EG
うーん、垂心を使って解けましたが，まだどうやっても算数になりません。
もうちょっと考えよう・・・
　　 11月19日（木） 0:08:53　　 　　49761
あ
円周角の定理で角度を追うだけ
　　 11月19日（木） 0:18:12　　 　　49762
紫の薔薇の人
APの延長とBIの交点をR、AQの延長とCIの交点をSとすると、
Pは△ABIの垂心だから、AR⊥BI。
Qは△ACIの垂心だから、AS⊥CI。
よって、□ARISはは円に内接する四角形。
よって、∠BIC＝180°-∠PAQ＝180-40＝140°
//
　　 11月19日（木） 0:31:38　　 　　49763
CRYING DOLPHIN
△ABHと△CAHは相似なのでBH：AH＝AH：CH←[甲]
△CAHと△PIHは相似なのでAH：CH＝IH：PH←[乙]
[甲][乙]よりBH：AH＝IH：PH、BH：IH＝AH：PH←[丙]
[丙]と角IHB＝角PHA＝90度より、△IHBと△PHAは相似。←[丁]
これと同様に考えると、△IHCと△QHAは相似。←[戊]
[丁][戊]より、角PAH＋角QAH＝角IBH＋角ICH＝40度。
よって△BICにおいて、角BIC＝180−40＝140度。　』
顔上げた道の先　　 11月19日（木） 0:50:54　　 MAIL:ぴかー HomePage:ぴかぴかさんすう。　　49764
ベルク・カッツェ
IからABに下ろした垂線の足をJとします。
三角形の相似でPH：HI=PJ:JB=AH:BH、よって三角形APHとBIHは相似で角PAH＝角IBH、同様に角QAH=角ICH、よって求める角は180-40＝140です。
相似で示すのにかなりかかってしまいました。やはり図形は苦手です。
　　 11月19日（木） 0:52:44　　 　　49765
今年から高齢者
��PIAと��IQBにおいて
∠PIH＝∠IQH
PI：IQ＝AI：BQ（��IQH∽��ABHより）
なので、��PIA∽��IQB
∠IAP＝∠QBI
同様に、∠QAI=∠ICP
よって∠BIC＝180-40=140
∠PAQ＝θなら、∠BIC＝180-θとどの角度でも成立するのですね
　　 11月19日（木） 1:11:19　　 　　49766
スモークマン
#49762 あ 様と同じく...^^

90+50=140°

３個の円で...
90°の残りは...90-40=50°
とわかりますね♪
　　 11月19日（木） 1:14:04　　 　　49767
「数学」小旅行
90+90-40=140
　　 11月19日（木） 1:42:18　　 　　49768
ゴンとも
座標でA(0,0),B(1,0),C(0,a)
直線BC:y=-a*x+a,直線AI:y=x/a
I(b,b/a),P(b,-a*b+b),Q((a^2-b)/a^2,b/a)とすると
ここでtan(40°)は加法定理より
trigexpand(tan(a-b))$factor(ev(%,tan(a)=(b/a)/((a^2-b)/a^2),tan(b)=(-a*b+a)/b));
-a*(a^2*b+b-a^2)/(b*(a^2*b+b-2*a^2))・・・・・・(1)
ここでH(a^2/(a^2+1),a/(a^2+1))とIはx,y座標ともIの方が大きいから
b>a^2/(a^2+1) より b-a^2/(a^2+1)>0 より (a^2*b+b-a^2)/(a^2+1)>0
b/a>a/(a^2+1) より b/a-a/(a^2+1)>0 より (a^2*b+b-a^2)/(a*(a^2+1))>0
a^2*b+b-a^2>0・・・・・・(2)
これと(1)がtan(40°)で正でa,bも正より
a^2*b+b-2*a^2<0・・・・・・(3)
直線CI:y=-(a-b/a)*x/b+a
点Bを通り直線CIに垂直に交わる直線:y=b*(x-1)/(a-b/a)
この2直線の交点を求めると
x座標:a^4*b/((a^2+1)*b^2-2*a^2*b+a^4)
y座標:((a^3+a)*b^2-a^3*b)/((a^2+1)*b^2-2*a^2*b+a^4)
この交点と点Iとの距離は三平方で
(a^4*b/((a^2+1)*b^2-2*a^2*b+a^4)-b)^2+(b/a-((a^3+a)*b^2-a^3*b)/((a^2+1)*b^2-2*a^2*b+a^4))^2
=b^2*(a^2*b+b-2*a^2)^2/(a^2*(a^2*b^2+b^2-2*a^2*b+a^4))
これのルートで(3)とより　b^2*(a^2*b+b-2*a^2)^2/(a^2*(a^2*b^2+b^2-2*a^2*b+a^4))
b*-(a^2*b+b-2*a^2)/(a*sqrt(a^2*b^2+b^2-2*a^2*b+a^4))これがtanの底辺で
この交点と点Bとの距離は三平方で(2)とより　
(a^4*b/((a^2+1)*b^2-2*a^2*b+a^4)-1)^2+(((a^3+a)*b^2-a^3*b)/((a^2+1)*b^2-2*a^2*b+a^4))^2
=(a^2*b+b-a^2)^2/(a^2*b^2+b^2-2*a^2*b+a^4)
これのルートで(2)とより
(a^2*b+b-a^2)/sqrt(a^2*b^2+b^2-2*a^2*b+a^4)これがtanの対辺で
tan(直線BIとCIでできる角度の問題の答えの部分の補角)=tanの対辺/tanの底辺
=-a*(a^2*b+b-a^2)/(b*(a^2*b+b-2*a^2))で(1)と同じで40°その補角で
180°-40°=140°・・・・・・(答え)
豊川市　　 11月19日（木） 2:22:22　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　49769
ゴンとも
#49769

すみません訂正で

>これのルートで(3)とより　b^2*(a^2*b+b-2*a^2)^2/(a^2*(a^2*b^2+b^2-2*a^2*b+a^4))

は

これのルートで(3)とより　

>この交点と点Bとの距離は三平方で(2)とより　

は

この交点と点Bとの距離は三平方で
豊川市　　 11月19日（木） 2:34:56　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　49770
蜻蛉
△ABH∽△PIHなのでAH:PH=BH:IH
従って△APH∽△△BIHなので∠PAH=IBH
同様に∠QAH=∠CIH
以下略
それっぽく見えたところが実際にそうだったのでどうにかなりました。
　　 11月19日（木） 12:57:26　　 　　49771
Mr.ダンディ
IからACにおろした垂線の足をDとすると
四角形HICD,四角形AHQDは円に内接する四角形となるから
∠CID=∠CHD=∠DAQ
同様にして
∠BIP=∠BAP
∠BIC=90°+(∠CID＋∠BIP)＝90°+(∠DAQ＋∠BAP)
＝90°+(90°−40°)＝140°
としました。
　　 11月19日（木） 14:38:32　　 　　49772
ドリトル
0:00参戦は眠くてできませんでした。
#49772
角度が同じになる証明が素晴らしいですね。
僕なんか「角度的に左右対称だから同じになるのかな?」
程度です…

　　 11月19日（木） 17:48:35　　 　　49775
空欄
垂心の性質使ったら一発でした
　　 11月19日（木） 18:43:51　　 　　49776
おすまん
多分、#49762 あ 様と同じかと(^^
somewhere in the world　　 11月19日（木） 23:28:36　　 　　49777
ばち丸
Qは△AICの垂心、Pは△AIBの垂心だから∠CBI＋∠BCI＝40°
よって∠BIC＝140°

マサルさんの問題は多様なのがいいですね。
私も問題を作っていますが
トシのせいか、同じようなネタの問題が多くなってきました。
若いころの問題より難しく作れるのは不思議と言えば不思議。
　　 11月20日（金） 0:31:29　　 MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 　　49778
Shin Koba
書き込むほどのことでは無いと思いますが、よくある手で4方向から同じ図形を作ると、合同な三角形が見つけやすくて180−40の意味が見た目にわかる気がしました笑
　　 11月20日（金） 19:27:02　　 　　49779
Shin Koba
もちろん垂心ですよね。直角二等辺三角形に書き直して4枚組み合わせると頂角140°底角20度の二等辺三角形が8枚出来るという笑笑たまに書き込みしたくなってこじつけです。
　　 11月20日（金） 19:31:22　　 　　49780
ムック
垂心で。
　　 11月21日（土） 20:54:45　　 　　49781
おすまん
確かに垂心ですね… orz AP,AQを延長して円に内接する四角形に気づきました。

当然のごとく既出解（#49763 紫の薔薇の人さま）でした(^^;
somewhere in the world　　 11月23日（月） 21:10:30　　 　　49782
ドリトル
垂心の話はよくわかりませんが、
垂線を下すと、新たな相似が現れるので、
∠BAP =∠PIBであることが確信でき、
90+90−40=140度が確実になりますね。
　　 11月23日（月） 21:56:05　　 　　49783
ドリトル
それを垂心っていうのか…(馬鹿)
　　 11月23日（月） 21:58:14　　 　　49784