ベルク・カッツェ

10か所2通りずつで全部で1024通り。 線対称かつ点対称なものが8通り。 線対称かつ点対称でないもので、 線対称なものが対象の軸縦、横それぞれ32-8＝24通りずつなので48÷2＝24通り、 点対称なものが64-8＝56通りなので56÷2＝28通り。 線対称でも点対称でもないものが残りなので912通りで912÷4＝228通り。 8+24+28+228＝288通りになりました。

5月20日（木） 0:27:11　　 　　50491

今年から高齢者

第995回問題

5月20日（木） 0:30:07　　 　　50493

ベルク・カッツェ

#50493 どこかで見た問題のような気がしたら、過去問でしたか。 過去ログ見たら前回とは違う解き方でした。

5月20日（木） 0:34:12　　 　　50494

げほげほ

久々の1位正解ということで記念カキコです 最初マジメに数えようとしましたが、こんがらがってきて 大人気なくも「ポリヤの計数定理」で殴りました…（；＾ω＾） クラインの四元群の各元について、動かないパターン数の総和は 明らかに2^10+2^6+2^5+2^5なので、4で割って288です！

プププランド　　 5月20日（木） 0:43:27　　 HomePage:正体不明（あんのうん）　　50495

Jママ

過去問でしたか、すっかり忘れてました。 今回愚直に場合分けして数えました。大変でした。 前回の方が少しスマートに解けていたようです笑

5月20日（木） 1:18:52　　 　　50496

マサル

なんと...全く、覚えていませんでした。orz

自宅　　 5月20日（木） 8:57:55　　 HomePage:ARENA　　50497

いちごみるく

(2^10+2^5+2^6+2^5)/4 バーンサイドの補題です

5月20日（木） 19:25:03　　 　　50498

Jママ

ポリ塩化ビフェニル　C_12H_(10-n)CL_n (0≦n≦10)の異性体の数は210個だそうです。 2つのフェニル基が同一平面上にはないので、 この問題とは数が異なりますが、 片方の六角形を裏返しても同じになるものを1つに数えると、ちゃんと210になります。 数え上げと、対称性についてベン図を用いたやり方の両方で確認できました。

5月21日（金） 1:04:30　　 　　50499

ベルク・カッツェ

#50499 今回の問題とほぼ同じ形の分子なんですね。 288でなく210（209+1）になるのは、単結合が回転できるからでしょうか。

5月21日（金） 8:47:23　　 　　50500

Jママ

#50500 おっしゃるとおりだと思われます。 この平面で言うならば、片方の六角形を縦向きに裏返したものも同一と数えると、210になりました。 よりやや複雑にはなりますが、面白い作業でした。

5月21日（金） 9:02:16　　 　　50501

いちごみるく

それもバーンサイドの補題で (2^10+2^5+2^8+2^8+2^6+2^3+2^3+2^5)/8=210ですね

5月21日（金） 12:36:51　　 　　50502

Jママ

#50502 バーンサイドの補題は恥ずかしながら初耳で、 にわかに覚えたつもりでも難しくて、 紙を２枚並べてひっくり返したりして格闘して いちごみるくさんの式を理解しました(つもり)。笑

5月21日（金） 15:36:02　　 　　50503

いちごみるく

バーンサイドの補題は大学数学の群論をかじっていないと知らないのが普通ですよ。 これを知っていると対称性のあるものの塗り分け(多面体とか)を作業で解けます。 ポリ塩化ビフェニル型だと、 右側の上下回転、左側の上下回転、左右の回転があるので これらの積の2^3通りが置換操作になります。 もとの問題だと右部と左部は連動しているので2^2通りが置換操作になりますね。 問題を解くのがつまらなくなるので解いたあとの検算に使うほうがいいかもしれませんが。

5月21日（金） 17:54:36　　 　　50504

にこたん

集合で考えました。

超ど田舎　　 5月21日（金） 20:34:34　　 　　50505

ベルク・カッツェ

#50501 レスありがとうございます。 化学はあまり得意ではありませんが、分子にはいろいろ面白いものがありますね。

5月21日（金） 23:52:15　　 　　50506

にこたん

位数４の２面体群で・・・。後は、調べます。

超ど田舎　　 5月22日（土） 5:25:10　　 HomePage:気ままに　　50507

「数学」小旅行

全部を一色で塗ることを失念していて悩み続けていました。 やっと気付いて、スッキリです。（＾＾）／〜

5月22日（土） 13:09:01　　 　　50508

にこたん

群Gが集合Xに右から作用しているとして、各Gの元で不変なXの部分集合の 数を足してGの位数で割るとXのGによる軌道の数になるのですね。 途中、計算でGの元を動かして考えたり、Xの元を動かして考えたりすると 上手くいきますね。

超ど田舎　　 5月22日（土） 16:34:25　　 HomePage:気ままに　　50509

「数学」小旅行

例によってRubyプログラミングです。 a=[0,1] b=a.repeated_permutation(5).to_a c=a.repeated_permutation(5).to_a k=0;l=0;m=0;n=0 b.each do |i| c.each do |j| k+=1 if i+j == j+i then l+=1 end if i+j == j.reverse+i.reverse then m+=1 end if i+j == i.reverse + j.reverse then n+=1 end end end p (k-l-m-n)/4+(l+m+n)/2

5月22日（土） 22:25:29　　 　　50510

「数学」小旅行

最後の4で割ったり2で割ったりは人の知恵が入っていて、 プログラム利用としては不本意なので、やり直しました。 a=[0,1];b=a.repeated_permutation(5).to_a;c=a.repeated_permutation(5).to_a d=[] b.each{|i|c.each{|j|if !d.include?(j+i) and !d.include?(j.reverse+i.reverse) and !d.include?(i.reverse+j.reverse) then d.push i+j end}} p d.size

5月24日（月） 9:01:13　　 　　50511

迷える子羊

青が０個の時１通り、１個の時３通り、２個の時１５通り、３個の時３２通り、４個の時５９通り、５個の時６６通り、・・になりました。これでは合計が２８６通りになってしまいます。どこが違うんだろう？

5月24日（月） 17:24:20　　 　　50512

「数学」小旅行

すみません。無駄な部分が多かったので、さらにシェイプアップしました。 まだまだ簡単になりそうな気がします。 d=[] a=[0,1].repeated_permutation(5) a.each{|i|a.each{|j|d.push(i+j)if d.intersection([i+j,j+i,i.reverse+j.reverse,j.reverse+i.reverse])==[]}} p d.size

5月24日（月） 17:49:46　　 　　50513

巷の夢

#50493 前回は2日間で解けたのに、今回は5日間もかかってしまいました。 間違いなく脳が退化しつつあることを痛感せざるえません。 淋しいなー・・・・。いくらやっても駄目なので、きちんと全ての 場合分けでやっとです・・・。あー、疲れた。

真白き富士の嶺　　 5月24日（月） 18:35:22　　 　　50514

Jママ

#50512 4個のとき62通り、5個のとき62通り になりました。あとは一緒でした。 合ってればいいのですが…

5月24日（月） 19:29:28　　 　　50515

locker

左右上下対称の集合と回転対称の集合が同じだと勘違いしていて間違えました... 最近レベル高くなってる気がします

5月24日（月） 21:53:30　　 　　50516

「数学」小旅行

#50498 #50510　バーンサイドの補題の知識をここで使うと (k+l+m+n)/4　とできるのですね。 あとは置換後に変化しない置換をプログラムでどうやって見つけるかが 次の課題です。 #50511　ここでも置換方法は人の知恵を貸しているので まだプログラム任せにはなっていないことに気付きました。

5月25日（火） 7:26:25　　 　　50517

「数学」小旅行

#50517 恒等、回転、左右、上下、の置換を与えるだけならいいか？ (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) (9,8,7,6,5,4,3,2,1,0) (5,6,7,8,9,0,1,2,3,4) (4,3,2,1,0,9,8,7,6,5) これら４つの置換を与えて走らせるというのは有りかと。。。。

5月25日（火） 7:49:42　　 　　50518

紫の薔薇の人

この図形に対する合同変換は、 恒等変換：E 水平反転：H 垂直反転：V 半回転　：R の4通り。 このとき、 E^2=H~2=V~2=R~2=E HV=VH=R、HR=RH=V、VR=RV=H xを1024通りの配置の一つとする。 このとき、x,Hx,Vx,Rxが合同変換で移りあう配置(家族)だが、xの配置により次の３通りがある。 (1)x,Hx,Vx,Rxが全て同じ配置である。（家族のメンバは１配置） (2)x,Hx,Vx,Rxが全て異なる配置である。（家族のメンバは４配置） (3)Hx,Vx,Rxの一つだけがｘと同じ配置である。（家族のメンバは３配置） ※)Hx,Vx,Rxの一つだけがｘと同じ配置である。,Rxの2つだけがｘと同じ配置になることはない。 例えば、Hx＝Vx＝ｘとすると、Rx＝HVx＝Hx＝x 水平変換で自身と同じ配置になるのは32通り。 垂直変換で自身と同じ配置になるのは64通り。 半回転で自身と同じ配置になるのは32通り。 水平変換、垂直変換、半回転で自身と同じ配置になるのは8通り。 これより、 (1)に該当する家族は8。 (3)に該当する家族は、(32-8)＋(64-8)＋(32-8)＝104。 (2)に該当する家族は、(1024-104*3-8)/4＝176 求める家族数は、8+104+176＝288 //

5月26日（水） 1:59:09　　 　　50519

紫の薔薇の人

#50519 （※)Hx,Vx,Rxの2つだけがｘと同じ配置になることはない。 例えば、Hx＝Vx＝ｘとすると、Rx＝HVx＝Hx＝x

5月26日（水） 2:01:38　　 　　50520

紫の薔薇の人

表記乱れを訂正したもの この図形に対する合同変換は、 恒等変換：E 水平反転：H 垂直反転：V 半回転　：R の4通り。 このとき、 E^2=H^2=V^2=R^2=E HV=VH=R、HR=RH=V、VR=RV=H xを1024通りの配置の一つとする。 このとき、x,Hx,Vx,Rxが合同変換で移りあう配置(家族)だが、xの配置により次の３通りがある。 (1)x,Hx,Vx,Rxが全て同じ配置である。（家族のメンバは１配置） (2)x,Hx,Vx,Rxが全て異なる配置である。（家族のメンバは４配置） (3)Hx,Vx,Rxの一つだけがｘと同じ配置である。（家族のメンバは３配置） （※)Hx,Vx,Rxの2つだけがｘと同じ配置になることはない。 例えば、Hx＝Vx＝ｘとすると、Rx＝HVx＝Hx＝x 水平変換で自身と同じ配置になるのは32通り。 垂直変換で自身と同じ配置になるのは64通り。 半回転で自身と同じ配置になるのは32通り。 水平変換、垂直変換、半回転で自身と同じ配置になるのは8通り。 これより、 (1)に該当する家族は8。 (3)に該当する家族は、(32-8)＋(64-8)＋(32-8)＝104。 (2)に該当する家族は、(1024-104*3-8)/4＝176 求める家族数は、8+104+176＝288 //

5月26日（水） 2:05:06　　 　　50521

迷える子羊

♯50515 返答いただきありがとうございます。 ４個の場合につき再検討し、１個増えて６０通りになりました。 私としてはこれで２８８通りになるのでこの辺で手を打とうと思います。 本当のところが知りたいのは山々ですが、疲れました。

5月26日（水） 11:55:27　　 　　50522

「数学」小旅行

ひつこいようですが。。。すみません。 tで与えた置換で等しくなるものは一通りと数えるプログラムにしました。 t=[[5,6,7,8,9,0,1,2,3,4],[4,3,2,1,0,9,8,7,6,5],[9,8,7,6,5,4,3,2,1,0]] d=[] a=[0,1].repeated_permutation(10) a.each{|i|d.push(i)if d.intersection(t.map{|j|j.map{|k|i[k]}})==[]} p d.size

5月26日（水） 12:16:06　　 　　50523

「数学」小旅行

さらに、しつこくてすみませんが、 ポリ塩化なんとかの異性体の数のときは置換のパターンを増やして、 t=[[5,6,7,8,9,0,1,2,3,4],[4,3,2,1,0,9,8,7,6,5],[9,8,7,6,5,4,3,2,1,0] ,[0,1,2,3,4,9,8,7,6,5],[4,3,2,1,0,5,6,7,8,9],[9,8,7,6,5,0,1,2,3,4],[5,6,7,8,9,4,3,2,1,0]] とすると出てきました。 なお、3色で塗り分ける場合は［０，１，２］で順列をつくって 調べるとよくて、ちょっと時間がかかりましたが、１５０６６がでました。

5月26日（水） 14:40:55　　 　　50524