ベルク・カッツェ
あけましておめでとうございます。
重なる部分を考えると、正八面体になります。
これを立方体の各面の中心が各頂点になるようにはめ込むと、1ｃｍは立方体の一辺になり、求める正八面体の体積は1×1×1×（1/2）×（1/3）＝1/6とまります。
最初は難しそうに見えましたが、重なる様子というか、正四面体の切断をイメージさえできれば意外に簡単でした。
　　 1月5日（木） 0:11:41　　 　　45786
大阪の小５
あけましておめでとうございます。
１００２回おめでとうございます。
　　 1月5日（木） 0:22:38　　 　　45787
今年から高齢者
あけましておめでとうございます。
本年もよろしく御願いします。
さて、今回の問題ですが、#45786ベルク・カッツェさんと同じ（類似）でした。
一つの正四面体で考えると、QBは対向する辺の中点間の距離であり、
立方体にはめ込めば、立方体1辺の長さであることがわかる。
（正四面体2個の8つの頂点は立方体の頂点になることがもっと早く判れば良かったのですが．．．）
一辺1cmの立方体の4頂点を共有する正四面体は1/3 cm3。
その4隅から一辺1/2cmの大きさの正四面体4つを切りおとして、その半分になる。
故に、(1/3)/2=1/6
　　 1月5日（木） 9:57:25　　 　　45788
スモークマン
1002問目は...気づけましたぁ ^^
みなさんと同じですが...
もとの正四面体の1辺の長さを2aとして...
a^2*((√3)^2-1^2)=2a^2=1
求めるものは…a^2*1/3=1/6・・・四角錐(底面a^2の正方形,高さ1/2)の底面がくっついたもの

空間図形は頭の体操になります♪
　　 1月5日（木） 0:59:19　　 　　45789
みかん
今年もよろしくお願いします

重なる部分は正八面体で、内部の対角線が１ｃｍ。
底面積（１／２）×高さ（１）×（１／３）＝１／６

「正四面体の頂点を切り落とすと正八面体になる」というのはナキイルカさんの出題で
紙工作をして確かめた気が・・・。うーん、懐かしいです。
　　 1月5日（木） 1:04:13　　 　　45790
紫の薔薇の人
四面体の体積をVとすると、求める体積Wは、
四面体2個から、縮尺1/2の四面体８個を引いて２で割ったものだから、

W=(2V-1/8V*8)/2＝V/2

一方、正四面体の一辺をaとすると、
V=(√2/12)*a^3

平面QSR//平面BCDでその間隔は四面体の高さh=(√6/3)aの半分
であり、Qから平面BCDに下ろした垂線の足をTとすると、
QT＝h/2＝(1/√6)a

そして、AおよびPから平面BCDに下ろした垂線の足をO(共通)とすると、
Oは、△BCDの重心であり、△OBTは正三角形になり、
BT＝BO＝(1/√3)a

BQ^2＝BT^2+QT^2＝1を解いて、a=√2

従って、W＝V/2＝(√2/24)*(√2)^3＝1/6
//

別解
正四面体A-BCDは、立方体BQAS-PCRDに一致し、求める立体は、
立方体の各面の頂点を結んでできる正八面体であり、この体積は、
立方体の1/6である。
立方体の一辺はBQ＝１だから、求める体積は1/6
//

　　 1月5日（木） 1:08:32　　 　　45791
baLLjugglermoka
立方体に内接する正四面体は体積が1/3。共通部分はその半分で1/6。
今年も宜しく😃✌
　　 1月5日（木） 1:13:17　　 　　45792
紫の薔薇の人
タイポ修正

別解
正四面体A-BCDに外接する立方体は、立方体BQAS-PCRDに一致し、求める立体は、 立方体の各面の頂点を結んでできる正八面体であり、この体積は、
立方体の1/6である。
立方体の一辺はBQ＝１だから、求める体積は1/6
//
　　 1月5日（木） 1:13:47　　 　　45793
ゴンとも
合同な正四面体の一辺をaとして
座標にA(0,-sqrt(3)*a/6,sqrt(6)*a/3)(ここは三平方2回でだしましたが計算は略)
B(-a/2,0,0),C(0,-sqrt(3)*a/2,0)
辺ABの中点(-a/4,-sqrt(3)*a/12,sqrt(6)*a/6),辺ACの中点(0,-sqrt(3)*a/3,sqrt(6)*a/6)
点Q(-a/2,-sqrt(3)*a/3,sqrt(6)*a/6)　ここでBQ=1より三平方で
(-sqrt(3)*a/3)^2+(sqrt(6)*a/6)^2=a^2/3+a^2/6=a^2/2=1 より
a^2=2 a=sqrt(2)・・・・・・(1)
ここで合同な正四面体の共通部分は正四面体と相似で辺がすべて1/2(体積は1/8)が4個
を引いたものだから共通部分は合同な正四面体の体積の1-4/8=1/2倍
一辺aの正四面体の体積の半分は(a^2*sqrt(3)/4)*(sqrt(6)*a/3)/6=a^3*3*sqrt(2)/72
これと(1)とより2*sqrt(2)*3*sqrt(2)/72=12/72=1/6・・・・・・(答え)
豊川市　　 1月5日（木） 2:34:15　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　45795
dyslexia
問題の図だけを見ると 超難しそうですが 正四面体の中には 正八面体が 隠れている
という知識があれば 簡単ですね。
　　 1月5日（木） 10:41:34　　 　　45796
Mr.ダンディ
AB,AD,QR,BDの中手をそれぞれE,F,G,H　とすると
△EQB≡△ESA　∴QB//AS　、QB=AS　同様にして　AS//RD　、AS=RD
よって
QB//ARD　、QB=RD　となり　四角形QBDRは平行四辺形
GH=QB=1
したがって　
共通部分の立体は　対角線の長さが1(cm)である　正８面体
あとは、機械的に計算して　1/6（cm^3)　が求められる。　

以上のように解きました。
（苦手な空間図形、何とか乗り切りました）
--------------------
マサル様、皆さま
明けましておめでとうございます。
本年もよろしくお願いいたします。
　　 1月7日（土） 10:51:56　　 　　45797
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，これはある程度心得があれば瞬殺ですが，全く予備知識なしの初見だと立体をイメージできず苦労するかも知れません。
ただ，数学の空間座標を使えて対称性を考慮して座標におければ少しずつ状況が分かり解けるでしょう。
算チャレとしては，多分受験算数もですが，これぐらいは常識との期待を込めて，標準的かやや易，どちらかというと易の方，かな。
こんな感じで。

正四面体は立方体から切り出すことができます。
このことを思い出せば，この２つの正四面体は BQ = 1 cm を１辺とする立方体に埋め込める，と分かります。
このとき，正四面体の各辺は立方体の各面の対角線で，正四面体の各辺の中点は立方体の各面の中心です。
そこで，２つの正四面体の重なっている部分は立方体の各面の中心を結んだ正八面体と分かり，
求める体積 = (1 * 1 * 1/2) * 1 * 1/3 = 1/6 cm^3，
になります。

常連さんにはお年玉といったところかな。
また，どうせなら BQ = 3 cm とかでもよかったかも (^^;
　　 1月5日（木） 11:53:37　　 　　45798
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

算数解法は，若干のバリエーションはありますが，結局は皆さん同じで，
１辺が BQ = 1 cm の立方体に埋め込んで考える，
だと思っていいでしょう。

なお，正四面体の四隅から辺の長さが半分の正四面体を切り落とすと正八面体になる，
というのも立方体をベースに考えれば明らかな結構有名な事実で，
覚えておいて損はないですね。
　　 1月5日（木） 12:20:14　　 　　45799
みみずくはクズ耳
図形が続くと思ったら、今度は立体ですね。
正四面体の体積の半分はすぐ分かったけど、
正四面体の体積を忘れていたので、
ググりました。
立方体に埋め込むんですね。
　　 1月5日（木） 13:55:44　　 MAIL:mae02130@nifty.com 　　45800
にこたん
あけましておめでとうございます。
携帯で送るもエラー(T_T)
何の工夫もなく、２分の１の辺の直角二等辺三角形の1辺が１から
計算しました。
最近、寝すぎです(*ノωノ)
超ど田舎　　 1月5日（木） 15:37:13　　 　　45801
さいと散
明けましておめでとうございます今年もよろしくおねがいします。
　立方体でやりました。
　　 1月5日（木） 17:29:13　　 　　45802
にゃもー君
済みません。
今回は√と三平方の定理を使って出させていただきました。
分かっているBQ=１ｃｍから正四面体ABCDの体積を導き出す
⇒求める体積Xは、正四面体ABCDの体積の半分
ということで、答えを1/6と定めました。

立方体に組み込むという「定石」まで考えが回らなかった。
さいたま市浦和区（自称）　　 1月5日（木） 22:44:16　　 　　45803
「数学」小旅行
あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いいたします。
と言いながら、さっそく出遅れました。ごめんなさい。

受験生諸君、体調万全で全力を出せるよう心から祈念いたします。
　　 1月6日（金） 8:16:44　　 　　45804
てい
明けましておめでとうございます。

今回は，四面体の重なりが対角線１ｃｍの正方形を底面とする
２つの四角すいになることで求めてみました。
　　 1月6日（金） 9:50:42　　 　　45805
あめい
マサルさん、回答者のみなさん、明けましておめでとうございます。
空間図形は全くイメージできず（かといって他がいいというわけでもない）、得意の出遅れからのスタートになりました（正三角形、正方形、正四面体、正八面体、いろいろ混じって美しいですね）。
１月６日に解けた答が１／６、こいつぁ〜春から縁起がいいわい、と重ねた歳も元に還った今年前向きにいこうと思います。
本年もよろしくお願いいたします。
　　 1月6日（金） 10:32:27　　 　　45806
通りすがりの中1
遂に明日は数学オリンピックですね~
試験終わったらここに問題うpでもしましょうか？
算数王国　　 1月8日（日） 21:50:08　　 HomePage:Twitter　　45809
新中2N.K.
お願いします!(^^)!
申し込みし忘れましたorz…
新世界　　 1月8日（日） 22:51:34　　 　　45810
新中2N.K.
今年は申し込みちゃんとします(フラグ)
新世界　　 1月8日（日） 22:52:38　　 　　45811
イガグリ
JMO
1.四角形ABCDは角A＝角B＝角C＝30度、AB＝4,BC＝2√3をみたす。この時四角形ABCDの面積を求めよ
2.正の整数の組[a.b]であって,a<b,ab＝29!を満たし、かつaとbが互いに素であるようなものはいくつあるか
3.図のように（市松模様）長方形ABCDを辺に平行な4本の直線によって9個の領域に分割し、交互に黒と白で塗った。
AP=269 PQ=292 QB=223 AR=387 RS=263 SD=176
の時黒く塗られた部分の面積から白く塗られた部分の面積を引いた面積を引いた値を求めよ
　　 1月9日（月） 20:08:25　　 　　45814
イガグリ
JMO
1.四角形ABCDは角A＝角B＝角C＝30度、AB＝4,BC＝2√3をみたす。この時四角形ABCDの面積を求めよ
2.正の整数の組[a.b]であって,a<b,ab＝29!を満たし、かつaとbが互いに素であるようなものはいくつあるか
3.図のように（市松模様）長方形ABCDを辺に平行な4本の直線によって9個の領域に分割し、交互に黒と白で塗った。
AP=269 PQ=292 QB=223 AR=387 RS=263 SD=176
の時黒く塗られた部分の面積から白く塗られた部分の面積を引いた面積を引いた値を求めよ
　　 1月9日（月） 20:23:22　　 　　45815
イガグリ
JMO
1.四角形ABCDは角A＝角B＝角C＝30度、AB＝4,BC＝2√3をみたす。この時四角形ABCDの面積を求めよ
2.正の整数の組[a.b]であって,a<b,ab＝29!を満たし、かつaとbが互いに素であるようなものはいくつあるか
3.図のように（市松模様）長方形ABCDを辺に平行な4本の直線によって9個の領域に分割し、交互に黒と白で塗った。
AP=269 PQ=292 QB=223 AR=387 RS=263 SD=176
の時黒く塗られた部分の面積から白く塗られた部分の面積を引いた面積を引いた値を求めよ
　　 1月9日（月） 20:23:29　　 　　45816
イガグリ
4.相異なる3点D,B,Cは一直線上にあり,DB=BC=2である。点AはAB=ACを満たし、直線ACと直線DCにそれぞれA,Dで接する円Γが存在するとする。Γと直線ABの交点のうちAでない方をEとし、直線CEとΓの交点のうちEではない方をFとするとき、線分EFの長さを求めよ。
5.a+b=c+d+e=29となる相異なる正の整数の組（a,b,c,d,e）はいくつあるか。
6.整数からなる数列x1,x2...を以下のように定めるとき、x144の値を求めよ
・x1=1,x2-x3=…x13=0
・xn+13=x（n+5）+2xn
7.1,2,…,1000の並べ替えa1,a2…a1000が良い並べ替えであるとは次を満たすことにする
1000以下の正の整数m、nに対しnがmの倍数であれば、anはamの倍数である
このとき次の条件を満たす最小の正の整数kを求めよ
bk≠kを満たす良い並べ方b1,b2,…,b1000が存在する。
8. 三角形ABCの辺BC上に2点D,Eがある。4点B,D,E,Cはこの順に並んでおり,∠BAD=∠ACE,∠ABD=∠CAEであるとする。三角形ABEの外接円と三角形ADCの外接円のAと異なる交点をXとおき、AXとBCの交点をFとする。BF=5,CF=6,XD=3のときXEの長さを求めよ
9.1,2,…,2017の並べ替えδ=［δ（1）,δ（2）,…、δ（2017）］についてδ（i）＝iとなる1 ≦i ≦2017の個数をF（δ）とする。全ての並べ替えδについてF（δ）^4を足し合わせた値を求めよ
10.三角形ABCは∠B=90,AB=8,BC=3を満たす.辺BC上に点P、辺CA上に点Q,辺AB上に点Rがあり、∠CRP= ∠CRQ、∠BPR= ∠CPQを満たす。また三角形PQRの周の長さは12である。このとき、Qから辺BCに下ろした垂線の長さを求めよ
　　 1月9日（月） 21:02:11　　 　　45817
ベルク・カッツェ
2√3、638、60000ですかね。検算してないので足し算などで間違っている可能性も。
　　 1月9日（月） 21:04:18　　 　　45818
ベルク・カッツェ
↓は1、2、3の解です。解答を掲示板に書かないほうがいいなら消しておきます。
　　 1月9日（月） 21:06:13　　 　　45819
ベルク・カッツェ
訂正、2の解答は512。5、5の場合を半分にしていませんでした。
4以降はまた暇なときにやってみます。
　　 1月9日（月） 21:36:55　　 　　45820
新中2N.K.
問題ありがとうございます！
また解いてみます
新世界　　 1月10日（火） 12:59:16　　 　　45821
新中2N.K.
問題ありがとうございます！
また解いてみます
新世界　　 1月10日（火） 13:26:23　　 　　45822
あみー
すいません，立体の問題を10月ごろ出してほったらかしに。432が正解ですね。
正八面体の向かい合う２面に，同じ正三角形を面とする正四面体を２個くっつけた形です。
そろそろ今年の生徒達も受験，全力を出し切って欲しいものです。

こりずにちょっと軽めの問題を。
ＡＢ＝５�僉ぃ贈叩�10�僂了鯵儼腺腺贈辰�あり，辺ＡＢを軸として回転させた場合にできる立体の表面積と，辺ＢＣを軸として回転させた場合にできる立体の表面積の比は14：５になるそうです。このとき，ＡＣの長さは何�僂任靴腓Δ�。
　　 1月10日（火） 15:32:49　　 　　45823
新中2N.K.
#45823
AC=15/2(cm)でしょうか？

新世界　　 1月10日（火） 19:30:29　　 　　45824
田二冠8
正八面体！
　　 1月10日（火） 23:23:32　　 　　45825
fumio
今年もよろしくお願いします。
　　 1月11日（水） 15:55:39　　 　　45826
通りすがりの中1
ええと、遅れてすいません！
今年のJJMOの問題です。(3回に分けて投稿)
1.各桁が相異なる0以外の数からなる整数であり、どのとなりあう2桁を取り出しても7の倍数であるもののうち、最も大きいものを求めよ。
2.√123456789以下の整数のうち最大のものを求めよ
3.(2^□+2^□+2^□)/(2^□+2^□+2^□)
↑の四角に1~6の整数を書き込んで計算し得られる数で最も1に近いものを求めよ。
4.一辺の長さが2の正方形ABCDがあり、点EはCについてBと対照的な位置にある。
また直線lはABと点Pで交わり、正方形ABCDと三角形CDEの面積をいずれも二等分している。このとき、APの長さを求めよ。
算数王国　　 1月11日（水） 23:35:51　　 HomePage:Twitter　　45827
通りすがりの中1
5.3×3のマス目の各マスに、1~9の相異なる整数を1つずつ書き込む方法であって、次の条件を満たすものは何通りあるか。
・マス目の各行に書かれている3個の整数の中で、1番右にある整数が最大であり、1番左にある整数が最小である。
・マス目の1番左の列に書かれている3個の整数の中で、1番上のマスに書かれている整数が最大であり、1番下のマスに書かれている整数が最小である。
6.平面上に2直線l,mがあり、それらはSで交わっている。m上にSと異なる点Pがある。
相異なる円a,bはいずれもmに点Pで接し、lにそれぞれT,Uで接している。直線PUとaとの交点のうちSではない方をQとおく。直線PTは線分SQの中点を通るとする。線分PTの長さが1のとき、線分TUの長さを求めよ。
7.正の整数kに対し、各桁の積をP(k)で表す。このとき、n=2P(n)+27を満たす3桁の整数nを全て求めよ。
8.三角形ABCの内部に点Xがある。線分AXの中点をMとしたとき、∠MBC=54°、∠MCB=36°が成り立つ。このとき、∠BXCの大きさを求めよ。
算数王国　　 1月11日（水） 23:50:05　　 HomePage:Twitter　　45828
通りすがりの中1
9.nを正の整数とする。xy平面からn個の点を選ぶと、次の条件を満たしていた。
・いずれもxy平面が0以上2017以下の整数である。
・この中から相異なる2点(a,b),(c,d)を選ぶと2点の選び方によらず｜a-b｜≠｜c-d｜を満たす。
このようなことが起こりうる最大のnをNとしたとき、xy平面から条件を満たすようにNこの点を選ぶ選び方は何通りあるか。
10.2×7マスの各マスに1~14の相異なる整数を1つずつ書き込む方法は何通りあるか。
・それぞれの行について、書かれている7個の数字は左から小さい順に並んでいる。
・1以上6以下の全ての整数kについて、左からk+1番目の列に書かれた2数の差はk列目に書かれた2数の差以上である。
更新間近なので一旦休憩。
算数王国　　 1月11日（水） 23:59:30　　 HomePage:Twitter　　45829