前週（第１１７６回）分の過去ログ

みかん

求める面積は
（あ）三角形ＰＢＣ…２辺が４ｃｍ、底角が７５度の二等辺三角形
（い）三角形ＱＰＣ…２辺が４ｃｍの直角二等辺三角形
の合計のような気がします。

　　 7月1日（木） 0:16:58　　　　50623

紫の薔薇の人

まずは、数学で。
AB=a、AQ=b,AP=cとおくと、

△ABC＝a^2/4
△APQ＝bc/4
だから、□PBCQ＝(a^2-bc)/4

余弦定理を使って、a^2＝16(2+√3)
正弦定理を2回使ってbc＝16(√3-1)
代入して、□PBCQ＝12
//
AQ=PB使いませんでした。

　　 7月1日（木） 0:18:51　　　　50624

ゴンとも

自分もPQ=BCは使わずともできたんで
辺の等しい条件はどちらか一方でいいと思います!!

座標でA(0,0),B(4+2*sqrt(3),-2),C(4+2*sqrt(3),2),D(4+2*sqrt(3),0)
点A,Bを中心にそれぞれ半径の長さ赤丸=aの円と
直線AC:y=(2-sqrt(3))*x,直線AB:y=-(2-sqrt(3))*x
との交点Q,Pを求め,Qから直線ABに垂線を下ろしその足をRとし
QR/PR=tan(15°)=2-sqrt(3)として赤丸=aが求まり
AC=2*(sqrt(6)+sqrt(2))から引いてAP
これと赤丸と2辺とsin(∠A)で△AQPを
△ABC=8+4*sqrt(3)から引いて□PBCQで答えがでる Maxima で

load(sqdnst)$
part(solve([x^2+y^2=a^2,y=(2-sqrt(3))*x],[x,y]),2)$rhs(part(%o2,1))$rhs(part(%o2,2))$
factor(sqrtdenest(%o3))$factor(sqrtdenest(%o4))$
part(solve([(x-2*(2+sqrt(3)))^2+(y+2)^2=a^2,y=-(2-sqrt(3))*x],[x,y]),2)$rhs(part(%o7,1))$rhs(part(%o7,2))$
factor(sqrtdenest(%o8))$factor(sqrtdenest(%o9))$
part(solve([y=(x-%o5)/(2-sqrt(3))+%o6,y=-(2-sqrt(3))*x],[x,y]),1)$rhs(part(%o12,1))$rhs(part(%o12,2))$
factor(((%o5-%o13)^2+(%o6-%o14)^2)/((%o10-%o13)^2+(%o11-%o14)^2)-(2-sqrt(3))^2)$
rat(rhs(part(solve(num(%),a),1))),algebraic$
rootscontract(%)$
factor(8+4*sqrt(3)-(2*(sqrt(6)+sqrt(2))-%)*%/4)$
rootscontract(expand(%));12・・・・・・(答え)

豊川市　　 7月1日（木） 1:37:17　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50625

今年から高齢者

⊿CPBが二等辺三角形になることの証明が面倒であった。

⊿ABCを反転させて、左側に、ACをBAをくっつけて、平行四辺形を作る。
Pの行き先をP'とすると、P'Q=BC=4。
また、PQP'は正三角形なので、PQ=BC=4。
Qから、ABに垂線を引いて、交点をRとする。
QR=AQ/2=PB/2
PBの中点をMとすると
⊿PQR≡⊿CBMなので、CM⊥PB
よって、⊿CPBは二等辺三角形
PC=BC=4
∠QPC=90°
⊿QPCは直角二等辺三角形なので、
4*4/2=8＿cm2
⊿CPBは頂角30°の二等辺三角形なので、
4*4/4=4＿cm2
四角形PBCQはこの2つを合わせて,
12＿cm2

　　 7月1日（木） 1:49:38　　　　50626

Jママ

ACについて線対称に△AB'Cをつくると、
AP=AP'=PP', AP=CQ より
□QPCP'は4cm×4cmの正方形
∠PCB=75-45=30°　なので
PからBCへ下ろした垂線の足をHとすると
PH=1/2×PC=2cm 　よって求める面積は
4×4÷2+4×2÷2=12cm^2

雑な図ですが
https://d.kuku.lu/6e4fff475

　　 7月1日（木） 2:18:53　　　　50627

「数学」小旅行

直角二等辺三角形と頂角30°の二等辺三角形に分けられることに
気付きました。

　　 7月1日（木） 2:42:11　　　　50628

ゴンとも

#50625
∠APQ=15°を使わずともできました!!
こっちの方が解答が短くなりました!!

座標でA(0,0),B(4+2*sqrt(3),-2),C(4+2*sqrt(3),2),D(4+2*sqrt(3),0)
点A,Bを中心にそれぞれ半径の長さ赤丸=aの円と
直線AC:y=(2-sqrt(3))*x,直線AB:y=-(2-sqrt(3))*x
との交点Q,Pを求めQP=4より赤丸=aが求まり
AC=2*(sqrt(6)+sqrt(2))から引いてAP
これと赤丸と2辺とsin(∠A)で△AQPを
△ABC=8+4*sqrt(3)から引いて□PBCQで答えがでる Maxima で

load(sqdnst)$
part(solve([x^2+y^2=a^2,y=(2-sqrt(3))*x],[x,y]),2)$rhs(part(%o2,1))$rhs(part(%o2,2))$
factor(sqrtdenest(%o3))$factor(sqrtdenest(%o4))$
part(solve([(x-2*(2+sqrt(3)))^2+(y+2)^2=a^2,y=-(2-sqrt(3))*x],[x,y]),2)$rhs(part(%o7,1))$rhs(part(%o7,2))$
factor(sqrtdenest(%o8))$factor(sqrtdenest(%o9))$
factor((%o10-%o5)^2+(%o11-%o6)^2-4^2)$
rat(rhs(part(solve(%,a),1))),algebraic$factor(sqrtdenest(%))$rootscontract(expand(%))$
factor(8+4*sqrt(3)-(2*(sqrt(6)+sqrt(2))-%)*%/4)$
rootscontract(expand(%));12・・・・・・(答え)

豊川市　　 7月1日（木） 2:42:22　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50629

ベルク・カッツェ

角BCPが30度と仮定すると、そうならないと角ＰＢＣが75度にならないので間違いなく30度だと思うのですが、75度から30度を求める方法がまだわかりません。
一辺4の正方形に一辺4の正三角形をはめ込んで頂点を結んだのと同じ形で、前にもほぼ同じものをやったような気がするけれと思い出せないという。
とりあえず4×2÷2+4×4÷2＝12なのは確実だと思います。

　　 7月1日（木） 2:59:52　　　　50630

みかん

１辺４ｃｍの正方形ＴＳＣＰとＰＣＲＱを、辺ＰＣが接するように書く。
正方形ＴＳＣＰの内部に正三角形ＢＳＣを作る。

こうしてできた四角形ＰＢＣＱは、（あ）正方形の半分　と
（い）２辺が４ｃｍ、頂角３０度の二等辺三角形　を合わせた図。

算数の説明ならこれぐらいで十分かなぁ？　

　　 7月1日（木） 4:28:08　　　　50631

「数学」小旅行

ふと思った疑問ですが、

∠ＡＰＱ＝15°となるように点Ｐを辺ＡＢ上点Ｂから点Ａの
方へ動かしたとき、線分ＢＰの長さは単調増加で、線分ＡＱの
長さは単調減少なので、ＢＰ＝ＡＱとなるのはユニークに決まるので
そのときの線分ＰＱの長さは決まってしまいます。
とすると、もしかして、ＰＱ＝ＢＣは蛇足なのかと。。。

　　 7月1日（木） 6:38:14　　　　50632

∠ Q＝45°の △ PQC の高さを PH とすると、AP＝QC の半分が
PH＝QH＝HC となるので、求める面積は PC の上下にある頂角が
90°と 30°の二等辺三角形の和で、8＋4＝12 cm^2 としました。

　　 7月1日（木） 9:19:19　　　　50633

ゴンとも

#50625
PQ=BCを使わなくても答えがでる
#50629
∠APQ=15°を使わなくても答えがでる
今回はAQ=BPを使わなくてもの答えがでる解法で

座標でA(0,2*(2+sqrt(3))),B(-2,0),C(2,0)
P(a,(2+sqrt(3))*a+2*(2+sqrt(3)))より
直線PQ:y=sqrt(3)*(x-a)+(2+sqrt(3))*a+2*(2+sqrt(3))
直線AC:y=-(2+sqrt(3))*x+2*(2+sqrt(3))
この2直線の交点Qを求めPQ=4より
Pのx座標=aが求まり
P,Qの文字を含まない数値が求まり
直線PQと直線BCとの交点Rのx座標を求め
□PBCQ=(Cのx座標-Rのx座標)*Qのy座標/2-(Bのx座標-Rのx座標)*Pのy座標/2
で答えが求まる　Maxima で

e1:y=sqrt(3)*(x-a)+(2+sqrt(3))*a+2*(2+sqrt(3))$
e2:y=-(2+sqrt(3))*x+2*(2+sqrt(3))$
part(solve([e1,e2],[x,y]),1)$
rhs(part(%o3,1))$rhs(part(%o3,2))$
factor((%o4-a)^2+(%o5-(2+sqrt(3))*a-2*(2+sqrt(3)))^2-16)$
rhs(part(solve(%,a),1))$
load(sqdnst)$factor(sqrtdenest(%th(2)))$rat(%),algebraic$
factor(%)$
expand(ev(%o4,a=%o11))$
expand(ev(%o5,a=%o11))$
expand(ev(a,a=%o11))$
expand(ev((2+sqrt(3))*a+2*(2+sqrt(3)),a=%o11))$
rhs(part(solve(0=sqrt(3)*(x-%o14)+%o15,x),1))$
expand(factor((2-%o16)*%o13/2-(-2-%o16)*%o15/2));12・・・・・・(答え)

豊川市　　 7月1日（木） 10:01:10　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50634

ゴンとも

豊川市　　 7月1日（木） 10:01:10　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50635

ゴンとも

すみません#50635と#50634は全く同じで
貼り付けに失敗したんですが貼り付けた時間が同じというのも・・・
削除を試みたのですがまだ削除できないようですね。

豊川市　　 7月1日（木） 10:10:00　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50636

スモークマン

#50627 Jママさま
鮮やかですね♪

わたしゃ...もうシコシコと...^^;;

底辺を1辺とする正三角形と相似とから...
4*(4+2√3)/2-(4(2-√3)*2√3/2+4*(4-2√3)/2)
=12

でやっとこさ...図形は閃きで解けなきゃ大変ありますね ^^;;;

　　 7月1日（木） 15:07:23　　　　50637

ドリトル

まあまあ難しかったです。
こういうものになっていくと、2つの三角形の組み合わせだって気付かなくなるかと。

　　 7月1日（木） 16:28:16　　　　50638

岡本ボンバーズ

ＰからＡＣに垂線引いてＨ、△ＰＨＱが直角二等辺になって…ＰとＣ結んで△ＰＣＢが△ＡＢＣと相似になることと、ＡＱ＝ＰＢを一切使わなかったので不安でしたが…

　　 7月1日（木） 16:40:26　　　　50639

さいと散

正方形BCDE内にFをとり、正三角形FCDを作ると
ΔAQP≡ΔBFD , ΔPBC≡ΔFBC , ΔQPC≡ΔBCD が想定解ではないでしょうか？

　　 7月1日（木） 22:22:53　　　　50640

さいと散

正方形BCDE内にFをとり、正三角形FCDを作ると
ΔAQP≡ΔBFD , ΔPBC≡ΔFBC , ΔQPC≡ΔBCD が想定解ではないでしょうか？

　　 7月2日（金） 6:00:42　　　　50641

Mr.ダンディ

三角関数で解いて、しばらく放置していたのですが、算数で解き直したら下記のような解法になりました。
BCに関いてAと同じ側に　点Dを∠CBD＝135°、BD＝AQとなるようにとると
△BPDは正三角形
∠PDC＝∠BDC＝30°となり
△PDC≡△BDCPC＝BC＝4
∠PQC＝45°より△QPOは直角二等辺三角形
BからPCにおろした垂線の足を　Ｈとすると
ＢＨ＝4/2＝2　となり
四角形ＰＢＣＱ＝(1/2)x4x(4+2)=12
以上となりました。

　　 7月2日（金） 14:00:25　　　　50642

ねねね

Mr.ダンディさん、あざやかな解法だと思います。私は点Ｄを思いつきませんでした。ただ「∠PDC＝∠BDC＝30°となり」の箇所がよく分かりません。教えていただけると幸いです。
私は、△AQC≡△BDC　だから∠BDC＝30°となり∠PDC＝30°となると考えました。
∠PDC＝∠BDC＝30°がもっと簡単に分かる方法が思いつきません。

　　 7月3日（土） 6:51:49　　 MAIL:rss70182@nifty.com 　　50643

ねねね

訂正します。
私は、△AQP≡△DBC　だから∠BDC＝30°となり∠PDC＝30°となると考えました。

　　 7月3日（土） 7:28:40　　 MAIL:rss70182@nifty.com 　　50644

にこたん

早く夏休みに、なって欲しいです。

超ど田舎　　 7月3日（土） 20:17:31　　　　50645

蜻蛉

CからABに垂線を降ろし足をD、QからABに垂線を降ろし足をRとすると△BCD≡△QPR
△AQRは30°60°90°の直角三角形なのでQRはAQの半分
従ってBDはBPの中点
なので△BCPは二等辺三角形でBC=CP、∠BCP=30°
CP=PQとなり、∠CQP=45°であるから△CPQは直角二等辺三角形
あとは面積の計算
ずーっとAB=AC=4だと思ってしまって答えが有理数にならず算数じゃ無理ってことになるのでいったいどこを間違えているのか悩み続けていました。

　　 7月3日（土） 22:54:24　　　　50646

Mr.ダンディ

#50643 ねねね　さん
∠PDC＝∠BDC＝30°について、少し端折りすぎましたようですみません。
ねねねさんが書かれておられるように
「△AQP≡△DBC　だから∠BDC＝30°となり∠PDC＝30°」と考えました。

　　 7月4日（日） 11:04:59　　　　50647

ベルク・カッツェ

ABを対象の軸としてQと対称な点をQ'とすると、三角形PQQ'とCPBは合同になり、CP=4、角PCB=30度。
今更ですが納得できる解法になったので書き込みました。

　　 7月6日（火） 7:31:52　　　　50648

ベルク・カッツェ

PQ=BCがないと、図形が一意に定まっても、算数ではPQ=4が求められないので解けなくなってしまうのでは？

　　 7月6日（火） 7:43:04　　　　50649

おすまん

正答率の高さとは裏腹に難しい問題でした… orz

somewhere in the world　　 7月6日（火） 18:54:07　　　　50650

「数学」小旅行

三角形ABCの内部に正三角形DBCを描く。
Dを通りABに平行な直線を引き、ACとの交点をEとする。
三角形ADEは二等辺三角形になり、AE=DE。
したがって、AB上にAE=BFなるFをとると、四辺形BDEFは
平行四辺形となり、FE=BD=BC=4がいえる。

というのはどうでしょうか？

　　 7月7日（水） 16:41:27　　　　50651

蜻蛉

[PQ=BCの条件がない場合]
Bを通りPQに平行な直線とQを通りBPに平行な直線の交点をDとして、AD、CDを直線で結ぶ。
四角形PBDQは平行四辺形であるのでDQ=BP。BP=AQの条件からDQ=AQであるから、△ADQは二等辺三角形であり、∠QAD=∠QDA。
AB∥QDであるから∠BAD=∠ADQ。よって、∠BAD=∠CADとなるのでDはBCの垂直二等分線上にあることになり△BCDは二等辺三角形。
∠DBC=75°-15°=60°であるので△BCDは正三角形ということになり、BD=BC。
BD=PQであるから、PQ=BCが言える。

[AQ=BPの条件がない場合]
上と同じように点Dをとり、AD、CDを直線で結ぶ。
四角形PBDQは平行四辺形であるのでBD=PQ。PQ=BCであるからBC=BDであり、∠CBD=60°であるから△BCDは正三角形。
従ってDはBCの垂直二等分線上にあり、またAもBCの垂直二等分線上にある。
BCの垂直二等分線は∠BACの二等分線でもあるから∠BAD=∠CAD。
AB∥DQであるから∠BAD=∠ADQ、よって∠ADQ=∠DAQであるので△ADQは二等辺三角形。
AQ=DQであり、BP=DQであるからAQ=BPが言える。

[∠APQ=15°の条件がない場合]
上と同様に点Dをとり、AD、CDを直線で結ぶ。
△ADQは二等辺三角形であるから底角が等しく、またそれらは∠BADとも等しいのでADは∠BACの二等分線であり、またBCの垂直二等分線。
従って、△BCDは二等辺三角形でBD=CD。
PQ=BD、PQ=BCであるからBD=BCであり△BCDは正三角形。
あとは角度計算をして∠APQ=15°が言える。

　　 7月8日（木） 22:33:30　　　　50652

おすまん

#50639 岡本ボンバーズさま
> ＰとＣ結んで△ＰＣＢが△ＡＢＣと相似になること
ＡＱ＝ＰＢを使わずに△ＰＣＢ∽△ＡＢＣといえるのでしょうか…？
よろしければ、ご教示くださいませm(_ _)m

somewhere in the world　　 7月9日（金） 0:12:20　　　　50653

ベルク・カッツェ

#50652
なるほど、算数で求められるんですね。
勉強になりました。

　　 7月9日（金） 0:41:58　　　　50654

おすまん

#50652 蜻蛉さま

勉強になりますm(_ _)m　ありがとうございます！

somewhere in the world　　 7月9日（金） 12:55:20　　　　50655

蜻蛉

　　 7月9日（金） 21:47:40　　　　50656

おすまん

♯50658 蜻蛉さま

新しい投稿がないか確認しようとして、ブラウザの再読み込みボタンを
クリックすると直前の投稿を再投稿してしまうようです。

「ページ更新」を押すと良いと掲示板を最新の状態できるようです！

somewhere in the world　　 7月9日（金） 22:49:03　　　　50659