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ベルク・カッツェ |
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19+22+43+46=130
隠れる数の合計が3の倍数なので残る一マス候補は3で割って1余る数。 対称性で消えるものを除くと最初の式の4つが残ります。 |
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3月10日（木） 0:07:42
44243 |
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ベルク・カッツェ |
| ちなみに以前にほぼ同じ問題があったのを思い出して解きました。 |
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3月10日（木） 0:09:39
44244 |
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ベルク・カッツェ |
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最後のひとつ忘れてました、あと19で可能なのを実際に並べて確認して終了です。
データ登録まだやってなくて修正できませんでした。 |
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3月10日（木） 0:13:23
44245 |
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景 |
| http://www.sansu.org/used-html/index947.html |
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3月10日（木） 0:15:39
44246 |
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むらかみ |
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#44246
どこかで見たことがあると思ったら... 自分がこの手の問題を得意なのだとわかりました（笑） |
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3月10日（木） 0:21:53
44247 |
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今年から高齢者 |
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第947回の問題と類似で、8×8は、#43759に書き込んだものでした。
回りから2マスずつを削って、4×4の4隅。 が、前と同じように間違えて、マスの個数4個を送っていました。進歩していないナァ |
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3月10日（木） 1:12:18
44248 |
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スモークマン |
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無理かと思いましたが…^^;
#44243 ベルク・カッチェさんの >隠れる数の合計が3の倍数なので残る一マス候補は3で割って1余る数。 >対称性で消えるものを除くと最初の式の4つが残ります。 なるほどです!! あるなら...点対称な4個の和=130の倍数 ですね… |
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金即是空 ^^;v
3月10日（木） 1:15:12
44249 |
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あめい |
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実際ひとつやってみて４６が残ったので、対称性から１９，２２，４３も残るから最低１３０、でもこれ以外はないのかなぁ・・・と、どこかでこんな風に考えたことあるなぁと思いながらも見つけられずここに入ってみると・・・
似た過去問があり、そのときも「隠れる数の和が３の倍数」に感心したことを思い出しました。（ダメだ、覚えられないといったマイナス思考は本当に記憶を阻害するそうですが）日々新鮮なのもどうかなぁの問題でした。 |
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3月10日（木） 8:41:34
44250 |
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明日のために |
| 実験して対称性で答えを出しました。。。 |
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箕面市
3月10日（木） 8:56:07
44251 |
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次郎長 |
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なんとなく、真ん中の4つになるのかなぁって感じで、130で認証。一発正解だった。嬉しい。
全く根拠なしと言うわけではありませんが結構、勘で当たるものです。 |
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3月10日（木） 8:57:42
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
最初に図を見て，うへー面倒そうな問題，と思ったのですが，問題文を読んで，なぁーんだ，少し前に類題があったじゃん，という感じでした。 以前よりも易しいと思います。以前の問題が解けた人は易かな，と思いますが，そうでない人や初見の人には難かなぁ，とも思います。 正解率が高いのは，解けない人は勘では送りづらく，解けた人は間違いにくい，のでしょうか。 こんな感じで。 (解法1) まぁ算数でしょう 図１の 8 * 8 のマス目に図２の 1 * 3 の長方形のマス目を縦においても横においても長方形のマス目に覆われる数の和は 3 の倍数です。 そこで，長方形を可能な限り敷き詰めた場合の覆われる数の和も 3 の倍数です。 一方で，8 * 8 のマス目の中の数 1 〜 64 の総和は (64 * 65)/2 = 2080 = 3 * 693 + 1 より 3 で割って 1 余る数なので， 残る１つの数は 3 で割って 1 余る数でなければなりません。 ただし，図は，左右，上下，90°回転，に関して対称なので，ある配置が実現可能ならばそれを対称移動した配置も実現可能です。 そこで，3 で割って 1 余る数であっても対称移動によって対応する位置の数が 3 で割って 1 余る数でないと残せないことになります。 つまり，残せる数は，3 で割って 1 余る数であって，しかも対称移動によって対応する数も 3 で割って 1 余る数，ということになります。 この条件を満たす数を具体的に調べると，19，22，43，46，だけです。 そして，これらのどの数でも１つ残して他のすべてを長方形で覆う配置が実現可能なのは具体的に少しやってみれば分かります。 そこで，残せる１つは，19，22，43，46，となります。 この問題では，それらの和を求めるので，答えは，19 + 22 + 43 + 46 = 130，になります。 (解法2) 算数かどうか微妙ですが一応は算数かな 図１の 8 * 8 のマス目のそれぞれの数から 1 を引いてマス目の数を 0 〜 63 とし， そのそれぞれに対し (8 で割った商, 8 で割った余り) という組を作ります。すると， (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,7) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (5,7) (6,0) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (6,7) (7,0) (7,1) (7,2) (7,3) (7,4) (7,5) (7,6) (7,7) です。要するに，数学でいうところの座標ですね。 これらの組に対して，図２の 1 * 3 の長方形のマス目を縦においても横においても組の左右それぞれの和は (3 の倍数, 3 の倍数) です。 そこで，長方形を可能な限り敷き詰めた場合の覆われる組の和も (3 の倍数, 3 の倍数) です。 一方で，8 * 8 のマス目の中の組の左右のそれぞれの総和は ((7 * 8)/2 * 8,(7 * 8)/2 * 8) = (224,224) で， (3 で割って 2 余る数, 3 で割って 2 余る数) です。 そこで，残せる１つは (3 で割って 2 余る数, 3 で割って 2 余る数) でなければなりません。 このような組は，(2,2)，(2,5)，(5,2)，(5,5)，だけです。これらは，元の数では，19，22，43，46，です。 そして，これらのどの数でも１つ残して他のすべてを長方形で覆う配置が実現可能なのは具体的に少しやってみれば分かります。 そこで，残せる１つは，19，22，43，46，となります。 この問題では，それらの和を求めるので，答えは，19 + 22 + 43 + 46 = 130，になります。 (解法3) 完全に数学 この解法は，以前の類題で ボーナス問題さん に教えてもらった Analytic Combinatorics に基づくものです。 (解法2)の組を導入し，(i,j) に対して x^i * y^j という式を考え，図１の 8 * 8 のマス目に対して， P(x,y) = x^i * y^j の和 = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7)(1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + y^5 + y^6 + y^7) という多項式を定義します。すると，図２の 1 * 3 の長方形のマス目を置いた場合の式は， 縦ならば f(x,y) = x^k * y^m * (1 + x + x^2)，横ならば g(x,y) = x^k * y^m * (1 + y + y^2)， と書けます。そして，長方形で 8 * 8 を覆い１マスだけ残るというのは， P(x,y) = Σf(x,y) + Σg(x,y) + x^i * y^j と書けるということです。 ここで，ωを 1 の３乗根のうち複素数のもの，1 + ω + ω^2 = 0，とし， x = ω，y = ω，とすると，P(x,y) = ω^1，f(x,y) = 0，g(x,y) = 0, ω^(i+j) = ω^1，i + j ≡ 1 (mod 3)， x = ω，y = ω^2，とすると，P(x,y) = ω^0，f(x,y) = 0，g(x,y) = 0, ω^(i+2j) = ω^0，i + 2j ≡ 0 (mod 3)， となって，i ≡ j ≡ 2 (mod 3)，です。 後は，(解法2)と同じです。 まぁ，算数としては(解法1)が一番自然かな。ただ，座標の心得があれば(解法2)の方がいいかも知れません (解法3)は私が Analytic Combinatorics を理解しているかの確認で，お遊びです。あくまでもご参考です。 |
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3月11日（金） 15:49:07
44253 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
注意 以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが， 折角なのでご参考までにと思って公開するものです。 そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に， 私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。 あくまでもご参考です。悪しからず。 今回は，皆さん，３で割った余りに注目する，という解法のようですね。 なるほど，第947回でしたか。初見だったのであちらの方が難しかった気がしています。 あのときはいろいろと議論しましたね。 |
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3月10日（木） 14:34:54
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にゃもー君 |
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大ざっぱで自分でも納得行ってない方法なのですが、外側の２列×２行（48枚）を１×３のタイルで埋めて、中心の４×４のタイルのうち１枚を余らせる方法をとりました。余る１枚の候補が、19・22・43・46となった次第です。
納得いってないので、この掲示板での解法を存分に勉強させていただき、血肉化させて頂きます。 |
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3月11日（金） 0:27:47
44256 |
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ハラギャーテイ |
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一発では入れたのが信じられない。
解法を見て考えます。 |
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山口
3月11日（金） 5:51:07
HomePage:制御工学にチャレンジ 44257 |
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fumio |
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ご無沙汰しています。元気です。（笑）
5月楽しみにしています。ではでは。 |
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3月11日（金） 14:04:19
44258 |
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みかん |
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１×２のタイル敷き詰めの場合は、チェス盤のように白黒交互に塗り分ける
という方法が使われますよね。今回はそれにならって ＡＢＣＡＢＣＡＢ ＢＣＡＢＣＡＢＣ ＣＡＢＣＡＢＣＡ ＡＢＣＡＢＣＡＢ ＢＣＡＢＣＡＢＣ ＣＡＢＣＡＢＣＡ ＡＢＣＡＢＣＡＢ ＢＣＡＢＣＡＢＣ って感じに記号を振ると、１×３のタイルをどう置いてもＡＢＣが１個ずつ 含まれます。上の６４マスではＢだけが１個多いので、余らせることのできる マスはＢが書かれているマスのみ。 従ってＢが書かれているマスは余るマスになるはず、って考えたのだけれど 実際にはＢのマスでも余るマスにならないこともあるようで・・・。 「ＡとＣのマスは余らせることができない」という証明ならこれでいいのでしょうが、 何がおかしいんでしょう？ |
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3月11日（金） 16:54:58
44259 |
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老算兵 |
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久しぶりに投稿します
マス目が５の正方形を考えます ３−２＝１（真ん中の空白です） ３＋２＝５（外側です） ８−５＝３（５の正方形の外堀です） これを図２のマスで埋めます マス目が５の正方形が４隅を移動します ここから４個の空白の合計が１３０となりました |
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福岡県
3月12日（土） 9:57:57
44260 |
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まるケン |
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みかんさんの方法、いいですね。
Ｂの位置はこんな感じ。 □■□□■□□■ ■□□■□□■□ □□■□□■□□ □■□□■□□■ ■□□■□□■□ □□■□□■□□ □■□□■□□■ ■□□■□□■□ 例えば、これを左右反転させると、 ■□□■□□■□ □■□□■□□■ □□■□□■□□ ■□□■□□■□ □■□□■□□■ □□■□□■□□ ■□□■□□■□ □■□□■□□■ 塗り分け方を変えても、敷き詰められない場所が変わるはずはありません。 ということで、このどちらの場合においてもBが来る場所が答えっていうのはどうでしょう。 |
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3月13日（日） 10:21:38
MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 44261 |
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スモークマン |
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#44259 みかんさんの図
3の剰余でA=1, B=2, C=3と同じですね ^^ この図を回転させても同じ文字(数)である場所が求める位置になるわけですよね。 ベルクカッツェさんの方法と同値の考え方ですね☆ |
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金即是空 ^^;v
3月13日（日） 10:42:07
44262 |
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ベルク・カッツェ |
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#44262スモークマンさん
前回の類題で掲示板にあった方法なので、私の方法という訳ではないのですが。 これは必要条件と十分条件をしっかり区別していないと迷うところですね。 |
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3月13日（日） 12:17:26
44263 |
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鬼 |
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30秒で解けてしまいましたよ…
そもそも答えが130の倍数の時点で数は限られていますからね… |
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3月13日（日） 18:01:48
44264 |
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みかん |
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（#44261）まるケンさん
回転させても敷き詰め不可能な場所は変わらない、かぁ。 言われてみれば確かなんだけど、証明できた気になっていたので気づきませんでした。 試験と違って「どこが誤っているか」の指摘が受けられるので、勉強になりますね。 ありがとうございました。 |
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3月14日（月） 1:00:38
44265 |
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??? |
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Dim n As Integer, a(21) As Integer
Sub Macro1() Cells(1, 1).Value = 0 For n = 1 To 28 If n <= 4 Or (9 <= n And n <= 12) Or (17 <= n And n <= 20) Or 25 <= n Then a(0) = 0 : Call saiki(1) End If Next n End Sub Sub saiki(ByVal m As Integer) Dim b(64) As Integer, x As Integer, y As Integer, dame As Integer, j As Integer a(m) = 1 '1:横, 2:縦 While a(0) = 0 And a(m) <= 2 x = 0 : y = 0 For j = 1 To 64 : b(j) = 0 : Next j b(n) = 1 For j = 1 To m - 1 While b(f(x, y)) x = x + 1 : If x > 7 Then x = 0 : y = y + 1 Wend If a(j) = 1 Then b(f(x, y)) = 1 : b(f(x + 1, y)) = 1 : b(f(x + 2, y)) = 1 x = x + 3 : If x > 7 Then x = 0 : y = y + 1 Else b(f(x, y)) = 1 : b(f(x, y + 1)) = 1 : b(f(x, y + 2)) = 1 x = x + 1 : If x > 7 Then x = 0 : y = y + 1 End If Next j While b(f(x, y)) x = x + 1 : If x > 7 Then x = 0 : y = y + 1 Wend If a(m) = 1 Then If x > 5 Then dame = 1 ElseIf b(f(x + 1, y)) + b(f(x + 2, y)) > 0 Then dame = 1 Else dame = 0 End If Else If y > 5 Then dame = 1 ElseIf b(f(x, y + 1)) + b(f(x, y + 2)) > 0 Then dame = 1 Else dame = 0 End If End If If dame = 0 Then If m < 21 Then Call saiki(m + 1) Else Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1 Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = n For j = 1 To 21 Cells(Cells(1, 1).Value, j + 2).Value = a(j) Next j a(0) = 1 End If End If a(m) = a(m) + 1 Wend End Sub Private Function f(ByVal x As Integer, ByVal y As Integer) As Integer f = y * 8 + x + 1 End Function |
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3月14日（月） 14:25:56
44266 |