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baLLjugglermoka |
| 正三角形と二等辺三角形を組み合わせて60+47=107 |
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11月11日（木） 0:56:38
51027 |
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安倍 |
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直接性に欠けるので想定解ではないかもしれませんが厳密な証明です：
問題の条件を満たす図形は相似を除いて一意であることを示す。これはAB=1と固定すれば△ABDが二辺挟角相等、△BCDが二角挟辺相等よりそれぞれ一意に定まることから従う。 よって、問題の条件を満たすような図形をひとつ構成すればよい。△ACEを正三角形とし、ACに関してEと反対側にAC=CD、∠ACD=86°となるように点Dを取る。AEに関してCと反対側にAE=BE、∠AEB=86°となるように点Bをとる。この時四角形ABCDが問題の条件を満たす図形であることは角度を計算すればわかる。よってこのように構成した四角形ABCDは問題の図形と相似であり、この時の∠BACの値は60+(180-86)/2 =107°と求まる。 |
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11月11日（木） 2:09:42
51028 |
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安倍 |
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直接性に欠けるので想定解ではないかもしれませんが厳密な証明です：
問題の条件を満たす図形は相似を除いて一意であることを示す。これはAB=1と固定すれば△ABDが二辺挟角相等、△BCDが二角挟辺相等よりそれぞれ一意に定まることから従う。 よって、問題の条件を満たすような図形をひとつ構成すればよい。△ACEを正三角形とし、ACに関してEと反対側にAC=CD、∠ACD=86°となるように点Dを取る。AEに関してCと反対側にAE=BE、∠AEB=86°となるように点Bをとる。この時四角形ABCDが問題の条件を満たす図形であることは角度を計算すればわかる。よってこのように構成した四角形ABCDは問題の図形と相似であり、この時の∠BACの値は60+(180-86)/2 =107°と求まる。 |
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11月11日（木） 2:14:34
51029 |
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「数学」小旅行 |
| 水曜日だったことをうっかりしていました。 |
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11月11日（木） 8:14:02
51030 |
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最後の手描き図面職人 |
| CADで作図して求めました。 |
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11月11日（木） 10:31:07
MAIL:syokyuhsya@gmail.com 51031 |
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マサル |
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これ、学校で習うような普通の証明が難しいような気がするんですが、どうでしょうか。どうしても、「このように描くと、題意の図と一致する」的な証明になってしまうのでは？と思っています。
（小学生だからむしろ、何でもアリかと思って出題したという...） |
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自宅
11月11日（木） 13:19:06
HomePage:ARENA 51032 |
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今年から高齢者 |
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∠BAC=Xとすると
∠ACB=150-X、∠ACD=X-21 AB=AD=1、AC=Lとして ��ABCにおいて、1/sin(150-X)＝L/sin30 ��ACDにおいて、1/sin(X-21)＝L/sin47 sin(150-X)/ sin(X-21)＝sin30/sin47 これをエクセルでXの数値を変えて解いた。 X=107° |
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11月11日（木） 16:33:01
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ベルク・カッツェ |
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BDの垂直二等分線に対してCと対称な点をEとおくと、AE=AC、BE＝EC=CDとなります。
ここで三角形AECが正三角形であるとするとうまく当てはまって角BACは107度となるのですが、これ算数で求める方法は存在しない、解けない問題のような気がします。 数学でも三角関数で関数電卓を用いて近似計算でおよそ107度と出す方法しか思いつきません。 解けていないので答えは送信していません。 |
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11月13日（土） 3:27:19
51034 |
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ドリトル |
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久しぶりに解きましたが、AC=CDの算数の範囲での証明ができません。
数学を使わずに解く方法はないのでしょうか。 |
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11月13日（土） 9:56:09
51035 |
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Jママ |
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ずっとランキングに名前が載り続けた記録が今回途絶えてしまうかもしれない悲しさよ…
参加はした証しとして掲示板だけ書き込みましたm(_ _)m |
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11月15日（月） 19:31:50
51036 |
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ゴンとも |
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座標でa=17°として
13°=30°-a,34°=17°*2として B(0,0),D(2,0),A(1,-(sqrt(3)*tan(a)-1)/(tan(a)+sqrt(3))) 直線BC:y=-tan(a)*x,CD:y=tan(2*a)*(x-2)の交点は C(-4/(tan(a)^2-3),4*tan(a)/(tan(a)^2-3)) より 直線AC:y=-(sqrt(3)*tan(a)*x+3*x-4)/(tan(a)+sqrt(3)) ここでy=0としてE(4/(sqrt(3)*tan(a)+3),0) tan(∠AEB)=(-(sqrt(3)*tan(a)-1)/(tan(a)+sqrt(3)))/(4/(sqrt(3)*tan(a)+3)-1) =(sqrt(3)*tan(a)+3)/(tan(a)+sqrt(3)) ここで分母,分子にsqrt(3)をかけると tan(∠AEB)=sqrt(3)*(sqrt(3)*tan(a)+3)/(sqrt(3)*tan(a)+3)=sqrt(3) より ∠AEB=60°より△AEBで13°と60°の残りの角で ∠BAC=∠A=180°-13°-60°=107°・・・・・・(答え) |
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豊川市
11月15日（月） 19:40:35
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 51037 |
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KawadaT |
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ベルク・カッツェさんのやり方を真似て、線分BDの垂直二等分線を引き、この直線に対して、点Ｃと対称な点をEとします。
五角形ABECDについて、AB=AD=a, BE=EC=CD=bです。ここで△AECが正三角形になることを証明できます。 △AECの底辺EC=bです。また高さはa×sin(13度)+b×sin(34度)です。・・・・・・(1) BD=2a×cos(13度)=b+2b×cos(34度)を使って、(1)からaを消去します。 △AECの高さ=b×sin(34度)+[b×sin(13度)×(1+2cos(34度)]/2cos(13度) これから先は、△AECの高さと底辺ECの比を考えるため、ｂで除しておきます。 △AECの高さ/bは、[sin(34度)+sin(13度)×(1+2cos(34度)]/2cos(13度) これを余弦定理で整理していきます。 sin(34度)+[sin(13度)×(1+2cos(34度)]/2cos(13度) ＝[2sin(34度)×cos(13度)+2sin(13度)×cos(34度)+sin(13度)]/2cos(13度) ＝[2sin(34度+13度)+sin(13度)]/2cos(13度) ＝[2sin(47度)+sin(13度)]/2cos(13度) ＝[2sin(60度-13度)+sin(13度)]/2cos(13度) ＝【[2×[sin(60度)×cos(13度)-cos(60度)×sin(13度)]+sin(13度)】/2cos(13度) ＝sin(60度) これは、△AECが正三角形であることを示しています。これより、△CADは二等辺三角形となり、求める角度が107度になります。 |
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11月15日（月） 20:42:07
MAIL:kawada@med.gunma-u.ac.jp 51038 |
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紫の薔薇の人 |
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BDの垂直2等分線とBCの交点をEとします。
BD=2とすると、AD＝1/cos13°＝1/sin77° また、 CD:BD＝CE:DE（∵△BCD∽△DCE） ＝sin17°:sin129°（∵正弦定理） ＝sin17°:sin51° より、CD＝2sin17°/sin51° ここで、CからADに下した垂線の足をFとすると、 AD-2*DF＝AD-2CD*cos47° ＝1/sin77°-2*(2sin17°/sin51°)*sin43° ＝(1/(sin77°*sin51°))*(sin51°-4*sin17°*sin77°*sin43°) ＝(1/(sin77°*sin51°))*「sin51°-4*sin17°*sin(60°+17°)*sin(60°-17°)] ＝(1/(sin77°*sin51°))*[sin51°-4*sin17°*(sin60°cos17°+cos60°sin17°)*(sin60°cos17°-cos60°sin17°)］ ＝(1/(sin77°*sin51°))*[sin51°-4*sin17°*{(sin60°cos17°)^2-(cos60°sin17°)^2}] ＝(1/(sin77°*sin51°))*[sin51°-4*sin17°*{(sin60°cos17°)^2-(cos60°sin17°)^2}] ＝(1/(sin77°*sin51°))*[sin51°-sin17°*{3*(cos17°)^2-(sin17°)^2}] ＝(1/(sin77°*sin51°))*[sin51°-sin17°*{3-4*(sin17°)^2}] ＝(1/(sin77°*sin51°))*[sin51°-3*sin17°-4*(sin17°)^3} ＝0(∵3倍角の公式) これより、 AD=2*DF ∴AF=DM ∴△ACF≡△DCF ∴∠CAF＝∠CDF＝47° ∴∠BAC＝180-13*2-47＝107° // |
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11月15日（月） 23:34:29
51039 |
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ベルク・カッツェ |
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どうやら数学解法はあっても算数解法は存在しない感じでしょうか。
勘だけど正三角形になるんじゃないかな→やってみたら当たってた、は解法とは呼べませんので。 せめて角が整数という条件があれば、可能性のある整数角を調べていったら見つかった、もありなのでしょうが。 |
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11月16日（火） 0:07:42
51040 |
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紫の薔薇の人 |
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BDの垂直2等分線とBCの交点をEとします。
AからBCに下した垂線の足をF、CからADに下した垂線の足をGとします。 この時、次の何れかが示せれば算数的に答えが出せるのだが、それができない。 ・GはADの中点 ・CA＝CD ・AC⊥FG ・AC^2＝CE*CB＝CD^2(相似を使い右側の等式のみ示せるが、左側は相似が示せない) ・△ABEの外接円の中心をHとすると、AC⊥AH 答えがわかっていれば、上記が全て正しいのはわかるのだが、問題文の条件から導けない。 結果的に問題図は、直角三角形△CDGをCGで折り返して、△CGAを付け足し、 さらに、CAで折り返し、△ACFを付け足し、最後に三角定規△AFBを付け足せば構成できるので、 これに気が付いた小学生だけが、算数で答えに気づくのでしょう。 |
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11月17日（水） 22:28:34
51041 |