巷の夢
どなたも書き込んでいらっしゃらないので・・・、算数では分からず、
数学で解きました。三角形の正弦定理と余弦第2定理を使いました。
BQ＝X、CR＝Y、AP＝Xとし、X+Y+Z=5を使うと、X=(8/3)Z,Y=3Zとなるので、
Z=3/4となりました。算数ではどうやるのでしょうか・・・・？
真白き富士の嶺　　 5月4日（木） 11:06:22　　 　　52418
量子論
私もわからなかったので、△ADCと△FBCがともに二等辺三角形
であるとみなして（実際はちがうはず）、三平方、相似などを
駆使して数学で解く。
AP=7/12, RC=7/4, BQ=14/9と求まるが、3つ足しても5にはならず。
ただ、3つの長さの比自体は変わらないだろうと勝手に予測し、
3/4をひねり出しました。
切り貼り、埋め込みで解くのかなあと思うけど、ムズイ。
　　 5月4日（木） 14:24:48　　 　　52419
Jママ
算数解法はやはり分からなかったのであとで考えます
△ABD∽△BQD, △BCE∽△CRE, △CAF∽△APF
よりそれぞれの相似比が等しい式をつくり
△BQD, △CRE, △APF　における正弦定理より、
AB:BQ=sinB:sin●
BC:CR=sinC:sin●
CA:AP=sinA:sin●　を導きました
よって　BQsinB:CRsinC:APsinA=4:6:3…(1)
△ABCにおいて正弦定理より
sinC:sinA:sinB=4:6:3…(2)
(1)(2)より3BQ:4CR:6AP=4:6:3=24:36:18
BQ:CR:AP=8:9:3
よって　AP=5×3/(8+9+3)=3/4
　　 5月4日（木） 17:42:41　　 　　52420
Jママ
追記
△ABC∽△PQRとなるので例えば∠BQD=∠Bとなることを正弦定理に用いてます
　　 5月4日（木） 17:50:15　　 　　52421
Jママ
度々すみません、追記の部分は必要ないですね、
相似が言える時点で角度は同じなので…。
　　 5月4日（木） 18:43:28　　 　　52422
ゴンとも
座標でA(0,0),B(-4,0)
点Bを中心に長さ6の円:(x+4)^2+y^2=36
点Aを中心に長さ6の円:x^2+y^2=9
この交点でC(11/8,sqrt(455)/8)
直線BC:y=sqrt(455)*(x+4)/43
ここでx=aとしてP(a,sqrt(455)*(a+4)/43) より
直線AD:y=-sqrt(455)*(a+4)*x/43/-a・・・・・・(1)
tan(緑の●)=sqrt(455)*(a+4)/43/-a・・・・・・(2)
tan(緑の●+∠EBA)=sqrt(455)/43
加法定理より
(tan(∠EBA)+tan(緑の●))/(1-tan(緑の●)*tan(∠EBA))=sqrt(455)/43
これと(2)とより
tan(∠EBA)=43*sqrt(455)*(a+2)/(697*a-910) より
直線BE:y=43*sqrt(455)*(a+2)*(x+4)/(697*a-910)・・・・・・(3)
-tan(∠CFA)=-tan(緑の●+∠CAF)
tan(∠CAF)=-sqrt(455)/11これと(2)とで加法定理より
直線CF:y=sqrt(455)*(27*a+22)*
(x-11/8)/(9*a-910)+sqrt(455)/8・・・・・・(4)
直線ADと直線CFの交点P
Pのx座標:(387*a^2+1548*a)/(288*a^2+455*a+910)
Pのy座標:(4095*a^2+32760*a+65520)/(288*sqrt(455)*a^2+455^(3/2)*a+2*455^(3/2))
三平方でAP=18*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(5)

直線ADと直線BEの交点Q
Qのx座標:-(1849*a^2+3698*a)/(288*a^2+455*a+910)
Qのx座標:-(19565*a^2+117390*a+156520)
/(288*sqrt(455)*a^2+455^(3/2)*a+2*455^(3/2))
三平方でBQ=48*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(6)

直線CFと直線BEの交点R
Rのx座標:
Rのy座標:
三平方でCR=54*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(7)
これと(5),(6)より
AP+BQ+CR=120*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)
これが5より
a=(43*sqrt(8761)-8761)/1728・・・・・・(8)
これと(5)とより
AP=3/4・・・・・・(答え)
あと残りの長さは
BQ=8*(3/4)/3=2,CR=3*(3/4)=9/4で
AP+BQ+CR=3/4+2+9/4=5で検算で・・・

なんとか座標でできてよかったという感じです!!
豊川市　　 5月4日（木） 20:54:55　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　52423
ゴンとも
#52423
文章にすきまができてしまったのとRのx,y座標が抜けてて・・・

座標でA(0,0),B(-4,0)
点Bを中心に長さ6の円:(x+4)^2+y^2=36
点Aを中心に長さ6の円:x^2+y^2=9
この交点でC(11/8,sqrt(455)/8)
直線BC:y=sqrt(455)*(x+4)/43
ここでx=aとしてP(a,sqrt(455)*(a+4)/43) より
直線AD:y=-sqrt(455)*(a+4)*x/43/-a・・・・・・(1)
tan(緑の●)=sqrt(455)*(a+4)/43/-a・・・・・・(2)
tan(緑の●+∠EBA)=sqrt(455)/43
加法定理より
(tan(∠EBA)+tan(緑の●))/(1-tan(緑の●)*tan(∠EBA))=sqrt(455)/43
これと(2)とより
tan(∠EBA)=43*sqrt(455)*(a+2)/(697*a-910) より
直線BE:y=43*sqrt(455)*(a+2)*(x+4)/(697*a-910)・・・・・・(3)
-tan(∠CFA)=-tan(緑の●+∠CAF)
tan(∠CAF)=-sqrt(455)/11これと(2)とで加法定理より
直線CF:y=sqrt(455)*(27*a+22)*
(x-11/8)/(9*a-910)+sqrt(455)/8・・・・・・(4)
直線ADと直線CFの交点P
Pのx座標:(387*a^2+1548*a)/(288*a^2+455*a+910)
Pのy座標:(4095*a^2+32760*a+65520)/(288*sqrt(455)*a^2+455^(3/2)*a+2*455^(3/2))
三平方でAP=18*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(5)
直線ADと直線BEの交点Q
Qのx座標:-(1849*a^2+3698*a)/(288*a^2+455*a+910)
Qのx座標:-(19565*a^2+117390*a+156520)
/(288*sqrt(455)*a^2+455^(3/2)*a+2*455^(3/2))
三平方でBQ=48*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(6)
直線CFと直線BEの交点R
Rのx座標:(3330*a^2-10727*a-55510)/(2304*a^2+3640*a+7280)
Rのy座標:(352170*a^2+1271725*a+1134770)
/(2304*sqrt(455)*a^2+8*455^(3/2)*a+16*455^(3/2))
三平方でCR=54*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(7)
これと(5),(6)より
AP+BQ+CR=120*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)
これが5より
a=(43*sqrt(8761)-8761)/1728・・・・・・(8)
これと(5)とより
AP=3/4・・・・・・(答え)
豊川市　　 5月4日（木） 21:02:12　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　52424
清一
これは難しいな。
　　 5月4日（木） 21:08:32　　 　　52425
Jママ
算数解法ぽいのができました

AD, BE, CF をそれぞれ延長し、
∠X=∠C, ∠Y=∠A, ∠Z=∠Bとなるように、
△BQX, △CRY,　△APZ　を作ると、
これらの三角形は△ABCと相似を成す。

少し端折りますが相似な図形から、ファイルのように式を作って解きました。

https://d.kuku.lu/csx67zjeh

もっと良い方法もありそうですが…
お見苦しい手書きですみませんm(_ _)m
　　 5月4日（木） 22:30:53　　 　　52426
鉄老
算数解法です。
∠CAD=∠QPR―◯, ∠ABE=∠PQR―◯, ∠BCF=∠PRQ―◯より
∠CAB=∠QPR, ∠ABC=∠PQR, ∠BCA=∠PRQ
よって、△ABCと△PQRは相似である。
PR : PQ : QR = 3 : 4 : 6なのでPR=��cm, PQ=��cm, QR=��cmとすると
△PQR : △APR : △BQP : △CRQ : △APB : △BQC : △CRA
=�� : AP×3 : BQ×2 : CR×4 : BQ×2×AP/�� : CR×4×BQ/�� : AP×3×CR/��　…式1
ここで、∠BAP=∠CBQ=∠ACR=◯なので、
△APB : △BQC : △CRA=4×AP : 6×BQ : 3×CR　…式2
よって、式1と式2より
BQ×2×AP/�� : CR×4×BQ/�� : AP×3×CR/��=4×AP : 6×BQ : 3×CR
BQ×2/�� : CR×4/�� : AP×3/��=4 : 6 : 3=4×⬜ : 6×⬜ : 3×⬜より
BQ=4×⬜×�ぁ�2, CR=6×⬜×�Α�4, AP=3×⬜×��÷3
BQ=8×⬜×��, CR=9×⬜×��, AP=3×⬜×��
以上より、BQ : CR : AP = 8 : 9 : 3
つまり、AP = 5×3 / (8+9+3) = 0.75 cm …(答え)
　　 5月4日（木） 23:39:43　　 　　52427
鉄老
先ほどのは文字化けしていたので修正します。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
算数解法です。
∠CAD=∠QPR―◯, ∠ABE=∠PQR―◯, ∠BCF=∠PRQ―◯より
∠CAB=∠QPR, ∠ABC=∠PQR, ∠BCA=∠PRQ
よって、△ABCと△PQRは相似である。
PR : PQ : QR = 3 : 4 : 6なのでPR=��cm, PQ=��cm, QR=��cmとすると
△PQR : △APR : △BQP : △CRQ : △APB : △BQC : △CRA
=�� : AP×3 : BQ×2 : CR×4 : BQ×2×AP/�� : CR×4×BQ/�� : AP×3×CR/��　…式1
ここで、∠BAP=∠CBQ=∠ACR=◯なので、
△APB : △BQC : △CRA=4×AP : 6×BQ : 3×CR　…式2
よって、式1と式2より
BQ×2×AP/�� : CR×4×BQ/�� : AP×3×CR/��=4×AP : 6×BQ : 3×CR
BQ×2/�� : CR×4/�� : AP×3/��=4 : 6 : 3=4×■ : 6×■ : 3×■
BQ=4×■×�ぁ�2, CR=6×■×�Α�4, AP=3×■×��÷3
BQ=8×■×��, CR=9×■×��, AP=3×■×��
以上より、BQ : CR : AP = 8 : 9 : 3
つまり、AP = 5×3 / (8+9+3) = 0.75 cm　…(答え)
　　 5月4日（木） 23:59:31　　 　　52428
かずき0202
一応できました
これはかなり難しかったです
　　 5月5日（金） 7:39:37　　 　　52429
「数学」小旅行
連休で曜日感覚が麻痺してました。
遅ればせながら、しかも難しかった。
　　 5月5日（金） 15:55:42　　 　　52432
とまぴょん
手ごたえがありました。元ネタはあるのかな？　全くのオリジナルですか？　すごい。
　　 5月5日（金） 16:53:59　　 　　52433
ゴンとも
#52424
自己レスですが△ABC∽△PQRが成り立つらしいので
自分の解法で確かめました。

P(-sqrt(8761)/128,sqrt(455)/128)
Q((43*sqrt(8761)-8761)/2304,sqrt(455)*(sqrt(8761)-43)/2304)
R((953-11*sqrt(8761))/1024,sqrt(455)*(139-sqrt(8761))/1024)
PQ=4*(sqrt(8761)-61)/96
QR=6*(sqrt(8761)-61)/96
RP=3*(sqrt(8761)-61)/96

で確かに成りたつみたいですね。
豊川市　　 5月5日（金） 17:26:37　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　52434
algebra
∠BAD＝∠CBE＝∠ACF＝θとおくと，相似，正弦定理，余弦定理を用いて、
AP＝72sinθ/√455，BQ＝192sinθ/√455，CR＝216sinθ/√455
よって，AP：BQ：CR＝3：8：9　AP＋BQ＋CR＝5 より AP＝5(cm)
　　 5月5日（金） 17:28:07　　 　　52435
algebra
訂正：AP＝3/4(cm)
　　 5月5日（金） 17:30:39　　 　　52437
吉川　マサル
#52433

いえ、元ネタありです。（出題の方法は、微妙に違っていますけれど）
会社とか　　 5月6日（土） 14:22:33　　 HomePage:アリーナ　　52438
吉川　マサル
基本的には、面積比だけで解けるようになっているのですが、なかなか難しいと（原題を見たときに）思いました。

∠A + ∠A' = 180°の関係のある、△ABCと△A'B'C'があるとき、面積比はBA x CA : B'A' x C'A'となることを、利用するものでした。
会社とか　　 5月6日（土） 14:35:26　　 HomePage:アリーナ　　52439
「数学」小旅行
いまだに正弦定理を使うしかできないのですが、私の場合以下のごとく。
△ＡＢＣ∽△ＰＱＲがいえるので、∠ＢＡＱ=θとして
△ＡＢＱにおいて、∠ＡＱＢ＝π−∠Ｂで、正弦定理により、ＢＱ＝４sinθ／sinＢ
同様にして、ＣＲ＝６sinθ／sinＣ，ＡＰ＝３sinθ／sinＡです。
ところで△ＡＢＣにおいて、正弦定理を適用すると、sinA：sinB:sinC=６：３：４だといえます。
したがって、AP:BQ:CR=３：８：９がわかります。よって、AP=５＊３／（３＋８＋９）＝３／４です。

　　 5月6日（土） 15:08:54　　 　　52440
KawadaT
三角形ABCと三角形PQRは、作図条件より相似です。相似比を1:mとします。
また、AP=a, BQ=b, CR=cとします。
マサルさんのコメントを受けて、3つの三角形の面積比は以下のようになります。

三角形APC:三角形CRB:三角形BQA=a(3m+c)/12m^2:c(6m+b)/18m^2:b(4m+a)/24m^2

また、作図条件より、同じ大きさの頂角を挟む2辺の積が、三角形の面積比になるので、
三角形APC:三角形CRB:三角形BQA= 3(3m+c):6(6m+b):4(4m+a) でもあります。

従って、上の二つの面積比に関する式は、次のように単純化した等式になります。
a/12:c/18:b/24=3:6:4

この式から、a:b:c=3:8:9が導かれます。

a+b+c=5なので、5*(3/20)=3/4 cmになります。
　　 5月8日（月） 15:33:19　　 　　52441
vibakari
Jママさんの#52426とほぼ同じ図になったのですがアプローチが違ったので。
円周角の定理を使っていいのか悩むところですが。

△ABC∽△PQR

ADを延長して△PGC∽△PQRとなるような点Gをとると、CR:GQ=RP:QP=3:4

∠ABC=∠AGCなので円周角の定理の逆により４点A,B,C,Gは同一円周上にある。
円周角の定理により∠AGB=∠ACB
∠QGB=∠BCA,∠BQG=∠ABCより△BQG∽△ABCなので、GQ:BQ=6:4=3:2

同様に
CFを延長して△HBR∽△PQRとなるような点Hをとると、BQ:HP=6:3=2:1
△PHA∽△ABCなので、HP:AP=4:3

以上よりCR:BQ:AP=9:8:3
∴AP=5*3/(9+8+3)=3/4
　　 5月9日（火） 10:05:38　　 　　52442
ベルク・カッツェ
算数解法が全く思いつかず、しばらく放置していました。
AP=ア、BQ=イ、CR=ウ、三角形PQRはABCと相似なので三辺を3、4、5として、三角形PQRの面積を12とおくと、辺の比と面積比から三角形PAB=1/2×ア×イ、QBC=2/3×イ×ウ、RAC=ア×ウとなり、またこの3つの面積比は同じ角を挟む二編の長さの積の比なので4×ア：6×イ：3×ウ、よって3/4×イ＝2/3×ウ＝2×アとなりア：イ：ウ＝3：8：9、合計5ｃｍなのでアは5ｃｍ×3/20＝3/4ｃｍとなりました。
式で解いていてあまり算数っぽくありませんが。
　　 5月9日（火） 16:27:17　　 　　52443
ベルク・カッツェ
間違えました。
三角形PQRはABCと相似なので三辺を3、4、5→3，4、6です。
　　 5月9日（火） 16:33:19　　 　　52444
吉川　マサル
#52443

はい、これが想定解でした。お見事です。（私はネタを知っていて出題しているので...）
会社とか　　 5月9日（火） 16:46:53　　 HomePage:アリーナ　　52445
わらび餅
「算数にチャレンジ！！」の問題は始めたやったんですけど
難しいですね、、、
　　 5月9日（火） 22:15:20　　 　　52446