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Jママ
こんばんは、少し時間がありたまたま解けました
ADの中点R, BCの中点Sとすると
RN=SM=12, RM=SN=9, MN=15より
四角形RNSMは長方形。また
PR=SQ=PS=RQ=25/2なので
△PSRは二等辺三角形
RSの中点XとするとRXとRSは垂直
△PXRにおいて3:4:5の三角形より
PX=10, PQ=20となりました
面白かったです。早く寝なければ…m(__)m
　　 1月14日（木） 0:39:19　　 　　44037
スモークマン
寒中お見舞い申し上げます☆
ややこしそうだったけど…^^;
Jママさんの説明から..□PRQSが◇とわかるので…PQ垂直RSから...わたしのいい加減な方法で入れたのね ^^;...
25^2-12^2-9^2=400=PQ^2
PQ=20
なはっ…Orz...
金即是空 ^^;v　　 1月14日（木） 1:19:09　　 　　44039
ゴンとも
座標にB(-25/2,0,0),D(25/2,0,0),BC=aとおき円の交点として点Cのx,y座標を求め(z=0)
AD=bとして3円の交点として点Aを求めMN=15からPQの値が求まる　XMaxima で

solve([(x-25/2)^2+y^2=24^2,(x+25/2)^2+y^2=a^2],[x,y])$
part(%,1)$rhs(part(%o2,1))$rhs(part(%o2,2))$
solve([(x-25/2)^2+y^2+z^2=b^2,(x+25/2)^2+y^2+z^2=18^2,(x-%o3)^2+(y-%o4)^2+z^2=25^2],[x,y,z])$
part(%,2)$rhs(part(%o6,1))$rhs(part(%o6,2))$sqrt(factor(rhs(part(%o6,3))^2))$
factor((%o7+%o3)^2/4+(%o8+%o4)^2/4+%o9^2/4-15^2)$
factor((%o7-25/2-25/2-%o3)^2/4+(%o8-%o4)^2/4+%o9^2/4)$
sqrt(expand(%-%th(2)));20・・・・・・(答え)
豊川市　　 1月14日（木） 2:00:00　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　44040
ベルク・カッツェ
やっと解けました。
全部書いてると大変なので要点だけ。
ＡＤ、ＢＣの中点をＸ、Ｙとします。
ＸＭＹＮは平行四辺形で各辺の長さが9と12、対角線ＭＮが15なので3：4：5より長方形、ＡＹ＝ＭＮ＝15
ひし形ＰＭＱＮは一辺が12.5、ＭＮが15なので、対角線で4等分すると3：4：5の直角三角形ができるので、ＰＱ＝20と分かります。
ＰＭＱＮがひし形なのはＢＣ＝ＡＤなどから確認。ＰＭＱＮを水平にして上から見た図等で確かめました。
　　 1月14日（木） 2:48:18　　 　　44041
ma-mu-ta
この三角錐A-BCDは、
AB，ＣＤを含むそれぞれの面を 対角線が18，24、1辺が15の菱形 とすると、
これを底面とする 高さ20 の四角柱に埋め込むことができます。
すると、ＰＱ＝高さ＝20　となります。
図はこちらに https://db.tt/x771IOB8

※ 斜角柱の場合も考えられますので、#44057 もご覧ください。

　　 1月15日（金） 18:24:15　　 　　44042
巷の夢
ma-mu-ta様の図最高ですね。正にもやもやが吹っ切れました。しかし、
どうしたらこの様な立体の発想が思い浮かぶのですか、自らの立体感覚の
無さに・・・・。
真白き富士の嶺　　 1月14日（木） 7:38:30　　 　　44043
あめい
寒中お見舞い申し上げます
当方でも一昨日は初氷、本格的な冬がやってまいりました
皆様には今年もよろしくお願いいたします
また先週、マサルさんには”問題始め”などと余計なプレッシャーをお掛けしてしまったと反省（同時に今週は練った難しい問題になるのではと恐怖）しきりです
変な勘ばかりは当たるもので、ＰＮＱＭが平行四辺形になることから進まず、片方の対角線がわかっているときもう片方の対角線だから、ひし形だろう、正方形か３：４：５くらいしか長さを算数で求めることはできないはずだから、正方形はないよなぁ・・・となんとここにたどり着きました(この勘もはずれていたようですが・・・運です）
1年間には偶然（運）も必要と自分を慰めつつ、みなさんの解説で今年も勉強させていただきます

お馬崎　　 1月14日（木） 7:42:40　　 　　44044
今年から高齢者
BCの中点をR、ADの中点をSとすると、
MRNSは、12×9（対角線15cm）の長方形なので、RS＝MN＝15cm
PRQSは一辺25/2cmのひし形。故にPQ＝10×2＝20cmを得ました。
開いて見れば皆さんと同じでした。
正月ボケもありますが、結構しんどい問題でした。本年もよろしく。
　　 1月14日（木） 12:25:20　　 　　44045
さいと散
今年も宜しくおねがいします。
　　 1月14日（木） 12:25:08　　 　　44046
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
新年１回目は空間図形でしたね。一般にはやや難かなと思うものの算チャレでは標準的かなぁと思ったのですが，
正解率や常連さんの出足を見るとやや易なのかも知れませんね。やはり算チャレのレベルは高いです。
こういう問題を見るとベクトルで解きたくなりますが，算数でできるはず，と考えました。
中点がいくつかあるので中点連結定理，算数としては相似の応用，と数値から 3：4：5 かな，というわけで，こんな感じ。

まず，一般に，△ABC において，M，N がそれぞれ AB，AC の中点，つまり，AM = MB，AN = NC，のとき，
AM：MB = 1：1 = AN：NC，AM：AB = 1：2 = AN：AC，△AMN ∽ △ABC，相似比は 1：2，MN//BC，MN = BC/2，
がいえます。以下ではこのことを使います。
また，３辺の比が 3：4：5 のとき直角三角形，ということも使います。

AD，BC のそれぞれの中点を E，F とします。
△DAB において，DE = EA，DM = MB，より，EM//AB，EM = AB/2 = 18/2 = 9 cm，
△CAB において，CN = NA，CF = FB，より，NF//AB，NF = AB/2 = 18/2 = 9 cm，
△ACD において，AN = NC，AE = ED，より，NE//CD，NE = CD/2 = 24/2 = 12 cm，
△BCD において，BF = FC，BM = MD，より，FM//CD，FM = CD/2 = 24/2 = 12 cm，
そこで，□EMFN は MN と EF を対角線とする平行四辺形で，
△NFM を考えると，NF：FM：MN = 9：12：15 = 3：4：5，で，∠NFM = 90°の直角三角形です。
これより，□EMFN は長方形になり，二つの対角線の長さが等しいので，EF = MN = 15 cm，です。
次に，同様にして，□EPFQ を考えます。
△ABD において，AP = PB，AE = ED，より，PE//BD，PE = BD/2 = 25/2 cm，
△CBD において，CF = FB，CQ = QD，より，FQ//BD，FQ = BD/2 = 25/2 cm，
△BAC において，BP = PA，BF = FC，より，PF//AC，PF = AC/2 = 25/2 cm，
△DAC において，DE = EA，DQ = QC，より，EQ//AC，EQ = AC/2 = 25/2 cm，
そこで，□EPFQ は EF と PQ を対角線とする平行四辺形ですが，PE = 25/2 = PF より実はひし形です。
これより，EF と PQ の交点を O とすれば，△EOP は ∠EOP = 90°の直角三角形で，
EO = EF/2 = 15/2 cm，EO：PE = (15/2)：(25/2) = 3：5，△EOP は 3：4：5 の直角三角形，です。
そこで，PQ = PO * 2 = PE * 4/5 * 2 = 25/2 = 4/5 * 2 = 20 cm，になります。
ネコの住む家　　 1月14日（木） 13:07:37　　 　　44047
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

うーむ，皆さんの書き込みを見ていると，それなりに苦労された方も多いようなので，
難易度は，標準的かやや難，の方がいいのかな，という気もしてきました。

算数解法としては，皆さんともに，AD の中点を R，BC の中点を S，として，
□RNSM が長方形，□RPSQ がひし形，を利用する解法，のようですね。
このことが分かってしまえば，四角柱への埋め込みも難しくないでしょう。
もっとも，元の四角すいから直接に連想するのはそう簡単ではないですが，
直方体からの切り出しなどの経験が豊富ならば確かに思い付いてもいいよなぁ，
とも思います。
ネコの住む家　　 1月14日（木） 13:45:25　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　44048
とまぴょん
パップスの中線定理を使って、代数的処理としました。
MNなどの長さは、四辺の長さで簡単に表現できました
　　 1月14日（木） 14:08:53　　 　　44049
ましゃ
三角形ＰＢＱは直角三角形になることを利用して解きましたがどうでしょうか。
ＢＱの長さの２乗は６２５−１４４＝４８１
ＰＢ＝９よりＰＱの２乗は４８１−９×９＝４００
ＰＱ＝２０
合ってるのかな？この考え方は・・。

　　 1月14日（木） 14:41:25　　 　　44050
uchinyan
ちなみに，ベクトルを使った解法。
何も考えずとも計算だけで解けますね。

ベクトルAB = a，ベクトルAC = b，ベクトルAD = c，とすると，
AB = |a| = 18，AC = |b| = 25，
BD = |a - c| = 25，BD^2 = |a|^2 - 2(a・c) + |c|^2，
CD = |b - c| = 24，CD^2 = |b|^2 - 2(b・c) + |c|^2，
MN = |(a + c)/2 - b/2| = 15，MN^2 = |a - b|^2/4 + 2((a - b)・c)/4 + |c|^2/4，
PQ^2 = |a/2 - (b + c)/2|^2
= |a - b|^2/4 - 2((a - b)・c)/4 + |c|^2/4
= MN^2 - (a - b)・c
= MN^2 + (BD^2 - CD^2 - AB^2 + AC^2)/2
= 15^2 + (25^2 - 24^2 - 18^2 + 25^2)/2
= 225 + (625 - 576 - 324 + 625)/2
= 225 + 175
= 400，
PQ = 20 cm
ネコの住む家　　 1月14日（木） 14:57:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　44051
小西孝一
中点を結ぶと９：１２：１５＝３：４：５で直角三角形になるので
ぐるりと中点を結べば９と１２の長方形になって
PQは四角錐の高さの２倍で、高さは２５/２と１５/２と？で、
直角になるのは５：３：４の場合で？は２０/２
PQは倍なので２０
としましたが、なんかいい加減で、また検証します。(-_-;)
　　 1月14日（木） 16:26:39　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44052
数樂
本年もよろしくお願いいたします。
徳島　　 1月15日（金） 11:34:48　　 HomePage:数樂　　44053
uchinyan
#44050
＞三角形ＰＢＱは直角三角形になることを利用して解きましたがどうでしょうか。
＞．．．
＞合ってるのかな？この考え方は・・。
うーむ，一応は正しいでしょう。ただ合っているかというと，ちょっと。

実はこの問題は自由度が１つ残っています。
PQ⊥AB とすると，AD = AC = BC = BD = 25 となる特殊解になっていると思います。
条件を満たす解法ですが，与えられた条件からは PQ⊥AB とは言い切れないのではないのでしょうか。

その意味では，#44042の図もちょっと気になっていました。
ネコの住む家　　 1月15日（金） 13:15:25　　 　　44054
明日のために
久々にチャレンジしました！
（むかーし、寺子屋（仮）ってページをしていました。。。今は放置です。）

たまたま新年一発目の問題だったようなので、ここから毎週チャレンジしていこうと気持ちを新たにしました。
みなさまよろしくお願いします！

AD、BCの中点をそれぞれS、Rとする。
四角形NRMSは、NR＝SM＝9、NS＝RS＝12、対角線NM、RSの長さがともに15の長方形
四角形PRQSは、一辺の長さ12.5のひし形で対角線ＲＳの長さは15
ここで、このひし形の対角線の交点をOとすると、
三角形OPRは斜辺の長さ12.5、他の一辺の長さ7.5の直角三角形。
したがって、3：4：5の直角三角形となるので、OP＝10
よって、PQ＝20
　　 1月15日（金） 15:43:18　　 　　44055
ma-mu-ta
#44054　uchinyanさんの仰る通りです。
直角柱の場合は、AD＝AC＝BC＝BD＝25 となりますが、
斜角柱の場合は、AD，BCは 25 とはなりません。
#44042で特に言及しなかったのは不精でした。
図は出来が悪かったのでUPしなかったものですが、一応。。。
https://db.tt/CUVsHqp4
□AFBE，GDHCは1辺が15の菱形でAB＝GH＝18、EF＝CD＝24、この2つの面が水平であると思ってください。
□AECG，FBHDは縦20横15の長方形、□AGDF，ECHBは辺が20，15の平行四辺形 です。
この場合も MN＝15、PQ＝20 となります。
　　 1月15日（金） 18:12:21　　 　　44057
今年から高齢者
#44050, #44054
#44054 の計算式をみると BC=AD=AB=CD（この条件で��PBQが直角三角形になる）を前提にした特殊化のようですが、
MN=15cmを使用しておらず、この特殊化が問題の条件MN=15を満たしていることを確認する必要がありそうです。
∠PBQ=Θとすると、MN^2=(9cosΘ)^2+(9sinΘ)^2+12^2=225。∴MN=15となり条件を満たすので、この問題の特殊化による解となっている。
本問題の三角錐の形は、AC=BD=25cmの条件の下、BCD面への投影図でAB⊥CD（三角錐では90度のねじれ）であればよいと考えられる。（この全てがPQ⊥ABになるかどうかは未検討）
　　 1月15日（金） 21:04:22　　 　　44058
にゃもー君
あら当たっちゃった。
ＭＮの長さ１５と、ＭＮとＰＱの中に何となく３：４：５の直角三角形が見えてきて、じゃあＰＱは２０かなと思った次第。
　　 1月15日（金） 22:17:04　　 　　44059
釣瓶
ＰＮＭＱに注目してから三平方を使いました。ピラミッド相似に気付くのに時間がかかりました。
　　 1月16日（土） 9:26:56　　 　　44060
uchinyan
#44057　ma-mu-taさんへ
解説と図の追加をありがとうございます。
そうそう，こんな図もあるだろうな，と思っていました。
#44042では単に「四角柱」とあるので，このようなものも含む，と理解してコメントしませんでした。
ただ，#44050で「PQ⊥AB か？」と問われると，そう見える図が気になり，コメントした次第です。

#44058　今年から高齢者さんへ
考察をありがとうございます。
今回の問題は，MN = 15 以外の条件のもとで，
MN = 15，と，AB⊥CD，が同値で，自由度が１つ残り，
MN = 15 かつ PQ⊥AB，と，AD = BC = 25，が同値で，自由度は残りません。
これらのことがご参考になれば，と思います。
ネコの住む家　　 1月16日（土） 13:58:22　　 　　44061
さいと散
自由度があるので平面で考えました。AC上にBが重なってPQ＝20は出ましたが、PQが一定な理由は理解できていません。
　　 1月16日（土） 20:54:41　　 　　44062
老算兵
作図をしていたらＡＢとＡＣが重なり、そこから２０を入れたら入っちゃいました
皆さんの解答を参考にして次のような筋を考えました
ＡＤの中点をＳとします
ＳＮはＤＣの半分で１２です
ＳＭはＡＢの半分で９です
△ＳＭＮは∠ＭＳＮが９０度の３角形です（１辺が３：４：５）
ＳＮとＤＣ、ＳＭとＡＢは平行です
ＤＣとＡＢは垂直です
ＳＮが１２でＣＱと同じなのでＡＢとＡＣが重なります
ＰＣが１６、ＱＣが１２なので、ＰＱは２０と解きました
福岡県　　 1月18日（月） 9:18:31　　 　　44063

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