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紫の薔薇の人 |
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BEの中点をT、GQとPDの交点をUとすると、交叉立体は、８面体B-QTPU-Eになります。
ポイントは正四面体BDEGの中で考えることです。 DBEPとEGBQはこの正四面体の中にあります。 交叉立体を平面DTGで切断すると、GQ、PDが、この平面上にあり、その交点Uもこの平面上にあることから、 QTPUが交叉立体と平面DTGの切断面とわかります。 そして、交叉立体が、８面体B-QTPU-Eとわかります。 △BDEの中心をR、△BEGの中心をSとすると、 RS//QP//DGで、RS:QP:DG=1:1:3であることが調べるとわかるので、 これを利用してさらに調べると、QTPU＝1/2QTGがわかります。 だから交叉立体の体積は、QEBGの1/2であり、DEBGの1/4であり、ABCD-EFGHの1/12であることがわかります。 よって、V＝6*6*6*1/12＝18 // |
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8月4日（木） 3:49:30
51716 |
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Jママ |
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ご教示くださいm(_ _)m
ABCD-EEGH=6×6×6=216 A-BDE=216×1/2×1/3=36 A-BDE-G=216-36×3=108 A-BDE-P=108×2/3=72 これを4方向分にして立方体を引くと 72×4-216=72 求める重なりは正四面体BDE-Gの頂点の数(4箇所)ある内の1つなので 72÷4=18cm^3 としたのですが、4箇所の重なり同士に重なりが無い、ということをきちんと示さないといけないと思うのですが、どうすればよいでしょうか…。 |
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8月4日（木） 4:25:36
51717 |
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「数学」小旅行 |
| 正四面体の中に、高さが半分の三角錐を隣り合わせに作って、その共有部分と見ました。 |
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8月4日（木） 6:28:36
51718 |
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「数学」小旅行 |
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geogebraで参考図を描きました。
https://www.geogebra.org/m/tmjmeeja |
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8月4日（木） 7:00:37
51719 |
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ミントくん |
| 僕も「数学」小旅行さんと同じように隣り合わせに作って共有部分を見ました。 |
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銀河系
8月4日（木） 7:46:06
MAIL:manato-yo-da@jcom.zaq.ne.jp 51720 |
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紫の薔薇の人 |
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#51717
正四面体の中に、各面を底面にして、各面の中心点と向かい合う頂点の中点を残りの頂点とする小三角錐を、 正四面体の面それぞれに対応して４つ考えたときに、それらの重なりがどうかという問題と同じですが、 隣り合う立体の組み合わせは、４つでなく、正四面体と共有する陵の数に対応して６つだと思います。 そして、２つの重なりの体積をV2、３つの重なりの体積をV3、４つの重なりの体積をV4とすると、 正四面体の体積は72で、各小三角錐の体積は36だから、 72＝36*4-6*V2+4*V3-V4 の関係式は成り立ちそうだから、V3、V4が簡単に求められるならば、この関係式を使って、V2を求められそうだが、 v3、v4は簡単でなさそうだから、このアプローチは難しいと思います。 |
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8月4日（木） 19:52:32
51721 |
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今年から高齢者 |
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2:1ではなく、P,Qが頂点の正四面体なら、この2つは一致する＿6*6*6/3=72
2方向から1/2にするので、72*1/2*1/2=18 何かおかしいとは思いますが、答えだけは合っていたようです。 これで答えが一致するのは、必然か偶然か！？ |
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8月4日（木） 20:10:10
51722 |
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紫の薔薇の人 |
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＃51721
正四面体をABCD、小三角錐をaBCD、AbCD、ABcD、ABCdとすると、 aBCDとAbCDの重なりは、abを含み、 aBCDとABcDの重なりは、acを含み、 aBCDとABCdの重なりは、adを含むので、 ４つの小三角錐はaを共有する。 同様にして、４つのb,c,dを共有する。 だから、小三角錐４つの重なりは、4点のみか、四面体abcdを含むと予想できる。 |
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8月4日（木） 20:20:02
51723 |
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baLLjugglermoka |
| 求める図形は直ぐに分かりましたが、体積の計算の工夫が必要でした。 |
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8月4日（木） 20:20:58
51724 |
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紫の薔薇の人 |
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書き損じました。訂正。
正四面体をABCD、小三角錐をaBCD、AbCD、ABcD、ABCdとすると、 aBCDとAbCDの重なりは、abを含み、 aBCDとABcDの重なりは、acを含み、 aBCDとABCdの重なりは、adを含むので、 ４つの重なり小三角錐はaを共有する。 同様にして、４つの重なりb,c,dを共有する。 だから、小三角錐４つの重なりは、4点のみか、四面体abcdを含むと予想できる。 |
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8月4日（木） 20:21:12
51725 |
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紫の薔薇の人 |
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またしくじりました。
正四面体をABCD、小三角錐をaBCD、AbCD、ABcD、ABCdとすると、 aBCDとAbCDの重なりは、abを含み、 aBCDとABcDの重なりは、acを含み、 aBCDとABCdの重なりは、adを含むので、 ４つの小三角錐の重なりはaを共有する。 同様にして、４つの小三角錐の重なりはb,c,dを共有する。 だから、小三角錐４つの重なりは、4点のみか、四面体abcdを含むと予想できる。 |
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8月4日（木） 20:22:33
51726 |
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紫の薔薇の人 |
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#51724
私の切断面を経由する解法だと、次の知識が必要になるのですが、これは中学受験生には既知なんでしょうか？ ・正四面体の頂点から向かいあう面に下した垂線は、向かい合う面の重心におりる。 ・重心は、中線を２；１に内分する。 |
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8月4日（木） 20:34:51
51727 |
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Jママ |
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#51721 紫の薔薇の人さま
詳しく解説いただきありがとうございます。 72＝36*4-6*V2+4*V3-V4 におけるV2は正四面体の辺(陵)に対応するので6つ、 V3は頂点に対応する4つ、V4は正四面体の中心あたりに1つ(おそらく#51726 における四面体abcdを含む領域)存在する様子なのですね。 そしてV3,V4が求まらないことには難しい訳ですね。 本当にありがとうございました。 |
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8月4日（木） 23:54:40
51728 |
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紫の薔薇の人 |
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#51728
72＝36*4-6*V2+4*V3-V4 は集合の包除原理のn=4の場合からのアナロジーです。 n(A∪B∪C∪D) ＝n(A)+n(B)+n(C)+n(D) −n(A∩B)―n(A∩C)―n(A∩D)―n(B∩C)―n(B∩D)―n(C∩D) ＋n(A∩B∩C)＋n(A∩B∩D)＋n(A∩C∩D)＋n(B∩C∩D) −n(A∩B∩C∩D) たまたま、４図形が aBCD≡AbCD≡ABcD≡ABCdであり、対称性があり、貼り合わせるとABCDになる関係にあり、同数の小三角錐の重なり部分も合同になりそうだから、この関係式がなりたちそうだと考えた次第です。 各係数の意味は、V1＝小三角錐の体積、V0＝ABCDの体積とすると、 V0＝V1*1C4-V2*2C4+V3*3C4-V4*4C4 です。 今回、2個の重なりが4C2＝6個あり、どの重なりも互いに異なる一つの陵を共有する関係にあることから、2個の重なりについては、たまたま対応がついてしまいましたが、他の2項係数についても図形的対応がつくかまではわかりません。 V3の形はよくわかりませんが、V4が4点(体積０)になるのか、四面体になるのか(一辺わかってるので、計算可能)であれば、この式からV3がわかってしまうことになります。 しかし、V4について4点を含むまでしかすぐにはわからないので、V4を確定できないのは残念。 凸立体と凸立体の共通部は凸立体になりそうだから、四面体を含み０にはならない気がします。 |
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8月5日（金） 1:29:00
51729 |
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「数学」小旅行 |
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#51718 表現が不十分でしたので、次のように、修正します。隣り合わせは必然なので、要りませんでした。
問題の立体は、正四面体の中の、側面を底面とし高さがこの正四面体の半分になる２つの三角錐の共有部分であると見ました。 |
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8月5日（金） 5:13:07
51730 |
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紫の薔薇の人 |
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#51729
＞V4が4点(体積０)になるのか、四面体になるのか 正四面体abcdを含むのは確実ですが、それ自身にはならない気がします。 というのは、次元を２に落として3つの小三角形の重なりを作図してみたら、 正三角形ではなく、正三角形を含む正六角形になったからです。 だから、V4は、正四面体の各面に三角錐をくっつけた図形になるのでないかと 思います。それが偶然立方体に戻ったらすごいのですが。 誰かCADでV4の形を確認できますか？ |
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8月5日（金） 20:02:56
51731 |
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紫の薔薇の人 |
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＃51731
＞正三角形を含む正六角形になったからです。 嘘です。六辺の長さが等辺六角形ですが、正六角形ではありません！ |
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8月5日（金） 20:08:54
51732 |
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紫の薔薇の人 |
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#51722
>2:1ではなく、P,Qが頂点の正四面体なら、この2つは一致する＿6*6*6/3=72 >2方向から1/2にするので、72*1/2*1/2=18 >何かおかしいとは思いますが、答えだけは合っていたようです。 >これで答えが一致するのは、必然か偶然か！？ 偶然の一致です。 そんなスーパー解法があるのか？と思いましたが、違うようです。 もし、この解法が成立するならば、次元を2次元に落として、次の問題を考えた場合も、 答えは1/4になるはずですが、実際は、1/5になります。 「正三角形△ABCのBCの中点をM、ACの中点をN、AMの中点をP、BNの中点をQとする。 この時、△PBCと△QACの重なり部分の面積は、△ABCの面積の何倍か？」 では、どこがおかしかったかというと、 空間において、元の図形を2倍に引き延ばす方向が違っているということです。空間全体を拡大する必要がありました。 正四面体を一つの面を水平面に置いて、重なりを求める２つの小三角錐の一つV1を正四面体の底面を底面とするものとし、 もう一つの小三角錐V2を正四面体の側面を底面とするものとするならば、 拡大で考える場合、次の何れかで考えなければなりません。 ・V1、V2を共に鉛直方向(V1の高さの方向)に拡大した図形で考え、その共通部分の体積を求め1/2にする。 ・V1、V2を共に鉛直方向(V1の高さの方向)と、V2の高さの2方向に拡大した図形で考え、その共通部分の体積を求め1/4にする。 この引き延ばした図形で考えて、元に戻す手法は、楕円の問題を円の問題に帰着させるときに使われますが、 その場合も、平面全体に変換をかけていたはずです。 |
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8月6日（土） 7:56:37
51733 |
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Jママ |
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紫の薔薇の人さま
いろいろとありがとうございます。 https://ibb.co/Y70FM1m 家の者が書いたものですが、うまく見えるようになっているでしょうか。 PDFファイルです。 正四面体の各面から高さ半分の三角錐を考えたときの4つの立体の共有部分のうち、4つの点a,b,c,dは正四面体を作り、かつ、aと、四面体の三本の陵とで作られる3つの角度は全て直角になるそうです。 私の理解がいい加減なので、ファイルをご覧いただきお考えいただくのがよろしいかと…。 正四面体を作る4つの点から三方へ垂直に辺を延ばすと、立方体になりますが、その延ばした部分が、V4の領域から外れないかどうかは、座標による計算などによる確認が必要と思われます。 私はよく分かっていないのですが、ご質問いただきましたら作成者に聞くことはできます。 どうぞよろしくお願いします。 |
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8月7日（日） 1:52:35
51734 |
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Jママ |
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aと、四面体の三本の陵とで作られる3つの角度は全て直角になるそうです。
↓ aを作る、四面体の3本の陵どうしが作る角度が全て直角になるそうです。 に訂正します。 |
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8月7日（日） 2:00:12
51735 |
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Jママ |
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下記の内容はそれほど難しい事ではなかったかもしれません。この先が大変なのでしょうか。
失礼をいたしました。 ちなみに合っているか分かりませんが、正四面体abcdの一辺は、元の正四面体の一辺の1/3になるので、V4が立方体だとすれば、この問題の場合V4=2*2*2=8 cm^2 でしょうか？するとV3=11になるのでしょうか。。(・・? |
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8月7日（日） 2:27:43
51736 |
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Jママ |
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誤りました。すみません。
abcdが作る正四面体は元の大きい正四面体と相似な位置関係なのに、3本の陵がつくる方向は、元の大きな立方体とは方向が違うので、延ばしても立方体になると言えていないですね。 重ね重ね失礼しました。 難しいです…(泣) |
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8月7日（日） 2:57:18
51737 |
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Jママ |
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「相似」→「相似かつ平行な」
m(_ _)m |
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8月7日（日） 3:20:52
51738 |
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紫の薔薇の人 |
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#51734
Jママさんの図で、QはEFを3:1に内分する点ですが、EFを1:3に内分する点をR(2,2,3)/4とすると、 小三角錐aBCDとAbCDの重なりは、8面体C-EaQb-D 小三角錐ABcDとABCdの重なりは、8面体A-FcRd-B この２つの8面体の重なりが求めるV4 RはC-EaQb-Dにも含まれるので、RはV4に含まれます。 同様にQもV4に含まれます。 V4は凸だから、QRはV4に含まれます。 しかし、そうなると、対称性から、Pを中心として、上下左右高低の方向に、元の立方体の 高さの半分の幅をもつ正八面体を含むことになります。 頂点は、 1/4(2,2,1) 1/4(2,2,3) 1/4(1,2,2) 1/4(3,2,2) 1/4(2,1,2) 1/4(2,3,2) まさか、これがV4の正体？？？？ |
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8月7日（日） 6:27:00
51739 |
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紫の薔薇の人 |
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#51736
>正四面体abcdの一辺は、元の正四面体の一辺の1/3になるので、 これは合っています。＃51716でも触れています。 ＞RS//QP//DGで、RS:QP:DG=1:1:3であることが調べるとわかるので、 なお、その後の、V1の体積が元の立方体の1/12であることも、＃51716で導出しています。 #51716におけるQTPUが、Ｊママさんの図でのaEbQに当たります。 ＞V4が立方体だとすれば、この問題の場合V4=2*2*2=8 cm^2 でしょうか？ これは違います。 私が当初抱いていたイメージでは、 abcdの各陵が"立方体"の陵の一部になるのでなく、 ABCD（not abcd）の各面の外側に三角錐(例えばOABC)を４つ貼り付けたら元の立方体ができるように、 abcdの各面の外側にV4に含まれる三角錐があり、これを４つ貼り付けたらabcdを含む立方体になるのか と予想していました。 つまり、a,b,c,dの各面の外側に4点追加して、a,b,c,dと、この追加する4点を頂点とした、8点が ”立方体”（あるいは平行六面体）の頂点になるのでないかと想像していました。 (そのうちの一つはQか？) しかし、どうも違うのでは？という気になったというのが、#51739であります。 ＞Jママさんの図で、QはEFを3:1に内分する点ですが、EFを1:3に内分する点をR(2,2,3)/4とすると、 ＞小三角錐aBCDとAbCDの重なりは、8面体C-EaQb-D ＞小三角錐ABcDとABCdの重なりは、8面体A-FcRd-B ＞この２つの8面体の重なりが求めるV4 なのですが、#51739の考察から、abcdの外側は、正八面体になっているのかもと。 8面体C-EaQb-D、8面体A-FcRd-Bの各頂点の座標は、全てわかっているので、 交叉図形を描けるソフトがあれば、形を確認できるのでしょうが。 原理的には、各面同士の交叉を計算すればいいじゃんなんですけど。 O(0,0,0) A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) D(1,1,1) とすると、 a(2,1,1)/3 b(1,2,1)/3 c(1,1,2)/3 d(2,2,2)/3 Q(2,2,1)/4 R(2,2,3)/4 |
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8月7日（日） 10:45:41
51740 |
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Jママ |
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紫の薔薇の人さま
全く的外れでしたらすみません。 私のイメージですが、一辺の長さが1/3の立方体と、1/2の立方体を入れ子状に書いて、 1/3の方から正四面体abcdをとり、1/2の方からは、各面の中心を結んで正八面体を作ります。 すると、正四面体abcdの各頂点は正八面体の外側に存在し、 正八面体(Qなど)の各頂点は正四面体abcdの外側に存在しています。 また、正四面体abcdの各頂点は、正八面体の各隣り合わない面の外側に存在します。 立体図からなんとなくイメージしたのは、V4は、この正四面体の頂点と正八面体の頂点とを結んだ感じの立体なのではないかということです。 もしも、元の長さ1の立方体からもう一つ作れる正四面体も考えて、共有する立体を考えれば、この立体のような完全対称な形なのかなと…。 今回、正四面体は片方だけなので、その部分がどう違っているか、想像がつきませんが。 そもそもこの前提が誤りでしたら、大変申し訳ございません。 |
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8月7日（日） 16:05:54
51741 |
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ベルク・カッツェ |
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睡眠不足のところに難しそうな問題だったのでなかなか手をつけられず、今更の解答になりました。
正四面体BDEGは立方体から4つの角を切った形で体積は1-1/6×4＝1/3 面BCHGに関して対称性があるので、ここを底面とした三角錐2つとして見ると、底面積が3/4、高さが1/3なので、 6×6×6×（1/3）×（3/4）×（1/3）＝18となりました。 それぞれの比については、立体をいろいろな方向から見た平面図で掃除を用いました。 久しぶりの休日で寝不足も解消、明日からまた仕事です。 |
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8月7日（日） 22:28:12
51742 |
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紫の薔薇の人 |
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#51741
geogebraをインストールして、 O(0,0,0) A(12,0,0) B(0,12,0) C(0,0,12) D(12,12,12) E(6,6,12) F(6,6,0) とすると、 a(8,4,4) b(4,8,4) c(4,4,8) d(8,8,8) Q(6,6,3) R(6,6,9) 小三角錐aBCDとAbCDの重なりは、8面体C-EaQb-D 小三角錐ABcDとABCdの重なりは、8面体A-FcRd-B を描画して、回転して、いろいろな角度からV4を眺めていますが、 複雑な図形に感じました。 ある方向から見ると六角形。別の方向から見ると8角形に見えます。 |
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8月7日（日） 23:33:03
51743 |
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紫の薔薇の人 |
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#51742
＞面BCHGに関して対称性があるので 元図の記号で行くと、BCGとHは同一平面にありません。このため、回答意図がわかりにくいです。 私は、BEの中点をTとして、四面体DEBGを平面DTGで切断して、正四面体と求める立体V2が、共に高さBT、ETを共有する錐体2個の貼り合わせで”底面”の面積比（△DTGと凧型QTPU；UはPDとGQの交点）が4:1であると気づいて答えにしました。 |
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8月7日（日） 23:49:17
51744 |
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紫の薔薇の人 |
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#51743
各面が四角形の12面体になっているようです。 |
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8月8日（月） 0:06:36
51745 |
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紫の薔薇の人 |
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#51745
＞各面が四角形の12面体になっているようです。 8面体でした。 |
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8月8日（月） 0:09:06
51746 |
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紫の薔薇の人 |
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#51741
多分これで、FAかと。 >立体図からなんとなくイメージしたのは、V4は、この正四面体の頂点と正八面体の頂点とを結んだ感じの立体なのではないかということです。 そのようです。頂点10、陵16、面8の立体になります。 正八面体の頂点と向かい合う頂点が一直線になる方向からV4を見ると、８角形に見えます。 8角形の各頂点は、正八面体の残りの４頂点と正四面体の４頂点です。 |
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8月8日（月） 0:56:16
51747 |
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紫の薔薇の人 |
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#51744
＞私は、BEの中点をTとして、四面体DEBGを平面DTGで切断して、正四面体と求める立体V2が、共に高さBT、ETを共有する錐体2個の貼り合わせで”底面”＞の面積比（△DTGと凧型QTPU；UはPDとGQの交点）が4:1であると気づいて答えにしました。 多分、同じことを考えていたのかと。 PDとGQの交点をU、DGの中点をVとすると、 元の四面体DEBGの切断面DTGの面積は、DG*TV/2 求める立体の切断面QTPUの面積はPQ*TU/2 ここで、 PQはDGの1/3 TUはTVの3/4 だから、QTPUはDTGの1/3*3/4＝1/4 |
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8月8日（月） 2:00:50
51748 |
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ベルクカッツェ |
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#51744
ご指摘ありがとうございます、BCHEの間違いでした。 |
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8月8日（月） 15:12:25
51749 |
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Jママ |
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#51747
紫の薔薇の人さま、 長きにわたり、こちらの様々な説明不足や拙い部分を補っていただき更に展開、発展させていただきまして誠にありがとうございました。結果がどうあれ、久し振りに脳みそを使った気がします。 |
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8月8日（月） 18:12:50
51750 |
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紫の薔薇の人 |
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#51750
Jママ様 真摯に対応いただき、それに応えなければと、脳みそを使いました。なお、書き間違えなどが多く、荒らしのようになってしまっているのは皆様に申し訳ないと思いました。 イメージを確認しようと以前CADの導入も考えたが敷居が高く諦めていたが、今回、下の方で紹介されていたgeogebraを導入してみたところ、私でも使える敷居の低さだったので、今回の作業をきっかけに便利なものを得たと感謝しています。 |
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8月8日（月） 18:34:09
51751 |
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Jママ |
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紫の薔薇の人さま
お世話になっております。 私なりに結論を出しましたので記録として残しておきます。 V4の立体の形は凧形四角形の十二面体になりました。 頂点14, 面12, 陵24本でした。 正八面体の面のうち、上に正四面体の頂点がない面について、 その面の中央の上に3つの面の交点が1つありました。 たとえば、元の立方体の一辺が長さ1のとき、 正四面体の頂点が (1/6,1/6,1/6) (-1/6,1/6,-1/6) (-1/6,-1/6,1/6) の面について、 正八面体の頂点が (0,1/4,0) (-1/4,0,0) (0,0,1/4) と、中央に (-1/10,1/10,1/10) があって、3面がここで交わりました。 凧形の四角形の縦と横の長さは√2/5と√2/4で、 立体の中心Oからの四角形までの距離が1/6で、 体積は四角錐12個分なので 12×√2/5×√2/4×1/2×1/6×1/3=1/30 となりました。 この問題では立方体の一辺6cmなので V4=6×6×6×1/30=36/5=7.2cm^3 になることになります。 各平面の交線の交点からこのようになりましたが、 正しいかどうか…。 ともあれ、色々と本当にありがとうございました。 |
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8月9日（火） 13:00:46
51752 |
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Jママ |
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#51752 の参考資料です。
家の者に作って貰いました。 https://ibb.co/k5vYCHs m(_ _)m |
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8月9日（火） 14:28:09
51753 |
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Jママ |
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#51753
における立体の中心はOではなくてP(0,0,0)だそうです。わかりづらくてお手数をおかけします。 |
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8月9日（火） 14:36:51
51754 |
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Jママ |
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#51752
＞正八面体の面のうち、上に正四面体の頂点がない面について、 その面の中央の上に3つの面の交点が1つありました。 「上に」→「立体の中心から見て外側に」 という意味です。すみません。 有難うございました。 |
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8月9日（火） 17:42:53
51755 |
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紫の薔薇の人 |
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#51753
力作どうもです。 外形は見えても、最後はきちんと計算しないと、見誤るということですね。 ありがとうございます。 あえて凧形とされたということは菱形にはなっていないということですか？ 有名な菱形十二面体を少し寸法変えた感じになるのかな。 |
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8月9日（火） 22:28:12
51756 |
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Jママ |
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#51756
はい。 Deltoid dodecahedron 偏菱十二面体 になるようです。 https://etc.usf.edu/clipart/20200/20216/deltdodeca_20216.htm 14の頂点は、正四面体の4点と正八面体の6点のほかに、偏菱形の短い方の2辺によって作られる頂点が4点、あるという結果になりました。 因みに長い方の2辺の辺は正四面体の頂点と正八面体の頂点を結んだものになりました。 |
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8月10日（水） 0:01:20
51757 |
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紫の薔薇の人 |
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#51757
＞Deltoid dodecahedron 偏菱十二面体 になるようです。 名前がついているんですね。 本日の新問題発表前に決着してよかったです。 |
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8月10日（水） 18:23:48
51758 |
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名無し |
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「数学」小旅行様
どうも三角錐の体積がわかりません。GeoGebraを利用させてもらっているのですが・・・。 |
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8月11日（木） 17:37:19
51759 |
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kyorofumi |
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DPとDQの交点Xが立方体の中心で(1/2,1/2,1/2)
BEXPを頂点とする四面体の２倍の体積と思ってB(0,0,0)を原点 E(1,0,1), X(1/2,1/2,1/2), Q(1/3,2/3,2/3) 計算したら、1/36 これが２つで、216倍したら12になったんですが、どこが間違ってるかわかりません... 交わってる部分の体積ってただの四面体２つではないですか？ |
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8月17日（水） 1:48:28
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kyorofumi |
| DPとGQの交点が立方体の中心* |
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8月17日（水） 1:49:37
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