長野　美光
対角線の数は、１０×７÷２＝３５本。
任意の２本を選ぶと、交点が１つ出来るので、35Ｃ2＝５９５　個。
このうち、十角形の内部にあるのが、
http://yosshy.sansu.org/tatsuya1.htm
より、２１０個。
十角形の１つの頂点には、７本の対角線が１点で交わっており、
そこには、7Ｃ2＝２１　個の交点が重なっており、それが１０カ所あるので、２１０個。
５９５−２１０−２１０＝１７５　個です。
新しんぱら　　 11月11日（木） 0:20:21　　 HomePage:ヨッシーの八方美人　　23989
Taro
ふぅ
最後の最後まで35C2を630としてました。これでは正解できません(激汗)
　　 11月11日（木） 0:22:26　　 　　23990
吉川　マサル
し、しかし長野さん、ぶっちぎりですね...。
MacOS X　　 11月11日（木） 0:22:41　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　23991
長野　美光
ちょうど昨日こういう質問が来たのですよ。
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=yosshy&dd=17&re=18123
新しんぱら　　 11月11日（木） 0:23:28　　 HomePage:ヨッシーの八方美人　　23992
あ〜く＠ぴかぴかの（略
色んなものを引き忘れたり、重複を忘れたり、踏んだりけったり(汗
何度誤答を送ったかは数知れません・・・

それにしても前回の問題は・・・今日算チャレのことを思い出す（ぉぃ）も一時間考えて爆睡（氏
過去ログ見てきます。
未完成の蜜柑星　　 11月11日（木） 0:26:00　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　23993
takaisa
地震のためリアルタイムでやるのは久しぶりです。
正十角形を実際に描いてみました。
　　 11月11日（木） 0:44:39　　 　　23994
辻。
問題文を読んで、対角線を45本だとずっと思ってました＿|￣|○
35本に気づくのに時間かかりすぎた・・・

解き方はゴリゴリです。
任意の頂点から引ける対角線は７本で、これを交点の数でＡ〜Ｄの４種類に分類しました。
Ａ…２つ隣の頂点との対角線で交点は７　⇒全部で10本
Ｂ…３つ隣の頂点との対角線で交点は12　⇒全部で10本
Ｃ…４つ隣の頂点との対角線で交点は15　⇒全部で10本
Ｄ…真向かいの頂点との対角線で交点は16　⇒全部で５本
あとは35からそれぞれの交点の数と自分自身（1）と両端で交わる点（12）を引いた数が
求める点となり最後に重複の÷２をしました・・・
最終的な式は(15*10+10*10+7*10+6*5)/2です。
もっとエレガントな解法を勉強します
ラオウよ天に帰る時がきたのだ　　 11月11日（木） 0:45:48　　 HomePage:辻部屋。　　23995
tomh
最初は対角線だけでなく、辺まで入れてやってしまいました… (^^;

結局、対角線35本の交点は 35x34/2 = 595個、
内部の交点が 10x9x8x7/24 = 210個、
頂点での重複が7x6/2 x10 = 210個
よって、595-210-210 = 175個になりました。

#23989の長野さんと同じです。
新潟市　　 11月11日（木） 0:49:27　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　23996
CRYING DOLPHIN
あー　『対角線』の交点なのね。。
１０個の点を通る直線を（つまり、十角形の辺も）ぜんぶ延長してしまった
ので、間違った答えしか出てこないはずだ。
そのことに気付いたのは「どの３本を選んでも１点では交わらない」の
注意書きからだったりする。

で、結局35Ｃ2−10Ｃ4−10・7Ｃ2（たぶん皆さんのと同じ）
１年ピカチュウ組　　 11月11日（木） 0:49:58　　 HomePage:算数の限界ってどのくらい？　　23997
アヒーのおじさん
ぐは...　まったく長野様と同じです（＾＾；
でも私は思いつくまでにかなりの時間が...（滝汗
アンドロメダ大星雲　　 11月11日（木） 0:51:31　　 　　23998
tomh
で、注釈の
　「どの３本を選んでも１点では交わらない」
は早く直された方がよろしいかと… (^^;

十角形の頂点で3本以上交わっているんですから…
新潟市　　 11月11日（木） 0:53:04　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　24000
姉小路
うぃ〜、疲れた〜。
僕の解法も長野さんの解法と同じ気がします。
直線が35本ある時、その交点は595個。
内部の点は、(7*1+6*2+5*3+4*4+3*5+2*6+1*7)*(35/7)=420個なので、
595-420=175　です。
内部の点を求める時に用いた奇妙な式は、一応場合分けです。（汗
算数の街　　 11月11日（木） 0:57:11　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　24001
あ〜く＠ぴかぴかの（略
今回は【対角線の交点】がポイントのようですね（＾＾；）
（私もかなりひっかかっていました）

前回の問題、エレガントな解法はないものなんでしょうか・・・（今言うか
未完成の蜜柑星　　 11月11日（木） 0:58:13　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　24002
吉川　マサル
#24000
　たった今訂正いたしました。ご指摘ありがとうございました。m(__)m
MacOS X　　 11月11日（木） 1:01:03　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24003
takaisa
今回の日付が違ってます。
　　 11月11日（木） 1:05:01　　 　　24004
吉川　マサル
#24004
　先ほど訂正させていただきました。ご指摘ありがとうございました〜。m(__)m
MacOS X　　 11月11日（木） 1:33:28　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24005
mhayashi
１０個中４個選べば，外側に２個，内側に１個ずつ必ず交点ができることを利用しました．
今回は外側の分だけ考えればいいので，外側の交点の数は ２・１０Ｃ４ 個．
このうち辺と辺によって外側にできた交点の数は ７・１０／２ 個．
さらに辺と対角線によって外側にできた交点の数は １０・８Ｃ２−７・１０ 個．
よって ２・１０Ｃ４−１０・８Ｃ２＋７・１０／２＝１７５ 個．
関西　　 11月11日（木） 2:12:27　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　24006
なか
みなさまと同じく、
３５Ｃ２−１０Ｃ４−１０×７Ｃ２＝１７５と考えました。が、
１０×７Ｃ３÷２＝１７５でもあります。
これは一般にも成立するのですが、意味は不明？
北海道　　 11月11日（木） 5:18:25　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　24007
小学名探偵
皆様と同じだと思いますが、一応、書きます。
ｎ（10）角形のとき、
対角線の数＝ｎ（ｎ-3）/2（＝35）
重複を含めた交点の総数W＝（ｎ（ｎ-3）/2）C2（＝595）
内部の交点の数I＝ｎC4（＝210）
境界（ｎ角形の頂点）の交点の重複数B＝ｎ*（ｎ-3）C2（＝210）
外部の交点の数E＝W−（I＋B）
　　　　　　　＝ｎ*（ｎ-3）*（ｎ-4）（ｎ-5）/12（＝175）
東京　　 11月11日（木） 9:43:05　　 　　24008
小学名探偵
#24007 いま、思いついたのですが、
１０角形の１つの頂点について、この頂点の両隣にない７つの頂点のなかから、
３つを選んで、最寄り同士を結ぶと、凸４角形ができ、２組の対辺を延長して、
外部に２つ頂点が出来ます。
これを、すべての頂点について繰り返すと、４回、重複して数えたことになります。
したがって、外部の交点の数＝10*（7C3）*2/4＝10*（７C3)/2
東京　　 11月11日（木） 10:37:39　　 　　24009
小学名探偵
↓「外部に２つの交点」のミスです。
東京　　 11月11日（木） 10:43:08　　 　　24010
uchinyan
はい、こんにちは。
昨夜見たときは、10角形の頂点は7本の対角線が1点に交わるので変だなぁ、と思い、変な解答を送ってしまいました (^^;
(10角形の外部の対角線の交点の個数)
= (対角線の交点の総数) - (10角形の頂点を対角線の交点の数としてみたときの個数) - (10角形の内部の対角線の交点の個数)
= (10C2-10)C2 - 10 * (10-3)C2 - 10C4
= 175 個
ですね。
10C4は、以前の算チャレでやったのを思い出しました :-)
皆さんと同じようです。
ネコの住む家　　 11月11日（木） 11:03:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24011
小学名探偵
＃24009　#24010
間違っていました。すみません。
東京　　 11月11日（木） 11:08:51　　 　　24012
吉川　マサル
#24007
　あ、意味はちゃんとあります〜。（謎
MacOS X　　 11月11日（木） 11:38:49　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24014
DrK
私の場合は、10個の点のうち2点を結んで対角線を作り、あとは残った点から2点を結ぶとり方を考えました。
10個の点に1から10の番号をつけた、番号1の点を選ぶ
そうすると、対角線を作る場合には番号3から9までの7つを選ぶことができる(2、10は対角線にはならず、10角形の辺となるため)
3を選んだ場合、
もう一方の対角線を選ぶ場合
4を選べば、もう一方は6,7,8,9,10の5通り
5を選んだ場合は7,8,9,10の4通り
6の場合は、8,9,10の3通り
7の場合は、9,10の2通り
8の場合は、10の1通り
で合計15通り
次に4を選んだ場合は、
5の場合、7,8,9,10
6の場合、8,9,10
7の場合、9,10
8の場合、10
の10通り
5を選んだ場合は、
6の場合、8,9,10
7の場合、9,10
8の場合、10
ここで注意する点は、2,3,4のうち2と4を選ぶパターンが発生する。
これで7通り
6を選んだ場合は
7の場合、9,10
8の場合、10
であるが、
2から5のうち、(2,4)、(2,5)、(3,5)の3通りを選ぶことができて、合計6通り
7から9を選ぶ場合は、裏返しすれば、それぞれ、7の場合は5、8の場合は4、9の場合は3を選んだ場合に等しい。
これから2×(15+10+7)+6=70
この取り合わせは、点2から点10までにも同様にある。
この場合、2点を2つ選ぶことになっているため、2×2=4回数えていることになる。
したがって、(70×10)/4=175が答え
今は廃墟　　 11月11日（木） 12:27:19　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　24015
DrK
今回についても、寝ようとしていたときにふと思いついたことでした。
一応はリアルタイムで参加するのですが・・・
今は廃墟　　 11月11日（木） 12:28:14　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　24016
小学名探偵
地道に、場合分けして計算したら、10角形の１つの頂点（を４つの頂点の１つとする凸４角形）に関連して、
外部に出来る交点の数は、
2*（6C2+5C2+4C2+3C2+2C2)＝2*７C3となりました。
この計算では、すべての頂点について繰り返すと、４回、重複して数えたことになります。
スマートに出す方法はまだわかりません。
東京　　 11月11日（木） 13:51:32　　 　　24017
すてっぷ
　期限切れですが，前回(第245回)の答案です。
省略できるところもくどく書き，長くなりました<m(__)m>

３人の勝ち・負け・引き分け・勝ち点を

　　　　　　勝　負　分　点
　　ツヨシ　a1　b1　c1　d1
　　トモエ　a2　b2　c2　d2
　　マサル　a3　b3　c3　d3

のように記すことにします。

３人は互いにn試合ずつ対戦するものとします。

(注) 以下(30)までに
　『解が存在するための“必要条件”として　n≧7』
が導かれます。

このとき，題意より
(1) c1=2*n-(a1+b1),d1=2*a1+c1=2*n+(a1-b1)
(2) c2=2*n-(a2+b2),d2=2*a2+c2=2*n+(a2-b2)　　
(3) c3=2*n-(a3+b3),d3=2*a3+c3=2*n+(a3-b3)

勝ち負けに過不足はないので
(4) a1+a2+a3=b1+b2+b3(=sとします。)

勝ち・負け・引き分けにかかわらず，合計２点が与え
られるので，３人の勝ち点の合計は3*(2*n)=6*n
(5) d1+d2+d3=6*n
題意より
(6) d1>d2,d1>d3
したがって，(1),(5)と(6)より
　 d1≧(d1+d2+d3)/3+1
　⇔2*n+(a1-b1)≧2*n+1
よって
(7) a1-b1≧1

その他の“必要条件”を書き出してゆきます。

(8) a2>a1,a2>a3
(9) b1>b3,b2>b3

(10) d1>d2⇔2*n+(a1-b1)>2*n+(a2-b2)
　　　　　⇔b2-b1>a2-a1
これと，(8)よりの　a2-a1>0　から
(11) b2-b1≧2
同様に
(12) d1>d3⇔2*n+(a1-b1)>2*n+(a3-b3)
　　　　　⇔a1-a3>b1-b3
これと，(9)よりの
　 　b1-b3>0
から
(13) a1-a3≧2
まとめて
(14) a2>a1≧a3+2
(15) b2≧b1+2>b3+2

マサルさんの勝ち試合数a3は，ツヨシ君またはトモエさん
の負け試合数の合計(b1+b2)を越えることはないので
(16) b1+b2≧a3
同様に
(17) b2+b3≧a1
(18) b3+b1≧a2

マサルさんの引き分け試合数c3は，ツヨシ君またはトモエさん
の引き分け試合数の合計(c1+c2)を越えることはないので
(19) c1+c2≧c3
したがって
　　{2*n-(a1+b1)}+{2*n-(a2+b2)}≧2*n-(a3+b3)
　⇔2*n≧(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)-2*(a3+b3)
⇔2*n≧2*s-2*(a3+b3)
⇔n≧s-(a3+b3)=a1+a2-b3=b1+b2-a3
これと，(16)よりの
　b1+b2-a3≧0
から
(20) n≧a1+a2-b3=b1+b2-a3≧0
同様に
(21) c2+c3≧c1
(22) c3+c1≧c2
より，それぞれ
(23) n≧a2+a3-b1=b2+b3-a1≧0
(24) n≧a3+a1-b2=b3+b1-a2≧0

　(7),(14),(15)より
(25) a2>a1≧b1+1>b3+1
したがって
(26) a1≧b3+2
(27) a2≧b3+3
これらと(20)よりの
　　n≧a1+a2-b3
から
　　n≧(b3+2)+(b3+3)-b3=b3+5
よって
(28) n-5≧b3

　(18)より
　　b3≧a2-b1
　(25)より
　　a2≧b1+2
したがって
(29) b3≧(b1+2)-b1=2

(28),(29)より
　　n-5≧2
よって，解が存在するための必要条件として
(30) n≧7
が導かれました。

以下では
(30) n=7
とします。

　(28),(29)より
(31) b3=2

　(26),(27)と(30)より
(32) a1≧4
(33) a2≧5
　(20)と(30),(31)より
7≧a1+a2-2
したがって
(34) 9≧a1+a2
　(32),(33)と(34)より
(35) a1=4
(36) a2=5

　(7),(35)と(15),(31)より
　　 3≧b1>2
したがって
(37)　b1=3

　(4)に(31),(35),(36),(37)を代入して
(38)　b2=a3+4
(14),(35)より
　　　4≧a3+2
したがって
　　　a3=0,1,2
　(15),(37)より
(39) b2≧3+2=5

(イ)　a3=0 のとき，(38)より
　　　b2=4(<5)　
これは，(39)より不適です。

(ロ)　a3=1 のとき，(38)より
　　　b2=5
このとき，３人の勝ち・負け・引き分け・勝ち点は

　　　　　　勝　負　分　点
　　ツヨシ　 4　 3　 7　15
　　トモエ　 5　 5　 4　14
　　マサル　 1　 2　11　13

となり，題意を満たします(十分)。

(ハ)　a3=2 のとき，(38)より
　　　b2=6
このとき，３人の勝ち・負け・引き分け・勝ち点は

　　　　　　勝　負　分　点
　　ツヨシ　 4　 3　 7　15
　　トモエ　 5　 6　 3　13
　　マサル　 2　 2　11　14

となり，題意を満たします(十分)。

以上(イ)，(ロ)，(ハ)ですべて尽くされています。

　　　答　(1,3) または (2,14)

　誤謬，ミスプリなど乞うご容赦。
井の中　　 11月11日（木） 14:12:05　　 　　24018
すてっぷ
　３箇所ミスプリを見つけました(#24018)。訂正いたします。
.......................................................
期限切れですが，前回(第245→第425回)の答案です。
.......................................................
(ハ)　a3=2 のとき，(38)より
　　　b2=6
このとき，３人の勝ち・負け・引き分け・勝ち点は

　　　　　　勝　負　 分　点
　　ツヨシ　 4　 3　 7　15
　　トモエ　 5　 6　 3　13
　　マサル　 2　 2　11→10　14

となり，題意を満たします(十分)。

以上(イ)，(ロ)，(ハ)ですべて尽くされています。

　　　答　(1,3→13) または (2,14)
井の中　　 11月11日（木） 14:52:12　　 　　24020
kasama
こんにちは。う〜ん、結構悩みました(^_^;)
対角線って辺は含まないのですね(^o^)
出先　　 11月11日（木） 17:10:43　　 　　24021
uchinyan
mhayashiさんの裏返しのような感じですが、一応、別解。
10角形の頂点から構成され、10角形の対角線を辺にもち、その対角線の辺から外部に交点ができる四角形は、
a) 一対の対辺が10角形の辺で、残りの一対の対辺が対角線。交点は1個。
b) 一つの辺が10角形の辺で、3辺が対角線。交点は1個。
c) 4辺とも対角線。交点は2個。
だけです。それぞれの個数は、
a) 10 * 5C1 / 2 = 25
a)+b) 10 * 6C2 - 10 * 5C1 / 2 = 125
c) 10C4 - 10 - 10 * 5C1 - (10 * 6C2 - 10 * 5C1 / 2) = 25
となり、結局、
2 * 25 + 1 * 125 = 175 個。

#24007, #24014, #24017：
うーむ、面白そうですね。何があるのかな？
ネコの住む家　　 11月11日（木） 17:53:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24022
ほげ
x+y+z+w=10 x≧2　y≧１　z≧２　w≧1の解の個数を出して
10倍して２で割るとでます
北の隠れ家　　 11月11日（木） 22:23:39　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　24023
M.Hossie
こんばんにゃ。最近仕事がえらい忙しいんで、こんな時間にカキコしています。
今回の問題はそのまま中学生の幾何の問題に使えそうですね。
対角線の本数は 10 * 7/2 = 35 本。
どの２本も平行でないから交点の総数は 35Ｃ2 = 595 個。
その内、１０角形の内部にあるのは、任意の４点を取った時の対角線の交点だと思えばいいから 10Ｃ4 = 210 個。
辺上にあるのは、１つの頂点に対角線が７本集まるので、重複を込めて数えれば 7Ｃ2 = 21 個に相当。これが頂点１０個分で 210 個。
よって、外部にあるのは 595 - 210 - 210 = 175 個で FA。
温泉のある場所　　 11月11日（木） 22:32:00　　 　　24024
ほげ
http://micci.sansu.org/santyare/426.html
に解答をUPいたしました。
北の隠れ家　　 11月11日（木） 22:50:23　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　24025
uchinyan
#24023及び#24025：
なるほど。これは見事ですねぇ。うーむ．．．
ネコの住む家　　 11月11日（木） 23:05:12　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24026
小学名探偵
#24025 鮮やかな解法に感服しました。

わたしの前の解き方は、面倒で、DrKさんのようにｎ多角形のある頂点を通る
対角線を考え、これと外部で交わる対角線の個数を数え上げる方が楽でした。
この個数は２項展開の係数間の関係式を使うと、7C3になることが示され、すべての頂点で繰り返すと、２回、重複して数え上げることになりました。
東京　　 11月11日（木） 23:27:39　　 　　24027
nemu
同じ解法の方もいらっしゃるようですが。
一点の頂点を固定してどこかに対角線を引いて
片側の隣の頂点同士の対角線と十角形の辺でできる多角形の
対角線の数を合わせたものを数え上げる。
片側なので２倍し頂点を固定してるので１０倍し４回重複なので４で割ります。
{0+0+1+(4*1/2+1)+(5*2/2+1)+(6*3/2+1)+(7*4/2+1)}*2*10/4
　　 11月12日（金） 1:29:08　　 　　24028
Toru Fukatsu
一点Aをきめて、両隣りをのぞいた７点から３点を選んで反時計回りにB,C,Dとする。Bを一個戻した点をB'、Dを一個すすめた点をD'とする。ABCDに対角線の組　（AB,D'C）（AD,B'C）の交点を対応させればABCDに対して２点ずつが対応する。あとは皆さんと同じにはAを動かして１０倍して４で割るいうのでどうでしょう。
　　 11月12日（金） 8:43:48　　 MAIL:tfukatsu@tth.japanpost.jp 　　24029
吉川　マサル
#24025
　あ、想定していたものとほぼ同じです。（私は白い碁石と黒い碁石を計９個条件を満たすように並べる、という考え方でしたが）ちなみにこの問題はオリジナルじゃなくて、某冊子（う〜ん）に載っていたものです。もちろん、原題は大学入試モノですので円周上の点はｎ個でしたが。
MacOS X　　 11月12日（金） 10:50:26　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24030
吉川　マサル
えと、現在いくつかのプロバイダ（確認しているところだと、Yahoo!BBの一部？、din.or.jpの２つ）から算チャレへのアクセスができない状況になっているようです。正確には、DNSが引けないという状態、よーするに「見つかりません」な状態になっているということでして、IPアドレスを直に指定すれば問題なくアクセスできるようです。

　で、現在アクセスできない方々はこの書きこみを見ようもないと思いますが、後ほど「あ、そーいえばあの頃アクセスできなかった！」ということがありましたらご報告いただければ幸いです。その際、ご利用されているプロバイダを書いて頂ければと思います。
MacOS X　　 11月12日（金） 10:53:37　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24031
スモークマン
やっとはいれた〜
４点で、隣り合わない辺どうしにより２個の交点ができるので（10C4*2)、これから、辺を含むものを引いた。
２辺を含むものは、１辺を決めたら、残りの７辺から選べ、２回重複して数えてるので、70/2=35
１辺を含むものは、一辺を決めて、残り8点から２点を選ぶ（8C2）。その内、辺を選んだときは２辺の時と重複してるので、8C2-7。全部で、10*(8C2-7）。
以上より、2*10C4-7*10/2-10*(8C2-7)=420-35-210=175

スマートでない！
　　 11月12日（金） 11:38:39　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　24032
小学名探偵
#24030 素晴らしい解き方を鑑賞させていただきました。
９石の並び→「３つの黒石と４つの白石がまざった７石の並び」でしたか！
ところで、マサルさんは、碁は打たれるのですか。
東京　　 11月12日（金） 15:19:17　　 　　24033
uchinyan
#24023及び#24025のほげさんの解法はお見事なのですが、ちょっと間接的な点が気になりました。
それと、#24009の小学名探偵さんの解法は、確かに誤りなのですが、7C3を直接的に説明している点、何かありそうでひっかかっていました。
そこで、少し考えてみたのですが、#24009を改良した次のような解法はダメでしょうか？

10角形の頂点に、1から順に10まで番号をつけます。そして、1を固定して考えます。
#24009と同様に、1の両側、2と10とを除いた7個の点から3個選んできます。これを、a, b, c とします。3 <= a < b < c <= 9 です。
また、1, a, b, c からできる四角形を(1,a,b,c)、a, b からできる辺を(a,b)などと書くことにします。
ここで、私の#24022の解法からも分かるように、4点からできる四角形が題意のような対角線の交点をもつためには、向かい合う対辺が対角線になっていればいいわけです。
ナイーブに、(1,a,b,c)をとってくるとダメな場合がありますが、ちょっとトリッキーですが、(1,a-1,b,c)を考えたらどうでしょうか。
a >= 3 なので、この四角形は実現可能です。
この四角形は、(a-1,b), (c,1)を対辺とし、これらは10角形の対角線になっています。したがって、この2辺から題意の交点が一つ得られます。
この場合、残念ながら、(1,a-1)と(b,c)とは、対角線になっているとは限らないので、この四角形に関してはこれであきらめます。
しかし、c <= 9 なので、(1,a,b,c+1)を考えることができ、(1,a)と(b,c+1)とが対辺で対角線になっており、やはり題意の交点が一つ得られます。(a,b), (c+1,1)は、やはりあきらめます。
整理すると、(1,a,b,c) => (1,a-1,b,c), (1,a,b,c+1) という操作をし、それぞれに対して、一つずつ、都合、二つの題意の交点を得ます。
後は、#24009と同じで、7C3の一つの選択に対して二つずつ交点が得られますが、1を固定していたので1から10まで動かして10倍、(1,a,b,c)のとり方が4倍の重複になるので1/4倍します。
したがって、求める個数は、7C3 * 2 * 10 * 1/4 = 175 個。
もちろん、一般の場合にも拡張できて、1/2 * n * (n-3)C3 = n(n-3)(n-4)(n-5)/12

間違ってるかな？
ネコの住む家　　 11月12日（金） 15:44:28　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24034
uchinyan
お！　#24029のToru Fukatsuさんの解法は、#24034と同じようですね。失礼しました。
ということは、あってるかな？
ネコの住む家　　 11月12日（金） 15:57:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24035
小学名探偵
#24027 訂正します。
１から１０の番号が時計回りにつけられた１０の頂点のなかから、番号１を開始位置として固定して考えます。
まず、番号１と３を結ぶ対角線Xを考え、この対角線Xの「左側」(番号１から２への進行方向に対して左側)だけを着目し、「左側」にあって対角線Xと外部で交わる対角線Yの個数を数え上げると、
5+4+3+2+1＝5C1+4C1+3C1+2C1+1C1=6C2
つぎに、番号１と４を結ぶ対角線Xを考え、同様にして、その「左側」にあって、外部で対角線Xと交わる対角線Yの数を数え上げると、
4+3+2+1＝5C2
以下同様にして、4C2、3C2、2C2が得られます。これらを足し合わせて
6C2+5C2+4C2+3C2+2C2＝7C3（通り）
これを１０個の頂点について繰り返すと、２回重複して数え上げることになるので、
10*7C2/2。
東京　　 11月12日（金） 18:06:59　　 　　24036
小学名探偵
↓再訂正
「右側」の誤りです。正確（？）には、10角形内において、開始位置から、対角線Ｘ上を進むとき、右側に見える対角線が、対角線Ｙになります。
最後の行は、「10*7Ｃ3/2」
東京　　 11月12日（金） 19:03:57　　 　　24037
みかん
皆さんの立派な解答があるのでいまさら書くこともないのですが、試験で
出題されたときの現実的解法を記入しておきますね。算数の問題ならこんな
解答で十分ではないでしょうか。
私の解法
１０角形の対角線のうち
（１）「ある点と２つ右隣の点とを結ぶ対角線」と交点および接点を持たな
い対角線は１５本。上記の「ある点〜対角線」は全部で１０本あるから
１５×１０＝１５０個
（２）「ある点と３つ右隣の点とを結ぶ対角線」と交点および接点を持たな
い対角線は１０本。上記の「ある点〜対角線」は全部で１０本あるから
１０×１０＝１００個
（３）「ある点と４つ右隣の点とを結ぶ対角線」と交点および接点を持たな
い対角線は７本。上記の「ある点〜対角線」は全部で１０本あるから
７×１０＝７０個
（４）「ある点と５つ右隣の点とを結ぶ対角線」と交点および接点を持たな
い対角線は６本。上記の「ある点〜対角線」は全部で５本あるから
６×５＝３０個

（１）〜（４）でそれぞれ２回ずつカウントしているから
（１５０＋１００＋７０＋３０）÷２＝１７５個
　　 11月12日（金） 20:08:51　　 　　24038
みかん
改めて他の方々の見るとうまいやり方があることに驚きます。

こういうやり方しか私はできないから数学の成績はボロボロなんだろな(涙)。
　　 11月12日（金） 20:11:58　　 　　24039
エルク
なんか面倒な計算してようやく回答。どうも工夫が足りない私でした。
一点を固定しそこから引ける７本の対角線に対し
外で交差する直線の本数を計算して・・・
（１＋３＋６＋１０＋１５）＊２＊１０÷４＝１７５

私のページの算数問題に前回のクイズと
ちょっと似たような解き味の問題を追加してみました。（１８問目）
暇な方は是非といてみてくださいな。

前回の問題の載っている本は持ってます。
その著者本人から買ったサイン入り♪

http://aac.fc2web.com/
　　 11月12日（金） 23:02:38　　 　　24040
uchinyan
#24034への補足：
一応考え直してみましたが、正しそうです。
ロジックが崩れる可能性があるのは、(1,a,b,c)を選んだ後で1だけ左右にずらして得られる四角形から作る交点が、
他の点の選び方の場合と一致してしまう場合だけです。
今、(1,a1,b,c1), (1,a2,b,c2), 3 <= a1 < b < c1 <= 9, 3 <= a2 < b < c2 <= 9, a1 != a2, c1 != c2 を選んだとします。
bは、ずらし操作で変化しないので、同じ場合だけ考えれば十分です。
ずらし操作で、(1,a1-1,b,c1), (1,a1,b,c1+1), (1,a2-1,b,c2), (1,a2,b,c2+1) が得られますが、
これらが一致する可能性があるのは、
(1,a1,b,c1+1) = (1,a2-1,b,c2) or (1,a1-1,b,c1) = (1,a2,b,c2+1)
だけです。しかしこれらの場合に対して求める交点は、
(1,a1,b,c1+1) = (1,a2-1,b,c2) の場合：
(1,a1,b,c1+1) => (1,a1) と (b,c1+1) との交点
(1,a2-1,b,c2) => (a2-1,b) と (c2,1) との交点
となり、異なる対辺に対して交点を求めるので、これらは一致しません。
もう一つの場合も同様です。
したがって、大丈夫と思います。
ネコの住む家　　 11月13日（土） 11:29:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24041
N.Nishi
1点固定して、場合分けして１０倍して２で割りました。
　　 11月13日（土） 23:26:52　　 　　24042
kata
35C2−2×10C4＝175 ３５本の対角線から２本を取る本数から円内で対角線が交わる場合を引きました。ここまで考えるのに長い時間がかかりました。途中で誤答をたくさん送って正解率を下げてしまいました。水曜の深夜が日曜の朝になっていました。書き込みを見ていないので、すでに同じ解き方も書いてあるかもしれませんが。
　　 11月14日（日） 8:23:00　　 　　24043
水田X
Hossieさんと同じやりかたでした。ところで１０角形の内と外では２１０こ、１７５この点があるわけですが、対角線とか辺で囲まれたエリアの個数はそれぞれ何個なんでしょうね？考えると夜も眠れない。。。（三球照代の漫才より）そういえばもうすぐ京都では地下鉄がもうすぐあたらしく延長開通します。この地下鉄はクレーンで地上から地下へ穴掘っておろしたそうです。はなしは変わりますが、京都から一駅、丹波口という新撰組ゆかりの地が多い地域には今、３ついい銭湯？が集中して激戦区になってます。誠の湯、壬生の湯はいわゆるスーパー銭湯的なとこ、でもわたしは五香湯という銭湯が古いけど一番と思います。五条通りの堀川とおりと大宮通りの間にあります。
　　 11月14日（日） 11:09:33　　 　　24044
水田X
さっきの続き。激戦区のひとつ壬生の湯は天然温泉と宣伝してますが、実は大阪の摂津で掘った温泉を運んできてるだけです。誠の湯は富士山の溶岩を浴槽の壁に使っていていい成分がでるそうです。そしてぼくの好きな五香湯は白い泡の湯。いずれにせよこんな一箇所に集中させて温泉を運ぶくらいなら被災した地域に温泉を運んであげればいいのにと思います。
　　 11月14日（日） 11:53:50　　 　　24045
kata
式が違っていました。Hossieさんの解き方でした。朝から温泉に行く途中で違っていたと気付きました。
　　 11月14日（日） 13:49:50　　 　　24046
吉川　マサル
#24033
　碁はルールも含めて全く知りませんデス...。
MacOS X　　 11月14日（日） 19:00:14　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24047
水田X
珍しく碁の話題ですね。うれしい〜。ところで碁と算数はおんなじ頭を使っているか？という長年の問題についてですが、私見では、初等幾何で補助線をみつける時と碁の大局的な一手を打つ時はおんなじ頭ではと思います。詰碁は今回みたいな問題に通じるかなあ。まあわたしはどっちも下手の横好きですので勝手な素人意見です。
　　 11月15日（月） 11:05:57　　 　　24048
なか
#24007 で提起した７Ｃ３の意味づけについて

　小学名探偵さん、uchinyanさん、ほげさん他のみなさまの深い考察、
ありがとうございました。この問題は、どの直線の交点が題意に合う
のかという判別と、数え上げの際の重複の整理と、ややこしさの原因
がふたつあると思います。
　その点、ほげさんの #24025 は目からウロコでした。特に、ここは
２以上、ここは１でもいい、というアイディアが、題意をバシッとモ
デル化していて、ただ感心するばかりです。
Muroran　　 11月15日（月） 13:10:16　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　24049
はなう
いまさら解きました（リアルタイムは20分であきらめて就寝。。）
なるほどー。。。7C3がすごいですね。感激Σ(″ー゛；)
　　 11月15日（月） 15:14:19　　 　　24050
なか
１０万アクセス記念懸賞問題

ちょっと宣伝
naka's Home Page では、１１月１９日（金）に、１０万
アクセス記念問題を出します。今回は、算数トライアスロ
ン用に用意していた、とっておきの問題を出します。腕に
覚えのあるかたは、奮ってご参加ください。
http://www3.sansu.org/

>マサルさん
もしよろしければ、トップページでの広告をお願いします。
北海道　　 11月15日（月） 22:08:40　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　24051
tomh
N個の点のときは、
　N(N-3)(N-4)(N-5)/12 個
になりますね。
新潟市　　 11月16日（火） 11:58:12　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　24052
なか
７Ｃ３の（直接的な）意味がやっと分かりました。

時計まわりに4点 A,B,C,Dを選び、ABとCDの交点 Pを数えるとき、
・辺の延長線も数えるなら、10 * 9C3 /2
・辺の延長線を数えないと、10 * 7C3 /2 ですね。
Aの次の点と、Cの次の点、を選んではいけないから 9C3 でなく 7C3。

２で割る意味は、ひとつの交点 P を作る２本の直線のうち、どっち
を ABと呼ぶのかで、２通りに表現されるから。
Muroran　　 11月16日（火） 17:10:18　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　24053
uchinyan
#24053
確かにそうですね。
なかさんのご説明が、個人的には、一番明快で簡単な気がします :-)
ネコの住む家　　 11月16日（火） 20:41:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24054
uchinyan
#24054への追加
＞#24053
＞確かにそうですね。
＞なかさんのご説明が、個人的には、一番明快で簡単な気がします :-)
と書きましたが、個数を数えるだけならばOKそうですが、
実際の交点の構成法まで気にすると、小学名探偵さんの場合のような点の取り方を排除している保証がないので、
やはり、若干、ロジックが曖昧な気もします．．．
ほげさんの方法、私及びToru Fukatsuさんの方法は、そこらも気にした解法になっていると思います。
ネコの住む家　　 11月16日（火） 22:06:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24055
なか
>若干、ロジックが曖昧な気もします．．．

そのとおりかもしれません。
７Ｃ３のふんいきをストレートに感じたいという表現にしました。
Ｃと次の点をひとかたまり、と考えれば厳密に説明できそうですが、
くどくなりそうなのでやめました。
北海道　　 11月16日（火） 22:29:20　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　24056
uchinyan
#24053及び#24056
少し検討してみましたが、大丈夫そうですね。失礼しました。
私の解法で言えば、ABとCDの対辺は必ず対角線になっているし、
ほげさんの解法で言えば、ABとCDのところが2以上離れているわけですから。
となると、なかさんの解法が一番直接的で簡単ですね。
私の場合も、二つの交点にこだわる必要はなかったわけですね。

#24051
参加してみたい気もしますが、難しそうですねぇ．．．
ネコの住む家　　 11月16日（火） 23:09:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24057
吉川　マサル
#24051

　リンク、了解しました〜。
MacOS X　　 11月17日（水） 9:42:20　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24058