ベルク・カッツェ
PC壊れたので別PCから。
60+90+110＝260
260÷2＝130
130-60＝70
180-90-70＝20
　　 2月11日（木） 0:08:37　　 　　44153
ベルク・カッツェ
さすがに省略しすぎたかな。各側面で頂点から垂線を下ろすとちょうど内接円と接する点なので、各側面が直角三角形２つに区切られて、それぞれの隣り合う側面の直角三角形同士が合同になります。それであとは角度計算。
　　 2月11日（木） 0:19:05　　 　　44154
スモークマン
点から接線までの距離等しく…
内接円の接点までもそれぞれ等しく、各斜辺を持つ△がそれぞれ合同なので、
底角はそれぞれ等しくなり...

α+β=90
β+γ=120
γ+α=70
α=140-120=20°
♪
金即是空 ^^;v　　 2月11日（木） 0:21:45　　 　　44155
Mr.ダンディ
BC,CD,DBと内接円の接点をそれぞれ　P,Q,Rとすると
AP=AQ=AR　
AP⊥BC,AQ⊥CD,AR⊥DB　となり
△ABP≡△ABR、△ACP≡△ACQ、△ADQ≡△ADR
よって
∠BAP+∠BAR＝(90+60+110)°−60°*2＝140°
∠BAP=70°
∠ABC=90°−70°＝20°
と求めました。

（この問題って、厳密には三垂線の定理を使わなければならないのでは？）
　　 2月11日（木） 11:12:01　　 　　44156
今年から高齢者
展開図のAの各頂点と内接円の中心を結ぶと、3組の合同な直角三角形が出来て、∠BACは70度（(90+60+110−2*60)/2）と20度になる。180-70-90=20度としました
Mr.ダンディさんと同じでした。
でも、三垂線の定理なんて知らないので、展開図の頂点が��BCDの辺で折り曲げて内接円の中心の真上に来ることから、
展開図の頂点Aと内接円の中心を結んだ線が��BCDの辺と直交すると考えましたが．．．如何なものでしょう。

今日で算チャレ20年の最後なので、20なのでしょうか？
予想はしていたのですが、この答は来週かと．．．．。
これからも楽しみに待っています！
　　 2月11日（木） 1:04:23　　 　　44157
鬼
あらら、申し訳ない。問題の更新に気付いたのが、０時２２分でした。それまでは、ドラゴンボールＧＴを見てました。今からも見ようと思います。（笑）
　　 2月11日（木） 0:34:30　　 　　44158
ホームズの弟子
ぼくもベルク・カッツェさんと同じ解き方です。最初なぜか130から90を引いてしまって送ったものの名前が載らないので何でだろうとか思って結局気づくのに時間がかかってしまいました。まだまだ修行が足りませんね。
　　 2月11日（木） 0:34:37　　 　　44159
鬼
ちなみに今から見ようと思うのは、ドラゴンボールＧＴ第５８話です。あ、どうでもいいですか？
　　 2月11日（木） 0:39:56　　 　　44160
ホームズの弟子
ぼくが言うのもなんなんですが、まだ2016年に入って平面図形らしい平面図形を算チャレでやってないので、次回あたりは平面図形が良いですね。
　　 2月11日（木） 1:01:02　　 　　44161
にゃもー君
やった正解。
自分は∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ＝α
　　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝β
　　　∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＝γ　としました
三角錐側面の３つの三角形の内角和は２（α＋β＋γ）＋90+60+110＝540
△ＡＣＤを見てβ+γ＝120として、α＝20と求めました。
　　 2月11日（木） 1:05:22　　 　　44162
あめい
多くの方と同じ△ＢＣＤの３辺にひとつずつ三角形がつく形の展開図で・・・
３つの三角形を△Ａ１ＢＤ，△Ａ２ＢＣ，△Ａ３ＣＤ、Ａと内接円の中心を結んだ線とＢＤ，ＢＣ，ＣＤとの交点をそれぞれＥ，Ｆ，Ｇとすると
△Ａ２ＢＦと△Ａ１ＢＥ，△Ａ１ＣＦと△Ａ３ＣＧ，△Ａ１ＤＥと△Ａ３ＤＧは合同な直角三角形になる。
∠Ａ１ＢＣ＝ｘとすると、∠ＣＡ２Ｆ＝∠ＣＡ３Ｇ＝ｘ
∠ＢＡ２Ｆ＝∠ＢＡ１Ｅ＝９０−ｘ、ここで∠ＢＡ１Ｄ＝１１０より∠ＤＡ１２Ｅ＝∠ＤＡ３Ｇ＝２０＋ｘ
よって∠ＤＡ３Ｃ＝∠ＣＡ３Ｇ＋∠ＤＡ３Ｇ＝ｘ＋２０＋ｘ＝６０
よってｘ＝２０
（記号を使って説明しようとしましたが、合同の証明やら抜け落ちは多いし、あらためてuchinyanさんの説明力？にも脱帽。それに展開図のＡと内心点を結ぶ線と辺とは直交するのは前提と考えていたのですが・・・）
お馬崎　　 2月11日（木） 7:14:54　　 　　44163
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，ちょっと変わった感じの問題でしたが，難易度は算チャレとしては標準的かやや易でしょうか。
ただ，解法を書くとなると，図形の性質をいろいろと使うことになりそうで，どこまでが算数か，私にはよく分からないです。
まぁこんなところでご勘弁を，ということで，こんな感じ。

内接円の中心を O，円O と BC，CD，DB との接点を P，Q，R とします。
まず，AO⊥△BCD より ∠AOP = ∠AOQ = ∠AOR = 90°，OP = OQ = OR，なので，
△AOP ≡ △AOQ ≡ △AOR，AP = AQ = AR，です。
さらに，円の対称性より CP = CQ，DQ = DR，BR = BP，なので，
△ACP ≡ △ACQ，△ADQ ≡ △ADR，△ABR ≡ △ABP，∠ACP = ∠ACQ，∠ADQ = ∠ADR，∠ABR = ∠ABP，
∠ACB = ∠ACD，∠ADC = ∠ADB，∠ABD = ∠ABC，です。
これらを使って，
∠ABC + ∠ACD = ∠ABC + ∠ACB = 180°- ∠BAC = 180°- 90°= 90°，
∠ACD + ∠ADB = ∠ACD + ∠ADC = 180°- ∠CAD = 180°- 60°= 120°，
∠ADB + ∠ABC = ∠ADB + ∠ABD = 180°- ∠DAB = 180°- 110°= 70°，
これらから，算数としては線分図とかを使って，
∠ABC + ∠ACD + ∠ADB = (90°+ 120°+ 70°)/2 = 140°，
∠ABC = 140°- 120°= 20°= ∠ABD，∠ACD = 140°- 70°= 70°= ∠ACB，∠ADB = 140°- 90°= 50°= ∠ADC，
です。そこで，∠ABC = 20°，になります。

△ACP ≡ △ACQ，△ADQ ≡ △ADR，△ABR ≡ △ABP，の辺りは，
BC⊥AO，BC⊥PO，BC⊥△AOP，BC⊥AP，∠APC = 90°，同様にして，∠AQC = 90°，など，
を使ってもいいですね。この場合は，
∠BAP + ∠CAQ = ∠BAP + ∠CAP = ∠BAC = 90°，
∠CAQ + ∠DAR = ∠CAQ + ∠DAQ = ∠CAD = 60°，
∠DAR + ∠BAP = ∠DAR + ∠BAR = ∠DAB = 110°，
より，∠BAP = 130°- 60° = 70°，∠ABC = ∠ABP = 90°- 70°= 20°，でもいいですね。
　　 2月11日（木） 12:31:45　　 　　44164
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

今回の問題は，各人の工夫はあるものの，皆さんとも，
内接円の中心を O，円O と BC，CD，DB との接点を P，Q，R として，
AP = AQ = AR，△ACP ≡ △ACQ，△ADQ ≡ △ADR，△ABR ≡ △ABP，又はそれらと等価なもの，を示す，
という解法のようです。その際に，
展開図の考察などより AP⊥BC，AQ⊥CD，AR⊥DB を使うか，円の対称性より CP = CQ，DQ = DR，BR = BP，を使うか，
に大きく分かれるようです。ただ，これは明らかに等価ですし，どちらかというと詳細の感じがあるので，
今回は分類まではしないでおきましょう。
気になる方は各自読んで比較してみてくださいな (^^;
　　 2月11日（木） 20:44:40　　 　　44165
明日のために
昨日、一昨日と職場で入試があり、曜日感覚が狂ってました。。。

内接円の中心をI、IからBC、CD、DBへ下ろした垂線の足をP、Q、Rとする。

△API≡△AQI≡△ARI ⇒ AP＝AQ＝AR・・・��

△AIP⊥BC ⇒ AP⊥BC　同様に、AQ⊥CD、AR⊥DB・・・��

�　↓△茲�
△APC≡△AQC ⇒ ∠ACB＝∠ACD（＝◎とおく）
△AQD≡△ARD ⇒ ∠ADC＝∠ADB（＝○とおく）
△ARB≡△APB ⇒ ∠ABD＝∠ABC（＝●とおく）

ここで、条件より
◎＋●＝90°
◎＋○＝120°
○＋●＝70°
∴ ◎＋○＋●＝140°

以上より、
∠ABC＝●＝140°−120°＝20°
箕面市　　 2月12日（金） 10:22:52　　 　　44166
にこたん
風邪でダウン。(*_*)
既出ですが、
Aから各底辺に垂線を引いて、後は三角形の合同を使って
求めました。
　　 2月12日（金） 13:47:21　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44167
数樂
合同です。
徳島　　 2月14日（日） 7:59:15　　 HomePage:数樂　　44168
にこたん
大当たりしたのに、クラッシュしてカキコ送信できなかった。(T_T)
風邪まだ治らんばい。(*_*)
　　 2月14日（日） 10:14:30　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44169
にこたん
今日二度目の大当たり。(^^♪
　　 2月14日（日） 17:08:28　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44170