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ベルク・カッツェ
フィボナッチ数列で13ですね。

いやぜんぜん違いました。
ただの総和ですね。寝ぼけているようなので早めに寝ます。
　　 12月12日（木） 0:13:17　　 　　48593
紫の薔薇の人
最初に書かれていた数がｎだった時の、ノートの合計値をA(n)とすると、
ｎ+1＝n+1の分割により、A(n+1)=A(n)+n, A(2)=2だから、
順に計算していくと、A(13)＝78となるので、ア＝13
//
　　 12月12日（木） 0:11:22　　 　　48594
今年から高齢者
１から12まで足して78。なので13。
自信を持って12を送っていた。

問題の例の、ノートに書いた、8の次の1は???
しばらく、これで悩んでいた
　　 12月12日（木） 0:17:10　　 　　48595
紫の薔薇の人
>>48593
フィボナッチ数列に78は出てきませんが。
　　 12月12日（木） 0:18:16　　 　　48596
ベルク・カッツェ
＞今年から高齢者さん
2→1+1→1×1＝1ではないでしょうか。解決済みだったらずみません。
＞紫の薔薇の人さん
自然数の数列の総和を計算していたのに、なぜか掲示板にはフィボナッチと書いていました。数列しかあっていません、自分でも意味不明です。

　　 12月12日（木） 0:30:40　　 　　48597
Sueh
自分も最初三角数かと思ったのですが，分割の仕方によって一対一対応ではないようです。
帰納的に計算したら
白板の最初の数→ノートの数の和
1→0
2→1
3→3
4→5, 6
5→9, 10
6→14, 15
7→20, 21
8→26, 27, 28
9→34, 35, 36
10→43, 44, 45
11→53, 54, 55
12→63, 64, 65, 66
n→(n-1)n/2-[n/4] 〜 (n-1)n/2
　　 12月12日（木） 0:27:25　　 　　48598
alice
表に2,3,4,があったので計算して2→1,3→3,4→6だったのでnC2だと思いました。
　　 12月12日（木） 0:32:51　　 　　48599
alice
＞＞48598
4→2+2(4)→1+1+1+1(4+1+1)
4→3+1(3)→2+1+1(3+2)→1+1+1+1(3+2+1)
となるので分割の仕方に限らず答えは1つだと思います
　　 12月12日（木） 0:40:35　　 　　48601
alice
＞＞48598
4→2+2(4)→1+1+1+1(4+1+1)
4→3+1(3)→2+1+1(3+2)→1+1+1+1(3+2+1)
となるので分割の仕方に限らず答えは1つだと思います
　　 12月12日（木） 0:40:35　　 　　48602
今年から高齢者
＃48597ベルク・カッツェさん
ありがとうございました。今になって判りました。
　　 12月12日（木） 0:41:35　　 　　48603
ベルク・カッツェ
>Suehさん
ある数をa+ｂに分けると、1からa-1までの総和+1からｂ-1までの総和+a×bで必ず1からある数-1までの総和になると思います。数学的帰納法です。
　　 12月12日（木） 0:46:49　　 　　48604
紫の薔薇の人
最初に書かれていた数がｎだった時の、ノートの合計値をA(n)とする。
n=1,2の場合は、分割の仕方が1通り以下なので、
A(1)=0、A(2)=1
(☆)任意のnについて、分割の仕方に依らず、A(n)＝n(n-1)/2となることを帰納法で示す。

(★)任意の1<=k<=nを満たすkについて、分割の仕方に依らず、A(k)＝k(k-1)/2とする。

このとき、n+1について、1<=m<=nなる任意のmについて、n+1＝m+(n+1-m)なる第一分割を
考える。
すると、(★)により、この分割によるノートの合計値B(n,m)は、
B(n,m)＝A(m)+A(n+1-m)+m(n+1-m)
＝計算略
＝n(n+1)/2
と、mに依らず、n(n+1)/2になります。

よって、n+1の場合にも、A(n+1)＝n(n+1)/2となる。
//
　　 12月12日（木） 1:16:02　　 　　48605
「数学」小旅行
n(n+1)/2から求めました。
　　 12月12日（木） 6:14:57　　 　　48606
すいか
n個の点が有り、任意の2点が線でつながっている場合
n(n-1)/2本の線が有ることになります。
点を２つのグループに分けるとき、
異なるグループになってしまった
点同士をつなぐ線を切るとすると、
その切った本数をノートに書いていることになります。
最終的にすべての線を切るまで続けるので
ノートの数の合計がn(n-1)/2となります。

って、どこかで見たことがある問題です。
　　 12月12日（木） 8:48:43　　 　　48607
しおぱぱ
(1/2)n(n-1)で求めました。分割数の片方を１とすると
総和は１からn-1までの自然数の和で表されるので
(1/2)n(n-1)=78を解きました
　　 12月12日（木） 9:23:01　　 　　48610
おすまん
分割の仕方に限らず答えが一意になりそうだったので、
16 から遡ってシラミつぶし…　全然ダメダメな解法ですが、
第1112回の解答に関して、kyorofumiさま（他、皆さま）へ
報告する必要？があり、とりあえず、入ってきました(^^;
後ほど、解答をアップいたします。

kyorofumiさま
解答を見る限り、「数学（算数）的な背景」はなく、
シラミつぶしにしないで確認作業を簡略化する、
という程度の意味合いだと思います。

追
マサルさん、まるケンさん、他、算チャレ関係の皆様、お会いできてよかったです！
来年も楽しみにしております！！
somewhere in the world　　 12月12日（木） 19:31:52　　 　　48611
比翼連理
15が1~5の総和と気づけたのが幸いでした。
あとは78まで6.7.8...と足していき求めました。
　　 12月12日（木） 13:55:22　　 　　48612
比翼連理
15が1~5の総和と気づけたのが幸いでした。
あとは78まで6.7.8...と足していき求めました。
　　 12月12日（木） 13:56:57　　 　　48613
ハラギャーテイ
今回も分かりませんでした

というか考える気力が無くなってきました
山口市　　 12月12日（木） 15:15:43　　 MAIL:tfuruya@aria.ocn.ne.jp HomePage:制御工学にチャレンジ　　48614
にゃもー君
何も考えず、１〜12の総和が78ということで、13からスタートして、各フェーズでnを１+（n-1）をすればいいじゃん！と思いつきで回答。
証明をこれから考えたい
浦和　　 12月12日（木） 21:51:54　　 HomePage:アニメネタで入試問題を作って放置中のページ　　48615
ベルク・カッツェ
誰も図を乗せていないようなので、「7＝3+4→3×4＝12、次は3と4」の場合の図を。×の個数がノートに書かれる数字になります。
○
○○
×××
×××○
×××○○
×××○○○

なかなか面白い問題でした。

　　 12月13日（金） 22:50:23　　 　　48616
Sueh
皆さまのご指摘どおり，勘違いしておりました。たまたま正解しちゃいましたが。

>>48607 >>48616
なるほど。n(n-1)/2になる意味がわかり，勉強になりました。
　　 12月14日（土） 0:15:03　　 　　48617
にこたん
ノートの数字、１回目から全部足すと思っていました。
超ど田舎　　 12月14日（土） 7:32:19　　 HomePage:きままに　　48618
Mr.ダンディ
《次のような考え方はどうでしょう？》

例えば　ｎ＝6　のときで考えます。
a,b,c,d,e,fの　６人がいるとき
この６人を　{a,b,c,d}{e,f}の2グループに分けるとき　離れる者同士が必ず握手をすると　握手の回数は計　4ｘ2＝8（回）（ノートに記入する数字）
次に　
{a,b,c,d}を　{a,b}と{c,d}の2グループに分けるとき
握手の回数は　2ｘ2＝4
{a,b}が　{a}{b]に分かれるとき握手の回数は　1回
・・・・
一人ずつになるまで繰り返すと握手の回数の総和は　問題にある数値の和となります。
ここで aさんだけで考えたとき、離れていった　5人すべてと握手を１回ずつしたことになり
結局　6人すべてが　他の５人ずつと1回ずつ握手をしていることになり
握手の総回数は　6ｘ5/2＝15（回）
ｎ人の場合だと　握手の総回数（ノートに記入した数値の和）は
n(ｎ−1)/2

これにもとづき　ｎ＝13　としました。
　　 12月14日（土） 12:21:47　　 　　48619
RSI
図にしたら簡単だった
　　 12月14日（土） 11:24:12　　 　　48620
Ｍ
Mr.ダンディさんの解説が俊逸です。図を使う説明はちょっとピンとこないのですが。
　　 12月14日（土） 17:05:19　　 　　48621
ベルク・カッツェ
図が分かりにくいとのことなので、数学っぽく。

�’鯣弔暴颪�れている数字が2のとき、ノートに書かれた数の和は1（1までの自然数の総和）になります。

��白板に書かれている数字がaのときノートに書かれた数の和がa-1までの自然数の総和、白板に書かれている数字がbのときノートに書かれた数の和がb-1までの自然数の総和であれば、白板に書かれている数字が(a+b)のときノートに書かれた数の総和は「a-1までの自然数の総和」+「b-1までの自然数の総和」+a×b＝「(a+b-1)までの自然数の総和」になります。（図の例はa=3、b=4の場合）

�，�よび�△茲蝓∩瓦討亮�然数nについて、白板に書かれている数字がnのとき、ノートに書かれる数の和は1からn-1までの自然数の総和になります。
　　 12月14日（土） 23:55:08　　 　　48622
ベルク・カッツェ
総和を自然数の総和でなく0からの整数の総和にすれば、問題文にある「数字が1になったら終了→1のときは書かれた数の和は0」も同じ形で表せますね。

0からの総和に直して、�，蓮�1のとき0から0までの総和」にしたほうがよかった気が。
まあ細かい修正は気になる人がいたらお願いします。
　　 12月15日（日） 13:44:31　　 　　48623
ウサギ
x(x‐1)/2=78
　　 12月15日（日） 0:39:06　　 　　48624
おすまん
第1112回の元ネタの解答ですが、
適度に刈り取って、この場にアップしようかと思ったのですが、
お恥ずかしながら、解答を理解できておりません（赤面…）

不用意に刈り取るとおかしなことなりそうなので、
写真に収めてきた解答を後ほどアップしますm(__)m

somewhere in the world　　 12月17日（火） 1:45:39　　 　　48625
「数学」小旅行
#48616 有難うございます。そういうことだったんですね。スッキリです。
　　 12月17日（火） 16:43:40　　 　　48626
kyorofumi
#48611
わざわざお手数おかけ頂き大変ありがとうございます。
シンプルな問題なので数論で何かしら取り上げられているとは思うのですが、見つかりませんね…
　　 12月17日（火） 19:55:16　　 　　48627
おすまん
うまく画像をアップできないので、見にくいでしょうが、
このままベタ打ちいたします…

問題：次の条件を満たす６つの自然数a,b,c,d,e,f の組を考える。
　　　aは、最も小さくていくつになることができるか。
　　　[条件] a > b > c > d > e > f で、a-b, b-f, c-eなど、どの２数の差が異なる。

解答：
a-b=P, b-c=Q, c-d=R, d-e=S, e-f=T …☆　とする。
a,b,c,d,e,f の６数について、２数の差は全部で 6C2 = 15個ある。

そこで、15個の差をP,Q,R,S,Tで表すと、☆以外に、
a-c=P+Q
b-d=Q+R
c-e=R+S
d-f=S+T
a-d=P+Q+R
b-e=Q+R+S
c-f=R+S+T
a-e=P+Q+R+S
b-f=Q+R+S+T
a-f=P+Q+R+S+T となる。
[条件]を満たすには、この15個の数がすべて異なればよい。

ここでとりあえず、
P,Q,R,S,T および
P+Q, Q+R, R+S, S+T …�　，裡晃弔凌瑤�異なるP〜Tの組を考える。

また、これで a を最も小さくするには、
P+Q+R+S+Tが最も小さければよいから、
P,Q,R,S,Tに小さい数から入れていく。

(i) 1, 2, 3, 4, 5 を入れるとき、
　�，涼佑錬彊幣紊任覆韻譴个覆蕕覆い里如�
　考えられる組み合わせは、
　1+5, 2+4 ; 2+5, 3+4 ; 3+5 ; 4+5 の６通りある。
　�，如�PとTは１回しか使わないことを考えると、
　1はPかTのどちらかである。
　P=1とするとQ=5　このとき R=2とすると、S=4 となり、P+Q=R+Sでダメ。
　R=3,4の場合もダメ。　T=1のときも全く同じだから、この組合せではダメである。

(ii) 1,2,3,4,6 を入れるとき、
(i)と同様に考えて、�，涼佑料塙腓擦蓮�
　1+4, 2+3 ; 1+6, 3+4 ; 2+6 ; 3+6 ; 4+6 の7通りある。
　最後の３つの式には、どれも６が入っているが、
　6は多くても2回しか使えない。和が７になる場合は２通りあるが、
　1+6を選ぶと、1+4と2+3のどちらか１つと最後の３つの式のうちの１つしか
　使えないからダメである。したがって、3+4を選ばなければならない。
　このとき１を使うのは１つしかないから、1+4も選ばれる。
　すると、P,Tが１の場合の
　P=1, Q=4, R=3 …�◆�R=3, S=4, T=1…��
　が考えられ、�△里箸�、S=6, T=2 ��のとき、P=2, Q=6 となる。

　ところが、このとき、それぞれ
　P+Q+R = S+T, R+S+T = P+Q　であり、[条件]を満たさないから、
　この組合せもダメである。

(iii) 1,2,3,5,6 を入れるとき、
　同様に 1+3 ; 1+6, 2+5 ; 2+6, 3+5 ; 3+6; 5+6 の７通りを考える。
　やはり６に着目すると、2+5 を選ばなければならず、
　1+3も必然的に選ばれる。残りは適当に組合せばよい。
　
このとき、１例として、P=1, Q=3, R=6, S=2, T=5 …�い�あり、
　総和は17である。
　P〜Tの総和は、最小15であるが、(i) の場合しかないので無理。
　16の場合も(ii)の場合しかないので、無理である。
　よって、この17が最小となる。
　f はどのような数でも良いが、aができるだけ小さくなるようにすると、
　f=1、このとき、a = f+17 = 18 ■

somewhere in the world　　 12月18日（水） 23:18:07　　 　　48628
おすまん
余談ですが、これは『高校への数学』の「宿題」（今の高数オリンピック）での
出題だったのですが、応募者31名で正解者は1名のみ、という結果でした。
（多分、後にも先にも、正解者1名というのは、この問題だけなのではないでしょうか…）

ちなみに、応募者の6割が、（私と同様）小さい順に当てはめて
不正解だったとのことです。

＃解答を書き写すと理解できるかと思いましたが、まだ理解できません…orz

somewhere in the world　　 12月18日（水） 23:25:57　　 　　48629

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