ベルク・カッツェ
332　1通り
3311　6-3＝3通り
3221　12-6＝6通り
32111　20通り
311111　6通り
22211　1通り
221111　15-5＝10通り
2111111　7通り
11111111　1通り
地道に調べて合計55通りになりました。
　　 4月22日（木） 0:15:34　　 　　50405
いちごみるく
8ぐらいならプログラムを書くのと手計算で数えるのどっちが早いか微妙なラインですね。
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define rep2(i,l,r)for(int i=(l);i<(r);++i)
#define endl "\n"
long long dp[1000][4];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n = 8;
int m = 3;
dp[0][0] = 1;
rep(i, n) {
rep(j, m + 1) {
rep2(k, 1, m + 1) {
if ((j == k) && (k > 1))continue;
dp[i + k][k] += dp[i][j];
}
}
}
long long ans = 0;
rep2(i, 0, m + 1) ans += dp[n][i];
cout << ans << endl;
return 0;
}
　　 4月22日（木） 0:21:01　　 　　50406
みかん
「１・２・３の和で８を作る。２が２つ以上つながる、３が２つ以上つながるのは不可」
と考える。
最後に加えた数が１・２・３で場合分けしつつ、漸化式っぽく解くのが早そう。
以下の表で左から和（段数）が１・２・３…８の場合を表す。

最後が１　０１　０１　０２　０４　０６　１１　１９　３２　
最後が２　００　０１　０１　０１　０３　０５　０８　１４
最後が３　００　００　０１　０１　０２　０３　０５　０９

（表の見方）
最後が１で８になるのは、７段の場合の最後が１＋最後が２＋最後が３　→１９＋８＋５＝３２
最後が２で８になるのは、６段の場合の最後が１＋最後が３　→１１＋３＝１４
最後が３で８になるのは　５段の場合の最後が１＋最後が２　→６＋３＝９

８段の場合の合計は、３２＋１４＋９＝５５通り。
　　 4月22日（木） 0:26:57　　 　　50407
紫の薔薇の人
#50407
基本的に同じ解き方でした。
n段の上り方の解をAnとおくと、
A8=A7+(A6の内、最後が2以外のもの)+(A5の内、最後が3以外のもの)
A6までを書き出して、A8=32+14+9＝55通り。
//
　　 4月22日（木） 0:36:07　　 　　50409
紫の薔薇の人
#50407
基本的に同じ解き方でした。
n段の上り方の解をAnとおくと、
A8=A7+(A6の内、最後が2以外のもの)+(A5の内、最後が3以外のもの)
A6までを書き出して、
A7=19+8+5＝32
A8=32+14+9＝55通り。
//
　　 4月22日（木） 0:39:41　　 　　50410
スモークマン
何回も引く方を間違いました..^^;

何回も計算しましたわ ^^;;

f(1)=1
f(2)={11,2}=2
f(3)={111,12,21,3}=4
f(4)=1+2+4=7
f(5)=2+4+7=13
f(6)=4+7+13=24
f(7)=7+13+24=44
f(8)=13+24+44=81

これから...以下のケースを引く
11114・・・5
116・・・3
134・・・6
1124・・・214,412...2*3=6,116...3・・・9
2222・・・1
26・・・2

so...5+3+6+9+1+2=26
結局...
81-26=55

もう寝る OrZzzz
　　 4月22日（木） 1:28:04　　 　　50411
みかん
(#50403 #50404）

数学の解き方を知っているとスムーズに解ける問題って、今回のような階段上り
問題（漸化式）や、
「みかん５個を３人で分ける方法は何通りあるか」（重複組み合わせ）
「４も９も含まない１以上の整数で１００番目は何か」（８進法）
なんてものもあるよなぁ、と考えていたら今日の出題が漸化式。算チャレにしては
ほどほどの難易度で、普通に解いても十分（#50405）でしたね。なお、９段だと
９５通り、１０段だと１６３通り。

開成の問題の元ネタはやっぱり数学でしたか。開成の受験生には数学の範囲もできる
人もいるとは思うけれど、問題の意図が分かった人はいたのかなぁ。きちんと解いた
受験生が５％ぐらいいれば受験生の選別手段として有効だけど、正解者が０なら
出題する意味がありませんね。問題の意図を理解したとしても、２の２５乗を計算
させられるのはかなりきつい。

その他の開成の問題の感想（負け惜しみなども含む）は後ほど。
　　 4月22日（木） 1:37:22　　 　　50412
baLLjugglermoka
1から10の和の55と答えが同じなのは偶然ですかね？
　　 4月22日（木） 1:39:05　　 　　50413
巷の夢
#50405
フィボナッチなども頭をかすめましたが、どうもうまく
いかず、基本に戻り、ベルク・カッツェ様と全く同じように
解きました。
真白き富士の嶺　　 4月22日（木） 8:14:08　　 　　50414
ゴンとも
十進Basicで

for a=1 to 3
for b=1 to 3
if (a=2 and b=2) or (a=3 and b=3) then goto 70
for c=1 to 3
if (b=2 and c=2) or (b=3 and c=3) then goto 60
if a+b+c=8 then let s1=s1+1
for d=1 to 3
if (c=2 and d=2) or (c=3 and d=3) then goto 50
if a+b+c+d=8 then let s2=s2+1
for e=1 to 3
if (d=2 and e=2) or (d=3 and e=3) then goto 40
if a+b+c+d+e=8 then let s3=s3+1
for f=1 to 3
if (e=2 and f=2) or (e=3 and f=3) then goto 30
if a+b+c+d+e+f=8 then let s4=s4+1
for g=1 to 3
if (f=2 and g=2) or (f=3 and g=3) then goto 20
if a+b+c+d+e+f+g=8 then let s5=s5+1
for h=1 to 3
if (g=2 and h=2) or (g=3 and h=3) then goto 10
if a+b+c+d+e+f+g+h=8 then let s6=s6+1
10 next h
20 next g
30 next f
40 next e
50 next d
60 next c
70 next b
80 next a
print s1;"+";s2;"+";s3;"+";s4;"+";s5;"+";s6;"+";s7;"+";s8;"=";s1+s2+s3+s4+s5+s6+s7+s8

f9押して 1 + 9 + 21 + 16 + 7 + 1 + 0 + 0 = 55・・・・・・(答え)

寝過ごしてしまったんですがプログラムの方は5分くらいで
書けるのと正確度からプログラムの勝ちだと思います!!
豊川市　　 4月22日（木） 8:15:28　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50415
「数学」小旅行
マス目に書き込んでの算数方式でやりました。
簡単なやり方はあるのかなあ？
　　 4月22日（木） 9:09:57　　 　　50416
「数学」小旅行
Rubyでプログラムです。再帰呼び出しを使っています。

$n=0

def f(s,a)
s+=a
if s<=8 then
if s== 8 then
$n+=1
else
for i in [1,2,3]
if (a == 1) or (i != a) then
f(s,i)
end
end
end
end
end

f(-1,1)
p $n
　　 4月22日（木） 11:24:54　　 　　50417
みかん
開成のその他の問題の感想などです。

（１）小問集合
１、曜日計算
うるう年の回数に注意して日数を計算すればＯＫ。ツェラーの公式を知っている人もいる
とは思うが、公式が複雑で覚えにくい。
鎌倉学園の入試（算数選抜）でも、「２１２１年１１月２２日は何曜日か？」を出題。
２０００年や２００１年頃なら１００年後の曜日を問う問題もけっこうあっただろうが、
いまさらなんでこんな問題でネタかぶり？

２、規則性
どこかで見たことのある問題だろうし、とりあえず作業をすれば法則は見えるはず。

３、平面図形
正六角形を正三角形に分割して面積を出すという、これも易しいサービス問題。

４、数の性質？
１〜３が易しいので、４問目もよくある循環小数の問題で楽勝と思いきや…。
とりあえず計算をすると、２のｎ乗と関係ありそうなのに気づくので、第４８位は
求められる。２のｎ乗が５ケタになると結果にどう影響するかが分かりにくいため、
５６位以降はやっかい。方針がたったとしても、２のｎ乗をかなり計算しなくてはならず、
（１１乗以降ってあまり覚えていないよね）計算ミスのリスクも高そう。

（２）立体の体積
３問目は解けずじまいだったのですが、いかにも塾では扱っていそうな問題。
問題に面白味はないし、定番解法を知っているかが勝負となる、いやな問題です（←負け惜しみ）。
というか、立体図形の問題って昔はそんなにやらなかったような気が…。

（３）試行錯誤をともなうゲーム
１・２問目は導入、３・４問目も作業をがんばればできると思います。
２進法の計算が問題のテーマらしいですが、試験中になかなか気付けそうにはないので
最後の５問目はたぶん捨て問題。地道に調べ上げも可能だが、けっこう大変。
そのかわり時間さえかければ解けるので、ここに集中して取り掛かるのもアリ。でも
「何通りあるか」を問うているので、全通り書き出せていない答案での部分点は期待薄。

＜まとめ＞
（１）−１〜３・（２）の１問目は易しい問題なので、失点は即アウト。
（２）の立体図形を完答できればあとが少し楽、そうでなければ（３）の４問目まで
たどり着くことが必要か。
「得点差を作る」のが入試の目的だとすると、易しい小問集合の（１）をカットして、
腰を据えて取り組む大問４つの方がいいように思います。４問中２問を完答＋あとの
２問でちょっとずつ得点、ぐらいでちょうどいいのでは？
　　 4月22日（木） 12:33:46　　 　　50418
老算人
最初はフィボナッチ数列かなと思いましたが、うまくいきません
それで、数え上げていき、55にたどり着きました

その後、フィボナッチ数列から何か引いてみればと、やってみました
4段目、5段目等と数え上げたら引く数が次のようになりました
　　1、1、2、4、７とフィボナッチ数列になりました
　　 4月23日（金） 11:10:34　　 MAIL:takaaki-k@aqr.bbiq.jp 　　50419
Mr.ダンディ
条件をを満たすｎ段の登り方の数を　Ａ(n)
そのうち
初めの1歩が1段、2段、3段の場合の数をそれぞれ　a1(n),a2(n),a3(n)とすると
A(n)=a1(n)+a2(n)+a3(n)

a1(n+1)=A(n)
a2(n+1)=A(n-1)-a2(n-1)
a3(n+1)=A(n-2)-a3(n-2) .(n≧2）
がいえ

a1(1)=A(1)=1
a1(2)=a2(1)=1 ,a3(2)=0......A(2)=1+1+0=2
a1(3)=A(2)=2 ,a2(3)=A(1)=1,a3(3)=1......A(3)=2+1+1=4

a1(4)=A(3)=4 ,a2(4)=A(2)-a2(2)=2-1=1,a3(4)=A(1)=1......A(4)=4+1+1=6
a1(5)=A(4)=6 ,a2(5)=A(3)-a2(3)=4-1=3,a3(5)=A(2)=2......A(5)=6+3+2=11
a1(6)=11 ,a2(5)=6-1=5,a3(6)=3......A(6)=11+5+3=19
a1(7)=19 ,a2(7)=8,a3(7)=5......A(7)=19+8+5=32
A(8)=32+14+9=55
(もっと楽な方法がありそうな・・・）

　　 4月23日（金） 11:37:58　　 　　50420
こんた
わたしもほとんどMr.ダンディさんと同じで最後が1段、1段飛ばし、2段飛ばしでおわるn段の登り方をA(n)、B(n)、C(n)とすると、
A(n+1)=A(n)+B(n)+C(n)
B(n+2)=A(n)+C(n)
C(n+3)=A(n)+B(n)
A(1)=1,B(1)=0,C(1)=0,B(2)=1,C(2)=0,C(3)=1なので、
A(2)=A(1)+B(1)+C(1)=1
A(3)=A(2)+B(2)+C(2)=2
B(3)=A(1)+C(1)=1
A(4)=A(3)+B(3)+C(3)=4
B(4)=A(2)+C(2)=1
C(4)=A(1)+B(1)=1
A(5)=6, B(5)=3, C(5)=2
A(6)=11, B(6)=5, C(6)=3
A(7)=19, B(7)=8, C(7)=5
A(8)=32, B(8)=14, C(8)=9
よって32+14+9=55通り
　　 4月23日（金） 17:53:04　　 　　50421
難解な算数にチャレンジ！
ブログのURLです。https://nannkainasannsuunityarennzi.hatenablog.com/
　　 4月23日（金） 20:50:07　　 　　50422
ばち丸
表を作り、着地したstepには○、飛ばしたstepには×をつけて
階段を１つずつふやして全部数えました。はじめ62というのが
出てきて入れず変だなあとずっと思っていました。

こんたさん　#50421
3次の行列を使えば比較的簡単に行けそうなんですね。気が付きませんでした。
　　 4月24日（土） 7:16:04　　 　　50423
hrgn
mathematicaでやりました。

dp[1, 0] = 1;
dp[2, 1] = 1;
dp[3, 2] = 1;
dp[n_ /; n < 1, 0] := 0;
dp[n_ /; n < 2, 1] := 0;
dp[n_ /; n < 3, 2] := 0;
dp[n_, 0] := dp[n, 0] = dp[n - 1, 0] + dp[n - 1, 1] + dp[n - 1, 2];
dp[n_, 1] := dp[n, 1] = dp[n - 2, 0] + dp[n - 2, 2];
dp[n_, 2] := dp[n, 2] = dp[n - 3, 0] + dp[n - 3, 1];
ans = dp[8, 0] + dp[8, 1] + dp[8, 2]
　　 4月24日（土） 23:39:02　　 　　50424
ドリトル
フィボナッチやトリボナッチは通用しないと見て、調べ上げました。
結局#50407ベルク・カッツェさんの解法になりました。
木曜の更新を忘れていたことに深夜に気づき、
頭ん中で解いてやると思ったものの早々リタイア、メモ機能を使いました。
　　 4月25日（日） 7:30:00　　 　　50425
ドリトル
訂正
#50405でした。
これが12段とかになったら、#50407みかんさんの解法が光るでしょうね。
　　 4月25日（日） 7:39:37　　 　　50426
難解な算数にチャレンジ！
難解な算数にチャレンジ！（URL　https://www.kikuya-rental.com/bbs/?owner_name=nannkainasannsuu）に正解者掲示板を作りました。
　　 4月25日（日） 9:37:11　　 　　50427
難解な算数にチャレンジ！
URLが間違っていました。正しくはこちらです。https://nannkainasannsuunityarennzi.hatenablog.com/
　　 4月25日（日） 9:38:21　　 　　50428
まるケン
#50407 みかんさんの解法、#50417 「数学」小旅行さんのプログラムに触発されまして、
久しぶりに ruby ワンライナーしてみました。ちょっと長いですが、、、

p Hash.new{|h,k|h[k]=k<3?[(k+4)/3,(k+2)/3,(k+1)/3]:[h[k-1].sum,h[k-2][0]+h[k-2][2],h[k-3][0]+h[k-3][1]]}[7].sum
　　 4月25日（日） 18:08:12　　 　　50429
SECOND
十進BASIC です。１〜12段までやってみました。違ってたらゴメン

FOR y=1 TO 12
LET sum=0
CALL octa(0,0)
PRINT USING"! ## 段 #### 通り": y,sum
NEXT y

SUB octa(k,p)
LET s=s+p !k 桁までの段数
IF y=s THEN !y 段丁度
LET sum=sum+1 !y 段の累計
ELSEIF s< y THEN !y 段未満
CALL octa(k+1,1) !次の1段追加
IF p<>2 THEN CALL octa(k+1,2) !不連続の2段追加
IF p<>3 THEN CALL octa(k+1,3) !不連続の3段追加
END IF
LET s=s-p !k 桁の段数 cancel
END SUB

END

!＜実行結果＞
! 1 段 1 通り
! 2 段 2 通り
! 3 段 4 通り
! 4 段 6 通り
! 5 段 11 通り
! 6 段 19 通り
! 7 段 32 通り
! 8 段 55 通り
! 9 段 95 通り
! 10 段 163 通り
! 11 段 280 通り
! 12 段 481 通り
　　 4月25日（日） 19:50:42　　 　　50430
kyorofumi
これって漸化式からnの方程式を導き出せますか？
線形だから導き出せるという感覚であってますよね…？
　　 4月25日（日） 23:56:32　　 　　50431
いちごみるく
漸化式を行列に落とし込んで、その行列が対角化可能なら可能なのじゃないでしょうか
　　 4月26日（月） 3:53:39　　 　　50432
老算人
50419で書いたものが8段目までは、たまたま差がフィホナッチ数列になったものでした
9段目、10段目では通用しませんでしたので取り消します
　　 4月26日（月） 6:36:01　　 MAIL:takaaki-k@aqr.bbiq.jp 　　50433
いちごみるく
9*9の行列AのA^nのA[0][0] +A[1][0] + A[2][0]
{{1,1,1,0,0,0,0,0,0},
{0,0,0,1,0,1,0,0,0},
{0,0,0,0,0,0,1,1,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0,0,0,0},
{0,0,0,1,0,0,0,0,0},
{0,0,0,0,1,0,0,0,0},
{0,0,0,0,0,1,0,0,0}}
が答え
しかしこれでは対角化できないので
遷移を保ったまま変形すると
{{1,1,1,0,0,0,0},
{0,0,0,1,0,1,0},
{0,0,0,0,0,0,1},
{1,0,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0,0},
{0,0,0,1,1,0,0}}と変形できる
あとは頑張って計算すれば一般項が出せるはず
　　 4月26日（月） 15:51:37　　 　　50434
いちごみるく
あ、でも7次式解けないからあまり意味のないことしてるか
　　 4月26日（月） 15:56:29　　 　　50435
にこたん
汽車の中で解きました。
　　 4月27日（火） 16:04:25　　 　　50436
locker
連続してはいけないの条件を読み違えて大変でした...
定番の、最後に上る段数で場合分けを繰り返して解きました。
　　 4月27日（火） 20:44:21　　 　　50437
SECOND
#50430　訂正できないので、、くどいかも？、おかしな引数つけてました。ごめん
FOR y=1 TO 12
LET sum=0
CALL octa(0)
PRINT USING"! ## 段 #### 通り": y,sum
NEXT y

SUB octa(p)
LET s=s+p !p 段追加
IF y=s THEN !y 段丁度
LET sum=sum+1 !y 段の累計
ELSEIF s< y THEN !y 段未満
CALL octa(1) !次の1段追加
IF p<>2 THEN CALL octa(2) !不連続の2段追加
IF p<>3 THEN CALL octa(3) !不連続の3段追加
END IF
LET s=s-p !p 段追加の cancel
END SUB
　　 4月28日（水） 2:35:58　　 　　50438
ばち丸
マサルさん、お休みなので、こんなのどうでしょ。
数�兇寮冓�相当

xyz直交空間内でx≧0、y≧0、z≧0、xy＋yz＋zx≧３、x＋y＋z≦6の
満たす部分の体積を求めたい。この立体について
��x+y+z=tで切った時の断面積を求めなさい
��体積を求めなさい
　　 4月29日（木） 5:24:04　　 　　50439
kyorofumi
#50434
返信ありがとうございます。対角化できると一般項が導き出せるというのは確かに納得できそうです。
最初の上３列だけじゃなくて下６列もいれて対角化できないといけないんですね。
少しまた漸化式と対角化の関係について調べてみます
　　 4月29日（木） 5:43:13　　 　　50440
ばち丸
#50439
思い込みがあって、よくみると間違いがありそうです。訂正させてください

xyz直交空間内で、x2+y2+z2+xy＋yz＋zx≦6の
満たす部分の体積を求めたい。この立体について
��x+y+z=tで切った時の断面積を求めなさい
��体積を求めなさい
　　 4月29日（木） 6:55:22　　 　　50441
老算人
エクセルを使ってみました
次のように表を作ります
　　左から　段数　�　´◆´�　合計
　　　　段数　　階段の数
　　　　�　　　�1段登る場合数
　　　　�◆　　�1段とばしの場合数
　　　　��　　　2段とばしの場合数
　　　　合計　　�　椨◆椨�
　　�　�1段前の�　椨◆椨�
　　�◆�2段前の�　椨�
　　��　3段前の�　椨�
これらの計算をエクセルにやらせました
　　50420のＭｒ．ダンディさんと同じようですね
　　 4月29日（木） 9:35:42　　 MAIL:takaaki-k@aqr.bbiq.jp 　　50442
大山正純
お会い出来るのも中々難しいと思い、緊急事態宣言の中なれど、
家族三人で、東京コロンボに行って来ました。

マサルさんにも無事お会い出来、緊張で
うまく話せない中、気さくに応対して頂き、
本当に感動しました。

カレーも肉が柔らかくて美味しく、家族全員、大満足で、
未だの方は、是非ご賞味頂ければと思います。

短いながらも、楽しい時間をありがとうございました。
今後とも、よろしくお願い致します。
　　 5月1日（土） 16:26:46　　 　　50443
マサル
#50443
　大山さん、こちらこそ、お会いできて感激いたしました。遠いところわざわざお越しいただき、本当にありがとうございましたー！（あれから毎日、朝&#12316;15:30くらいまで、お店にいます。慣れない仕事？だけれど、楽しいです）
自宅　　 5月3日（月） 9:56:40　　 HomePage:ARENA　　50444