だいすけ
中学受験算数を極めた小学生がびっくりするぐらい速く解きそうな問題ですね。

AC//PQ//SRなので、TはAC上のどこでも一緒。
△TBDでの断面と、断頭三角柱の考え方で、
500×(1/5)×(2/5)×(0+3+4／5+0+0)＝56
　　 7月2日（木） 0:09:11　　 　　54776
ベルク・カッツェ
500×（2/75）×（21/5）＝56
三角柱を切断したときの体積比でやりましたが、もう少しなんか方法ありませんかね。
　　 7月2日（木） 0:18:48　　 　　54777
スモークマン
そんなに早く解けるのねぇ ^^;

三角錐S-TPQ=(1-4/5*4/5-1/5*1/3-1/5*2/5)*(2/5)=24/375
三角錐Q-TRS=(1-2/5*1/3-3/5*3/5-2/5*2/3)*(1/5)=18/375
so...
四角錐T-PQRS=三角錐S-TPQ+三角錐Q-TRS
=(24+18)/375*500=56
　　 7月2日（木） 0:40:00　　 　　54778
ベルク・カッツェ
ACとPQとSRが平行なので三角柱の切断利用したけど、四角錐切って三角錐にする方が算数っぽい気もしますね。
　　 7月2日（木） 0:58:31　　 　　54779
吉川　マサル
大学入試に出題されたら、「TはAC上のどこでも一緒」と気づかず、ベクトルとか座標とかでゴリっと解いてしまいそうですね。今度、うちの生徒さんたちに出題してみようかと思います。

さて、私もアラカンに突入しました。これからもよろしくお願いします。
MacBook Pro　　 7月2日（木） 1:21:06　　 HomePage:職場　　54780
ゴンとも
先ず,正三角錘の一辺を求める
(sqrt(3)*a^2/4)*(sqrt(6)*a/3)/3=500を解いて
a=10*2^(1/3)*sqrt(3)/6^(1/6)
ここで四角錘T-PQRSの体積を
三角錐T-PQR+三角錐T-SPR・・・・・・☆として求めるが
三角錐の体積を6辺の長さを求めヘロンの公式の3次元版で求める
その公式は
(l1^2*l5^2*(l2^2+l3^2+l4^2+l6^2-l1^2-l5^2)+
l2^2*l6^2*(l1^2+l3^2+l4^2+l5^2-l2^2-l6^2)+
l3^2*l4^2*(l1^2+l2^2+l5^2+l6^2-l3^2-l4^2)+
-l1^2*l2^2*l4^2
-l2^2*l3^2*l5^2
-l1^2*l3^2*l6^2
-l4^2*l5^2*l6^2)/144のsqrtで・・・・・・☆☆
でてくる辺の長さで正三角形の内部の線分でないのはPRで
三角錐の断面の△ABR内部の線分として計算するが
ここでAR=BR=sqrt(a^2+(2*a/5)^2-a*(2*a/5))=2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(57)
ここでCOS∠ABR=(a/2)/AR=5*sqrt(19)/38
ここで△PBRで余弦定理で
PR^2=(2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(57))^2+(4*(10*2^(1/3)*sqrt(3)/6^(1/6))/5)^2
-2*(2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(57))*(4*(10*2^(1/3)*sqrt(3)/6^(1/6))/5)*5*sqrt(19)/38 より
PR=2^(7/6)*3^(5/6)*sqrt(5)あとは正三角形の内部の線分で
(��)三角錐T-PQR
RP=l6=2^(7/6)*3^(5/6)*sqrt(5)
PQ=l4=2^(10/3)*sqrt(3)*6^(-1/6)
QR=l5=3*2^(4/3)*6^(-1/6)
TP=l1=2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(19)/sqrt(3)
TQ=l2=2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(79)/sqrt(3)
TR=l3=2^(7/3)*6^(-1/6)*sqrt(19)/sqrt(3)
(��)三角錐T-SPR
RP=l5=2^(7/6)*3^(5/6)*sqrt(5)
RS=l6=2^(4/3)*3^(3/2)*6^(-1/6)
SP=l4=3*2^(4/3)*6^(-1/6)
TS=l1=2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(31)/sqrt(3)
TP=l2=2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(19)/sqrt(3)
TR=l3=2^(7/3)*6^(-1/6)*sqrt(19)/sqrt(3)
(��),(��)を☆☆で　Maxima でそれぞれ計算すると
(��)は
l6:2^(7/6)*3^(5/6)*sqrt(5)$
l4:2^(10/3)*sqrt(3)*6^(-1/6)$
l5:3*2^(4/3)*6^(-1/6)$
l1:2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(19)/sqrt(3)$
l2:2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(79)/sqrt(3)$
l3:2^(7/3)*6^(-1/6)*sqrt(19)/sqrt(3)$
(l1^2*l5^2*(l2^2+l3^2+l4^2+l6^2-l1^2-l5^2)+
l2^2*l6^2*(l1^2+l3^2+l4^2+l5^2-l2^2-l6^2)+
l3^2*l4^2*(l1^2+l2^2+l5^2+l6^2-l3^2-l4^2)+
-l1^2*l2^2*l4^2
-l2^2*l3^2*l5^2
-l1^2*l3^2*l6^2
-l4^2*l5^2*l6^2
)/144$factor(%)$sqrt(%)$rat(%),algebraic$rootscontract(%)$rat(%),algebraic$rootscontract(%);
enter押して　32
(��)は
l5:2^(7/6)*3^(5/6)*sqrt(5)$
l6:2^(4/3)*3^(3/2)*6^(-1/6)$
l4:3*2^(4/3)*6^(-1/6)$
l1:2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(31)/sqrt(3)$
l2:2^(4/3)*6^(-1/6)*sqrt(19)/sqrt(3)$
l3:2^(7/3)*6^(-1/6)*sqrt(19)/sqrt(3)$
(l1^2*l5^2*(l2^2+l3^2+l4^2+l6^2-l1^2-l5^2)+
l2^2*l6^2*(l1^2+l3^2+l4^2+l5^2-l2^2-l6^2)+
l3^2*l4^2*(l1^2+l2^2+l5^2+l6^2-l3^2-l4^2)+
-l1^2*l2^2*l4^2
-l2^2*l3^2*l5^2
-l1^2*l3^2*l6^2
-l4^2*l5^2*l6^2
)/144$factor(%)$sqrt(%)$rat(%),algebraic$rootscontract(%)$rat(%),algebraic$rootscontract(%);
enter押して　24　より
四角錘T-PQR=三角錐T-PQR+三角錐T-SPR=(��)+(��)=32+24=56・・・・・・(答え)
豊川市　　 7月2日（木） 4:36:21　　 　　54781
だいすけ
#54780
お誕生日ということでしょうか！？
おめでとうございます。
　　 7月2日（木） 11:46:34　　 　　54782
スモークマン
そっか、平行か...^^;

わたしの改良版。。。
四角錐T-PQRS(これを1として)=三角錐S-TPQ+三角錐Q-TRS
=(4/5)(1/5)(2/5)+(3/5)(2/5)(1/5)=14/125
so...
500*(14/125)=56

このくらいなら計算間違い少なそう...^^

#54780
お誕生日おめでとうございます。
いつも面白い問題をありがとうございます♪
　　 7月2日（木） 14:23:54　　 　　54783
KawadaT
三角形APSを底辺とし、点Cを頂点とする三角錐は正四面体ABCDの
(1/5)*((2/5)*1で10/125
三角形CQRを底辺とし、点Pを頂点とする三角錐は正四面体ABCDの
(1/5)*((2/5)*(4/5)で8/125
三角形SCRを底辺とし、点Pを頂点とする三角錐は正四面体ABCDの
(3/5)*(2/5)*(1/5)で6/125

三角錐TAPSと三角錐TCQRを足すと、(1/5)*(2/5)で10/125

従って、求める立体の体積は、正四面体ABCDの8/125プラス6/125の14/125であり、500を乗じて、56立方センチメートルとなります。
　　 7月3日（金） 18:48:12　　 　　54784
「数学」小旅行
紙に書いて真剣にやって、三平方はもちろん、余弦定理に倍角にと立面図側面図に適応させてやっとのことでできました。
　　 7月5日（日） 9:46:21　　 　　54785