ベルク・カッツェ

6-6-2、6-5-3、6-4-4、5-5-4がそれぞれ14、28、14、14通りで合計70通り。

6月11日（木） 0:07:13　　 　　43365

ゴンとも

ネットで検索しました。 www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/...in.../triangle_in_poligon.pdf で n偶数の時の鋭角三角形の通り数の一般項は (n-4)*(n-2)*n/24　ここでn=14だから　XMaxima でev((n-4)*(n-2)*n/24,n=14);70・・・・・・(答え)

豊川市　　 6月11日（木） 0:39:46　　 　　43366

!!!

なんかよくわからんけど絶好調

宝塚　　 6月11日（木） 0:17:06　　 　　43367

みかん

正１４角形の図が与えられていれば考えやすいんですけどねぇ。 最短区間が１の時はダメ、２の時は２−６−６で行けそう、３の時は３−５−６ができる、 ４の時は４−４−６と４−５−５の２通りができる。 最短が５以上にはならない（５×３＞１４）ので、ここで打ち止め。 ３−５−６の時は裏返しが可能なので２８個、あとは二等辺三角形なので各１４個。 以上で２８＋１４×３＝７０、が答え。

6月11日（木） 0:24:13　　 　　43368

kasama

以前、他のサイトでやったことがあります。コレ↓ http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai4/kadai204a.htm

和歌山　　 6月11日（木） 0:29:19　　 　　43369

Jママ

こんばんは。 一つの頂点を定め、もう一つの点を選んだときに鈍角三角形を作るような三つ目の点の数を数えて全体から引きました。 円周上に頂点をとり、円の中心を通る直角三角形が限界としました(算数ではないかな？)。 14C3−(6+5+4+3+2+1)×14＝14×(26−21)＝70通り

6月11日（木） 0:43:30　　 　　43370

baLLjugglermoka

直角も数えて11*14=154を送信（相変わらずですね（汗）） 僕みたいに勘違いした人は他にいらっしゃるだろうか？ 結局は5*14=70

6月11日（木） 0:47:38　　 　　43371

スモークマン

時間かかり過ぎ…^^; 14-3=11 11を6未満の３個の数に分ける… 11=5+5+1=5+3+3=4+4+3・・・フォルムは1通り・・・3*14 =5+4+2・・・フォルムは2通り・・・2*14 合計=(3+2)*14=70通り ややこしいものね ^^;

金即是空 ^^;v　　 6月11日（木） 0:59:33　　 　　43372

ベルク・カッツェ

直径→直角三角形は円周角で判断かな、だとしたら数学ですかね。まあ図形的に考えても分かるので、どちらとも言えません。

6月11日（木） 1:03:30　　 　　43373

今年から高齢者

最初「90°以下」と勘違いして．．．33*14/3=154。よく読めば「90°未満」。 頂点に順番に番号を付ける No.1〜14。 まず1点はNo.1に限定する。2点目3点目は番号の小さい順にとる。 1点目がNo.1なので2点目を90°未満にするには、3点目はNo.9〜14。 2点目を No.2とすると、3点目は1点目の角度を90°未満にするにはNo.8以下。なし。 No.3とすると、3点目はNo.9以下。1とおり。以下同様にして No.4で2とおり。No.5で3とおり。 No.6で4とおり。 No.7で5とおり。 No.8以上では、3点目の角度が90°未満にならない。 1点目がNo.1の場合に、15通りなので、No.1〜14で15*14=210であるが、 1点目→2点目、2点目→3点目、3点目→1点目の3通りの重複があるので、210/3=70とおり

6月11日（木） 1:08:39　　 　　43374

小西孝一

円周角考えて。 90/7×nと90/7×(14-m)と90/7×(m-n)が90未満のn,mが１５通り。 始点が１４個 １５×１４ 三角形を３回数えるから３で割って １５×１４÷３＝７０でした。 遅すぎ。Orz

6月11日（木） 1:08:59　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　43375

Jママ

ベルク・カッツェさんありがとうございます 11時過ぎた頃から眠くてたまらず 真正面から取り組めずに楽な方へ流れました(^_^;)

6月11日（木） 1:14:42　　 　　43376

今年から高齢者

三角形をABCとする。AB, BC, CAの間隔は頂点間隔6個以下。全部を6とするとA-B-C-Aで18なので、4だけ多い。 この4を0, 1, 2, 3, 4の同じ数を含めた3個で構成し、それらの数を各々の6から引いた間隔とすれば良い。これは重複組合わせ5H2=15とおりである。 14点の回転があり、3回の重複があるので、15*14/3=70 。 追記　正n角形のnが奇数の時には、(n+1)*n*(n-1)/24 でしょうか

6月11日（木） 9:22:34　　 　　43377

ハラギャーテイ

おはようございます ネットで検索して考えました。

山口　　 6月11日（木） 3:14:03　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43378

鯨鯢(Keigei)

正十四角形の頂点を結ぶ外接円の直径３本を選べば、端点６個ができ、 ひとつおきに３個を選んで結べば鋭角三角形２個ができます。 よって、鋭角三角形は 7Ｃ3×2＝70 個です。 ちなみに、隣り合う３個を選んで結べば鈍角三角形６個ができます。 よって、鈍角三角形は 7Ｃ3×6＝210 個です。 一般に、正 2n 角形であれば、 鋭角三角形の個数は、n(n−1)(n−2)/3 個、 鈍角三角形の個数は、n(n−1)(n−2) 個、 直角三角形の個数は、2n(n−1) 個 です。

6月11日（木） 7:37:27　　 　　43379

しましま

鋭角三角形になるのは、円の中心を内部に含む場合(辺上にある場合を除く)、と考えました。 で、(2,6,6)、(3,5,6)、(4,4,6)、(4,5,5)、(2,6,6)の場合でそれぞれ何通りあるかを求めて合計しました。

6月11日（木） 10:19:02　　 　　43380

a

円周角に着目する。14分の１の円周角をθとすると 回転または裏返しを同一視すると (2θ,6θ,6θ), (3θ,5θ,6θ) , (4θ,4θ,6θ) , (4θ,5θ,5θ) の四通り。 ２等辺三角形は一周するだけなので14通り。3*14=42通り。 三辺がことなる長さのときは裏返さないと同じ図形にならないので２倍して 2*14=28 28+42=70

6月11日（木） 10:48:07　　 　　43381

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． これは類題をたまに見る問題です。今日は久しぶりに少し時間が取れるのでいくつか書いてみます。 これらの解法は円の直径に対する円周角が直角であることを使っています。 これを算数と認めない方もいるかもですが，まぁそれはご容赦願って，こんな感じ。 (解法1) 円の円周を 14 等分し反時計回りに 1 〜 14 と番号を付けこの 14 点からなる正14角形で考えます。 まず，三角形の１点を 1 に固定した場合を考えます。 すると２番目と３番目の点は直径 1-8 の両側になければならず，３番目の点は２番目の点を通る直径に関し 1 と反対側になければなりません。 このことより，２番目の点と３番目の点の入れ替えの重複がないようにすれば，２番目の点は 2 〜 7 と取ることが可能で， ２番目の点が 2 のとき，３番目の点は取れず，0 通り， ２番目の点が 3 のとき，３番目の点は 9 が可能で，1 通り， ２番目の点が 4 のとき，３番目の点は 9, 10 が可能で，2 通り， ２番目の点が 5 のとき，３番目の点は 9, 10, 11 が可能で，3 通り， ２番目の点が 6 のとき，３番目の点は 9, 10, 11, 12 が可能で，4 通り， ２番目の点が 7 のとき，３番目の点は 9, 10, 11, 12, 13 が可能で，5 通り， そこで，この場合は，0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 通り，です。 次に，最初の点を 1 〜 14 と動かします。 すると，ナイーブには 14 倍ですが，先ほどの，２番目の点が 1 になる場合，３番目の点が 1 になる場合，と 3 回重複して数えているので，3 で割ります。 そこで，求める鋭角三角形は，15 * 14 * 1/3 = 70 通り，になります。 (解法2) (解法1)と同様に１点を固定し２番目の点と３番目の点の取り方を考えると， ３番目の点に対しその点を通る直径の他方の端の点は， ２番目の点が 3 のとき，３番目の点は 9，直径の他方の端の点は 2， ２番目の点が 4 のとき，３番目の点は 9, 10，直径の他方の端の点は 2, 3， ２番目の点が 5 のとき，３番目の点は 9, 10, 11，直径の他方の端の点は 2, 3, 4， ２番目の点が 6 のとき，３番目の点は 9, 10, 11, 12，直径の他方の端の点は 2, 3, 4, 5， ２番目の点が 7 のとき，３番目の点は 9, 10, 11, 12, 13，直径の他方の端の点は 2, 3, 4, 5, 6， と，必ず最初の点と２番目の点の間にあることが分かります。 そこで，２番目の点と３番目の点の取り方は， 2 〜 7 の 6 個の点から異なる 2 点を選び，小さい方を３番目の反対の点，大きい方を２番目の点，とすればよく，6C2 通り，です。 後は(解法1)と同じで，求める鋭角三角形は，6C2 * 14 * 1/2 = 15 * 14 * 1/3 = 70 通り，になります。 (解法3) (解法1)と同様に 1 〜 14 の点を考えます。 このとき，1 と 直径 1-8 の直径の左側の 1 〜 7 から異なる 3 点を選び真ん中の点を通る直径の反対側の端の点を取り， この点と真ん中以外の 2 点を結べば，どの 2 点も他の点を通る直径の反対側に来るので鋭角三角形になります。 その逆も(解法2)と同様にして示せます。つまり，１対１対応になっています。そこで，7C3 通りです。 8 と 直径 1-8 の右側の 3 点でも同じなので，求める鋭角三角形は，7C3 * 2 = 35 * 2 = 70 通り，になります。 (解法4) 三角形の，最初の点を通る直径とその両端点，２番目の点を通る直径とその両端点，３番目の点を通る直径とその両端点，の 6 点を考え， それらのうち互いがそれら以外の直径の両側にあるように結べば，鋭角三角形が得られます。 これは具体的には一つ置きに結べばいいことが分かります。ただし，一つ置きは 2 通りあります。 直径は全部で 7 本あるので，3 本の直径を選ぶのは 7C3 通りで，これを 2 倍して， 求める鋭角三角形は，7C3 * 2 = 35 * 2 = 70 通り，になります。 なお，一般の正2n角形の場合も，若干の修正は必要ですが，同様に考えられて， 鋭角三角形：n(n-1)(n-2)/3 通り，鈍角三角形：n(n-1)(n-2) 通り，直角三角形：2n(n-1) 通り， になります。 また，一般の正2n-1角形の場合は，(解法3)と(解法4)はちと厳しいですが，(解法1)と(解法2)は同様に考えられて， 鋭角三角形：(2n-1)n(n-1)/6 通り，鈍角三角形：(2n-1)(n-1)(n-2)/2 通り，直角三角形：0 通り， になるようです。 さらに，円周上に無作為に 3 点を取ったときの確率は， 鋭角三角形：1/4，鈍角三角形：3/4，直角三角形：0， です。これもそこそこ知られた結果ですね。 最初に解いたときに， 鈍角三角形の割合が意外と多い，直角三角形は存在するのに確率は 0， という結果を不思議に思ったのを忘れられないです。

ネコの住む家　　 6月11日（木） 14:05:33　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43383

Jママ

#43383 uchinyan様、 たくさんの解法のご提示ありがとうございます 最後に触れられている、無作為に3点を選んでの確率ですが、初めて知りました。 これは既にnの式で求められている鋭角、鈍角、直角三角形の場合の数について、 鋭角の確率＝n→∞lim(鋭角)/(鋭角+鈍角+直角) 鈍角の確率＝n→∞lim(鈍角)/(鋭角+鈍角+直角) 直角の確率＝n→∞lim(直角)/(鋭角+鈍角+直角) というふうにして導かれたのでしょうか？

6月11日（木） 14:38:35　　 　　43384

uchinyan

掲示板を読みました。 円の直径に対する円周角が直角であることを使うかどうかで大きく二つに分かれそうですが， 中心角が 180°を超えるかどうか，円の中心が三角形の内部にあるかどうか，と等価ではあるので， どこまでそこらを意識して解かれたかの判断は難しいです。 ここでは，これらは算数と認めて，これには特にこだわらずに分類しています。 #43365，#43368，#43380，#43381 鋭角三角形になるような 14 点の配置パターンを具体的に調べる解法。 #43370 円周上に 14 点を取り，三角形の１つの頂点を固定して鈍角三角形及び直角三角形の個数を数え，全体から引く解法。 #43371 ＞結局は5*14=70 という解法。詳細は不明ですが，多分，三角形の１点を固定し重複のないように数えて 14 倍，なのでしょう。 #43372又は#43374など辺りと同じなのかも知れません。 #43372 14 点から三角形の 3 点を除いた 11 点を鋭角三角形となるように配置すると考える解法。 実は，#43365などと等価だと思います。 #43374，#43375，#43383の(解法1) 正14角形の頂点に 1 〜 14 の番号を付け，三角形の頂点の１点を 1 に固定し， ２番目と３番目の頂点の取り方を考え，最初の頂点を 1 〜 14 に動かし，重複を除く，という解法。 #43377 １点を固定した三角形の頂点の間は正14角形の頂点の間で 6 個以下だが，6 個ずつとすると 4 個多いので， 0 〜 4 から重複を許して 3 個選んで 14 個にする，と考え，固定した頂点を動かし重複を除く解法。 #43379，#43383の(解法4) 正14角形の外接円の直径 3 本の両端の点 6 個を一つ置きに結べば鋭角三角形になることを使う解法。 #43383の(解法2) 正14角形の頂点に 1 〜 14 の番号を付け，三角形の頂点の１点を 1 に固定し， ３番目の頂点を通る正14角形の外接円の直径の反対側の点が固定した点と２番目の点の間にあることを利用して解く解法。 #43383の(解法3) 正14角形の外接円の 1 本の直径の片側に 3 点を取り，真ん中の点に対して， その点を通る直径の反対側の端の点とそれ以外の 2 点で鋭角三角形ができることを利用する解法。 #43369 以前に解いたことを利用する？解法。 #43366，#43378 Web で一般解を探し利用する解法。

ネコの住む家　　 6月11日（木） 16:29:28　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43385

uchinyan

Jママさんへ ＞これは既にnの式で求められている鋭角、鈍角、直角三角形の場合の数について、 ＞鋭角の確率＝n→∞lim(鋭角)/(鋭角+鈍角+直角) ＞鈍角の確率＝n→∞lim(鈍角)/(鋭角+鈍角+直角) ＞直角の確率＝n→∞lim(直角)/(鋭角+鈍角+直角) ＞というふうにして導かれたのでしょうか？ はい，それも一つの方法です。今回の問題の応用という意味ではこれが自然でしょう。 もっとも，もっと直接的なこんな方法もあります。 円の中心を O，円周上の３点を A，B，C とし，∠AOB = x°，∠BOC = y°，とします。 すると，0 < x < 360 及び 0 < y < 360 及び 0 < c + y < 360，です。さらに，これに加えて， 鋭角三角形の場合，0 < x < 180 及び 0 < 180 及び 180 < x + y < 360， 直角三角形の場合，x = 180 又は y = 180 又は x + y = 180， 鈍角三角形の場合，上記以外， です。これらを (x,y)-座標平面上に図示します。 これは，全体が，(0,0)，(360,0)，(0,360)，を頂点とする直角二等辺三角形の内部，で， 鋭角三角形が，(180,180)，(180,0)，(0,180)，を頂点とする直角二等辺三角形の内部， 直角三角形が，その三角形の辺， 鈍角三角形が，それら以外， で，中央の三角形と全体の三角形は相似，相似比は 1：2，面積比は 1：4，です。 A，B，C の取り方は無作為なので，x，y の取り方はこの領域内でランダムで， (x,y) の出現確率は領域の面積に比例します。 このことから， 鋭角三角形：1/4，鈍角三角形：3/4，直角三角形：0， がいえます。 このような面積比で確率を評価する手法は結構役に立つので，覚えておくといいと思います。

ネコの住む家　　 6月12日（金） 12:28:40　　 　　43386

Jママ

uchinyan様 ありがとうございます。 極限で求める解法は、今回の算チャレのような誘導つきで、どこかの大学入試にありそうな気がします。 そして教えていただいた面積での確率の評価、これまた初めて知りました。 x,yとも連続で一様な？(範囲内のどの点にもなりうるという理解でよろしいでしょうか)というのを誤ってしまわないようにしないと…まだ私などには少し恐々ですが、慣らしていこうと思います。

6月11日（木） 19:58:53　　 　　43387

スモークマン

わたしも面白そうなので…☆ 「円周上に無作為に 3 点を取ったときの確率」を次のように考えてみました ^^... 円内に弦を１本選び、それで長方形が１個決定する。 各弦を1辺とする△を考えるとき、鋭角三角形になるのは、対辺の弦に切り取られる円弧上のときだけだけど、鈍角三角形はその円弧以外の円弧上ならすべて可能…so…鋭角△：鈍角△＝1 : 3 おそらく中心角で考えるのと同値のような気がしますが…^^;…Orz

金即是空 ^^;v　　 6月11日（木） 22:53:38　　 　　43388

Jママ

スモークマンさん 分かりやすくて唸ってしまいました~

6月12日（金） 7:43:10　　 　　43389

uchinyan

#43387 Jママさんへ ＞x,yとも連続で一様な？(範囲内のどの点にもなりうるという理解でよろしいでしょうか) はい，その理解でいいと思います。 なお，領域の図示は容易と思いますが，やはり図がないとイメージがつかみにくいので， 少し言葉で説明を補っておきました。 #43388 スモークマンさんへ なるほど！これはお見事。参ったなぁ。 スモークマンさんの見事な説明の前ではかすんでしまいますが， 先にも書いたように，面積比で確率を評価する手法自体は覚えておいていいと思います。 スモークマンさんの説明も，確率を弧の長さの比で表しているともいえ， １次元と２次元の違いはあるものの，背景にある考え方は同じです。

ネコの住む家　　 6月12日（金） 12:29:35　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43390

ましゃ

う〜ん。みなさんの解法を見てみるとなんとなく偶然正解したような気がします。 一応。円に内接する正１４角形を想像し、任意の頂点を一つ選ぶ。その点が含まれる三角形を描くとき、全て鋭角の三角形を作るためには１４÷２−１＝６で残り６点から選ばなくてはならない。←これはたの正多角形で試してその規則性があると思い込んでるだけかもしれません。残りの６点から２点を選ぶ方方は６×５÷２で１５通り。これらが他の１４点にもあるので１５×１４。しかし、それぞれ３つずつ重なりが出来るので３で割って７０。ぐうぜんかなあ

6月12日（金） 15:46:57　　 　　43391

Jママ

#43390 uchinyanさん、 ご丁寧な説明をありがとうございましたm(__)m 理解できたと思います またいろいろ教えてくださいますと幸いです(^o^) #43388 スモークマンさん、 ちょっとわからなくなったので質問ですが 円を時計盤に見立てて、長方形を1時、5時、7時、11時を結んだものと仮定すると、時計回りに弧をみて、 一辺が弦11-1のとき、残る1点が5→7のとき鋭角、7→5のとき鈍角三角形となり、 一辺が弦1-5のとき、残る1点が7→11のとき鋭角、11→7のとき鈍角三角形、 以下同様に考えたとき、 ある1点を決めたときにいつも1/4の確率で鋭角三角形になるかというと、 例えば12時の点を選べば、弦が5-7のときのみ鋭角三角形なので2/12=1/6、 今度は3時の点を選べば、弦が7-11のときのみ鋭角三角形なので4/12=1/3、 という風に、確率が部位によって1/6か1/3にしかならない… というのは、スモークマンさんの解釈を間違ってしまっているのでしょうか(>_<) いろいろな形の長方形があるけれども、その全てを平均的にとると正方形に収束？するから、ということでしょうか？ もしそうでも、そのことは前提として言ってもよいものでしょうか…(^_^;)？ 小姑みたいにほんとすみません(>_<)わからなくなってしまいました。(T_T) #43391 ましゃさん、 式の意味するところがもう少しわかると(私の理解が不足してるので)いいのですが、 合っていらっしゃるように見えますが…

6月12日（金） 20:33:01　　 　　43392

スモークマン

#43392 Jママさんへ ^^ 円周上の任意の３点の場合… a:bの長方形で…円弧a,bで考えると… 鋭角△=2円弧(a+b), 鈍角△=円弧(2*(a+2b)+2(b+2a))=6円弧(a+b) so…1:3 有限の場合は...点が１２個なら…12C3 から直角△(6*(12-2)=60個)を引いて、x1/4が鋭角△のはずですよね… (12C3-60)/4=(220-60)/4=40個 今回の問題なら… (14C3-7*12)/4=(364-84)/4=280/4=70個 みたいに考えればいいのだと思いました ^^

金即是空 ^^;v　　 6月12日（金） 23:33:13　　 　　43393

Jママ

#43393 スモークマンさん、 ありがとうございます(*^^*) 理解していたつもりが全くでした ある長方形の一辺のどれかが三角形の一辺となる、そのときの3つ目の頂点が存在しうる弧の長さ、その4辺分の総和をみればよかったのですね。 素晴らしいです お手数おかけしました、感謝です

6月13日（土） 0:28:15　　 　　43394

706

14÷2=7 7*6*5/3*2*1=70

6月14日（日） 8:04:32　　 　　43395

スモークマン

#43379　鯨鯢(Keigei)さん、#43383 uchinyanさん（解法4)の解法より遠回りですが…^^; (ちなみに、#43395 706さんの方法も同じ発想かと思われますが…x2=70 ですね ?) 直角三角形を除くために直径７本から2本選んで、長方形を作り...7C2個 それぞれの辺すべてで、14-4=10個の鋭角三角形ができるが... これらの△の３辺は３回カウントされているので… 7C2*(14-4)/3=210/3=70個 でもいいわけですね ^^

金即是空 ^^;v　　 6月14日（日） 11:01:33　　 　　43396