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ゴンとも |
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座標で円の中心をO(0,0),A(0,2*a),B(-sqrt(3)*a,-a),C(sqrt(3)*a,-a)
D(-4,2*a-4*sqrt(3)),E(4,2*a-4*sqrt(3)),M((sqrt(3)*a-4)/2,(a-4*sqrt(3))/2) ここでOM^2-9=((sqrt(3)*a-4)/2)^2+((a-4*sqrt(3))/2)^2-9=a^2-4*sqrt(3)*a+7=0 この2次方程式を解くとa=2*sqrt(3)-sqrt(5) この値から三平方でOE=sqrt(16+(2*a-4*sqrt(3))^2)=6 ME=sqrt((4-(sqrt(3)*a-4)/2)^2+((a-4*sqrt(3))/2+4*sqrt(3)-2*a)^2)=3*sqrt(3) ここでOM=3より△OMEはOM:OE:ME=1:2:sqrt(3)の直角三角形より △OME=OM*ME/2=3*3*sqrt(3)/2=9*sqrt(3)/2一方で△ADE=4*4*sqrt(3)=16*sqrt(3)より △OME/△ADE=9/32・・・・・・(答え) |
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豊川市
3月19日（木） 0:41:23
54583 |
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Quantum Theory |
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量子論です。
COを延長しABとの交点をF, 円との交点をGとする。 O はCGの中点なので、中点連結定理より、 OMとDGは平行で DG＝6 cm. COは半径, CGは直径で、中心Oは正三角形の重心なので CO：OF：FG＝2：1：1. ⇒ OF＝FG OGとABは直交するので、△DOGは2等辺三角形となり、 DG＝DO, さらに DO＝EO でもあり、これらの長さは すべて等しく、DG＝DO＝EO＝6cm. △AOEを60°時計回りに回転すると△AGDになるので、 回転合同の性質から、EO（の延長）とDG（の延長）の 間のなす角は60°である。 DGとOMは平行なので EO とOM のなす角も60°である。 三角形の相似の条件の１つである、 2辺の比とその間の角が等しいので、正三角形の半分と相似、 つまり、△EOMは１辺＝6cm の正三角形の半分である。 求める面積比は 3^2：4^2x2＝9：32 ⇒ 9/32 むずい.... |
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3月19日（木） 2:31:26
54584 |
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「数学」小旅行 |
| √3とか使ってしまいました。 |
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3月19日（木） 2:47:10
54585 |
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Jママ |
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すみません、勘です
答えが有理数になるのは△OMEが30°,60°,90°の三角形のときくらいしか無かろうと思いました。 #54584 量子論さんの解法に膝を打ちました |
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3月19日（木） 6:08:43
54586 |
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スモークマン |
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#54584 量子論さんのAha!!
わたしゃ... DEをBCに縮めていくという特殊化で...角AME=90°、角MOE=60° so...3*6/8^2=9/32 なんていい加減...^^; |
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3月19日（木） 11:55:47
54587 |
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KawadaT |
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点Dを原点とする座標を取ります。
AB=aとすると、 点O(4,4√3-a/√3) 点M(2+a/4,(2-a/4)*√3) 点E(8,0) 条件OM=3より、二次方程式を立てて、a=12-2*√15 ここで、OE=6, ME=3√3が求められて、角MOEは余弦定理より60度 従って、求める答えは、(3/8)*(6/8)=9/32となります。 |
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3月19日（木） 16:00:38
54588 |
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今年から高齢者 |
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難しかった
最初はインチキっぽく求めた。 ��ADEの面積は16√3 ��OEMの面積は横幅をXとすると3X/2 この比が有理数になるためには、X＝A√3の形であり 4＜XでXは4に近いので、A＝3 ��AEMの面積は、(9√3)/2 ∴��AEM／��ADE＝9/32 翌日考え直してみた結果、 Oを中心とした半径ODの円2を描く。DEの中点をQとする。 平行四辺形DECPを作ると、Pは円2の上の点となる ∴PM＝MEであり、∠OME＝90º ��APB≡��OEC（対応する3辺が等しい） ∴∠POB＝∠EOC ここから、∠BOC＝∠POEなので、∠MOE＝60º ��EQA∽��AQE。相似比＝3/4 ��AQE／��ADE＝(3/4)²／2＝9/32 |
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3月19日（木） 18:53:55
54589 |
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今年から高齢者 |
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#54589文字化け
∠OME＝90º→∠OME＝90度 ∠MOE＝60º→∠MOE＝60度 (3/4)²→(3/4)^2 |
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3月19日（木） 18:56:34
54590 |
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あべ |
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OMをMの方に3cm延ばした点をFとして、△OCM≡△FDM（二辺夾角相等）からOC=FD、角OCB=角EDFを得る。
角OCB=角OACより角OAC=角EDFなので、△AOE≡△DFE（二辺夾角相等）となり、△OFEは1辺6cmの正三角形とわかる。 面積比3×3÷2:4×4=9:32 → 9/32 正三角形の相似回転→合同にあたりをつけて考えました。 |
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3月20日（金） 0:59:17
54591 |
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あべ |
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OMをMの方に3cm延ばした点をFとして、△OCM≡△FDM（二辺夾角相等）からOC=FD、角OCB=角EDFを得る。
角OCB=角OACより角OAC=角EDFなので、△AOE≡△DFE（二辺夾角相等）となり、△OFEは1辺6cmの正三角形とわかる。 面積比3×3÷2:4×4=9:32 → 9/32 正三角形の相似回転→合同にあたりをつけて考えました。 |
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3月20日（金） 1:54:25
54592 |
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「数学」小旅行 |
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座標平面で、D(0,0),E(8,0),A(4,4√3)にとる。
B(x,√3x)とすると、O(4,4/3√3+2/3√3x),M(4-x/2,√3/2x)となる。 OM^2=9から、(x/2)^2+(4/3√3+√3/6x)^2=9すなわち、x^2+4x=11…�� △OMEの面積は、S=1/2|-4×√3/2x-(-4-x/2)(4/√3+2/√3x)|=1/2|16/√3+(x^2+4x)/√3|=9/2√3(∵��) △ADE=16√3だから、9/2√3÷16√3=9/32 |
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3月20日（金） 10:25:40
54593 |
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こちこちのフルマラソン完走こち |
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よく座標軸を設定される方がおられたなあと思っていたら#54593（真下）においででした。真似みたいになりました。
A(0,0)、D(4,4√3)、E(8,0)とおく。C(x,0)とすると B(x/2,√3x/2)、O(x/2,√3x/6)、M(x/2+2,2√3)だから OM=3より二次方程式を解いてx=12-2√15 時に、EOベクトル＝(x/2-8,√3x/6)、EMベクトル=(x/2-6,2√3)より △OMEの面積は5√3-√5x/4になるからｘの値を代入して、△OME=9√3/２ △ABC=16√3より△OME/△ADE＝9/32 |
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3月21日（土） 8:42:09
54594 |
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マツダ |
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久々の書き込み。ＡからＢＣの方に伸ばして１辺が８の正三角形を作るのと同様に，ＢからＡＣの方，ＣからＡＣの方に伸ばす。
(要は１２０度回転させたものを重ねる) その外枠を結んで内角が全て１２０度の六角形を作る。 ＯＭＥと同じものを全てに作ると手裏剣っぽいのができる。 ＭＥをＭ側に伸ばすと，左下の平行四辺形の性質より，外枠にぴったり！ あとは中線の１／３の長さが３なので…という要領。 説明を無精しておりすみません… |
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3月22日（日） 0:03:37
54595 |
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清一 |
| 一分で解答とはどうやって？？ |
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3月22日（日） 18:42:54
54596 |
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香取巻男 |
| 今回の難題でした。 |
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3月28日（土） 11:26:11
54599 |