カーショー
��ACDを点Aを中心に右へ60度回転させる
が模範解答なんですかね
　　 5月19日（木） 0:42:50　　 　　44464
景
難しかったです。
ABFと合同な直角三角形をBCの上にくっつけてBCEとでもすると
BEFとCDEが正三角形でCDFやBDFが二等辺三角形になって後は適当に

宝塚　　 5月19日（木） 0:49:04　　 　　44465
baLLjugglermoka
今回の問題は、算チャレにしては易しかったですね。易しい割に参加者が少ないのは、少し気になりますが。
　　 5月19日（木） 1:53:36　　 　　44466
紫の薔薇の人
まず、△AFD≡△CDAより、∠FAD＝∠DCA

AF=CD
AC=CB
∠FAC＝60°+∠FAD＝60°+∠DCA＝∠DCB
より、△ACF≡△CBD

よって、∠ACF＝∠CBD

よって、
∠ABD+∠ACF=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°

星型ABDFCの内角の和は180°だから、
∠FDB＝180-60-60-33=27°

C,D,FをAを中心に60°回転すると、

C’はBに一致し、FBD'Aは長方形になり、△F'FAは正三角形になるから、
F'は、FAの垂直二等分線上にあり、△F'C'D'は、F'C'＝F'D'の二等辺三角形になる。
したがって、FC=FDで、△FCDも二等辺三角形が見えてきます。
だから、∠ADB=90-(180-33)/2+27=43.5°

　　 5月19日（木） 1:57:22　　 　　44467
今年から高齢者
易しいと言われている方もありますが、私には難しかった。
��ＦＣＤが二等辺三角形であることが判れば、∠ＡＤＦ＝３３／２
辺にもＢＣをくっつけて大きな正三角形を作れば、∠ＢＦＤ＝２７が求められる。
��ＦＣＤが二等辺三角形であることは、次のように考えました。
��ＡＦＤをＡＤを軸にひっくり返すと（Ｆの移動先をＧとしてＦＤ＝ＧＤ）、平行四辺形ＦＣＤＧができてＦＣ＝ＧＤ（＝ＦＤ）。

先に大きな正三角形を作るのが先で、平行四辺形を証明するのがその後でした。
平行四辺形ＦＣＤＧが判れば、「��ＦＣＤが二等辺三角形」を使わないで、平行四辺形の方から直接３３／２が出てきました。
ごちゃごちゃしているのは、苦労した結果です。
　　 5月19日（木） 14:57:02　　 　　44468
数樂
難しかったです。円周角が絡むのかと考えました。それじゃなきゃ二等辺三角形かなって・・・
徳島　　 5月19日（木） 10:36:09　　 HomePage:数樂　　44469
Mr.ダンディ
BD,CFの交点をEとすると
△BDC≡△CFA　となり　　
BE＝∠BCF＋∠DBC＝∠BCF＋∠ACF＝60°
∴　∠FDB＝60°−33°＝27°
∠FAD=150°となるから
∠FAG＝90°、AD=AG　となる点Gを　△ABCないにとると
△ADGは正三角形
すると-
△FBC≡△DGF　となり　FC=FD
∠FDC＝{180-33)/2}°＝73.5°
∠ADB＝(90°−73.5°)+27°＝43.5°
　　 5月19日（木） 11:21:02　　 　　44470
Jママ
こんにちは
解きごたえのある問題でした
なんとかたどり着きました
途中まではMr.ダンディさんと一緒です
かなりお見苦しい図ですみません
http://www.fastpic.jp/images.php?file=6060712959.jpg

△AFC≡△CDBなので∠ACF=∠CBD
BDとCFの交点をEとすると
∠EBC+∠ECB=∠ACF+∠FCB=60゜=∠FEB=∠CFD+∠BDF
よって∠BDF=60-33=27゜
△ADFをADで折り返してできた三角形を△ADGとすると
∠FAG=60゜よりAF=AG=FG, すなわちFG=CD
《uchinyanさんのご指摘により抜けを修正》
★ココから↓
また、FAとCDの延長線上の交点をPとすると
∠FAD=150゜,∠PAD=30゜,∠PDA=90゜なので
∠FPC=∠APD=60゜=∠PFG　よって　FG//CD
四角形FCDGは平行四辺形である　よって
↑ココまで★
FC//GD、錯角なので∠FDG=∠CFD=33゜
∠ADF=33/2゜
よって∠ADB=27+33/2=43.5゜

あ、後半は今年から高齢者さんと同じでしたね(^^;

　　 5月19日（木） 18:23:24　　 　　44471
にこたん
27+33/2と勘で・・・（汗
　　 5月19日（木） 12:45:10　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44472
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，久しぶりに考え込みました。気付けば「あ，なんだそうか」という感じもあるのですが。
久しぶりのまっとうな平面図形の問題で勘が鈍っているのかな。もっとも正解率も低く難問のようですね。
いろいろ考えた挙句，あ！，とひらめいて，こんな感じ。

まず，FB = DA，FA = DC，BA = AC，より，△FBA ≡ △DAC，です。
また，∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = ∠CBA + ∠ABF = ∠CBF，BA = CA，AD = BF，△BAD ≡ △CBF，となって，
？ = ∠ADB = ∠BFC，です。そこで，以下では ∠BFC を求めます。
△FBA を B を中心に時計回りに回転し A を C に重ね F の移動先を E とします。
∠FBE = ∠ABC = 60°，BE = BF，より，△BFE は正三角形で，FE = BF，
△EBC ≡ △FBA ≡ △DAC，なので，
△EBC は △DAC を C を中心に反時計回りに回転し A を B に重ねたものにもなっており，
∠DCE = ∠ACB = 60°，CE = CD，より，△CDE も正三角形で，ED = CD，です。
すると，FA = CD = ED，AD = BF = FE，となって，□AFED は平行四辺形で，
∠FED = ∠FAD = ∠FAB + ∠BAC + ∠DAC = ∠FAB + ∠BAC + ∠FBA = (∠FAB + ∠FBA) + ∠BAC = 90°+ 60°= 150°，
∠FEC = ∠FEB + ∠BEC = 60°+ 90°= 150°= ∠FED，EC = ED，△EFC ≡ △EFD，FC = FD，となって，
△FCD は FC = FD の二等辺三角形になり，∠FCD = ∠FDC = (180°- ∠CFD)/2 = (180°- 33°)/2 = (147/2)°，
∠FDE = ∠FDC - ∠EDC = (147/2)°- 60°= (27/2)°，∠AFD = ∠FDE = (27/2)°，
∠BFC = ∠AFB - ∠AFD - ∠CFD = 90°- (27/2)°- 33°= (87/2)°，です。
そこで，最初に示したことから，？ = ∠ADB = ∠BFC = (87/2)°，になります。

直接に ∠ADC を求めずに ∠BFC を求めるのは回り道かも知れません。
このことを意識したバリエーションとしては，
BD と CF は 60°をなす，∠BDF = 27°，同じように △EBC を作り，□AFED は平行四辺形，△DBF は二等辺三角形，
より，？ = ∠ADE + ∠BDF/2 = 30°+ 27°/2 = (87/2)°，とした方がいいかな，という気もしています。
ここでは，一応，最初に思い付いた解法を書いておきました。
さらに，若干の細かいバリエーションはいろいろとありますね。

最初，△EBA 又はそれを裏返したものを △ABC の外側に作ることを考えていたのですが，
詰め切れませんでした。
この方向，又はそれ以外の解法はどうなんでしょうか。
読み解くのが大変そうですが，掲示板を見るのが楽しみ。
　　 5月19日（木） 14:25:07　　 　　44473
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

#44464
＞��ACDを点Aを中心に右へ60度回転させる
＞が模範解答なんですかね
という解法。詳細は不明。
うーむ，模範解答，と言うからには簡単なのだろうけれど，よく分からず。
多分，右，ではなくて，左，ではないのかな，又は A から見て右＝時計回り。
こういうことならば#44480と同じで，確かに模範解答といってもよさそうですね。

#44465，#44473
△ABF と合同な三角形を BC 上 △ABC の内部に作り正三角形や平行四辺形を作り考える解法。

#44467
∠FDB = 27°を示し C，D，F を A を中心に時計回りに 60°回転して考える解法。
若干書き間違いがあるかなぁ。
長方形＋正三角形の辺りは何か算数ぽくていいですね。

#44468＋#44477
△AFD を AD を軸にひっくり返し平行四辺形を作り △FCD が二等辺三角形を示して解く解法。
個人的には平行四辺形ができる辺りが，結果は正しいですが，論理的にちょっとピンと来ないです (^^;
下の#44471へのコメントを参照願います。
その後，#44477で説明の追加がありました。これならば納得です。

#44470
∠FDB = 27°を示し ∠FAG = 90°，AG = AD となる点 G を取って △FCD が二等辺三角形を示して解く解法

。

#44471
#44470＋#44468という感じの解法。ただし，詳細は少し違うようです。
ただ，ごめんなさい，
＞∠FAG=60゜よりAF=AG=FG, すなわちFG=CDなので
多分，□GFCD は平行四辺形になり，
＞FC//GD、錯角なので∠FDG=∠CFD=33゜
ということなのでしょうが，FG = CD だけでは無理でしょう。
GD = FC は使えないので，FG//CD を示すのかな，と思いますが，明らかなのでしょうか。
私だったら，FA と CD のそれぞれの延長の交点を P とすると，
∠FAD = 150°，∠PAD = 30°，∠ADP = 90°，∠FPC = ∠APD = 60°= ∠PFG，FG//CD，
としたいところですが．．．
その後，追加修正が入ったようですね。

#44478
△FAB と合同な △GBC を △ABC の外部に作ると，△DFG は正三角形，∠DCG = 150°，となって，
C は F を中心とする円の円周上にあり，FC = FD，△FCD が二等辺三角形，と示して解く解法。

#44480
△ACD を A を中心に時計回りに 60°回転し長方形と正三角形を作り △DBF が二等辺三角形を示して解く解

法。

なお，
#44466
＞今回の問題は、算チャレにしては易しかったですね。易しい割に参加者が少ないのは、少し気になります

が。
うーむ，人によって得意不得意があるので何とも言えませんが，
前回とかと比べて，易しい，ということはなさそうに思います。
　　 5月20日（金） 12:57:12　　 　　44474
マサル
今回の問題、元ネタは、こちらでした。焼き直し、です。

http://www.sansu.org/kakomon/toi015.html
MacbookPro　　 5月19日（木） 18:15:48　　 　　44475
Jママ
#44474
uchinyan 様
ご指摘の通りです
FG=CD　かつ　FG//CD　で
平行四辺形なので　FC//GD　…
となります。
図を含め修正させていただきました。
お手数おかけしましたm(__)m
ありがとうございます(*^^*)
　　 5月19日（木） 18:28:06　　 　　44476
今年から高齢者
#44474
>FG = CD だけでは無理でしょう。 GD = FC は使えないので，FG//CD を示すのかな，と思いますが，明らかなのでしょうか。
かなりサボった説明になっていました。色々と悩んだ末に辿り着いたものとして容赦！！
��ACDと同じものを、BCにくっつけて、��CBEとする。
��AFDをADを軸に反転させて、ADGとする。
正三角形ABCの中心を中心にして60°回転させた対称性より、��EDFは正三角形、��FCD≡��DBE。
故に、∠EDB=∠DFC=33°。故に、∠BDF=60-33=27°∠AFD=●とすると
また、FG=CDで且つ（∠GFD=∠CDF=60+●と錯角が等しいので）FG//CDとなり、四角形FCDGは平行四辺形となる。

　　 5月19日（木） 19:24:06　　 　　44477
スモークマン
やっと△CDFが二等辺三角形であることがいえましたぁ ^^
最初は決めて考えてました…^^; Orz
http://www.fastpic.jp/images.php?file=4018733023.png

△DFGは正三角形
角DCG=150°
So…
Fが中心でFD=FGが半径の円周上に
Cは存在してるので…
FD=FC
So…
角ADF=90-(180-33)/2=16.5°
So…
角AFD=30-16.5=13.5°
So…
角BFC=90-(33+13.5)=43.5°

^^v
金即是空 ^^;v　　 5月19日（木） 19:25:16　　 　　44478
にこたん
#44475
マサルさん
元ネタ問題見ほれました。(+o+)
　　 5月19日（木） 19:52:16　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44479
けーすけ
△ＡＣＤを、Ａを中心に時計回りに60度回転させて△ＡＢＥを作ると、
四角形ＡＦＢＥは長方形、△ＡＤＥは正三角形なので、
△ＢＤＦは二等辺三角形になりますね。
気付いたのはだいぶ後になってからですが。。
　　 5月20日（金） 7:00:13　　 　　44480
uchinyan
#44476　Jママさんへ
コメントをありがとうございます。
FG//CD はパッと見には明らかぽくないのですが，いろいろな方法で容易に示すことはできます。

#44477　今年から高齢者さんへ
詳細な説明をありがとうございます。
なるほど，よく分かりました。これならば納得です。
　　 5月20日（金） 12:58:03　　 　　44481
uchinyan
皆さんの解法も参考にして算数ぽい考え方でまとめてみた解法です。

△ABF と FC をまとめて A を中心に反時計回りに 60°回転し AB を AC に重ね，
F，C の移動先を E，G とします。
すると，△AFE は正三角形，□AECD は長方形，EG//BD，です。
(EG//BD の論理的根拠は厳密には △AFC ≡ △CDB ですが算数では対称性より直感的に明らかでもいいでしょう。)
そこで，対称性より，△FCD は二等辺三角形で，F から CD に垂線を下ろしその足を H とすると，
FH は ∠CFD の二等分線，∠DFH = ∠CFD/2，AD//FH，∠ADF = ∠DFH = ∠CFD/2，です。
一方で，EG//BD は元に戻した FC と BD のなす角度が 60°ということを意味しているので，
∠CFD + ∠BDF = FC と BD のなす角度 = 60°，∠BDF = 60°- ∠CFD，です。
そこで，
？ = ∠ADB = ∠ADF + ∠BDF = ∠CFD/2 + (60°- ∠CFD) = (120°- ∠CFD)/2，
になります。

この問題では，∠CFD = 33°なので，？ = (120°- 33°)/2 = (87/2)°，ですね。
　　 5月20日（金） 13:02:51　　 　　44482
てらしま
二等辺三角形が言えればいいんですよね。ほかの方も同じ方法をとっているかもしれませんが自分のやり方を書いてみます。
まず、BDとFCは合同から長さは同じ、２つの線分の作る角は三角形AFCと三角形CDBの回転角で、ACとCBの作る角に等しいので60度（小さいほうが）になります。
Bから左下にCDと同じ向き・長さの線分BGをとって平行四辺形BDCGを作ります。
すると角FCBは平行線の錯角から60度、さらにBD=GC＝ACより、三角形FCGは正三角形。
角FBGは、360−60−角FBA−角BCDとなります。
角BCD＝60+角ACD、角ACD＝角FABより、角FBAと角BCDの和は150度になり、角FBGは150度です。
ところで、角FADは60＋角FAB＋角DAC＝60＋角FAB＋角FBAより150度であり、
上記よりAF=BG、AD=BF、挟まる角度が同じなので、三角形FBGと三角形DAFは合同です。よってFG＝DF。正三角形よりFG=CFだからFDCは二等辺三角形。
以下、角FDC=73.5度、角ADF＝16.5度、角FDB＝60−33＝27（度）より43.5度です。

結局合同条件を使ってしまいました…。
　　 5月23日（月） 2:01:40　　 　　44483
てい
正三角形ＡＤＥに気づいた。何で点Ｅがないのかと思ってた。
　　 5月23日（月） 5:57:19　　 　　44486
新中2N.K.
今日、学校の授業中に考えていた者ですww
今回の問題はいつもより難しく感じました。
　　 5月23日（月） 21:00:09　　 　　44487
中1
結構楽しめました^_^
解くのに3，4分かかってしまいました((汗
難問だったのではないでしょうか。
ご意見お願いします。
　　 5月24日（火） 21:35:20　　 　　44488
通りすがりの中1
名前変えました。
ちょっと問題を考えたので暇つぶしにどうぞ^_^
問:全ての一辺が2cmで、面に最低一つ、正六角形を含む立体のなかで、最も体積の小さいものについて。
(1)辺の本数を答えよ。
(2)この立体から、2つ頂点を選び、選んだ2点に、長さが2cmで、先端にインク玉の付いたひもをそれぞれつけます。そのインク玉でこの立体の表面を塗る時、最大で何cm^2の範囲を塗れますか。ただし、インク玉の大きさは無視出来るものとします。
　　 5月24日（火） 22:01:21　　 　　44489
通りすがりの中1
訂正
「全ての一辺」ではなく、「全ての辺」です。
　　 5月24日（火） 22:02:51　　 　　44490
ベルク・カッツェ
なんか難しそうなのであとでやろうと思っていたらいつの間にか一週間。
△ＦＣＤが二等辺三角形と示せばよかったんですね。
　　 5月25日（水） 0:47:08　　 　　44491
Jママ
#44489
底面六角形、上の面が三角形の立体ですか？
辺の数は15本？
面積は、算数で解いたけど円周率だけπにすると
16π/3+4 cm^2 かな？
六角形の反対側の頂点どうしだと6π、
一つを三角形の頂点にすると上記で、比べましたが…
かなり急いだので自信は全くないです。

今夜から明日にかけてはなかなか来られそうにないなあと思って来てみただけなので…(>_<)。
　　 5月25日（水） 16:14:36　　 　　44492
通りすがりの中1
#44492
π＝3.14の表記を忘れていました。
すいませんm(>_<)m
(1)は正解です！
(2)は物凄く惜しいです！恐らくケアレスミスだと思います。
ちなみに同級生に解かせて見たところ皆(1)から手付かず、といった感じでした。
算数王国　　 5月25日（水） 20:55:04　　 　　44493
通りすがりの中1
もう直問題が更新されるので答えを載せておきます。
(1)15本
(2)19.7cm^2(5π＋4)
です。

算数王国　　 5月25日（水） 21:01:19　　 　　44494
Jママ
#44493, #44494
やはりミスってましたか(^_^;)
今は時間がないのであとで見直しておきます。
問題が作れるってスゴいことだと思います。
　　 5月25日（水） 22:18:07　　 　　44495
Jママ
#44493
今確認しました。
三角形の頂点と六角形の頂点を足して重複を引くところを
なぜか三角形の頂点二つ分から重複を引き算してました(^_^;)
ありがとうございました。
　　 5月25日（水） 22:34:29　　 　　44496