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ベルク・カッツェ |
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直線ｌの上5ｃｍのところにＢ’をとり、ＡＢ’の延長線上にＰをとりました。
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10月22日（木） 0:13:50
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ベルク・カッツェ |
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もう少し詳しく。
Ｐを中心に弧を描くと、ＰＡＢ’が一直線上のとき差が最大になると分かります。 あとは相似でＡの足からＰの長さを出して面積計算を。 |
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10月22日（木） 0:18:16
43820 |
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!!! |
| 同じようにB’とって三角不等式で |
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宝塚
10月22日（木） 0:32:44
43821 |
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ゴンとも |
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微分でやりました。
座標にH(0,0),I(4,0),A(0,3),B(4,-5),P(a,0)とおくと XMaxima で num(factor(diff(sqrt(a^2+9)-sqrt((a-4)^2+25),a)))$ (rhs(part(solve(0=-2*x+3,x),1))-rhs(part(solve(part(%o1,1)^2-(-part(%o1,2)-part(%o1,3))^2,a),1)))*(3+5)/2;30・・・・・・(答え) |
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豊川市
10月22日（木） 0:34:56
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 43822 |
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今年から高齢者 |
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はじめは、図のように右側で考えていて、最大がない！
左側にあった。それで直線Lの左側が長いのですね！ 結局、Pの微小変化の考え方（微分の考え方）で求めました。 ∠APHと∠BPIの大きさが逆転する∠APH=∠BPIの位置が最大。 ��APH∽��BPIよりPH=6。 故に、(6+3/2)*(5+3)/2＝30 cm2 右側と左側の場合の長さを計算してみると、右側の長さの最大差はP=無限大で4cm、左側は4.5cm程度になりました。納得！ 図形でAPとBPの差をとる方法がわかりませんでしたが、 #43819ベルク・カッツェさんの方法．．．なるほど！勉強になりました。 |
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10月22日（木） 1:51:17
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baLLjugglermoka |
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今回は簡単すぎました。しかし、計算ミスして誤答送ってとても悔しいです。
中学受験でも中堅校での易しめレベルですね。皆さんも余裕そうです。 しかしながら、このような問題を思いつくマサルさんは本当に凄いですね。算数界で尊敬できる存在です。来週も楽しみにしています。今後とも応援しています。 |
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10月22日（木） 1:04:38
43824 |
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ベルク・カッツェ |
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図形はいつも悩みますね。
最初はどうやって差を考えるかで何も思い浮かばず。 うまく重ねるのが無理だからＰを中心の円弧でも使うかと思ってみたものの、やはり上手いやり方が見つからず。 しばらく考えて、一直線上からずらすと必ず差が小さくなることに気づきました。 Ｐが左右どっちでもいいとヒントをくれたマサルさんのおかげかも。 |
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10月22日（木） 1:10:15
43825 |
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数樂 |
| 疲れた」。ミスばっかり。。。。 |
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徳島
10月22日（木） 2:07:42
HomePage:数樂 43826 |
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Mr.ダンディ |
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#43819ベルク・カッツェさんと同様に B'をとって
�、�APB'ができるとき AB'＞B'P−AP ��P,A,B'が1直線上のとき AB'=B'P−AP よって B'P−AP が最大値をとるのは�△里箸� → △ABP=(1/2)*7.5*(5+3)=30 ......としました。 （てこずりましたが 大変面白い問題でした） |
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10月22日（木） 8:25:40
43827 |
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あめい |
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図が４ｃｍが５ｃｍより長く描いてある、・・・正確な図を描けばいいだろう
なんて感じで挑戦したのですが、最初（なぜかAの対称な点は描いてみたのに）Bと対称な点が浮かばず苦労しました。 結局はみなさんと同じP,A,B'が1直線のときで求めました。 （好きなタイプの問題のはずだったのですが・・・・難しかった） |
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10月22日（木） 11:09:40
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ハラギャーテイ |
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微分を使ってしまいました。x=-10と出たとき
びっくりしました Pは左側だったのですね。右ばかり考えて言いました。 |
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山口
10月22日（木） 11:59:42
HomePage:制御工学にチャレンジ 43830 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うむ，これは少し考えました。個人的にはやや難でしたが，算チャレとしては標準的かなぁ。正解率も 50 % 程度ですね。 今回は解法だけでなく，どんな風に考えていったかの思考の流れも書いておきます。こんな感じ。 最初に問題を見てすぐに思い付いたのは，H(0,0)，A(0,3)，B(4,-5)，直線L を x 軸，P(x,0)，と座標を入れ， 微分を使う数学解法でした。√ の入った微分になるので，高校理系数学かな，と思いますが， 計算自体は暗算でも可能なくらい容易で，P は (0,-6)，△ABP = 30 cm^2，とすぐに求まります。 しかしこれでは正解者掲示板には書けないので，さてどうしたものか，と再考。 ポイントは |AP - BP| をどう評価するかですが，算数はともかく初等幾何でこの式が出てくるのは， 三角不等式及びその拡張の，|AP - BP| <= AB <= AP + BP，かな，と思いました。 等号なしなら △ABP が存在する場合で，左の等号は P が AB 又は BA の延長上にある場合，右の等号は P が AB 上にある場合，です。 今は |AP - BP| の最大を考えるので，P が AB 又は BA の延長上にある場合，です。 しかし，図的に明らかにこれはあり得ません。うーむ，困ったな，どうしたものか。 ここでズルいのですが，先ほどの数学での答えがヒントになりました。 C(4,5) とおくと，P が CA の延長上にあるではないですか！ というわけで，結局，こんな解法。 直線L に関し B と対称な点を C とします。CI = 5 cm，CB = 10 cm，∠CIP = 90°，CP = BP，で C は定点なので，AC = 一定，です。 P，A，C に関して， △PAC ができるとき，辺の関係より，AP と BP の差 = ｜AP - BP| = ｜AP - CP| < AC， △PAC ができないとき，これは P が CA の延長と L との交点になるときだけで，AP と BP の差 = ｜AP - BP| = CP - AP = AC， これらのことより，AP と BP の差 が最大になるときの P は CA の延長と L との交点と分かります。 このとき，A から CI に垂線を下ろしその足を J とすると，AJ = 4 cm，JI = 3 cm，CJ = 5 - 3 = 2 cm，で， △CPH ∽ △CAJ，PH：AH = AJ：CJ，PH：3 = 4：2 = 2：1，PH = 6 cm，PI = 6 + 4 = 10 cm， △ABP = △CBP - △CBA = CB * PI * 1/2 - CB * AJ * 1/2 = 10 * 10 * 1/2 - 10 * 4 * 1/2 = 50 - 20 = 30 cm^2， になります。 |
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ネコの住む家
10月22日（木） 12:40:35
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 43831 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
注意 以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが， 折角なのでご参考までにと思って公開するものです。 そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に， 私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。 あくまでもご参考です。悪しからず。 算数解法と思えるものは，皆さんとも， 直線L に関し B と対称な点を取り，三角不等式及びその拡張，又はそれと等価なもの，で考える解法， のようです。後は微分を使った数学解法かな。 どうでもいいですが，直線L に関し A と対称な点を取って考えた算数解法の書き込みがないのは不思議。 |
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ネコの住む家
10月22日（木） 13:03:26
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 43832 |
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スモークマン |
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いやぁ…わからなかったです…^^;
数学でも…余弦定理で... AP^2+BP^2-2AP*BP*cosθ =(AP-BP)^2+2AP*BP*(1-cosθ)=4^2+8^2=80 Min|AP-BP| なら…AP=BP のとき。 Max|AP-BP|なら…cosθ=1 のとき…θ=0…? but...Bの直線Lに対して対称なB'をとると、θ=0になるわけですねぇ…? ほんまかいな ^^;; |
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金即是空 ^^;v
10月22日（木） 17:59:31
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「数学」小旅行 |
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このような設定で、和が最小という問題はよく見かけるのですが、差が最大という着眼はたいへん新鮮で、おもしろかったです。
差が一定といえば、双曲線をおもいだしましたので、座標を入れて、点(-2,3)と点(2,-5)からの距離の差が k になるような点をグラフにすると、 双曲線｜√{(x+2)^2+(y-3)^2}-√{(x-2)^2-(y+5)^2}｜=k になるので、ＧＲＡＰＥＳを使って描いてみました。 kの値を変化させて、双曲線の挙動を追ってみて・・・納得！ k=2√5 のときに、ちょうどx軸に接する双曲線になりました。 そして、x軸と双曲線が共有点をもつときでkが最大となるのはこのときであることがわかりました。 「算チャレ」問題をもとに、こんなことを考えるのが大好きです！ |
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10月23日（金） 8:04:15
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「数学」小旅行 |
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双曲線の式、訂正です。
誤：双曲線｜√{(x+2)^2+(y-3)^2}-√{(x-2)^2-(y+5)^2}｜=k ↓ 正：双曲線｜√{(x+2)^2+(y-3)^2}-√{(x-2)^2+(y+5)^2}｜=k |
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10月23日（金） 8:22:02
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マツダ |
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三角形の成立条件が明快ですかね。
Ａを反対に折り返してＣとすると，三角形ＢＣＰの成立条件よりＢＰとＣＰの差はＢＣより小さくなるので，差はＢＣ(一直線)が最大。 面白いです。 |
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10月23日（金） 13:53:22
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よーたー |
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今回はまあまあ難しかったです。
差が最大というのは…。初めて見た問題でびっくりしました。 最初にあの直角三角形に気づき、二等辺三角形があると気づいたのですが、 それではだめ。 ビ、ビブ・・・と変なものが頭をよぎりましたが。あくまでも算数。ということで。 点Aを対称移動してみたら、できました。一直線になればいいんですね。 それにしても面白い問題です。三角形の成立条件を使った問題では、かなりの良問です。 あと図もいいですね。右側に思わせておいて、実は左…。 |
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10月24日（土） 21:33:33
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四葉 |
| あくまでも小学生になった気持ちで・・・、と思ったけど微分を使ってしまいました。微分で答えを出してから算数ではどうやればいいか考えました。すると点BをLについて対称移動すれば、後は三角不等式より出ることに気づきました。 |
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10月25日（日） 15:15:36
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