〓〓β

量子論

3:4:5の直角三角形から
あちこちの長さが求まるきれいな問題。
5x5/2=25/2

　　 1月12日（木） 0:09:12　　　　52100

ベルク・カッツェ

AIDとDHCは相似で3ｃｍ、7ｃｍの直角三角形。
BからAIに垂線を下ろしそこにCHを延長し4×4の正方形を作るとBHは3ｃｍ、4ｃｍの直角三角形の斜辺なので5ｃｍ、その角Hと三角形QIHの角Hはどちらも角BHI-90なので同じでQIHも3ｃｍ、4ｃｍ、5ｃｍの直角三角形、よって5×5÷2＝25/2となりました。

　　 1月12日（木） 0:20:16　　　　52101

今年から高齢者

正方形の中に
DPと対称に井桁を組んで
CIと平行でHを通る線を引けば
HI=4、QI=3であり、HQ=5
HBはHQを90°回転させただけなので
面積は、5*5/2=12.5

　　 1月12日（木） 1:26:04　　　　52102

「数学」小旅行

目覚めのコーヒーを戴きつつ、
三平方の定理を使ってしまいました。
きっと３，４，５だけでできるのでしょうね。
他の人の書き込みで勉強させて戴きます。

　　 1月12日（木） 7:10:48　　　　52103

kyorofumi

kyorofumuiになってる。。。　間違えてしまった

　　 1月12日（木） 7:14:21　　　　52104

CRYING DOLPHIN

△QBHを7cm×4cmの斜めった長方形に埋め込めば、3：4：5の知識を使わずとも解けますね。

顔上げた道の先　　 1月12日（木） 9:22:38　　 MAIL:ぴかー HomePage:ぴかぴかさんすう。　　52105

ゴンとも

座標でA(0,a),B(0,0),C(a,0),D(a,a),P(b,0)
直線DP:y=a*(x-b)/(a-b)
直線AI:y=(b-a)*c/a+a
直線CH:y=(b-a)*(x-a)/a
直線DP,AIの交点
I(a^3/(b^2-2*a*b+2*a^2)
,(a*b^2-a^2*b+a^3)/(b^2-2*a*b+2*a^2))
この点と点Aとの距離が7より三平方より
-(49*b^2-98*a*b-a^4+98*a^2)/(b^2-2*a*b+2*a^2)=0 より
49*b^2-98*a*b-a^4+98*a^2=0・・・・・・(1)
直線DP,CHの交点
H((a*b^2-a^2*b+a^3)/(b^2-2*a*b+2*a^2)
,(a*b^2-2*a^2*b+a^3)/(b^2-2*a*b+2*a^2))・・・・・・(2)
この点と点Cとの距離が3より三平方より
(a^2*b^2-9*b^2-2*a^3*b+18*a*b+a^4-18*a^2)
/(b^2-2*a*b+2*a^2)=0 より
a^2*b^2-9*b^2-2*a^3*b+18*a*b+a^4-18*a^2=0
これと(1)で連立方程式で
a=sqrt(58),b=4*sqrt(58)/7この2つの値で
H(37/sqrt(58),9/sqrt(58))・・・・・・(3) より
直線BH:y=9*x/37これに垂直で点Hを通る直線は
直線HQ:y=-37*(x-37/sqrt(58))/9+9/sqrt(58)
先の2つの値より2行目の
直線AI:y=-3*x/7+sqrt(58)
これとHQとの交点は
Q(14*sqrt(58)/29,23*sqrt(58)/29)
これと(3)とより三平方で
HQ=sqrt((37/sqrt(58)-14*sqrt(58)/29)^2
+(9/sqrt(58)-23*sqrt(58)/29)^2)=5
(3)とB(0,0)で三平方で
BH=sqrt((37/sqrt(58))^2+(9/sqrt(58))^2)=5 より
△BHQ=HQ*BH/2=25/2・・・・・・(答え)

豊川市　　 1月12日（木） 12:00:01　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　52106

手描き図面職人

図形と方程式から直線の直交と足の長さで解きました。S=25/2=12.5となりました。

　　 1月12日（木） 15:11:03　　　　52107

ドリトル

今回は見ただけで方針が立ったので来ました。
BからAQに垂線下ろして足をRとし、BHQを囲む長方形BRISを作ると、
ABR、DAI、CDHが合同であることからBRが7cm、RIとIHが4cm、HSが3cmであることがわかり、
HBSとQHIが合同だからQIが3cmで、求める答えは
(3+4)×7÷2-3×4÷2×2=12.5cm^2
3:4:5使わなくても解けますが、小学生でもほとんど知ってるので使って損はないかと。

　　 1月12日（木） 15:27:29　　　　52108

ドリトル

　　 1月12日（木） 15:27:55　　　　52109

ドリトル

　　 1月12日（木） 22:45:01　　　　52110

ドリトル

　　 1月12日（木） 22:47:11　　　　52111

ドリトル

　　 1月12日（木） 22:50:47　　　　52112

ドリトル

　　 1月12日（木） 22:52:46　　　　52113

ドリトル

　　 1月12日（木） 22:56:35　　　　52114

ドリトル

　　 1月12日（木） 23:06:56　　　　52115

「数学」小旅行

#52105 CRYING DOLPHIN　様
#52115 ドリトル様
あっ、ほんと！
7×4－3×4÷2×2－1×7÷2＝25/2　ですね（＾＾）／
肩のこりが取れたような軽快感です。

　　 1月13日（金） 7:36:43　　　　52116

KawadaT

10:36 (4 分前)
To 自分

1) 三角形AIDと三角形DHCは合同（直角三角形の斜辺と1鋭角が等しい）
従って、ID=3cm, IH=4cm

2) 点Iと点Cを結びます。
三角形HBCと三角形ICDは合同（二辺夾角が等しい）
直角を挟む辺が3cmと4cmなので、IC=5cm
従って、BH=5cm

3) 四角形QHCIで、QIとHCは平行（錯角等しい）
また、角QHI=180-角BHC=角HICなので、QHとICは平行（錯角等しい）
従って、四角形QHCIは平行四辺形で、QH=5cm

求める面積は、5*5/2=12.5平方cm

　　 1月13日（金） 10:45:48　　　　52117

ドリトル

　　 1月13日（金） 18:16:16　　　　52118

ドリトル

なんか3回もやってる…すみません…

　　 1月13日（金） 20:40:19　　　　52121

ドリトル

3回どころじゃないな…何があったんだ…本当にすみません…

　　 1月13日（金） 20:43:25　　　　52122

SECOND

#52122　ドリトルさま、
原稿を残したまま、ブラウザを更新すると、再入力され、こうなります。
原稿をクリアしてからブラウザ更新するか、又は、このページの「ページ更新」を押せば、再入力もされません。

　　 1月14日（土） 16:50:52　　　　52124

紫の薔薇の人

自解の補助線が既出じゃなかったようなので、載せておきます。

∠HDC＝90°-∠ADI＝∠IAD
だから、△DHC∽△AID
で、DC=ADだから、△DHC≡△AID
これから、
DH=AI=7
DI=CH=3
HI＝DH-DI＝4

△DHCをDCがABと重なるように平行移動し、Hの移動先をEとし、EBの延長とIHの延長の交点をFとすると、
□AEFIは一辺7の正方形。
EF=AI=7
FI=EA=HD＝7
EB=HC＝3
BF＝EF-EB＝4
FH=FI-HI＝3

ここで、
∠HBF＋∠FHB＝∠QHI＋∠FHB＝90°
だから、△HBF∽△QHIで、
BF＝HI＝4だから、△HBF≡△QHI
QI＝HF＝3
AQ＝AI-QI＝4

よって、
△QBH＝□AEFI-□AEBQ-△HBF-△QHI
＝7*7－(4+3)*7/2-4*3/2-4*3/2＝12.5
//

　　 1月15日（日） 1:54:04　　　　52125

なま

BからAQに下した垂線の足をR
CからHを通りBRに下した垂線の足をSとすると
HIRSが一辺4の正方形
HIQとHSBが合同でIQ=3、QR=1
台形HIRBから三角形HIQ、QRBを引いて出しました。

　　 1月15日（日） 17:33:08　　　　52126

SECOND

正方形ＡＢＣＤの４辺は、十進BASIC で収束させると、無理数 √５８になる様子で、作図が大変ですね。

　　 1月15日（日） 20:26:36　　　　52127

みかん

今年も入試シーズンが来ました。面白いものはあるかな？
まずは、開智中（１月１０日実施）。

［１］小問集合
特殊算や場合の数などで、特に難しいものはない。
［２］速さ―旅人算
前半は条件に従って進行グラフを書けば図形的に処理できる。ただし、条件の読み間違いには
注意。後半も難しくはないけれど、ちょっと手間はかかるかも。
［３］平面図形―相似
平行線と相似はおなじみなので、誘導に従えば難しくはないはず。
［４］約束記号
面白そうなんだけど、ラストは結局面倒な問題。８１通りを計算するのは手間がかかるけれど、
うまいやり方はあるのだろうか。問題を紹介しておきます。

　＜Ａ，Ｂ＞はＡ×Ｂ＋Ａ＋Ｂと計算する。ＡとＢは１以上９以下の整数のとき、
　（１）＜４，５＞を計算するといくつになるか。
　（２）＜Ａ，Ｂ＞を計算した結果が２３になるＡ，Ｂの組をすべて書け。
　（３）＜Ａ，Ｂ＞を計算してできる結果の数は何通りあるか。

＜まとめ＞
７割とれば勝ちなので、［２］～［４］のうち２つ完答できれば余裕。大問が３つとも完答
できなくても、［１］で手堅く得点するという手もある。ラストの問題は面白そうには思うが、
捨て問だろう。難関校入試ならそこそこ正解しそうなだけに、勝負の分かれ目になりそう。

　　 1月15日（日） 22:41:30　　　　52128

手書き図面職人

いま話題の、ChatGPTで次回以降の問題に挑戦してみたいです。

　　 1月16日（月） 9:37:16　　　　52129

くろ

簡単でした

　　 1月17日（火） 1:17:45　　　　52130

「数学」小旅行

先日、図書館で借りた某数学本に出てる問題を考えているのですが、なんか悶々としています。
どなたかお助けください。すっきりしたいです。
問題は、原文そのままではないですが、次のような内容です。
「１万人に１人の割合で感染する感染症があります。
この感染症にかかったら治療しないと必ず死にます。
感染を確認する検査の精度は９０％です。
またこの治療の成功率は９５％で失敗すると感染の有無に拘わらず必ず死にます。
さて、あなたは検査で陽性と出ました。治療を受けますか。」
私は死ぬケースを、罹患していて陽性が出たとき、治療して失敗する場合及び治療しない場合、
そして罹患していないのに陽性が出たとき、治療して失敗する場合、と考えたので、
治療して死ぬ率は、感染の有無に拘わらず５％で、治療しないと死ぬ率は９０％だと思うのですが、
感染者の割合が１万分の１だという点がこの判断に影響するのかどうかが釈然としません。
本の解説では、罹患している割合が1/10000だから、治療しない方が良いというのですが。

　　 1月19日（木） 8:04:57　　　　52131

SECOND

感染しているかどうかも、分からない外の位置からの判断なら、治療しない方がいいでしょうけれども、
感染していると、分かっている内側の位置からの判断なら、治療しないといけない・・・

　２つの相対性があるものを、１つの場所からにしようと、しているのではないでしょうか？

　　 1月19日（木） 8:49:12　　　　52132

手描き図面職人

ChatGPTでAIに尋ねたら、あなたは治療を受けるべきです。と答えてくれました。

　　 1月19日（木） 10:41:16　　　　52133

みかん

１万人を検査すると、「陽性」の結果が１０００人くらい出る。
だけど実際に感染しているのは１人で、ほとんどが本当は感染していない人。
したがって、陽性の結果を受け取りながら放置しても死ぬのは０．１％。その一方で、
治療をすれば失敗して５％が死ぬ。

どう見ても治療する必要はない…と考えますが、ダメなのでしょうか？

仮に１０％が感染しているならば、「陽性」の結果が出るのは
・本当は感染していないが、検査が誤り＝０．９×０．１＝９％
・本当に感染していて、検査が正しい＝０．１×０．９＝９％
となり、「陽性」の結果が出た人が本当に感染している確率はぐっと上がります。

　　 1月19日（木） 15:18:53　　　　52134

ドリトル

#52131
＞本の解説では、罹患している割合が1/10000だから、治療しない方が良いというのですが。
確かにその解説だと納得できませんね。
計算してみました。
検査を受けたのが100万人とすると、そのうち実際に感染しているのは100人、していないのは999900人。
感染している人のうち陽性になるのは90人、陰性になるのは10人。
感染していない人のうち陽性になるのは99990人、陰性になるのは899910人。
よってこの検査で陽性になった時、本当に感染している確率は90/100080×100=約0.09%。
死ぬ確率は手術を受けたら5%、放置したら0.09%。放置する方が良いです。

要するに「精度90%」っていうのは「陰性と出る確率が90%」ではなく
「感染している人のうち陽性と出る確率と感染していない人が陰性と出る確率がどちらも90%」だということですかね。

　　 1月19日（木） 19:20:19　　　　52135

ドリトル

#52135
最後の部分がおかしかったので訂正
×「陰性と出る確率が90%」ではなく
○「実際に感染している人のうち、陽性と出る確率が90%」ではなく

　　 1月19日（木） 19:35:44　　　　52136

ドリトル

#52136
また訂正(すみません…)
×「陰性と出る確率が90%」ではなく
○「陽性と出た人のうち、実際に感染している確率が90%」ではなく

　　 1月19日（木） 19:40:43　　　　52137

「数学」小旅行

#52132,#52133,#52134,#52135　SECOND様、手描き図面職人様、みかん様、ドリトル様

いろいろなご意見を、ありがとうございます。
#52136　のご指摘の通り、陰性なのに陽性と判定されるというのも１０％あるというのが関係するのですね。
わかりました。意を決して放置したいと思います。

　　 1月20日（金） 7:25:17　　　　52138

「数学」小旅行

#52138　条件付き確率ということでやっと理解しました。下記のように一般化して。
検体が陽性である確率をｐ、検査の精度をｑとする。
検体が陽性で、検査で陽性となる確率は、pq
検体が陰性で、検査で陽性となる確率は、(1-p)(1-q)
なので、検査結果が陽性の時、本当に感染している確率は、pq/(1-p-q+2pq)
ああ、すっきりしました。ありがとうございました。

　　 1月20日（金） 9:39:54　　　　52139

みかん

市川中（１月２０日実施）の感想です。昨年の感想は#51208、問題は塾のホームページから
どうぞ。今年も昨年同様、小問集合＋大問４つの構成で変更なし。

［１］小問集合
（１）四則計算　（２）年齢算　（３）植木算　（４）比の利用
解答数値がきれいにならない計算問題に引っかからなければ、残りは５年生の教材でも
取り上げられそうな程度の問題。

［２］流水算
２問目までは特に難しくはないが、（３）が面白い。「平常時に２５分で出会うとき、
流速が１．５倍になったら何分後に出会うか？」をまじめに考え込んでしまった（しかも
あきらめた）のは悔しい。いい問題だったなぁ（負け惜しみ）。

［３］旅人算・図形（角度）
図形の周上を点が移動する問題。３問を個別に考えてもいいが、１周期＝１２０秒の
ダイヤグラムを書くのが早い。（３）は正三角形と正方形を組み合わせた図形の角度を
求めればよい。まぁ、求める部分の角度が図示できれば解けたも同然でしょう。計算で
出せなくても、持ち込みが認められているコンパスと定規を利用して粘るべし。

［４］展開図・平面図形
おなじみ、円すいの側面の展開図（扇形）の最短距離問題。正三角形の高さや面積の近似値が
与えられているので、正三角形ができそうなオチが見えるのが残念。ラストの（３）は図が
想像しにくい分、やや難しいかも。

［５］規則性
（１）で規則性を探り、（２）でその結果を利用するというのは昨年と同じ。（３）は
だいたいの数（６５よりちょっと上？）は想像できるとしても、きちんと解くのは難しいので
捨て問か。

＜まとめ＞
３分の２取れれば合格点だが、［２］～［５］の大問の完答はどれもちょっと難しい。
大問４つのうち２問完答なら満足、それ以下なら（２）までを手堅く確保すべきだ。

　　 1月22日（日） 21:41:37　　　　52140