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ベルク・カッツェ |
| BDで折り返してCをC'に移すと、三角形ABC'はAB=AC'の二等辺三角形、Aから推薦を下ろすと正三角形の半分ができて角ABD=30度、よって答えは45度になりました。 |
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4月30日（木） 0:08:24
49025 |
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ベルク・カッツェ |
| 推薦→垂線、です。 |
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4月30日（木） 0:09:08
49026 |
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Mr.ダンディ |
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ベルク・カッツェさんの
#49025 とまったく同じでした。 |
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4月30日（木） 0:17:24
49027 |
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ゴンとも |
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座標でA(1,0),B(a,a),C(-1,0),D(0,0)とすると
△BCD,△DBAで余弦定理で cos(∠CBD)=((a+1)^2+3*a^2-1)/(2*sqrt((a+1)^2+a^2)*sqrt(2*a^2)) cos(∠DBA)=((a-1)^2+3*a^2-1)/(2*sqrt((a-1)^2+a^2)*sqrt(2*a^2)) cos(2*∠CBD)=cos(∠DBA) よりaが求まり cos(∠DBA)へ代入する XMaxima で trigsimp(trigexpand(cos(2*a)))$ factor(ev(%,cos(a)=((a+1)^2+3*a^2-1)/(2*sqrt((a+1)^2+a^2)*sqrt(2*a^2))))$ factor(%o2-((a-1)^2+3*a^2-1)/(2*sqrt((a-1)^2+a^2)*sqrt(2*a^2)))$ ev(num(%o3),abs(a)=a)$part(%,1)+part(%,2)$%th(2)-%$factor(%th(2))$ factor(ev(((a-1)^2+3*a^2-1)/(2*sqrt((a-1)^2+a^2)*sqrt(2*a^2)) ,part(solve(expand(%^2-%th(2)^2),a),4)))$ rat(%),algebraic;sqrt(3)/2 より cos(∠BAD)=sqrt(3)/2 で∠BAD=30°より ∠CBD=15°より ∠ABC=∠BAD+∠CBD=45°・・・・・・(答え) 答えはcos(∠DBA)=(1-sqrt(7))/4でもあり ∠DBA=114.3度ぐらいでもう一つ答えがあるのですがそれは 上の解答では省きました!! |
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豊川市
4月30日（木） 1:00:00
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 49028 |
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限界bot |
| △ABDと△CBDでそれぞれ正弦定理を用いて、BDを2通りの方法で表すことで解きました。 |
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4月30日（木） 1:06:12
49029 |
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ゴンとも |
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#49028
自己レスですみません >答えはcos(∠DBA)=(1-sqrt(7))/4でもあり >∠DBA=114.3度ぐらいでもう一つ答えがあるのですがそれは >上の解答では省きました!! 問題文をよく読むと 上の図のような△ABCがあります。とあるから ∠ABCは鋭角だけで答えは1個でしたね。 本当にすみませんでした!! |
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豊川市
4月30日（木） 1:23:45
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 49030 |
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SECOND |
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!前回 #49020 と同様です、ご参考。十進BASICで実行。結果∠ABC= 45 °
OPTION ARITHMETIC COMPLEX LET B=0 LET D=1 LET x45=EXP(COMPLEX(0,-PI/4)) DO LET C=D+x45 LET A=D-x45 LET A_C=arg((A-B)/(D-B))/arg((D-B)/(C-B)) LET D=D+(A_C-2)*1.595 LOOP UNTIL A_C=2 PRINT "∠ABC=";arg((A-B)/(C-B))*180/PI;"°" |
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4月30日（木） 3:24:39
49031 |
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今年から高齢者 |
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正方形AECDに正三角形ABEを外側にくっつけて
正方形の中心をD、BCを結べば.....正三角形の頂点の3/4の角度となる。 先週の問題は、正三角形を正方形の内側に、 今週は、正三角形を正方形の外側に、くっつけたものですネ。 |
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4月30日（木） 4:06:12
49032 |
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「数学」小旅行 |
| 直感です。書き込みを見て勉強します。 |
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4月30日（木） 6:44:10
49033 |
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ばち丸 |
| ベルクカッツェさん#49025の言われるところのC'を作ったが、□ABDC’は平行四辺形だと思い込んでもたついてしまった。情けない。 |
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4月30日（木） 6:44:37
MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 49034 |
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ばち丸 |
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1週間は実に長い。こんなのどうでしょうか
AB=BC、AD=CDの凸四角形□ABCDがある。BCの中点をE、ADの中点をFとし、 CF、EF、AEを結ぶ。 △CFDの面積が11、△CEFの面積が5の時、△AEFの面積を求めなさい |
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4月30日（木） 8:33:02
MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 49035 |
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紫の薔薇の人 |
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#49025
ベルク・カッツェさんの答えは、いつも鋭いんだが、その行間を埋めるのが 結構苦労する。 私なりの補完。こんな感じでしょうか？ 直線BDに関し、A,Cの対称点をそれぞれ、A'、C’とし、AA'とBB'の交点をEとする。 AD=DCから、A'D＝C'D Dは□AA'CC'の対角線を互いに2分するので、□AA'CC'は平行四辺形である。 さらに、∠ADB＝45°∠A'DB=45°で、∠ADA'＝90°AD＝A'Dだから、△ADA'は直角二等辺三角形。 ∠ADC'も90°だから、△ADC'も直角二等辺三角形で、△ADA'≡△ADC'だから、AA'＝AC'・・・�� また、∠A'AC'＝45°+45°＝90° よって、□AA'CC'は、正方形。 AC'⊥AA'、AA'⊥BDから、AC'//BD 錯角により、∠AC'B＝∠C'BD ∠ABDが∠DBCの2倍であることより、C'は、∠ABDの2等分線にあるので、 ∠ABC'＝∠C'BD よって、∠AC'B＝∠C'BD＝∠ABC' よって、△ABC'は、AB=AC'の二等辺三角形。・・・�� AE=A'Eと、� ↓△茲蝓� AE＝1/2AA'＝1/2AC'＝1/2AB AE⊥BEより、△ABEは正三角形の半分となり、∠ABE＝30° (△BAA'が正三角形) よって、∠ABC＝3/2∠ABE＝45° // |
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4月30日（木） 10:20:15
49036 |
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量子論 |
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ベルクカッツェさんと似た感じですが、少し簡単かも。
BDに関して△ABDを折り返し、△A'BDを作ると、 右側部分に直角二等辺三角形が多数できます (例えば、△ACA')。A'CとBDは平行になるので、 ∠CBD＝∠BCA'、よって△BCA'は二等辺三角形。 直角二等辺三角形である△ACA'と組み合わせると、 △ABA'が正三角形であることがわかり、 あとは自明。 初め、△CBDを反時計回りに180度回転させて合体し、 いろいろ考えましたが、うまくいきませんでした。 この流れで解けた人、どなたかおりませんか。 |
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4月30日（木） 11:21:09
49037 |
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ゴンとも |
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#49035
すみません答だけで・・・111/14・・・・・・(答え) 解答はまとめてないので今は・・・ |
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豊川市
4月30日（木） 12:00:00
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 49038 |
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紫の薔薇の人 |
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#49035
☆が存在することを示していないので、解答もどきですが、 (1)DAのA方向への延長と、CBのB方向への延長がGで交わるとき ∠DGC＝θとおく。 GA＝a、AF=FD＝s GB＝b、BE=EC＝t とおく、 △CFD＝△GCD-△GCF＝(sinθ/2)*s(b+2t)＝11・・・�� △CEF＝△CGF-△EGF＝(sinθ/2)*(a+s)t＝5・・・・�� △ABD≡△CBDより、 (sinθ/2)*2sb＝(sinθ/2)*(a+2s)2t・・・�� � ↓◆↓�より、 (sinθ/2)*st＝2 (sinθ/2)*at＝3 (sinθ/2)*bs＝7 △AEF＝△GFE-△GAE＝(sinθ/2)*s(b+t)＝2+7＝9 (2)DAのD方向への延長と、CBのC方向への延長がGで交わるとき ∠DGC＝θとおく。 GA＝a、AF=FD＝s GB＝b、BE=EC＝t とおく、 (1)と同様に立式して、解くと、 (sinθ/2)*st＝-2 となり、矛盾。このような場合はない。 (3)AD//BCのとき △BCD＝10 △ABD＝22 となり、△ABD≡△CBDに矛盾となり、このような場合はない。 よって、 △AEF＝9 // |
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4月30日（木） 12:00:20
49039 |
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紫の薔薇の人 |
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#49035
＞☆が存在することを示していないので、解答もどきですが、 無視してください。 |
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4月30日（木） 12:01:19
49040 |
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ゴンとも |
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#49038
すみません答えが間違えで・・・今から考え直します!! |
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豊川市
4月30日（木） 12:04:36
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 49041 |
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アルファ・ケンタウリ |
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小学生です
とても難しいかったので… コロナで学校がないので暇なので必死に考えました（汗） |
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4月30日（木） 12:15:58
49042 |
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ゴンとも |
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#49035
#49041 すみません考え直しました!! 手計算でやったんですが・・・ というか式変形が手-でないと答えがでないという・・・ 座標でA(a,0),B(0,b),C(-a,0),D(0,c)とすると 直線EF:y=-(b/2-c/2)*(x-a/2)/a+c/2 ここでy=0とするとx=(a*c+a*b)/(2*b-2*c) △CEF=(b/2-c/2)*(a-(a*c+a*b)/(2*c-2*b))/2=5 (b/2-c/2)*(a-(a*c+a*b)/(2*c-2*b))/2-5=0 -(a*c-3*a*b+40)/8=0 より a*c-3*a*b+40=0・・・・・・(1) ここで△EFAの面積を 全体から△CFD+△EFC+△BAEを引いて (b-c)*a-16-a*b/2=(a*b-2*a*c-32)/2・・・・・・(★1) 底辺*高さ/2で 線分ACと直線EFの交点のx座標をGとして △AEG+△AFG=(a-(a*c+a*b)/(2*b-2*c))*(b/2-c/2)/2 =a*(b-3*c)/8・・・・・・(★2) 同じ面積なので (a*b-2*a*c-32)/2-a*(b-3*c)/8 =-(5*a*c-3*a*b+128)/8 より 5*a*c-3*a*b+128=0・・・・・・(2) 5*(1)-(2)=5*(a*c-3*a*b+40)-(5*a*c-3*a*b+128) =72-12*a*b=0 より a*b=6・・・・・・(3) ここで△CFD=-a*c/2=11 より c*a=-22 これと(3)を★1,★2に代入して △EFA=(a*b-2*a*c-32)/2=(6-2*-22-32)/2 =(a*b-3*c*a)/8=(6-3*-22)/8=9・・・・・・(答え) |
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豊川市
4月30日（木） 13:27:56
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 49043 |
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algebra |
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AB＝x，AD＝DC＝a，∠ABD＝2θ，∠DBC＝θとおくと，正弦定理より，
x/sin45°＝a/sin2θ・・・� �x/sin(45°−θ)＝2a/sin3θ・・・�� � き△茲蝓�sin3θ＝2√2sin2θsin(45°−θ) 2倍角・3倍角の公式，加法定理などを用いて，sin2θ＝1/2 これより，θ＝15°よって，∠ABC＝3θ＝45° |
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4月30日（木） 16:25:00
49044 |
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「数学」小旅行 |
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#49029 ＢＤを2通りで表わすというのは、△ＡＢＤにおいて、
ＢＤ＝sin(135-2θ)√2ｃ △ＣＢＤにおいて、ＢＤ＝sin(45-θ)√2ａとなるということ。 これと、ＡＤ＝ＤＣから得られるａ＝２ｃcosθでsin2θ＝1/2 を求めるということだと、やっとわかりました。 私も、#49044 のやり方を思いついていましたが、3倍角の公式が ちょっとなあ。。。と思案していたところです。 |
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4月30日（木） 16:50:57
49045 |
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ゴンとも |
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#49028
>答えはcos(∠DBA)=(1-sqrt(7))/4でもあり >∠DBA=114.3度ぐらいでもう一つ答えがあるのですがそれは >上の解答では省きました!! すみません計算するとこれはなかったです!!すると #49030 >問題文をよく読むと >上の図のような△ABCがあります。とあるから >∠ABCは鋭角だけで答えは1個でしたね。 >本当にすみませんでした!! これも∠ABCは鋭角だけでなくても答えがないことが 自分の解法を見直すことでわかりました。 |
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豊川市
4月30日（木） 18:19:21
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 49046 |
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にこたん |
| 正弦定理を使ってしまいました。 |
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超ど田舎
4月30日（木） 18:34:28
49047 |
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ベルク・カッツェ |
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#49036紫の薔薇の人さん
補完ありがとうございます。わかりにくくてすみません。 AD、C'Dをそれぞれ対角線とする正方形を作っていたので大体その通りです。 次回はもう少しわかりやすくなるよう、丁寧に書いてみます。 |
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4月30日（木） 21:15:26
49048 |
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SECOND |
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場違いながら、これは、、、
2.6GHz 4000MB Core i5 Win.10・・・・240秒（十進BASIC での 四則演算テスト） 1.6GHz 512MB Pentium M Win.XP.sp2・・180秒 過去の、低速ノートの方が速い。 |
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5月1日（金） 9:41:52
49049 |
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ばち丸 |
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#49035
ゴンともさん#49043、紫の薔薇さん#49039 正解です！ 【想定解】 □AFEBの面積を求める。 △BEFの面積はBE=CEで底辺の長さと高さが等しいから△CEFに等しく、5。 △AFBは△ADBの面積の1/2で（∵AF＝FD）、△ADBは□ABCDの1/2だから （∵△ABD≡△CBD）△AFBは□ABCDの面積の1/4であり、従って□BFDCの1/3 だから7。だから□AFEBの面積は7＋5＝12。 ところで△ABE＋△CDF＝1/2×（△ABC+△ADC）＝1/2×□ABCDであり □ABCD＝28だから△ABE＋△CDF=14．題意より△CDF＝11だから△ABE＝3。 よって△AFD＝12-3＝9。 |
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5月2日（土） 20:30:14
MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 49050 |
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紫の薔薇の人 |
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#48050
綺麗な収束ですね。 私の解も、想定解も辺の長さが等しいを直接使わず、面積が等しくなるからの必要条件で攻めまくって解いていますが、実は、解が存在するならば、それは9でしかないを示しただけで、解が存在するのかの検証は省いています。 問題に不整合がなく、ちゃんと辺の長さが等しくて作図できるのか？ 一方、ゴンともさんの方程式は、凧型を利用した立式だから、これを満たすa,b,cの組み合わせの解を求めてしまえば、十分も示せます。 |
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5月2日（土） 22:03:07
49051 |
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紫の薔薇の人 |
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↓
#49050でした。 |
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5月2日（土） 22:03:43
49052 |
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ばち丸 |
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紫の薔薇さん#49051、#49052
考えもしなかったご指摘ありがとうございます。実は下の計算中、 ミスをしてBが△ACDの内部の点になってしまい失題かとあわてた のですが、やり直したらちゃんと外側の点になって事なきを得ました。 危ないったらない。 □ABCDにおいて△ACD＝△CDF×2＝11×2＝22、 △ABC＝ｘとおくとFはADの中点だから△FBC×2＝△ABC＋△BCDにより 10×2＝ｘ＋11＋x/2．これを解いてｘ＝6． だから△ACD=22、△ABC＝６である２つの底辺の長さが等しい2等辺三角形を 底辺同士つなげて凧型にすればよい。 このような形にすれば任意のものについて題意は言えるはず。 事実、△CDF＝11。△BCD＝11＋6/2＝14、△ABC＝6により △CEF＝(14+6)/2/2＝5、□AFCE＝(22＋6)/2＝14により△AFE=9となる |
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5月3日（日） 6:07:30
MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 49053 |
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紫の薔薇の人 |
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#49053
検証どうもです。 STAY HOME週間に、作問出題していただけることは感謝しています。 |
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5月3日（日） 12:50:34
49054 |
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なか |
| おじゃまします。ちょっと掲示板の動作確認を。 |
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5月5日（火） 5:43:03
MAIL:naka@sansu.org 49055 |
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なか |
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やはり、記事の訂正ができなくなっていますね。
サーバー移転後の現象のようです。 |
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5月5日（火） 5:45:50
MAIL:naka@sansu.org 49056 |
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kyorofumi |
| ABD を BDで折り返すと、AA'Cが直角に等辺三角形になり、AA'Bが正三角形になります |
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5月5日（火） 22:27:44
49057 |
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kyorofumi |
| 正三角形になるのは、A'BCが二等辺三角形だからです！ |
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5月5日（火） 22:31:03
49058 |
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ベルク・カッツェ |
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今更ですが、仕事中にちょっと暇があったので前回の解法を考えてみました。
PからBCの垂線を下ろしてDをとり、三角形PDCは正三角形の半分になるのでPD=1とするとPC＝2、BD上にBE＝PEとなる点Eをとると、三角形PDEと三角形PDCは合同になりBE=PE=PC=2、BPに対してEと対称な点Fwoとると四角形FBEPは一辺の長さが2のひし形。AからBCに垂線を下ろし足をG、FPとの交点をHとすると、AGを軸として線対称なのでFH=FP＝1、DCの長さをアとするとBC=2+ア×2なのでAGはその半分で1+ア、PD=DG=1なのでAH=ア、よって三角形PDCと三角形PHAは合同、角APH=角CPD=60度、角FPB=角FBP=15度なので求める角APBは75度になります。 |
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5月6日（水） 2:01:22
49059 |
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紫の薔薇の人 |
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#49059
作図線が△ABCの内部のみでも解けますという解答例になっていますね。 作図が不正確だと、気づきにくいところを、蛇足ですが、補うと・・・ ＞AGを軸として線対称なので BとCはAGに関して対称で、FB＝PC、∠FBC＝∠PCBなので、FとPもAGに関し線対称で、・・・ ＞PD=DG=1なのでAH=ア HGDPは長方形で、かつ、HP＝1/2FP＝1/2EP＝1/2PC＝PD＝1から、HGDPは正方形になるので、HG＝HP＝1となり、AH＝AG-HG＝ア |
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5月6日（水） 17:26:24
49060 |
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アルファ・ケンタウリ |
| 今日は休みかな？ |
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5月7日（木） 0:13:25
49061 |
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EG |
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お休みですかね？
お忙しいんでしょうか。 今更ですがいつもありがとうございます。無理しないでくださいね。 |
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5月7日（木） 0:32:33
49062 |
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ハラギャーテイ |
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ようやく前回の問題が解けました
Mathematicaによる数式処理です |
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山口市
5月7日（木） 6:51:46
HomePage:制御工学にチャレンジ 49063 |
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ハラギャーテイ |
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今回は前回と同じで助かりました
私のために問題がが変わらなかったと感謝します |
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山口市
5月7日（木） 6:53:25
HomePage:制御工学にチャレンジ 49064 |
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ばち丸 |
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お休みになるとつまらないのでこんなのはどうでしょうか。
AB=8、BC＝5、∠B=60°の三角形ABCのAB上に点D、BC上に点E、 CA上に点Fを取ると、DE⊥BCとなり、△DEFは正三角形になった。 BEの長さを求めなさい ともあれ、またマサルさんがお元気でよい問題を出していただけることを 期待します |
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5月7日（木） 20:04:01
MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 49065 |
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ばち丸 |
| そうそう、この掲示板を長く続けていただけることも期待。 |
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5月7日（木） 20:06:11
MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 49066 |
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ｈｈｈ |
| 問題の解き方を教えてください。 |
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5月7日（木） 20:47:02
49067 |
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Mr.ダンディ |
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#49065
問題有難うございます。 .........（答え）40/21 |
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5月7日（木） 21:32:23
49068 |
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ゴンとも |
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#49065
座標でA(4,4*sqrt(3)),B(0,0),C(5,0) D(a,sqrt(3)*a),E(a,0),F(5*a/2,4*sqrt(3)*(5-5*a/2))とおけ EFを三平方で求めると (5*a/2-a)^2+48*(5-5*a/2)^2=3*a^2 これを解くと a=40/21,40/19 DFを三平方で求めると (5*a/2-a)^2+(sqrt(3)*a-4*sqrt(3)*(5-5*a/2))^2=3*a^2 これを解くと a=40/21,40/23 これと先の方程式で共通解はa=40/21・・・・・・(答え) |
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豊川市
5月8日（金） 18:46:23
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 49069 |
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量子論 |
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#49065
ACの延長上にAF＝FGとなる点G、DFの延長上にDF＝FHとなる点Hをとる。 △ADFと△GHFは合同なので、GH＝AD。この長さをaとおく △ABCと△GHCは相似なので、CH＝5a/8 BD＝(5＋5a/8)/2 （60度の直角△なので） これとADの長さと合わせると8なので、a＝88/21 これより BE＝40/21 ぎりぎり算数？ or １次だが、方程式なのでアウトか。 |
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5月10日（日） 3:54:00
49070 |
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ばち丸 |
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Mr．ダンディさん#49068
ゴンともさん#49069 量子論さん#49070 正解です！ 今週も遊んでいただきありがとうございます。 [想定解] DFの延長線とBCの延長線の交点をG、 FからBCに下した垂線の足をHとする。 BE＝ｘとおくと、BD＝2x、BG=4xだからEG=3x、 DF=FGより中点連結定理でEH=3x/2 一方、AからBCに下した垂線の足をIとするとBI:IC=4:1・・・� �BE：EG＝1:3…�△世�ら �´△茲�CH:HG＝1:12よってCH＝3x/2・1/12＝x/8。 従ってｘ＋3x/2＋x/8＝5 これを解いて、x=40/21 説明しにくいですねえ。ご迷惑かけてすみません。 |
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5月10日（日） 7:09:30
MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 49071 |
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Mr.ダンディ |
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#49065
私の解法も書き込んでみます。 ---------------------------- A,BからBCのおろした垂線の足をそれぞれ G,H DEの中点をM とし BE=ｘ とおくと DR=√3ｘ FH=ME=(√3/2)ｘ EH=MF=(3/2)x CH=5−(5/2)x FH//AG より ｛5−(5/2)x}:1=(√3/2)x:4√3 解くと BE＝ｘ＝40/21 |
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5月10日（日） 10:49:30
49072 |