今年から高齢者
∠PBC＝(1/2)∠CAB
PのBCに関して反対側の点Qをとれば
��BPQは��ABCと相似。相似比1/2
PQ=12/2=6なので、PとBCの距離は3cm
面積＝12*3/2＝18cm2
5cmは考えなかったのですが．．．．
　　 8月21日（木） 0:21:46　　 　　54142
今年から高齢者
∠PBC＝(1/2)∠CAB
PのBCに関して反対側の点Qをとれば
��BPQは��ABCと相似。相似比1/2
PQ=12/2=6なので、PとBCの距離は3cm
面積＝12*3/2＝18cm2
5cmは考えなかったのですが．．．．
　　 8月21日（木） 0:24:09　　 　　54143
ゴンとも
赤い点=a,CH=bとするとPH=sqrt(25-b^2),BP=a,AH=2*a-b
ここで△ABHで三平方で
BH^2(=(BP+PH)^2)+AH^2=AB^2 より
(a+sqrt(25-b^2))^2+(2*a-b)^2=4*a^2・・・・・・(1)
また△CBHで三平方で
BH^2+HC^2=BC^2 より
(a+sqrt(25-b^2))^2+b^2=144 これを
(a+sqrt(25-b^2))^2=144-b^2 と変形して(1)に代入して
144-b^2+(2*a-b)^2=4*a^2 変形して
144-b^2+4*a^2-4*a*b+b^2=4*a^2 変形して
4*a*b=144 より　a*b=36・・・・・・(2)
ここで△BPC=a*b/2(∵BH⊥CH) これと(2)とより
△BPC=18・・・・・・(答え)
豊川市　　 8月21日（木） 1:00:00　　 　　54144
io
暫く悩みましたが5cmを使う解法が思いつきませんでした
　　 8月21日（木） 1:07:00　　 MAIL:ioio10ioio22@gmail.com 　　54145
「数学」小旅行
高さがCH*x/12でCH=12*3/xだから3cmと暗算したが！
で、さて？5cmは？
　　 8月21日（木） 4:36:05　　 　　54146
ゴンとも
#54144

自己レスですみません自分の先の解法も5cmを使わずに以下

赤い点=a,CH=bとすると
△ABHで三平方で
BH^2+AH^2=AB^2 より
BH^2+(2*a-b)^2=4*a^2・・・・・・(1)
また△CBHで三平方で
BH^2+HC^2=BC^2 より BH^2+b^2=144 これを
BH^2=144-b^2 と変形して(1)に代入して
144-b^2+(2*a-b)^2=4*a^2 変形して
144-b^2+4*a^2-4*a*b+b^2=4*a^2 変形して
4*a*b=144 より　a*b=36・・・・・・(2)
ここで△BPC=a*b/2(∵BH⊥CH) これと(2)とより
△BPC=18・・・・・・(答え)
豊川市　　 8月21日（木） 4:51:23　　 　　54147
スモークマン
寝落ちしてました ^^;

A,Pからそれぞれ垂線ひき、AH.PH'
△ABH〜△BH'P
so...PH'=3
12*3/2=18

5cmは不要？というか...PCは5cmにはならないんじゃ？？？
　　 8月21日（木） 7:05:37　　 　　54148
巷の夢
ゴンとも様と全く同様の解法で解きました。三平方の定理を
一回使うだけで正答が出るとは・・・・、上手な作問ですね。
マサル様の模範解もこれなのでしょうね・・・。
真白き富士の嶺　　 8月21日（木） 8:27:27　　 　　54149
今年から高齢者
#54148スモークマン様
「5cmは不要？というか...PCは5cmにはならないんじゃ？？？」
私もそのことは考えましたが、5cmで矛盾はなさそうです。
　　 8月21日（木） 9:31:24　　 　　54150
とまぴょん
あれ５センチは？とおもいつつ、入れました。
　　 8月21日（木） 9:33:15　　 　　54151
吉川マサル
確かに、PC=5cmは不要でした。しまった...。
ARENA　　 8月21日（木） 10:21:43　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:会社　　54152
吉川マサル
ちなみに、公開前に、ChatGTPに解いてもらいました。笑
ARENA　　 8月21日（木） 10:23:02　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:会社　　54153
ましゃ
ＣＰの延長線と辺ＡＢの交点をＤとしたとき、△ＣＤＢ∽△ＡＢＣというのは根拠として出せますか？
結果としてそのようになるとは思うのですが。
それだとＣＰが５�僂箸いΔ里鰐圭發�なくなると思うのですが。

私も、みなさんと同じように点ＰからＢＣに向けて垂線を引き、その交点をＥとしたとき△ＢＰＥは△ＡＢＣの半分と相似になることからＰＥを３�僂箸靴凸明僂魑瓩瓩泙靴拭�
　　 8月21日（木） 13:27:13　　 　　54154
手描き図面職人
CP=5cmを、除いてchatGPT-5に解いて貰いましたが、やはりS=18cm2でした。
　　 8月21日（木） 13:47:38　　 　　54155
香取巻男
少し手こずりました。解法はいたってシンプルです。三角形の相似の利用と三平方の定理を使用。
【解法】題意よりＡＢ＝ＡＣ＝ａ　ＢＰ＝ａ/２とする。またＰＨ＝ｘ ＨＣ＝ｙ
点Ｐから線分ＢＣに垂線の足を下した点をＲとし、線分ＰＲ＝ｈとする。また△ＰＢＲ∽△ＣＢＨから１２：ｙ＝ａ/２ ：ｈ・・・・��
次に△ＡＢＨの三平方の定理より（ａ／２＋ｘ）＾２＋ｙ＾２＝１４４　整理してａ＾２/４＋ａ・ｘ＝１１９・・・・�◆　�
同様に△ＣＢＨも式を整理すると２ａｙ＝ａ＾２/４＋ａ・ｘ＋２５・・・��
�↓�よりａｙ＝７２・・・�い�導出される。�い鬮，紡綟�するとｈ＝３　すなわち△ＰＢＣの高さが求まり面積は１８cm＾２
　　 8月21日（木） 16:44:17　　 　　54156
KawadaT
赤丸一個をaとし、角Bをθとします。
求める面積は、S=12cosθ*a/2=6acosθ

ここで、三角形ABCで、2acosθ=6なので、acosθ=3
従って、S=6*3=18
　　 8月21日（木） 16:45:07　　 　　54157
香取巻男
△ＰＨＣにおいてｘ＾２＋ｙ＾２＝２５　の関係式が記載漏れしておりました。
　　 8月21日（木） 16:47:46　　 　　54158
香取巻夫
訂正です。式�△連ぃ達贈箸侶彁桟覯未任后�また式��は△ＡＢＨの計算結果です。
　　 8月21日（木） 17:01:02　　 　　54159
ベルク・カッツェ
三角形HPCは三角形ABCを二等分したものと相似。
BCに関してPと対称な点P'をとると、BPP'はABCと相似なのでPP'＝6、求める三角形の高さは3なので、12×3÷2＝18となります。
今回は全く分からず、今日の午前、仕事中にやっとやり方を思いつきました。
　　 8月21日（木） 17:13:50　　 　　54160
ベルク・カッツェ
時間ができたんで急いで書き込みましたが、わざわざ二等辺作らなくても、直角三角形の相似だけで高さ3は出ますね。
あと5は使いませんでした。
　　 8月21日（木） 17:17:46　　 　　54161
OYAMADAI
AB=AC=2a　BP＝a

△ACM∽△BCH
AC：CM＝BC：CHより2a：6＝12：CH

CH＝36/a

△BCP＝BP×CH×1/2＝a×36/a×1/2＝18

　　 8月21日（木） 18:46:17　　 　　54162
「数学」小旅行
CP＝５ｃｍになることもあるので大丈夫ということです。
△ＢＣＰの高さは赤●の長さによらず、常に底辺12ｃｍの1/4、すなわち3cmになるのですね。
　　 8月21日（木） 19:00:57　　 　　54163
kyorofumi
５ｃｍの部分を伸ばしたりして作図してました。ひっかかりました。

いいひっかけだと思います。５ｃｍはあったほうがいいと思います。
　　 8月21日（木） 19:50:23　　 　　54164
ベルク・カッツェ
5ｃｍをどう使う予定だったのかが気になります。
3：4：5とか？
　　 8月21日（木） 20:48:06　　 　　54165
Mr.ダンディ
結局は皆さんと同じような解法になったのですが、まんまと5ｃｍのひっかけにに引っ掛かりかなりの遠回りをしてしまいました。（参った　参った...）
茨木市　　 8月21日（木） 21:41:34　　 　　54166
さいと散
5cmがあるとΔABCの面積が決まるんじゃないでしょうか？
　　 8月21日（木） 22:01:37　　 　　54167
KawadaT
5cmの条件があると、ABは2ルート73ですね
　　 8月22日（金） 6:52:27　　 　　54168
岡本ボンバーズ
ＡからＢＣに垂線下ろして、ＢＣの中点Ｋとすると△ＡＢＫ相似△ＢＣＨ、ＡＢ＝２ＱとするとＡＢ：ＢＫ＝Ｑ：３、ＰからＢＣに垂線下ろしてＭんで、△ＢＣＨ相似△ＢＰＭで、ＢＰ＝Ｑなので、ＰＭ＝３で１２☓３÷２＝１８と出しました。追伸：近頃の雨はやばいですね。地球もやばそうです。
　　 8月22日（金） 9:23:02　　 　　54169
岡本ボンバーズ
すみません。１２☓３÷２です。入れた覚えのない「＆♯９７４７」は突入しないでください。
　　 8月22日（金） 9:26:58　　 　　54170
ゴンとも
#54147

三平方だけの解法の方が計算がシンプルですが
別方で面積の方法で

赤い点=a,CH=bとすると
△ABC=AC*BH/2=BC*sqrt(AC^2-(BC/2)^2)/2・・・・・・☆ より
☆の左辺は
a*sqrt(4*a^2-(2*a-b)^2)
=a*sqrt(4*a^2-4*a^2+4*a*b-b^2)
=a*sqrt(4*a*b-b^2)
☆の右辺は6*sqrt(4*a^2-36)=12*sqrt(a^2-9) より
a*sqrt(4*a*b-b^2)=12*sqrt(a^2-9) 両辺正で辺々2乗して
左辺から右辺を引いて
(a*sqrt(4*a*b-b^2))^2-(12*sqrt(a^2-9))^2
=-(a*b-36)*(a*b-4*a^2+36)=0 より　a*b=36
ここで△BPC=a*b/2(∵BH⊥CH) より
△BPC=18・・・・・・(答え)

今回は三平方の解法はやった3番目でこれが2番目で
計算間違いで当日は答えがです
最初の方法は計算が6次方程式でできなかったんですが
それも計算間違えかもしれないので今から最初の解法でやり直しをしようかな
と思ってます。
豊川市　　 8月22日（金） 12:50:34　　 　　54171
ゴンとも
#54171

>最初の方法は計算が6次方程式でできなかったんですが
>それも計算間違えかもしれないので今から最初の解法でやり直しをしようかな
>と思ってます。

長さ5を使用した解法で座標で相似を1箇所使用することより
計算が爆発することなく以下のようになりました。

座標でB(0,0),P(a,0)として
点B,Pを中心のそれぞれ半径12,5の円
x^2+y^2=12^2,(x-a)^2+y^2=25 の交点で
C((a^2+119)/a/2,-sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2)
ここで点Aから垂線を下ろしその足をDとして
CH:BC=CD:CA より
sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2:12=6:b+sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2 より
(sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2)*(b+sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2)-72=0
これをbについて解くと
b=(a^4-50*a^2+14161)/a/sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/2・・・・・・(1)
また2*BP=AC より　2*a-(b+sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2)=0
これをbについて解くと
b=-(sqrt(-a^4+338*a^2-14161)-4*a^2)/a/2 これが(1)と同じより
-2*a*(sqrt(-a^4+338*a^2-14161)-72))/sqrt(-a^4+338*a^2-14161)=0 より
sqrt(-a^4+338*a^2-14161)-72=0 より
sqrt(-a^4+338*a^2-14161)=72 両辺正で辺々2乗して左辺から右辺を引くと
-a^4+338*a^2-14161-72^2=-(a^2-265)*(a^2-73)=0 より
BC=12よりa=sqrt(265)は不可でa=sqrt(73)
これを(1)に代入してb=110/sqrt(73)
ここで△BPC=a*sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/4
=sqrt(73)*sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/sqrt(73)/4
=sqrt(-73^2+338*73-14161)/4=18・・・・・・(答え)

あとの面積を求めると
△ABC=(b+sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2)*((a^2+119)/a/2)/2
=(110/sqrt(73)+sqrt(-73^2+338*73-14161)/sqrt(73)/2)*((73+119)/sqrt(73)/2)/2=96
より△PCH=△ABC-△BPC=96-18=78
AB=AC=b+sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2
=110/sqrt(73)+sqrt(-73^2+338*73-14161)/sqrt(73)/2=2*sqrt(73)
BH=ev((a^2+119)/a/2,a=sqrt(73))=96*sqrt(73)/73
ここでBP=sqrt(73)よりPH=96*sqrt(73)/73-sqrt(73)=23*sqrt(73)/73
CH=sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2=
sqrt(-73^2+338*73-14161)/sqrt(73)/2=36*sqrt(73)/73
これで問題文の区切りでの長さ及び面積はすべてだせたと思います。
豊川市　　 8月22日（金） 18:08:08　　 　　54172
ゴンとも
#54172

自己レスですみません以下間違えを訂正で。

>より△PCH=△ABC-△BPC=96-18=78
は間違えで
△PCH=CH*PH/2=(36*sqrt(73)/73)*(23*sqrt(73)/73)/2=414/73=5.671232876712328・・・
△ABH=△ABC-△PBE-△PCH=96-18-414/73=5280/73=72.32876712328768・・・

あと
>C((a^2+119)/a/2,-sqrt(-a^4+338*a^2-14161)/a/2)
の下の行に
A((a^2+119)/a/2,b),H((a^2+119)/a/2,0)
を付け足しで。
豊川市　　 8月22日（金） 18:28:37　　 　　54173
スモークマン
CPの存在する範囲を考えてみました。
角C=15°〜75°

cos15°=√(2+√3)/2
cos75°=√(2-√3)/2
so...
6√(2-√3)=3.10...<=CP<=6√(2+√3)=11.59...
の範囲なら存在できるのでしたか？...Orz
　　 8月27日（水） 9:34:44　　 　　54174