あ〜く@旧N
ピーターフランクル氏の本でこの問題の「二倍バージョン」をやったことあるのに・・・不覚・・・
(二倍は・・・15倍だったかな?)

一応五分割+元の四面体で考えました。
一個の苺星   3月25日(木) 0:31:30   MAIL:kentaro@qa2.so-net.ne.jp   20784
Taro
図形書いても結局混乱。座標取って体積を計算しました。
Mystery   3月25日(木) 0:32:42     20785
辻。
10分くらい考えてもまったく分からないので、座標で考えました。
A(0,0,1) B(1,0,0) C(0,1,0) D(0,0,0)とおいて
平面QRSから点Pまでの距離を出して65/√277
△QRSの面積を出し直接体積を求めました。65/6
平面の方程式 空間ベクトル 点と平面の距離 など10年振りくらいに使いましたが
奇跡的に覚えていたようです(まったく算数ではありませんが(ーー;)

※20786 記号が間違ってたのでこっそり訂正しました。
高松宮はギャラントアロー   3月25日(木) 0:40:38   HomePage:辻部屋。  20787
拓パパ
#20786 (辻。さん) と同様に座標を設定しました.点Rと点SがX-Z平面上にあるので、辺PQがこの平面を貫く点を求め(0,9/5,0)、
この平面上の三角形の面積を二分割にして求め、四面体の高さ2+3=5を掛けて答えとしました.比例計算だらけで、ちっともエレガントではありません(笑).
   3月25日(木) 0:48:05   MAIL:dr-yasu@nifty.com   20788
あ〜く@旧N
一応解法を(ぇ

A-BCDの体積を1とすると・・・
B-QRSは3*3*2=18
B-PQSは2*2*2=8
B-PRSは3*3*3=27
B-PQRは3*2*2=12
よってP-QRS=65*(A-BCD)
一個の苺星   3月25日(木) 0:58:47   MAIL:kentaro@qa2.so-net.ne.jp   20789
kasama
算数ではできず、とりえあず、無理矢理解きました(-_-)。まともなやり方はこれから考えます。

〆舵犬粒篥
適当な実数rに対して
 PtB={-r,r,0}、PtC={0,r,0}、PtD={-r,-r,0}、PtA={0,0,r}
とすると、点P、Q、R、Sは
 PtP=PtC+3*(PtA-PtC)、PtQ=PtA+3*(PtB-PtA)、PtR=PtB+3*(PtD-PtB)、PtS=PtD+3*(PtC-PtD)

ABCDの体積計算
各辺の長さを
 D12 = |PtB-PtA|、D13 = |PtC-PtA|、D14 = |PtD-PtA|
 D21 = |PtA-PtB|、D23 = |PtC-PtB|、D24 = |PtD-PtB|
 D31 = |PtA-PtC|、D32 = |PtB-PtC|、D34 = |PtD-PtC|
 D41 = |PtA-PtD|、D42 = |PtB-PtD|、D43 = |PtC-PtD|
として、
 V1=√[Det[{{0,D12^2,D13^2,D14^2,1},{D21^2,0,D23^2,D24^2,1},{D31^2,D32^2,0,D34^2,1},{D41^2,D42^2,D43^2,0,1},{1,1,1,1,0}}]/288] = 1/3*r^3

PQRSの体積計算
各辺の長さを
 D12 = |PtQ-PtP|、D13 = |PtS-PtP|、D14 = |PtR-PtP|
 D21 = |PtP-PtQ|、D23 = |PtS-PtQ|、D24 = |PtR-PtQ|
 D31 = |PtP-PtS|、D32 = |PtQ-PtS|、D34 = |PtR-PtS|
 D41 = |PtP-PtR|、D42 = |PtQ-PtR|、D43 = |PtS-PtR|
として、
 V2=√[Det[{{0,D12^2,D13^2,D14^2,1},{D21^2,0,D23^2,D24^2,1},{D31^2,D32^2,0,D34^2,1},{D41^2,D42^2,D43^2,0,1},{1,1,1,1,0}}]/288] = 65/3*r^3

と罎侶彁
 V2/V1 = 65/3*r^3 / 1/3*r^3 = 65 ・・・(答)

和歌山   3月25日(木) 12:01:32   MAIL:kasama@s34.co.jp   20790
みかん
計算しやすいように△ACD、△ABD、△ABCを短い2辺の長さを1とする
合同な直角二等辺三角形として考え、△ACDを水平面上に置いたとして
考えました。そして新たにできた三角錐PQRSを△ACDと共通の水平面で
切断すると断面積は6.5。高さは5倍なので体積は32.5÷3.元の三角錐は
1×1×1/2×1÷3。
32.5÷1/2=65…答え

ふーっ、疲れた。立体は正確な図がかけないから苦手だな。
   3月25日(木) 1:13:45     20791
あ〜く@旧N
問題の三倍をn倍に変えたら・・・(PQRS)=(2n-1){n^2+(n-1)^2}*(ABCD)
かな?

それにしてもkasamaさんのやり方を理解できなく未熟者だなぁっと思う今日この頃・・・
determinantから色々すれば体積を求めることが出来るのを知っていても式自体はサッパリ(^^;)
一個の苺星   3月25日(木) 1:28:55   MAIL:kentaro@qa2.so-net.ne.jp   20792
数楽者
PQRCのように新しい頂点3個と延長前の点でできる四面体を考えました。
この体積はABCDの27倍になります。
これらの共通部分は元の体積の9倍で、3つの共通部分は3倍です。
場合の数と符号に注意して、
4*3^3−6*3^2+4*3−1=65
として求めました。
3^4−2^4=65 もあるようです。
本当は、ベクトルを並べた行列式で求めたのですが(汗)
横浜   3月25日(木) 1:44:31   MAIL:iida@ae.keio.ac.jp   20793
はなう
遅くまで酒飲んで帰ってきて、みたら、こんな素敵な問題とは。。。

だいたいあ〜くさんと同じように解きました。
これから面白い解き方考えます☆


やっぱおもいつかなぃ〜。あ〜くさんの記述通り
n^3 + n^2 * m + n * m^2 + m^3(今回はn=3,m=2)
なんでしょうねぇー
で、今回はn-m=1なので
答えは、n^4 - m^4と同じになりますね。4乗をうまく表現できないかと頑張ったのですが図形的にはうまくいきませんでした。
   3月25日(木) 4:02:34     20794
小西孝一
大きな4つの面から小さな4つの面への図形で考えました。
18倍と18倍と14倍と14倍でした。
もとの1を足して65としました。
   3月25日(木) 7:12:13     20795
受験勉強君
超難問でした。早い順位でのりたかったのに難しくてわかりませんでした。朝、頭の中をさっぱりさせたら解けませた。ヤッタッター!!
   3月25日(木) 9:46:46     20796
おかひで博士
あ〜くさんのように4つの立体に分けて頑張ったのですが、撃沈。
正解率を強烈にさげてしまったまま就寝。
枕元でkasamaさんと同様の解き方を思いつくもそのまま夢の中へ。
(0,0,0)(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)の4点で考えました。
昔から立体は座標&方程式でガンガン解く方が好きでした。
算数は奥が深い・・・。
   3月25日(木) 9:54:21     20797
受験勉強君
僕は四面体に実際に3倍の線を書き、結んで直接考えました。
するとでかい四面体を小さい四面体の頂点である[A]で4つの四面体に分けてみると、
すべての四面体の小さい四面体の何倍の体積かでました。
最終式は ぁ3+Α3+×3+ぁ2=○65 小さい立体の体積は,覆里
○65÷=65 答え,65倍
という風になりました。
   3月25日(木) 9:55:07     20798
M.Hossie
 こんばんにゃ。もう来週は新年度ですね。
 辻さんと同じく、A(0,0,1) B(0,0,0) C(1,0,0) D(0,1,0) とおきまして、P(-2,0,3), Q(0,0,-2), R(0,3,0), S(3,-2,0)となるので、後はおきまりのベクトルを用いた3行3列の determinant で体積を求めると 65/6 になります。もとの体積が 1/6 なので 65 倍 .....Final Answer。このやり方で解くと4分程度で解けますが、算数でやると果てしなく時間掛かりそう。先週の掲示板にも書きましたが、やはり線型代数の力は偉大だねえ。
 関係無いですが、ドリフの長さんが亡くなったのはショックでした。ぼくはモロに全員集合世代でしたから。学校のコントで、先生役の長さんが教卓の天板で頭をぶつけるのとか、上からでかい金だらいが落ちて来るのが好きでした。今週土曜に TBS で全員集合の傑作選があるので、ビデオに撮ろうと思っています。合掌。
￿   3月25日(木) 10:01:12     20799
受験勉強君
僕も将来はベクトルとやらでこの難問を解きたいと思います。
(僕は小学生なので算数しか知りませんので・・・・)
   3月25日(木) 10:19:18     20800
M.Hossie
 こんばんにゃ。もう来週は新年度ですね。
 辻さんと同じく、A(0,0,1) B(0,0,0) C(1,0,0) D(0,1,0) とおきまして、P(-2,0,3), Q(0,0,-2), R(0,3,0), S(3,-2,0)となるので、後はおきまりのベクトルを用いた3行3列の determinant で体積を求めると 65/6 になります。もとの体積が 1/6 なので 65 倍 .....Final Answer。このやり方で解くと4分程度で解けますが、算数でやると果てしなく時間掛かりそう。先週の掲示板にも書きましたが、やはり線型代数の力は偉大だねえ。
 関係無いですが、ドリフの長さんが亡くなったのはショックでした。ぼくはモロに全員集合世代でしたから。学校のコントで、先生役の長さんが教卓の天板で頭をぶつけるのとか、上からでかい金だらいが落ちて来るのが好きでした。今週土曜に TBS で全員集合の傑作選があるので、ビデオに撮ろうと思っています。合掌。
￿   3月25日(木) 10:33:13     20801
Toru Fukatsu
数楽者さん(#20793)の言うとおり、これはやっぱりベクトルに走ってしまいます。ベクトルCD=d,CB=b,CA=aなどとして、与えられた三角錐の6倍の体積=(dxb,a)=(bxa,d)=(axd,b) あとはベクトルSR、SP、SQをb,d,aであらわして計算すると(SRxSQ,SP)=65(dxb,a)と計算されます。
   3月25日(木) 11:19:54   MAIL:tfukatsu@tth-japanpost.jp   20802
kasama
#20792 超略解でした。すみませんでした(しかも、コピー&ペーストのミスが・・・^^;修正しておきました)。で、説明を補足しようと思いましたが、正直なところ私自身もよく理解できていませんし、さすがに算数のサイトではあまり詳しい説明もちょっと・・・なので、後日メールさせて頂きます。
まぁ、あーくさんことですから、高校数学+α(HSmath.pdf)のP190に内積と外積を用いた4面体の式がありますから、これを行列式を利用して、ゴチャゴチャといじっていくと、体積を辺の長さで表現できる式に変形できるのではと思いますよ^^。

でも、あーくさんのやり方が最も素晴らしいと思いますよ。私も含めて、皆さんそのような解き方をしたかったのではないでしょうか。私も最初算数で考えていたのですが、間違い解答を10通以上も転送しました。下手な図を描きながら、45分位格闘していたのですが、だんだん順位が下がってくるし・・・もう、やむを得ないと判断して、ベクトルを利用してしまいました。
和歌山   3月25日(木) 12:08:15   MAIL:kasama@s34.co.jp   20803
小学名探偵
ベクトル向きの問題でしょうか。

A側にp倍、B側にq倍、D側にr倍、C側にs倍したとき、
PQRSの体積はABCDの

pqr+pq(s-1)+(q-1)(s-1)(r-1)+p(s-1)(r-1)
または
(p+q−1)(s−1)(r−1)+pq(r+s−1)
倍にになるのでしょうか。
東京   3月25日(木) 12:31:51     20804
吉川 マサル
#20784(あーく@旧Nさん)にもある通り、この問題は某本の問題のパクリです。午後8時過ぎにスキー&温泉ツアーから帰宅して、あるオリジナル問題(平面図形の問題)の作成にかかり、「おっ、できたかな」となったのが11時15分くらい。で、「あとは数字設定だ」と思ってやってみたら、√の付かない数にするにはとにかくデカイ数にするしかない(というか、その時点ではそれしか思い浮かばなかっただけかも)ことが分かり、11時35分くらいにその問題は今週は出題を見合わせることに。で、「やべーよ、やべーよ」と思って「仕方ない、パクるか」ということになって、長い間封印してきたこの問題を出題してみることにしたのでした。
 封印してきた理由は2つで、「有名な数学者の本に載っている問題だから」ということと、「ベクトルや行列式を使うと答えだけは楽に出てしまう」ということでした。前者については、もう10年も前の本なので「まいっかな」という感じになりつつあった今日この頃なんですが、後者についてはちょっとひっかかるものがありましたね。なんといっても(そのようにされている多くの方々には申し訳ないのですが)この問題は、ベクトルや行列を使うと「全然この問題の良さを味わえない」と思います。立体感覚を磨くにはすげーーー良い問題なので、ぜひ紙と頭の上で立体図形を考えて解いてみて頂ければと思います。

 私自身、この問題にはちょっと思い入れがありまして、8〜9年前にこの問題を前出の本で見つけて、解いてみたんです。(なんとその本には解答は載っていませんでした)で、当時中2の生徒ですんげぇ出来るのがいまして(中学時代、駿台の全国模試で1位を3回取りました。その後は当然現役で東大理3へ・・)そいつにやらせてみたんですね。そしたら、私のと答えが違う。結局、どちらの解答にも間違いが発見されたんですが、ホントの答えがどうしても分からず、3〜4日かかって「コレだ!」という答えを同僚(これまた灘出身の天才です)といっしょに出したんですね。その3〜4日の間、仕事なんかぜ〜んぜんせずにこの問題ばかり頭ん中にありましたね。当時はベクトルだの行列式だのはぜーんぜん知りませんでした(っていうか、忘れてたんだと思いますが)ので、もうガリガリ算数でやってしまいました。当然、今回の問題の答えの検証にはベクトルを使いましたが。(^^;;
MacOS X   3月25日(木) 12:33:23   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  20805
ハラギャーテイ
ベクトル計算に手間取りました。3倍と言うのに
どうとるか間違えていました。

もうじき新学期です。
北九州   3月25日(木) 14:37:49   HomePage:制御工学にチャレンジ  20806
小西孝一
もうちょっとだけ詳しく書いときます。
大きな三角形の面の頂点から中の小さな三角形の頂点へ線を引いた立体の体積を考えると、2種類あって底面積がもとのやつの6倍で高さが3倍で18倍が2つ。
底面積が6倍で高さが2倍と元の面と高さ2倍の合わせて14倍のが2つです。
そして、もとのが1です。
やっぱり、詳しくないですね。すいません。目が痛いので・・・
   3月25日(木) 14:48:50     20807
あ〜く@旧N
#20799 (M.Hossieさん)
私はいかりや長介さんをドラマでしか知らない世代なので何ですが、すごく味のある演技をしていたのは心に残っています。全員集合ってどんなんだったのだろう・・・

#20803 (kasamaさん)
外積からの求積からですかぁ・・・行列については「超」初心者なので出来るかどうかw
いろんなHPと睨めっこして頑張ってみます。

#20804 (小学名探偵さん)
そうなるっぽいです。

#20805 (吉川まさるさん)
その平面図形の問題、お待ちしております(^^)
一個の苺星   3月25日(木) 19:49:36   MAIL:kentaro@qa2.so-net.ne.jp   20808
小学名探偵
あ〜くさんの素晴らしい解答にならって、
ABCDを、頂点Bについて4つの四面体に分けます。すなわち、
B-PRS、B-QRS、B-PQR、B-PQSの4つです。

B-PRSの体積を考えるとき、BRSがBDCと同じ平面にあることに
着目します。
BDS/BDC=3, (s)
BRS/BDS=3, (r)から、
BRS/BCD=3×3, (rs)
高さは、CPがCAの3倍(p倍)
ということで、
B-PRS/ABCD=3×3×3, prs

B-QRSの体積は底面をBRSとして、
高さは、BQがABの2倍(q-1)
ということで、
B-QRS/ABCD=3×3×2, (q--1)rs

B-PQRの体積は、QBPがBCAと同じ平面にあることに着目
BAP/BCA=2, (p-1)
QBP/BAP=2, (q-1)から、
QBP/BCA=2×2, (p-1)(q-1)
高さは、BRがBDの3倍(r)
ということで、
B-PQR/ABCD=2×2×3, (p-1)(q-1)r

B-PQSの体積は底面をBRSとして、
高さは、CSがDCの2倍(s-1)
ということで、
B-PQS/ABCD=2×2×2, (p-1)(q-1)(s-1)

まとめると、
PQRS/ABCD=3*3*3+3*3*2+3*2*2+2*2*2
一般的には、
PQRS/ABCD=prs+(q--1)rs+(p-1)(q-1)r+(p-1)(q-1)(s-1)
展開すると,
pqr+qrs+rsp+spq-pq-qr-rs-sp-pr-qs+p+q+r+s-1
(p,q,r,sについて対称な式)
になりました。
東京   3月25日(木) 21:50:45     20809
小学名探偵
訂正
「B-PQSの体積は底面をQBPとして」
に読み替えて下さい

計算が楽なのは、#20787 辻さん、#20891 M.Hossieさんのおっしゃるように、
行列式
|1 0 0|
|0 1 0|
|0 0 1|

|0 3−2|
|2 2 5|
|3−2 0|
の比を出すことですね。
東京   3月25日(木) 22:29:30     20810
受験勉強君
吉川 マサル さんの話を聞くと小学生の僕がこの問題を算数で解くというのは
すごいことなのでしょうか?(^^;:)そうだったらとってもうれしいです。
(だって僕だって朝の3時まで起きていても解けなくて、
9時に起きてやっと解けたんですから・・・・。)
算数って結構偉大だったんですね。(^^)
算数大好き人間(後は数学)   3月25日(木) 23:04:05   MAIL:oirarion@dk.pdx.ne.jp   20811
あ〜く@旧N
#20811(受験勉強君さん)
私は凄いと思いますよ。
小学六年の頃、この問題のオリジナル(?)に取り組んだ時、寝る前の二時間を二日間利用してやっと解けたことを今でも覚えています。
(※注:今となってはどうやって解いたのか覚えていませんがw)

算数を意識して数学の問題を解くのと、ただ解くのでは大きく違ってくると思います。
学校の授業でも「算数的発想」で簡単に解くとと皆驚きを示すこともありました。(うちの学校の)皆、中学受験をくぐり抜けてきたはずなのに
こういうことから算数って平易な議論で進めようとするからこそエレガントな解答を生み出しうる素晴らしさがあると言えますね。

そういう発想を忘れないために毎週算チャレに挑戦しているんですけどね(^^)
一個の苺星   3月26日(金) 0:14:34   MAIL:kentaro@qa2.so-net.ne.jp   20812
吉川 マサル
#20811
 私もあ〜く@旧Nさんと同じく、スゴイと思います。っていうか、大人になって、ベクトルとか行列式とか使えるようになると、算数を含めて数通りの解き方が可能になるんですが、その中では圧倒的に算数で解く方法が難しくて、しかもエレガントなんです。なんていうか、ベクトルとかを使った解法には、本質的なアタマの柔らかさは必要ない(むしろジャマかも)んですが、算数で解くにはホントの頭の良さ(っていうか、頭の使い方、かな)が備わっていることが必要なんですね。
 ちなみに私が8〜9年前に解いたとき、算数で解くには3〜4日かかった記憶があります。小6当時の(笑)あ〜く@旧Nさんも、受験勉強君も、マジですげぇと思います。
MacOS X   3月26日(金) 1:42:19   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  20813
Toru Fukatsu
小学名探偵さん(#20809)の解答を一生懸命読んで、やっと理解しました。こんなの何時間かでできてしまう小学生がいるんですねえ。まさに「あなたは日本の小学生に勝てますか?」の表題のとおり。ベクトルで解いて得意になっていた私はどうも恥ずかしい限りです。私も「マジですげぇ」と思ったので、ちょっと書き込みさせていただきました。
   3月26日(金) 10:46:38   MAIL:tfukatsu@tth-japanpost.jp   20814
みかん
#20811(受験勉強君さん)
ここの常連の方が10分以内で解けない問題はかなりの難易度であると思います。そんな問題を自力でしかも算数的解法で解くのはすごいと思います。かく言う私は算数は好きでも数学は大の苦手なので、何とか算数の範囲で解きました(#20791参照)。これぐらいなら何とか算数の範囲で解いたことになると思います。(大丈夫ですよね>吉川マサルさん)

   3月26日(金) 12:34:50     20815
なか
旅先ですが、電車の中でやっと解けました。すごい問題でしたね。BCD平面上に、RとSともう1点PQの通過点Tをとると、三角形RSTは三角形BCDの13倍になりました。錘の高さはA側に3倍、反対側に2倍の合わせて5倍分あります。・・・ケイタイより
   3月26日(金) 14:17:10     20816
ハラギャーテイ
私の住んでる世界が逆の発想を押し付けます。

できるだけ程度の高い数学で説明してくれと
できるだけ簡単に計算できるもので
できるだけ優雅に(レベルの高い概念で)
証明せよと言う世界です。

だから算数的発想はどこかに捨ててきましたが、算数的発想が
面白いと言うのはここに居られる皆様と同じです。
北九州   3月26日(金) 17:13:28   HomePage:制御工学にチャレンジ  20817
n
遠征でつ。ちょっと遅れますた
   3月26日(金) 19:52:46     20818
吉川 マサル
#20817
 そうですね。ハラギャーティさんの環境に限らず、世のほとんどの環境では「与えられた問題にどの公式をどのように適用すれば最も楽に解けるか」のほうが重要ですよね。実際、大学入試もそれですよね。今回のような問題が大学入試で出題されたとして、算数的な解法で頭を悩ましていたんじゃあ、不合格確実ですよね。
 算数的発想というか、アタマの柔軟さが生かされる場面ってなかなかないのが現実ですが、それでもそういう面白さは忘れずにいたいものだと私は思いますデス。
MacOS X   3月26日(金) 20:19:17   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  20819
M.Hossie
 マサルさんに禿同です。ぼくはいつも数学に全面的に頼っていますが、20回に1回の割合で算数的に解けることがあります。そういう時がやはりうれしいですし、印象にも強く残りますね。この問題はやはりベクトル利用が first choice になりますけど、純粋に算数で解けた人はりっぱ!!

 今日は日帰りで名古屋へ出張してまして、最終の新幹線で帰って来ました。久々に食べた味噌煮込みうどんはウマー。
   3月27日(土) 0:10:33     20820
ゴンとも
夜は解答がカキコできないほど眠いのでやめて
以下解答です。
先ず題意の四面体ABCDをxyz座標に乗せる
底面BCDを正三角形としAをz軸に乗せると
B(-2√3/3,-1,0),B(2√3/3,-1,0),B(0,1,0),A(0,0,3)
これから四面体ABCDの体積=4√3/3・・・・・・
ここで題意よりPQRSを求める
Pは直線AC上で
直線AC x/2√3/3=y/-1=(z-3)/-3=t(tパラメーター実数)
題意より Pはt=-2 ∴ P(-4√3/3,2,9)
Qは直線AB上で
直線AB x/23/3=y/-1=(z-3)/-3=s(sパラメーター実数)
題意より Pはs=3 ∴ P(-2√3,-3,-6)
Rは直線BD上で
直線BD y=√3x+1
題意より R(4√3/3,5,0)
Sは直線BC上で
直線BC y=-√3x+1
題意より S(2√3,-5,0)
この4点より四面体PQRSの辺6本を求める
a=RS=√(304/3),b=QS=√(264/3),c=QR=√(400/3)
d=PQ=√(754/3),e=PR=√(334/3),f=PS=√(490/3)
ここでヘロンの公式の3次元版を使う
144・四面体PQRSの体積^2
=a^2・d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2)
+b^2・e^2(c^2+f^2+a^2+d^2-b^2-e^2)
+c^2・f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2)
-a^2・b^2・c^2-a^2・e^2・f^2
-b^2・f^2・d^2-c^2・d^2・e^2
=304/3・754/3・430/3
+264/3・334/3・1350/3
+400/3・490/3・766/3
-304/3・264/3・400/3-304/3・334/3・490/3
-264/3・490/3・754/3-400/3・754/3・334/3
=87609600/27
∴ 四面体PQRSの体積^2=87609600/144・27
=2^8・5^2・3^4・13^2/2^4・3^5=2^4・5^2・13^2/3=4^2・5^2・13^2/3
∴ 四面体PQRSの体積=4・5・13/√3=260/√3=260=260√3/3
題意で求める答えはこれが,硫診椶世ら65倍・・・・・・(答え)
解答終わりです。ヘロンの公式の3次元版は辺の長さがすべてわかってれば
体積がでるので大好きです。ベクトルでだすんですけど。では。

愛知県豊川市   3月27日(土) 11:34:45   MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp   20821
小学名探偵
こちらの方がほんの少し見通しがよいでしょうか。

(CP, AQ, BR)=(p*CA, q*AB,r*BD)のとき、
C-PQR/ABCD=pqr
A-PQR/ABCD=(p−1)qr 
          :C-PQRに比べると、辺CPが辺APに移動するため
           高さがpからp−1に減ったとみて
B-PQR/ABCD=(p−1)(q−1)r
          :A-PQRに比べると、辺AQが辺SQに移動するため
           高さがqからq−1に減ったとみて
D-PQR/ABCD=(p−1)(q−1)(r−1)
          :B-PQRに比べると、辺BRが辺DRに移動するため
           高さがrからr−1に減ったとみて

このように、底面をPQRとする4面体は高さの頂点がC→A→B→Dと変わると、
上のように体積がp、q、rごとに変わります。

DCもs倍して
(CP, AQ, BR, DS)=(p*CA, q*AB,r*BD, s*DC)にすると、
ここで、初めて、
4面体C-PQRのまわりに3つの4面体ができます。
すなわち、C-SPQ、C-RSP、C-QRSの3つです。
上の類推から、
C-SPQ/ABCD=(s--1)pq       :A-PQR/ABCDの類推
C-RSP/ABCD=(r--1)(s−1)p    :B-PQR/ABCDの類推
C-QRS/ABCD=(q−1)(r−1)(s−1) :D-PQR/ABCDの類推
と割に簡単に求められます。

対称性:CA、AB、BD、DCのどの辺に対してp、q、r、s倍しても、
できあがる4面体の体積は同じになります。
たとえば、CAをp倍、ABをq倍する代わりに、
ABをq倍、CAをp倍しても体積は同じになります。
つまり、乗数p、q、r、sの入れ替えで24個(4!個)の
形が違う4面体PQRSが出来ますが体積はみな同じです。

東京   3月29日(月) 15:38:26     20822
水田X
一次元=3、二次元=19、三次元=65 ということになりますね。
   3月30日(火) 18:23:28     20823
水田X
すみません。わたしのしょうもない解法のってないようなので。。。この問題一辺=1の正四面体とすると大きいほうの四面体は、一辺√19が4つ、と一辺√13が二つの四面体になるのでその四面体をですね、ひとつの直角をふくむ四面体ふたつに均等に分割してときました。大きい方の四面体は対称に辺を伸ばしただけなのに細長い台形みたいな立体になるのが面白いなあと思いました。失礼しました。得意の補助線攻撃は立体では力不足でした。
   3月31日(水) 10:10:27     20824
目崎達也
4個の立体の和集合と考えて、加法定理から
4*3^3−6*3^2+4*3−1=65

   3月31日(水) 10:16:48     20825
水田X
きのうの志村けんのばか殿で菊川怜が微分定理の問題をといてたのは新鮮でした。長さんが生きてたらも一度、全員集合でドリフの国語算数理科社会コントやって今回の問題だしたらいいのにね。ぼくの解法なんか長さんにメガホンでひっぱたかれそう!だめだこりゃ
   3月31日(水) 10:36:05     20826
目崎達也
4個の立体の和集合と考えて、加法定理から
4*3^3−6*3^2+4*3−1=65

   3月31日(水) 10:41:51     20827