等辺三角形をつくったりしたが方針変更。コーヒーを飲んで眠気ざまし。結構時間がかかりました。
　　 6月12日（木） 8:54:52　　 　　41902
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは簡単でしたね。こんな感じで。

A から BC に，D から AC に，それぞれ垂線を下ろしその足を H，I とします。
∠ACB = 30°より AH = AC/2，DA = DC より AI = CI = AC/2，∠ADI = ∠CDI，です。
そこで，AI = AC/2 = AH，∠AID = 90°= ∠AHB，AD = AB，△ADI ≡ △ABH，となって，
∠ADI = ∠ABH = 50°，? = ∠ADC = ∠ADI * 2 = 50°* 2 = 100°，になります。
ネコの住む家　　 6月12日（木） 11:10:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41903
uchinyan
掲示板を読みました。
皆さんほぼ基本的には同じだと思いますが，一応。

#41886
A から BC に下ろした垂線の足と AC の中点とで正三角形ができることに注目する解法。

#41887
＞AからBCに垂線、2：1の相似。
という解法。ただ，私にはどこの相似かは不明。

#41889，#41894，#41899，#41901，#41902
△ABC を BC に関して折り返し，正三角形と合同で解く解法。
想定解とのこと。確かに算数らしい解法です。
なお，そのものズバリの問題があったかは分かりませんが，
折り返して正三角形を作る，というのは，解法としては比較的よく見る気がします。

#41889，#41898(多分？)，#41903
A から BC に，D から AC に，それぞれ垂線を下ろし，合同を使って解く解法。
#41889などを半分で済ます感じの解法です。

#41896
補助円を二つ描いて考える解法。詳細は不明。

#41900
数学による解法。
ネコの住む家　　 6月12日（木） 12:04:05　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41904
fumio
こんにちは、本日は休日です。＼(~o~)／
私も中に正三角形を見つけました。
ではではまたね。
　　 6月12日（木） 13:29:03　　 　　41905
ベルク・カッツェ
>uchinyanさん

#41887ですが、ちょっと省略しすぎたようですね。
垂線の足とABの中点を結んでできる、二等辺三角形の相似です。
　　 6月12日（木） 13:30:58　　 　　41906
おすまん
#41904 uchinyanさま

中途半端な投稿で失礼いたしましたm(_ _)m
（ご講評に入れて頂けるとは思いもせず… ^^; )

取っ掛かりは「折り返し派」だったのですが、
AをBCで折り返した点をE, AEとBCの交点をH, ACとDEの交点をIとして、
△ABH≡△CDI(∵直角三角形の斜辺と他の一辺相当）
∠ABH＝∠CDI＝50°
∠CDA＝∠CDI X 2 = 100°

と、「ハイブリッド」でございましたm(_ _)m

それにしても、#41891 Mr.ダンディさま の「円に内接する正９角形ABEFGHIJD」には、ため息です…　
（「弧JIの中点をPとし BPとAIの交点をC」となるところが
理解できておりません（涙））
somewhere in the world　　 6月13日（金） 0:14:47　　 　　41907
ゴンとも
正弦定理で一瞬でできる問題でしたね。

AB=AD=DC=1として正弦定理より
1/sin(%pi/6)=2=AC/sin(50°)　AC=2*sin(50°)
△ADCは二等辺三角形なのでDから垂線を下ろすとその足はACの中点で
その垂線は∠ADCを二分するから
sin(∠ADC/2)=sin(50°)　より　∠ADC/2=50° ∠ADC=100°・・・・・・(答え)
豊川市　　 6月18日（水） 17:52:10　　 　　41908
mukku
折り返して正三角形で解きました
　　 6月13日（金） 19:09:39　　 　　41909
なんj民
大松「正三角形作ったらいいぜ」
　　 6月13日（金） 20:05:23　　 　　41910
なんj民
浅尾「岩瀬さん、△ＡＢＣはＢＣを軸にして折っておきました。後は合同を使うだけです。」
岩瀬、合同に気づかない
　　 6月13日（金） 20:11:08　　 　　41911
Mr.ダンディ
おすまんさん　#41907の
>（「弧JIの中点をPとし BPとAIの交点をC」となるところが 理解できておりません（涙））
について
そう予測を立てたのですが、 実のところ　このことについては私もあと１歩(？)というところで頓挫しております。

AとPを結ぶと、∠ACBは△APCの外角だから
∠ACB=∠APB+∠PAI＝20°＋10°＝30°
EPは直径となるから
∠ABC=∠ABE- ∠PBE=140°−90°＝50°
四角形DJICにおいて
AI//DJ、JD=JI、∠JDI=∠JID=∠DIC=20°
より、　四角形DJICはひし形がいえそうに思えたのですが、ここに無理があり、完結しません。
確信が持てないままの予測なのに　頭を悩まさせてしまい、誠に申し訳なく思ってます。（ごめんなさい）
　　 6月14日（土） 8:35:16　　 　　41913
ばち丸
怒って三角関数を使ったらあっさり解けた。新しい問題を作るヒントになるところがいいと思いました。

どなたかが言っていた「難問の陰に正三角形あり」。いい言葉です。
　　 6月15日（日） 11:34:36　　 　　41914
おすまん
#41913 Mr.ダンディさま　
コメント、ありがとうございますm(__)m
「ごめんなさい」、だなんて！　

「作問の背景」、「問題の本質」を理解していない半可な当方が不用意なコメントを投稿したかな、と後悔していたところでした…

でも、円に内接する正９角形に気づかれるだけで、嘆息ものでございます。
(直観でしょうか？）

毎回、掲示板に入ることができない当方ですが、
引き続き、uchinyanさまの講評や、Mr.ダンディさまをはじめとする
みなさんのコメントで勉強させていただきます!!
somewhere in the world　　 6月15日（日） 12:32:51　　 　　41915
ばち丸
たとえばこんないたずらができる

□ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＡ、∠Ｂ＝５０°、∠Ｃ＝７０°の時、∠Ｄは何度ですか
　　 6月15日（日） 17:15:37　　 　　41916
スモークマン
#41916 ばち丸さんの問題考えてみました…Orz
∠Ｄ=100°　ですね…^^
金即是空 ^^;v　　 6月16日（月） 19:56:49　　 　　41917
ばち丸
スモークマンさん正解です。この問題と合同な図形ですけど、わかっている角を別のところにしてみました。
　　 6月16日（月） 20:22:31　　 　　41918
おすまん
#41917 スモークマンさま
僕も同じように「ボケ」ようと思いました…(^^;

#41916 ばち丸さま
原題より難しいですね。　未だ解答に至らず…（涙）
想定解は算数（もしくは初等幾何）でしょうか？
（やはり、「難問の陰に正三角形あり」？？
somewhere in the world　　 6月17日（火） 1:53:35　　 　　41919
ばち丸
皆々様
いつもお相手して下さりどうもありがとうございます
おすまん様
かなり想定しにくい補助線でした。私の解法では。
初等幾何の範囲に入っています。
「難問の陰に正三角形あり」です。^^)v。
　　 6月17日（火） 8:14:39　　 　　41920
スモークマン
#41919おすまんさま
「ボケ」ようと...の意味がわかりました…^^;...今回の解答と同じだったからね ^^;v
#41920ばち丸さま
BAとCDの延長の交点をPとすると、角P=60°
□ABCDの対角線の交点は△PBCの外接円の中心になってる。
あとは、二等辺三角形と中心角を使って…
角D=180-2*(60-(180-2*70)/2)=100°
金即是空 ^^;v　　 6月17日（火） 11:02:22　　 　　41921
Mr.ダンディ
#41920ぱち丸さま
BAとCDの延長線の交点をPとすると　∠P=60°
∠BAQ=60°、AB=AQとなる点QをABに関してCと同じ側にとると
△ABQは正三角形
AQ//PCとなり、DC=AQより　四角形AQCDは平行四辺形.......��
QC=AD=BQ　となるから
∠QCB=∠QBC=60°−50＝10°∠QCD=70°+10°＝80°
�，茲蝓、�ADC=180°−80°＝100°
としました。(想定解？）
#41921スモークマンさま
>「□ABCDの対角線の交点は△PBCの外接円の中心になってる。」
の根拠は何でしょうか？
#41915おすまんさま
>「(直観でしょうか？）」
算チャレの問題などで、等しい線分が連なっている場合は、
正多角形の対角線を引いた図やそれを少し変形した図であることがよくある
ので、そこに焦点を絞って考えてみたのです。（結局　不成功でしたが・・）
　　 6月17日（火） 12:26:18　　 　　41922
あめい
みなさんの解き方を見に入ったら、#41916のぱち丸さんの問題を見つけました。（#41922のMr.ダンディさんとも違うパターンで考えたので）書くと長いですが…
ＢＣからみてＡ，Ｄ側に点Ｅを正三角形ＥＢＣとなるようにとり、ＥＡ，ＥＣを引く。
ＡＢ＝ＤＣ、ＥＢ＝ＥＣ、∠ＥＢＡ＝∠ＥＣＤ＝１０°より△ＥＢＣ≡△ＥＣＤ（２辺とはさむ角相等）
よってＥＡ＝ＥＤ　　��
∠ＢＥＡ＝∠ＣＥＤ　��
�△茲蝣棕腺釘帖瓣棕達釘帖棧棕腺釘叩瓣棕贈釘繊棧棕腺釘叩瓣棕贈釘叩瓧僑亜�
これと�，茲蝣ぃ釘腺弔歪些僂�６０°の二等辺三角形、つまり正三角形になる。
よってＥＤ＝ＡＤ＝ＣＤ、
よって△ＥＤＣは二等辺三角形で∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ＝１０°
ＡＤとＣＥの交点をＦとすれば△ＤＦＣで∠ＤＦＣ＝７０°、∠ＤＣＦ＝１０°より∠ＦＤＣ(∠Ｄ)＝１００°

　　 6月17日（火） 13:19:26　　 　　41923
スモークマン
#41922Mr.ダンディさんへ
対角線の交点をOとすると…
二等辺三角形から...
角PAD=2*角ABD=2a
角PDA=2*角DCA=2b・・・(←訂正：2*角DCBになってました…^^; Orz)
角PAD+角PDA=180-角P(60°)=120°=2*(a+b)
角OBC=180-(角B(50)+角D(70)-(a+b))=180-(120-60)=120°
つまり…Oは△PBCの外接円の中心になってますよね ^^
金即是空 ^^;v　　 6月17日（火） 18:21:42　　 　　41924
Mr.ダンディ
#41924スモークマンさんへ　お返事有り難うございます。
「∠BOC=120°」までは納得！。ただ、外心以外でも「∠BOC=120°であるような点Oは存在するもので、
∠BOC=120°＝2*∠BPA　だけでは　Oが外心だとはいいきれないのは・・・？
（OB=OEでも言えればよいのでしょうが、私のなかではそこが導けないでいます）
#41923あめいさんへ
なるほど！　スマートですね。（思いもしなかった解法でした）
【追記】
#41927スモークマンさま
「∠ADC=100°のときはOは外心」という逆は成り立つので、筋道がつながりにくいだけで、奇抜で
大変面白い発想だと思います。
　　 6月18日（水） 8:49:06　　 　　41925
スモークマン
#41925Mr.ダンディさんへ
なるほど…^^;
but...対角線の交点は一意に決定しますよね？
△PBCを描いて、そこに□ABCDを埋め込んだ場合…その□の対角線の交点をOとしたとき…
円周角からOは外接円の中心と言えないのか知らん…?
同じことの繰り言にしか過ぎませんでしたらすみません…Orz〜
金即是空 ^^;v　　 6月17日（火） 20:03:00　　 　　41926
スモークマン
#41925 Mr.ダンディさんへ
やはり言えないことに納得…^^;;…
わたしの考えは嘘でしたね…Orz〜
金即是空 ^^;v　　 6月17日（火） 21:35:13　　 　　41927
おすまん
#41921 スモークマン さま
ご応答ありがとうございますm(__)m　
でも、解かれたあとだったんですねー　
大変失礼いたしましたm(__)m x 100

#41922 Mr.ダンディさま
#41923 あめい さま
勉強になりました！
（正三角形をこねくりましていましたが、結局、ダメでした… orz )

#41922 Mr.ダンディさま
> 算チャレの問題などで、等しい線分が連なっている場合は…

ご教示、ありがとうございますm(__)m　
「引き出し」のひとつとして、
覚えておきますね！

#41920 ばち丸さま
ご展開、ありがとうございました。
(想定解は、さらに別のものでしょうか？？）

あと、ご出題のbaLLjugglermokaさま（記事番号を確認できず（T T) )、
算チャレをご提供いただいているマサルさまに感謝でございます♪

＃今週も、正解者の部屋に入れるといいなぁ…

somewhere in the world　　 6月18日（水） 0:15:00　　 　　41928
だん
2014.6. 11　PM11:59:32ってフライングゲット＾＾
　　 6月18日（水） 3:37:24　　 　　41930
ばち丸
スモークマン様　Mr.ダンディ様　あめい様
いろいろ解答をありがとうございます。私の想定解はあめい様のものといっしょでした。逆に言うと他のものは全く想定していなかったということで

スモークマン様
対角線の交角なんか出てくるんですねえ。ちょっとびっくり。
何かの時に使わせていただきます。
　　 6月18日（水） 6:33:02　　 　　41931