裹〓β

物理好き

最後の4回は×○○○
(3回だと○○○)
1回ずつ戻して考えて
3回→1
4→1
5→2
6→4
7→8－1(－1は○3連打をふせぐため)
8→14－1
9→26－2
10→48－4
和を計算して答えは96通り。
初めは2^n－1かと思いましたが違いました。(○○○の条件を忘れていた)

大阪　　 5月14日（木） 0:12:56　　　　43258

ベルク・カッツェ

地道に考えていきました。
7回目×でその後○○○の場合
6回目まで全て×が1透り、×5○1が6透り・・・×2○4が6透り。
6回目×でその後○○○で終了の場合
5回目まで全て×が1透り、・・・

工夫は思いつきませんでしたが一発で正解できたので満足です。

　　 5月14日（木） 0:13:15　　　　43259

4329日目の解答者

成功したらポイントが1増え、失敗したらポイントが0になる。3ポイントに達したら終了
n回やった時点でkポイントである場合の数をa(n,k)とする
まず、a(0,0)=1,a(0,1)=a(0,2)=a(0.3)=0
n+1回やった時点で0ポイントになるためには,n回やった時点で2ポイント以下であり、n+1回目に失敗すればいいのでa(n+1,0)=a(n,0)+a(n,1)+a(n,2)
n+1回やった時点でk+1ポイント(0≦k≦2)になるためにはn回やった時点でkポイントであり、n+1回目に成功すればいいのでa(n+1,k+1)=a(n,k)
以上の漸化式を解き、a(3,3)からa(10,3)まで全て足して96通り
エクセル使って計算しました

　　 5月14日（木） 0:14:39　　　　43260

ヤッコチャ

前の3回を足せば次の場合の数が求まることに気づくのが…遅かったです

　　 5月14日（木） 0:15:47　　　　43261

!!!

漸化式的にトリボナッチな感じで

宝塚　　 5月14日（木） 0:15:55　　　　43262

ベルク・カッツェ

もしかしてこれ、右の○○○から樹形図書いていったらもっと早かった・・・？

　　 5月14日（木） 0:24:30　　　　43263

みかん

直前２回で場合分けし漸化式に。

（あ）○○
（い）○×
（う）×○
（え）××
とすると、（ｎ＋１）回目の場合の数は
（あ）＝ｎ回目の（う）
（い）＝ｎ回目の（あ）とｎ回目の（う）の合計
（う）＝ｎ回目の（い）とｎ回目の（え）の合計
（え）＝ｎ回目の（い）とｎ回目の（え）の合計
（ｎ＋１）回目で終了＝ｎ回目の（あ）
となる。

３回目～１０回目を表にすると
（あ）○○　１　２　４　０７　１３　２４　４４　０８１
（い）○×　２　３　６　１１　２０　３７　６８　１２５
（う）×○　２　４　７　１３　２４　４４　８１　１４９
（え）××　２　４　７　１３　２４　４４　８１　１４９
（お）◎◎　１　１　２　０４　０７　１３　２４　０４４
※（お）はその回で終了する場合の数を表す

以上より、求めるべき（お）の合計は
１＋１＋２＋４＋７＋１３＋２４＋４４＝９６通り。

算チャレではおなじみですが、漸化式的な解き方って算数ではアリなんだろうか？

　　 5月14日（木） 0:41:52　　　　43264

ゴンとも

十進basic で1回から10回までをそれぞれa,b,c,d,e,f,g,h,i,j,失敗を0,成功を1として

FOR a=0 TO 1
for b=0 to 1
for c=0 to 1
IF a+b+c=3 THEN LET s1=s1+1
for d=0 to 1
IF a+b+c<>3 AND b+c+d=3 THEN LET s2=s2+1
for e=0 to 1
IF a+b+c<>3 AND b+c+d<>3 AND c+d+e=3 THEN LET s3=s3+1
for f=0 to 1
IF a+b+c<>3 AND b+c+d<>3 AND c+d+e<>3 AND d+e+f=3 THEN LET s4=s4+1
for g=0 to 1
IF a+b+c<>3 AND b+c+d<>3 AND c+d+e<>3 AND d+e+f<>3 AND e+f+g=3 THEN LET s5=s5+1
for h=0 to 1
IF a+b+c<>3 AND b+c+d<>3 AND c+d+e<>3 AND d+e+f<>3 AND e+f+g<>3 AND f+g+h=3 THEN LET s6=s6+1
for i=0 to 1
IF a+b+c<>3 AND b+c+d<>3 AND c+d+e<>3 AND d+e+f<>3 AND e+f+g<>3 AND f+g+h<>3 AND g+h+i=3 THEN LET s7=s7+1
FOR j=0 TO 1
IF a+b+c<>3 AND b+c+d<>3 AND c+d+e<>3 AND d+e+f<>3 AND e+f+g<>3 AND f+g+h<>3 AND g+h+i<>3 AND h+i+j=3 THEN LET s8=s8+1
10 next j
20 next i
30 next h
40 next g
50 next f
60 next e
70 next d
80 next c
90 next b
100 next a
PRINT s1;"+";s2;"+";s3;"+";s4;"+";s5;"+";s6;"+";s7;"+";s8;"=";s1+s2+s3+s4+s5+s6+s7+s8
end

f9押して 1+1+2+4+7+13+24+44=96・・・・・・(答え)

確かにトリボナッチ数列になってますね。

豊川市　　 5月14日（木） 0:50:08　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　43266

Mr.ダンディ

（4回以上かかるときは、×○○○の前を考えて）
n回で○が３連続しない場合の数を　Pnとすると
P0＝1、P1＝2、P2＝4、P3＝7
ｎ≧4　のとき
①○○×　の後、〇の3連続がない　.......Pn-3（通り）
②○×　の後、〇の3連続がない　.......Pn-2（通り）
③×　の後、〇の3連続がない　.......Pn-1（通り）
となり
Pn=Pn-1+Pn-2+Pn-3（結局はトリボナッチ級数となりますね）
よって
P4=2+4+7=13、P5=4+7+13=24、P6=7+13+24＝44

3回（○○○）のときと、4回以上かかる場合の
P0～P6の和を求めればよいのだから
1+1+2+4+7+13+24+44＝96
としました。

　　 5月14日（木） 11:39:07　　　　43267

スモークマン

どこが間違ってるんだろ ^^;
a(3)=1
a(4)=1
a(5)=2
a(6)=2^2=4
a(7)=2^3-1=7
a(8)={(1,3),4}=2^4-2-1=13
a(9)={(1,1,3),(2,3),(1,4),5}=2^5-3-2-2-1=32-8=24
a(10)={(1,1,1,3),(1,2,3),(1,1,4),(2,4),(3,3),(1,5),6}=2^6-4-6-3-2-1-2-1=45
1+1+2+4+7+13+24+45=97
になるような？

金即是空 ^^;v　　 5月14日（木） 1:23:22　　　　43268

今年から高齢者

起きたら20分程度過ぎていたので遅れついででじっくりと求めました。
後ろの方から計算。3つが○、3つ○の前は×、その前は○か×、更にそれ以前はみかんさんと同じように、後ろ側の2つが、○○、○×、×○、××に分けて、樹形図様に表で求めて合計。

　　 5月14日（木） 1:36:42　　　　43269

小西孝一

ｎ回目が○ではじまって終わるのをAnとすると
２倍のAn-1から×を○に書き換えて終了するAn-4をひく
An　＝　２×An-1 ー　An-4として計算しました。

　　 5月14日（木） 2:09:40　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　43270

Jママ

スモークマンさん、#43268
こんばんは。
読み違えてたら申し訳ないですが
a(10)の(3,3)の分は、
○○○×××と×××○○○と
2通り引いてよいのではないでしょうか？
面白い考え方ですね、漸化式の次に、そういうのを
考えようとしましたがスモークマンさんのように綺麗にできませんでした～(^_^;)

　　 5月14日（木） 2:43:09　　　　43271

あめい

３回終了は○○○なので、４回終了は前に×を付けて、５回終了はその前に○、×を付けて・・・というようにして（ただし、付ける元の前２つが○○の場合、○を付けると３回○が繋がってしまうので、×だけ付ける）数えました。
スモークマンさんのはa(10)の(3,3)が前3つ○と後ろ3つ○の２通りがあるのでー2になるのだと思います。
(これを打っている内に、Jママさんがおっしゃっていました、２重になってすいません）

お馬崎　　 5月14日（木） 3:17:52　　　　43272

Jママ

あめいさん、おはようございます
お邪魔して失礼しました
なんだかこのごろよく気が合いますね♪(笑)
今後ともよろしくお願いします

　　 5月14日（木） 6:22:57　　　　43273

ハラギャーテイ

おはようございます

同じような考え方です。プログラムも考えました。

山口　　 5月14日（木） 7:33:12　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43274

次郎長

一発正解の時だけ気が向いたら書き込み
問題を読みながら、多分漸化式（の意味はよく分かってないけど）的に
解けば良いんだろうな、と考え、その通りに考えて正解。
これは嬉しいけれど、解き方のコツを覚えてしまったようで昔の感激性が無くなりました。
でもここへ入ると、想像もしなかった解法があったりして刺激を受けます。
感謝です。

　　 5月14日（木） 9:37:27　　　　43275

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは比較的よく見る問題で，算チャレでも類題は多く出題されているでしょう。こんな感じで。

(解法1)
成功を○，失敗を×，と表すことにします。
すると，最後の 3 回は○○○，4 回以上投げるときはその前が×，で，それ以外は○○○がない，という並びになります。
そこで，それ以外の部分は○と×で書けるすべての並びから○○○を含む並びを除きます。
ただし，8 回を過ぎると，4 回以上○が続く場合があるので○の個数で場合分けをして数えて除きます。
これを 10 回まで調べて合計すればいいです。
03 回：1 通り。
04 回：1 通り。
05 回：2^1 = 2 通り。
06 回：2^2 = 4 通り。
07 回：2^3 - 1 = 7 通り。
08 回：2^4 - (1 + (1 + 1)) = 16 - (1 + 2) = 16 - 3 = 13 通り。
09 回：2^5 - (1 + (1 + 1) + (2 + 1 + 2)) = 32 - (1 + 2 + 5) = 32 - 8 = 24 通り。
10 回：2^6 - (1 + (1 + 1) + (2 + 1 + 2) + (4 + 2 + 2 + 4)) = 64 - (1 + 2 + 5 + 12) = 64 - 20 = 44 通り。
これですべてなので，合計して，
1 + 1 + 2 + 4 + 7 + 13 + 24 + 44 = 96 通り
になります。

(解法2)
最後の 3 回は○○○，4 回以上投げるときはその前が×，で，それ以外は○○○がない，という並び，までは(解法1)と同じ。
そこで，3 回の 1 通り，4 回の 1 通り以降の場合で最後の 4 回を除いた並びを考えます。
一般に，この並びの n 回，全体は n+4 回，の場合を T(n) 通りとします。
すると，T(1) = 2，T(2) = 4，T(3) = 7，で，n >= 4 の場合は，
n 回目が×のときは T(n-1) 通り，
n 回目が○で n-1 回目が×のときは T(n-2) 通り，
n 回目が○で n-1 回目が○のときは n-2 回目が×でなければならないので T(n-2) 通り，
そこで，T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3)，になります。
求めるのは全体で 10 回までなので，10 - 4 = 6 より，T(4) = 13，T(5) = 24，T(6) = 44，で，
1 + 1 + T(1) + T(2) + T(3) + T(4) + T(5) + T(6) = 1 + 1 + 2 + 4 + 7 + 13 + 24 + 44 = 96 通り
になります。

(解法3)
最後の 3 回は○○○，4 回以上投げるときはその前が×，で，それ以外は○○○がない，という並び，までは(解法1)と同じ。
ここで，最後から数えて n 回の場合を A(n) 通りとすると，A(3) = 1，A(4) = 1，A(5) = 2，A(6) = 4，で，
n-1 回の場合から一つ前，後ろからなので n 回，を考えると，○と×の 2 通りあるので A(n-1) * 2 通りですが，
○○○×…n-4 回の並び… の A(n-4) 通りは除かなければならないので，
A(n) = A(n-1) * 2 - A(n-4)，です。
求めるのは A(3) ～ A(10) なので，A(7) = 7，A(8) = 13，A(9) = 24，A(10) = 44，より，
A(3) + A(4) + A(5) + A(6) + A(7) + A(8) + A(9) + A(10) = 1 + 1 + 2 + 4 + 7 + 13 + 24 + 44 = 96 通り
になります。

(解法2)の T(n) はフィボナッチの親戚のトリボナッチとして有名ですが，
(解法3)の A(n) の漸化式は一見違いますが実はトリボナッチの漸化式と等価ですね。

ちょっとうっかりしておりましたが，今回の問題は 10 回以下を求めるので，
(解法2)の T(n) を T(n+4) に置き換えて T(3) ～ T(n) の和を S(n)，
(解法3)の A(3) ～ A(n) の和を B(n)，とすると，
S(n) = S(n-1) + S(n-2) + S(n-3) + 1，S(3) = 1，S(4) = 2，S(5) = 4，
B(n) = B(n-1) * 2 - B(n-4)，B(3) = 1，B(4) = 2，B(5) = 4，B(6) = 8，
が，(少し説明しづらい感じですが)同じようにして導けます。そこで，
S(6) = 8，S(7) = 15，S(8) = 28，S(9) = 52，S(10) = 96，
B(7) = 15，B(8) = 28，B(9) = 52，B(10) = 96，
とすることもできます。

ネコの住む家　　 5月15日（金） 11:45:01　　　　43276

uchinyan

掲示板を読みました。
いろいろな考え方があるのですが，実は似たようなものも多く，分類はかなりいい加減です (^^;

#43258，#43270，#43272，#43276の(解法3)
後ろから前に向けて考えると，2 倍して不可なものを除くとできる，ことを利用する解法。

#43259
最初から地道に数える解法。

#43260
成功したら 1 ポイント増え，失敗したらポイントは 0 になり，3 ポイントで終了，とし，
n 回で k ポイントの場合の数の漸化式を作って考える解法。

#43261，#43262，#43267，#43276の(解法2)
前の３回の場合の数を足すと次の回の場合の数になることを利用して解く解法。

#43263
最後３回が成功から逆に前に向かって樹形図を書いて考える解法。

#43264，#43269
次に成功したら終了するかどうかは直前の２回の状況で決まるので，直前２回の状況で場合分けして調べる解法。

#43268(ただし間違いあり)，#43276の(解法1)
各回の最後以外は３連続で成功しない場合の数を地道に数える解法。

#43266
プログラムによる解法。

なお，
#43264
＞算チャレではおなじみですが、漸化式的な解き方って算数ではアリなんだろうか？
どうなんでしょうね。
私は算数に携わる者ではないので不案内ですが，
私の#43276の(解法2)や(解法3)のように，数式で表現するのは，明らかに，算数ではない，と思いますが，
考え方自体は，少なくとも受験算数では，アリ，なのではないかな，という気がしています。
算数の場合，答えだけ，というのもままあるので，その場合はもちろん OK で，
説明する場合でも，みかんさんの#43264のように，表を使うなどして規則性を示す工夫をすれば，
いいのではないかなぁ．．．？ (^^;

ネコの住む家　　 5月14日（木） 15:55:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43277

スモークマン

#43271
Jママさんへ ^^
#43272
あめいさんへ ^^

そっかぁ☆
やっと了解できました ^^;v
ご両人様、考えてくださってありがとうございました～m(_ _)m～

金即是空 ^^;v　　 5月14日（木） 16:20:09　　　　43278

???

Option Explicit
Dim a(10) As Integer
Sub Macro1()
Cells(1, 1).Value = 0
Call saiki(1)
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
Dim j As Integer
a(n) = 1
While a(n) <= 2
If n < 3 Then
Call saiki(n + 1)
ElseIf a(n - 2) + a(n - 1) + a(n) = 3 Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
For j = 1 To n
Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = throw(a(j))
Next j
ElseIf n < 10 Then
Call saiki(n + 1)
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub
Private Function throw(ByVal n As Integer) As String
If n = 1 Then throw = "○" Else throw = "×"
End Function

　　 5月14日（木） 16:53:25　　　　43279

C10

解いている途中でトリボナッチ数列に気づきました。3つずつ◯か×の見極める繰り返しなので早めに気付いていればと思うばかりです。

　　 5月16日（土） 2:57:51　　　　43280

老算兵

次のような表にしてみました
　　　　投数　　成功　　失敗　　合計
　　　　　３　　　１　　　０　　　１
　　　　　４　　　０　　　１　　　１
　　　　　５　　　１　　　１　　　２
　　　　　６　　　２　　　２　　　４
　　　　　７　　　３　　　４　　　７
　　　　　８　　　６　　　７　　１３
　　　　　９　　１１　　１３　　２４
　　　　１０　　２０　　２４　　４４
　　　　　　最低、３投はしますのでその時の１投目は成功です
　　　　　　４投する時の１投目は失敗です
　　　　　　５投するとき　　成功は３投と４投の失敗の合計です
　　　　　　　　　　　　　　失敗は４投の合計欄です
　　　　　　以下５投の時と同じことを繰り返します
　　　　最後に、上の表の合計欄を足します

福岡県　　 5月16日（土） 10:16:15　　　　43281

おほむ

初めて書き込みます。よろしくお願いします。

私は○×で解きましたが、間違えそうでヒヤヒヤしました。

　　 5月16日（土） 12:40:48　　 HomePage:おほむ　　43282

おほむ

初めて書き込みます。よろしくお願いします。

私は○×で解きましたが、間違えそうでヒヤヒヤしました。

　　 5月16日（土） 13:17:30　　 HomePage:おほむ　　43283

今年から高齢者

4329日目の解答者さんの「成功したらポイントが1増え、失敗したらポイントが0になる。3ポイントに達したら終了」というのを１回目から樹形図を作って求めてゆくと、A(n)=A(n-1)+A(n-2)+A(n-3) （これをトリボナッチというのですか！はじめて聞く名前でした）となる様子も分かって面白いですね。

　　 5月16日（土） 14:47:34　　　　43284

ましゃ

○○○となる前の場合分けで考えました。
基本２の乗数。そこから○○○の場合を除いた数の合計で。

　　 5月20日（水） 9:08:13　　　　43285