しましま
3,4年前？の開智中学校先端Aの問題によく似ていますね。
美しくすっきりしました。
　　 4月14日（木） 0:08:14　　 　　44348
ベルク・カッツェ
正九角形の各辺の内側に正三角形をくっつけると、中にちょうど正九角錐の展開図がぴったり入ります。
　　 4月14日（木） 0:10:15　　 　　44349
Mr.ダンディ
ベルク・カッツェさんの #44349 にあるものと同じ図を描いて　求めました。
　　 4月14日（木） 0:32:57　　 　　44350
みかん
この手の問題は「別の図形に埋め込む」か「正三角形方眼紙に書き込む」で
解けることが多いんだけど（今回は前者で解ける）、正攻法では解けませんでした。

正六角形などに比べて正九角形はフリーハンドで書いて作業しづらい、というのが
どう考えても大きなネックとなってしまいますね。
　　 4月14日（木） 0:36:33　　 　　44351
すぐる学習会
算数オリンピックの本の表紙に，似ている問題が載っていました。
それにしても，Ｘデー(第１０００)回が近づいてきましたね。楽しみ楽しみ。
予想としては，１２月１５日くらいかなあ…。
１２月末や１月だとリアルタイム参加できないので悲しいです。
　　 4月14日（木） 0:45:05　　 　　44352
今年から高齢者
三角関数を使って求めました。
算数での方法はこれから．．．．
　　 4月14日（木） 1:43:56　　 　　44353
今年から高齢者
やっと．．．．。第13回の問題に頂角20度の二等辺三角形を正9角形へはめ込んで正三角形を作ることを利用する方法があることを思いだしました。

正9角錐の底面を中心oと頂点を結んで9個の三角形に分割する。
この一つ��oabと、側面の三角形の1つ��xab（xは正9角錐の頂点）を外向きにくっつけて、対称な2つの三角形��xoaと��xobに分割する。
一方、正9角形を中心Oと一辺ABで作られた��OABを考える。
��OABの中にABを一辺とした正三角形��ABCをつくると、
角度（10°と20°）と辺の長さ（xa＝AC）から、��xoa≡��AOC、同様にして��xob≡��BOC
��OABから四角形xaobを引くと、正三角形ABC（＝4cm2）が残る。
これが9つなので、4*9=36 cm2

ベルク・カッツェさん#44349やMr.ダンディさん#44350の方法が判りやすくて良いですね。
あー、しんどかったけれど、算数で解けてほっとしました。やはり疲れたら風呂に入ってみるものです。
　　 4月14日（木） 7:51:03　　 　　44354
ゴンとも
図1から赤い線の長さはx^2*sqrt(3)/4=4 x=4/3^(1/4)　より
図3=36/(sqrt(3)*tan(20*%pi/180))
図2=72*sin(20*%pi/180)/sqrt(3)+9*16*sin(10*%pi/180)^2/(sqrt(3)*tan(20*%pi/180))
図3-図2は　XMaxima で

trigsimp(trigreduce(trigsimp(36/(sqrt(3)*tan(20*%pi/180))-72*sin(20*%pi/180)/sqrt(3)-9*16*sin(10*%pi/180)^2/(sqrt(3)*tan(20*%pi/180)))))$
factor(%/(4*3^(3/2)))$
factor(expand(ev(%,cos(2*%pi/9)=2*cos(%pi/9)^2-1,sin(%pi/9)=sqrt(1-cos(%pi/9)^2))))$
factor(num(%)^2-3*denom(%)^2)$
trigsimp(trigexpand(cos(3*a)))$
ev(%,a=%pi/9)$expand(part(%o4,2)-2*(%-1/2))$expand(4*3^(3/2)*sqrt(3));36・・・・・・(答え)
豊川市　　 4月14日（木） 5:15:51　　 　　44355
Jママ
おはようございます
昨夜は眠気に堪えられず…
ベルク・カッツェさんやMr.ダンディさんと同様な図で考えました
気がつけば難しくないですね
良い問題だと思いました
　　 4月14日（木） 8:45:30　　 　　44356
CRYING DOLPHIN
描いてみた。美しい図形ですね
ttp://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/san1-q969-sei3sei9patapata.png
誰もいない市街地　　 4月14日（木） 9:33:42　　 HomePage:ブログもある。　　44357
「数学」小旅行
三角関数を使って求めたのですが、
36/√3×(2cos40°-cos20°)/sin20°となり、
後半の三角関数の値を求めるのに四苦八苦！！

三角関数で解かれた方、どんな変形をして求めたのか教えてください。

思いあまって、wxMaximaで、、、
(2*cos(2*%pi/9)-cos(%pi/9))/sin(%pi/9);
float(%), numer;
として、
1.732050807568877
これは√3ではないですか！！　で、無事（？）に36になりました。
　　 4月14日（木） 11:00:32　　 　　44358
CRYING DOLPHIN
#44358
cos40°＝cos(60°-20°)
＝cos60°cos20°+sin60°sin20°
＝cos20°/2+(√3sin20°)/2

(2cos40°-cos20°)/sin20°
＝(2(cos20°/2+(√3sin20°)/2)-cos20°))/sin20°
＝(cos20°+√3sin20°-cos20°)/sin20°
＝(√3sin20°)/sin20°＝√3

三角関数では解いてないけど(
誰もいない市街地　　 4月14日（木） 11:20:57　　 HomePage:ブログもある。　　44359
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは簡単でしたね。算チャレとしても易しい方でしょう。
こんな感じで。

図２の正９角すいの展開図を考えれば，その面積が正９角すいの表面積になります。
その展開図には中央に正９角形があってその各辺に外側にマッチ棒を等辺とする二等辺三角形がくっついているものを選びます。
すると，二等辺三角形の間の角度は，
360°- 正９角形の１つの内角 - 二等辺三角形の底角 * 2 = 360°- 140°- 80°* 2 = 60°，
となるので，二等辺三角形の頂角の頂点を結べば，図１の正三角形をはめ込んだ図３の正９角形になります。
そこで，
図２の正９角すいの表面積と図３の正９角形の面積の差 = 図１の正三角形９個分 = 4 * 9 = 36 cm^2，
になります。

数学でごちゃごちゃと解く解法はもちろんあり得ますが，算数解法は他にあるのかな？
　　 4月14日（木） 11:34:44　　 　　44360
ゴンとも
#44358
>三角関数で解かれた方、どんな変形をして求めたのか教えてください。

#44355
変形の仕方は XMaxima で$を;をする等して説明すると

4*3^(3/2)*(2*cos((2*%pi)/9)-cos(%pi/9))/sin(%pi/9)　において
(2*cos((2*%pi)/9)-cos(%pi/9))/sin(%pi/9)=sqrt(3)　とおいて
(4*cos(%pi/9)^2-cos(%pi/9)-2)/sqrt(1-cos(%pi/9)^2)=sqrt(3)
4*cos(%pi/9)^2-cos(%pi/9)-2=sqrt(3)*sqrt(1-cos(%pi/9)^2) 　両辺正だから2乗して
(4*cos(%pi/9)^2-cos(%pi/9)-2)^2-(sqrt(3)*sqrt(1-cos(%pi/9)^2))^2　左辺-右辺,因数分解して
(2*cos(%pi/9)-1)*(8*cos(%pi/9)^3-6*cos(%pi/9)-1)=0
(∵4*cos(%pi/9)^3-3*cos(%pi/9)=cos(60°)=1/2)　より
(2*cos((2*%pi)/9)-cos(%pi/9))/sin(%pi/9)=sqrt(3)は成り立ち これと最初の式とより
4*3^(3/2)*(2*cos((2*%pi)/9)-cos(%pi/9))/sin(%pi/9)=36・・・・・・(答え)
豊川市　　 4月14日（木） 12:21:12　　 　　44361
にこたん
みなさんと同じだと思います。
正９角すいを開いて、隙間の正三角形９個分。
　　 4月14日（木） 12:37:14　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44362
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

今回は，説明の違いはあるものの，皆さん同じで，
図３の正９角形の各辺の内側に図１の正三角形をくっつけると残りが図２の正９角すいの展開図になる，
という解法のようですね。

なお，#44358
＞三角関数で解かれた方、どんな変形をして求めたのか教えてください。
既に#44359にあるようですが，私だったら例えばこんな感じかな。

マッチ棒の長さを 2a，角度の単位は「°」，とします。
図１，2a * (√3)a * 1/2 = √3 * a^2 = 4，
三角比の定義と面積の公式より，
図２の正９角すいの表面積と図３の正９角形の面積の差
= a/sin(20) * a/sin(20) * sin(40) * 1/2 * 9 - (2a * 2a * sin(20) * 1/2 + 2asin(10)/sin(20) * 2asin(10)/sin(20) * sin(40) * 1/2) * 9
sin の倍角の公式より，
= 9a^2 * (cos(20)/sin(20) - (2sin(20) + 4(sin(10))^2 * cos(20)/sin(20)))
sin の半角の公式より，
= 9a^2 * (cos(20)/sin(20) - (2sin(20) + 4((1 - cos(20))/2) * cos(20)/sin(20)))
= 9a^2 * (2((cos(20))^2 - (sin(20))^2) - cos(20))/sin(20)
cos の倍角の公式より，
= 9a^2 * (2cos(40) - cos(20))/sin(20)
= 9a^2 * (cos(40) + (cos(40) - cos(20)))/sin(20)
和積の公式より，
= 9a^2 * (cos(40) - 2sin(30)sin(10))/sin(20)
sin だけにそろえて，
= 9a^2 * (sin(50) - sin(10))/sin(20)
和積の公式より，
= 9a^2 * (2cos(30)sin(20))/sin(20)
= 9a^2 * 2cos(30)
= 9a^2 * √3
= √3 * a^2 * 9
= 4 * 9
= 36 cm^2，
になります。
　　 4月14日（木） 13:12:14　　 　　44363
「数学」小旅行
#44363
ありがとうございました。なるほど。。。です。

> = 9a^2 * (cos(40) - 2sin(30)sin(10))/sin(20)
> sin だけにそろえて，
> = 9a^2 * (sin(50) - sin(10))/sin(20)

sinだけにそろえての部分の発想が出てこなかったことが悔やまれます。m(_ _)m
　　 4月14日（木） 13:15:32　　 　　44364
「数学」小旅行
#44359
前後しましたが、cos40°をcos20°を使って表すという発想もできなかったのが悔やまれます。m(_ _)m

皆さん本当にすごいですね。ありがとうございました。
　　 4月14日（木） 13:20:57　　 　　44365
「数学」小旅行
#44361
ありがとうございました。
3倍角の公式で、20°を60°にして行くあたり、着眼に感服しました。
xMaximaをもっと勉強したいと思いました。
　　 4月14日（木） 13:31:28　　 　　44366
Recall
久々に入れた気がします…
やっぱり展開して正三角形をはめ込んで正九角形を作るのが簡単だと思いますね
　　 4月14日（木） 19:39:54　　 　　44367
あめい
算数で浮かばず、三角関数で挑戦し、３倍角そんなのあったなぁと止まり、正解率の高さ・正答者の多さにきっと簡単に求める方法があるに違いないと・・・やっとみなさんの図３の正９角形の中に図２の展開図がはまる形に思い至りました。CRYING DOLPHINさんがおっしゃるとおり、美しい図形ですね。
　　 4月14日（木） 20:04:40　　 　　44368
今年から高齢者
#44358>三角関数で解かれた方、どんな変形をして求めたのか教えてください。
私も最初は三角関数で求めました。複雑で途中でギブアップしようかとも思ったのですが、角度の項がうまく消えました
uchinyanさん#44363と同じように（但しマッチ棒の長さをxとした）
(9x^2/4)(2cos(40)-cos(20))/sin(20)
まで求めて、40=30+10、20=30-10として、分解すると、
分母と分子の角度の項が共に、cos(10)−√(3)sin(10)となって消えました。
　　 4月14日（木） 20:36:21　　 　　44369
fumio
お久しぶりです。図書いたら解けました。（笑）
いよいよ1000回ですね。すごいね！マサルさん。
今年も大阪オフミ楽しみにしています。
ではでは、お元気で。
　　 4月15日（金） 0:53:28　　 　　44370
fumio
追伸　44346読みました。すみません。
無理しないでください。マサルさん。
　　 4月15日（金） 0:56:54　　 　　44371
数樂
展開図書いてやったらできました。
徳島　　 4月15日（金） 9:49:26　　 HomePage:数樂　　44372
スモークマン
なはっ^^;
ちょい勘違いしてました…表面積でしたのね ^^;;
奇麗な意匠ねぇ☆
4*9=36♪
金即是空 ^^;v　　 4月15日（金） 20:57:15　　 　　44373
マサル
オフミですが、行けそうです。この時期のアナウンスになりましたので、こじんまりした感じになりそうですが、一応、5/2の夕方〜で実施いたします。
MacbookPro　　 4月17日（日） 14:56:44　　 　　44374