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ベルク・カッツェ |
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今日はお休みかと思っていたら更新されていました。
ア4 1通り イ4 4通り ウ4 1通り ア2ウ2 3通り イ2ウ2 6通り イ2ア2 6通り イ2ア1ウ1 4通り 25通りになりました。 |
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8月24日（木） 0:40:06
52707 |
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消しゴムパトロール |
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いつの間にか更新されていましたね。
幅２は１通り、幅４(２のところで分断されず４のところで分断される)は３通り、幅６は２通り、幅８は２通りの並べ方。 ２，２，２，２ → 並べ替え１通りなので１×１×１×１×１＝１通り ２，２，４ → 並べ替え３通りなので、３×１×１×３＝９通り ２，６ → 並べ替え２通りなので、２×１×２＝４通り ４，４ → 並べ替え１通りなので、１×３×３＝９通り ８ → 並べ替え１通りなので、１×２＝２通り すべて足して25通り |
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8月24日（木） 0:45:50
52708 |
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鯨鯢(Keigei) |
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「これら３種類のパーツを使って」を、
最初３種類とも使うと解釈し、 ４通りと解答してしまいました。 |
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8月24日（木） 0:56:50
52709 |
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紫の薔薇の人 |
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ウ４・・・1通り
ウ３・・・0通り ウ２ 2*2(ウ)2組と2*4１組の配置が３通り。 2*4をア２で1通り、イ２で2通り。 だから3*(1+2)＝9通り。 ウ１ 2*2(ウ)1組と2*6１組の配置が2通り。 2*6は、例図と上下反転の2通り。 だから、2*2＝4通り。 ウ０ 2*4２組の場合が、3*3＝9通り。 その他、 イアアアアイイイ イイイアアアアイ とその反転で2通り。 合計して25通り。 |
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8月24日（木） 0:56:58
52710 |
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みかん |
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#52708 と同じやり方でした。
もう少し横が長いと、漸化式っぽく解くのを検討した方がよさそう。 |
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8月24日（木） 0:59:51
52712 |
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今年から高齢者 |
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二段のできる組み合わせ
A：ウ……………….長さ2、上下反転1 B：アア…………….長さ4、上下反転1 C：イイ……………長さ4、上下反転2 D：イアイ………….長さ6、上下反転2 E：イアアイ………長さ8、上下反転2 上記で長さ8になる組み合わせ AAAA＝1 AAB＝3 AAC＝6 AD＝4 BB＝1 BC＝4 CC＝4 E＝2 合計25とおり |
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8月24日（木） 1:00:07
52713 |
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「数学」小旅行 |
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２・２の正方形の個数で場合分けして数えました。
２・４をアとイで埋めるのが３通りあるところが味噌では！？ |
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8月24日（木） 1:54:24
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いちごみるく |
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埋めてる途中の状態が以下の３つに分類できるので
A. ****** ****** B. *** ***** C. ***** *** 漸化式が以下のように立つので(上の図はそれぞれA[6],B[5],C[5]) A[0] = 1,B[0] = 0,C[0] = 0 A[n] = A[n-4] + A[n-2] + B[n-1] + C[n-1] B[n] = A[n-3] + C[n-2] C[n] = A[n-3] + B[n-2] A[16]が答え https://wandbox.org/permlink/lVFxVMcACpAeeE2S |
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8月24日（木） 6:57:30
52715 |
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吉川マサル |
| 昨晩はすみません、更新ファイルの転送を忘れいていることに、入浴中に気づいて、慌ててPCに戻って更新するという失態をしてしまいました。ご迷惑をおかけした皆様、申し訳ありませんでした。 |
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自宅
8月24日（木） 9:00:39
52716 |
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まるケン |
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罫線はちゃんと表示されるかな？
┌─┐ │ │ └─┘ |
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8月25日（金） 19:54:40
MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 52717 |
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まるケン |
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どうにか読める程度に表示できたので、、、
ウの形がいくつあるかで場合分けして、紙に書き出して数えました。 まずはウが４つの場合、以下の１通り。 ┌─┬─┬─┬─┐ │ │ │ │ │ └─┴─┴─┴─┘ ３つの場合、、、これはあり得ないです。 ２つの場合、だんだん複雑になってきます。 アとウだけの場合は以下の３通り ┌─┬─┬───┐ │ │ ├───┤ └─┴─┴───┘ ┌─┬───┬─┐ │ ├───┤ │ └─┴───┴─┘ ┌───┬─┬─┐ ├───┤ │ │ └───┴─┴─┘ イとウだけの場合、イの向きがあるので倍になり、以下の６通り ┌─┬─┬──┬┐┌─┬─┬┬──┐ │ │ │┌─┘││ │ │└─┐│ └─┴─┴┴──┘└─┴─┴──┴┘ ┌─┬──┬┬─┐┌─┬┬──┬─┐ │ │┌─┘│ ││ │└─┐│ │ └─┴┴──┴─┘└─┴──┴┴─┘ ┌──┬┬─┬─┐┌┬──┬─┬─┐ │┌─┘│ │ ││└─┐│ │ │ └┴──┴─┴─┘└──┴┴─┴─┘ ウが１つの場合、以下の４通り ┌─┬──┬──┐┌─┬┬───┬┐ │ │┌─┴─┐││ │└─┬─┘│ └─┴┴───┴┘└─┴──┴──┘ ┌──┬──┬─┐┌┬───┬┬─┐ │┌─┴─┐│ ││└─┬─┘│ │ └┴───┴┴─┘└──┴──┴─┘ ウは使わない場合 アだけの場合は以下の１通り ┌───┬───┐ ├───┼───┤ └───┴───┘ イだけの場合、以下の４通り。 ┌──┬┬──┬┐┌┬──┬┬──┐ │┌─┘│┌─┘││└─┐│└─┐│ └┴──┴┴──┘└──┴┴──┴┘ ┌┬──┬──┬┐┌──┬┬┬──┐ │└─┐│┌─┘││┌─┘│└─┐│ └──┴┴┴──┘└┴──┴──┴┘ アとイだけの場合、これがなかなか複雑。多分以下の６通り。 ┌──┬┬───┐┌┬──┬───┐ │┌─┘├───┤│└─┐├───┤ └┴──┴───┘└──┴┴───┘ ┌───┬──┬┐┌───┬┬──┐ ├───┤┌─┘│├───┤└─┐│ └───┴┴──┘└───┴──┴┘ ┌──┬───┬┐┌┬───┬──┐ │┌─┴─┬─┘││└─┬─┴─┐│ └┴───┴──┘└──┴───┴┘ １＋３＋６＋４＋１＋４＋６＝２５ |
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8月25日（金） 19:55:47
MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 52718 |
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今年から高齢者 |
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A：ウ………………長さ2、上下反転1
B：アア……………長さ4、上下反転1 C：イイ……………長さ4、上下反転2 D：イアイ…………長さ6、上下反転2 E：イアアイ………長さ8、上下反転2 長さが2nの組み合わせ数をa(n)とすると a(1)＝1、a(2)＝a(1)+3＝4、a(3)＝a(2)+3a(1)+2＝9、a(4)＝a(3)+3a(2)+2a(1)+2＝25 n≧5の場合 a(n)＝a(n-1)+3a(n-2)+2a(n-3)+2a(n-4) a(n-1)の係数1はAを付け加える方法、 a(n-2)の係数3はBとCを付け加える方法 a(n-3)の係数2はDを付け加える方法 a(n-4)の係数2はEを付け加える方法 これを順次計算すれば n________a(n) 4________25 5________62 6_______163 7_______417 8______1080 9______2781 10_____7181 11____18518 12____47783 |
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8月25日（金） 20:28:59
52719 |
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いちごみるく |
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#52719
みたいなのの存在忘れてません？ ┌──┬───┬──┐ │┌─┴─┬─┴─┐│ └┴───┴───┴┘ ┌──┬───┬───┬┐ │┌─┴─┬─┴─┬─┘│ └┴───┴───┴──┘ |
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8月25日（金） 20:53:49
52720 |
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まるケン |
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左端から埋めていく過程で、末端がどのような形になっているかを考えます。
上下の違いはとりあえず無視すると、以下の３通りが考えられます。 ┐ a │ ┘ ──┐ b ┌─┘ ┘ ───┐ c ───┘ 一番最初はまだ何も置かれていないので、a の形と考えます。 なので、初期値 (a, b, c) = (1, 0, 0) です。 次の段階でaの形になるのは、前回aでウを置いた場合と、 前回 b でイの向きを変えておいた場合と、 前回 c でアをおいた場合の合計。 すなわち、a(n) = a(n-1) + b(n-1) + c(n-1) となります。 次の段階でbの形になるのは、前回aでイを置いた場合（向きは2通り）と、 前回bで隙間にアを置いた場合の合計。 すなわち、b(n) = a(n-1) * 2 + b(n-1) となります。 次の段階でcの形になるのは、前回aでアを置いた場合だけ。 すなわち、c(n) = a(n-1) となります。 これを計算していくと、、、 0 1 1 1 2 4 3 9 4 25 5 64 6 169 7 441 8 1156 9 3025 10 7921 11 20736 12 54289 13 142129 14 372100 15 974169 16 2550409 17 6677056 18 17480761 19 45765225 20 119814916 となりました。 |
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8月26日（土） 14:58:33
MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 52721 |
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まるケン |
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わっ！罫線がずれた！！
こんな感じを描きたかったのに、、、 a ┐ │ ┘ b ──┐ ┌─┘ ┘ c ───┐ ───┘ |
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8月26日（土） 15:01:08
MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 52722 |
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いちごみるく |
| これよくみるとフィボナッチの２乗ですね |
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8月26日（土） 15:36:37
52723 |
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まるケン |
| なんと、フィボナッチの２乗だったとは！！ |
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8月26日（土） 15:47:19
MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 52724 |
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みかん |
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今回の問題をちょっと置き換えて考えます。
２×２のブロック（あ）は赤の１色、２×４のブロック（い）は赤・青・黄の３色、 ２×６のブロック（う）、２×８のブロック（え）、２×１０のブロック（お）は それぞれ赤・青の２色がある。 いずれのブロックもたくさんあるものとする。 ・２×２の敷き詰め （あ）を置くのみなので１通り ・２×４の敷き詰め ２×２の敷き詰め＝１通り のあと、（あ）を置く＝１通り →１×１＝１通り （い）を置く→３通り 以上、１＋３＝４通り ・２×６の敷き詰め ２×４の敷き詰め＝４通り のあと、（あ）を置く＝１通り →４×１＝４通り ２×２の敷き詰め＝１通り のあと、（い）を置く＝３通り →１×３＝３通り （う）を置く→２通り 以上、４＋３＋２＝９通り ・２×８の敷き詰め ２×６の敷き詰め＝９通り のあと、（あ）を置く＝１通り →９×１＝９通り ２×４の敷き詰め＝４通り のあと、（い）を置く＝３通り →４×３＝１２通り ２×２の敷き詰め＝１通り のあと、（う）を置く＝２通り →１×２＝２通り （え）を置く→２通り 以上、９＋１２＋２＋２＝２５通り ・２×１０の敷き詰め 今までと同様にすると、２５×１＋９×３＋４×２＋１×２＋２＝６４通り これ以降２×ｎの敷き詰めは、 横（ｎ−２）マスの敷き詰め×１ 横（ｎ−４）マスの敷き詰め×３ 横（ｎ−６）マスの敷き詰め×２ …（中略） 横２マスの敷き詰め×２ 横２×ｎマスのブロックを置く…横６マス以上はいつも２色のみ の合計ということになるはず。 「１段または２段ずつ階段を上る場合の数」のように、２つ前までだけを見て計算するのではないため 横の数が増えると途端に手計算だと辛くなります。 |
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8月26日（土） 17:34:47
52725 |
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今年から高齢者 |
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#52719、間違っていました。まるケンさんの結果を見て気づきました。
nが大きくなると、アとイでできる長方形の種類が増えるので、もっと多くなってきますね。 |
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8月26日（土） 18:14:09
52726 |
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今年から高齢者 |
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nが増えてゆくに従って、新しいパターンの長方形が増えてゆくのを修正すると
n≧5の場合 a(n)＝a(n-1)+3a(n-2)+2Σ[1≦k≦n-3]a(k)+2……………�� nを一つ大きくして、a(n+1)＝a(n)+3a(n-1)+2Σ[1≦k≦n-2]a(k)+2……………�� ��-�，茲蝓�a(n+1)=2a(n)+2a(n-1)-a(n-2) 計算結果は、まるケンさんと同じになりました |
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8月26日（土） 21:00:42
52727 |
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「数学」小旅行 |
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この4項間漸化式を解くと
a(n)=-2/5*(-1)^(n-1)+(7+3*sqrt(5))/10*((3+sqrt(5))/2)^(n-1)+(7-3*sqrt(5))/10*((3-sqrt(5))/2)^(n-1) になりますね。 |
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8月28日（月） 10:37:02
52728 |
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「数学」小旅行 |
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これが、ヒィボナッチ数列の一般項の２乗になることは計算で確かめられました。
一方、ヒィボナッチ数列の一部を、ａ，ｂ，ｃ，ｄとすると ｂ＝ｃ＋ｄ ｂ−ｃ＝ｄ ｂ＾２−２ｂｃ＋ｃ＾２＝ｄ＾２ ２ｂｃ＝ｂ＾２＋ｃ＾２−ｄ＾２ ｂ＾２＋２ｂｃ＋ｃ＾２＝２＊ｂ＾２＋２＊ｃ＾２−ｄ＾２ （ｂ＋ｃ）＾２＝２＊ｂ＾２＋２＊ｃ＾２−ｄ＾２ ａ＾２＝２＊ｂ＾２＋２＊ｃ＾２−ｄ＾２ のように、この４項間漸化式が成り立つことが分かりました。 でも、この場合にどうしてそうなるのか、ふしぎなことですね。 |
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8月28日（月） 15:56:10
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「数学」小旅行 |
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皆さんが解いておられるので蛇足ですが、私なりに漸化式を考えてみました。
ア、イ、ウの3種のタイルｎ個を縦２の長方形の中へ左詰で隙間なく、上下段の差が出来るだけ少なくなるように埋めていくと 右端は2個の正方形が飛び出す形（上下あり）か、飛び出さない形（長方形）のいずれかになります。 後者の形になる埋め方をａ（ｎ）通り、前者の形になる埋め方をｂ（ｎ）通りとします。 まず、ａ（ｎ）＝ａ（ｎ−１）＋ａ（ｎ−２）＋ｂ（ｎ−１）です。 ａ（ｎ）の形になるのが１通りしかない前状態の和と考えています。(経過途中で他の状態と重複しないように) ａ（ｎ−１）からはウを足す。ａ（ｎ−２）からはア２個を足す。ｂ（ｎ−１）からはイまたはイの反転を足す。 次に、 ｂ（ｎ）＝ａ（ｎ−１）＋ａ（ｎ−１）＋ｂ（ｎ−１）です。 １つ目のａ（ｎ−１）からはイを足す。２つめのａ（ｎ−１）からはイの反転を足す。ｂ（ｎ−１）からはアを足す（飛び出す方は上下入れ替わり）。 ここで、ａ（０）＝ａ（１）＝１、ｂ（０）＝０、ｂ（１）＝２となります。 今回、漸化式を考えてみることができて、格別におもしろかったです。ありがとうございました。 |
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8月30日（水） 9:28:28
52730 |