なか
1/2 で入れませんでした
北海道　　 2月10日（木） 0:05:28　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　24482
Taro
高さの和が１９の２つの三角形に分けて考えました。底辺が最低1/19になるので。
＃最低1/2と勘で入ってもよかったかも(汗)
じたく・・・帰宅直後　　 2月10日（木） 0:36:38　　 　　24483
吉川　マサル
#24482
　あ、登録しました。（1/2）

　私、会社からアクセスしていまして、いまから帰宅するところです。というわけで、順位表の更新はもちょっと先になりますので、その点ご了承いただければ幸いです。m(__)m
MacOS X　　 2月10日（木） 0:09:20　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24484
あーく＠19
失態・・・三角形の面積なのに1/2してなかった・・・

鳩ノ巣的問題ですね。実際にどの釘とで結ぶか求めてませぬ・・・
　　 2月10日（木） 0:09:46　　 　　24485
N.Nishi
3/19ずつずれていくのですね。(言葉足らず)
　　 2月10日（木） 0:09:58　　 　　24486
呑
ピック（ピーク）の定理でズルしちゃいました。
酔っぱらい天国　　 2月10日（木） 0:10:54　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:ＨＯＰＥＳ　　24488
DrK
私は座標から求めました。
やはり1/2なのですね。最初は入れなかったので、何故かなと思いました。
今は楽園かな?違うな。　　 2月10日（木） 0:12:30　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　24489
きょろ文
マサルさんはおやさしいですね。
図を見てもわかるようになってます。

僕は、互いに素なので釘からの距離は1/16または1/19ということがわかるので、それで解きました。

#24488
ピックの定理って何ですか？
√2の隣　　 2月10日（木） 0:13:34　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　24490
エルク
16/19 32/19 48/19 って足していったら
96/19=5+1/19 がＡＢに最も近く1/19のずれなので
1/19*19*1/2=1/2　以上。
魔法の国　　 2月10日（木） 0:13:48　　 HomePage:迷いの森　　24491
tomh
座標を設定して、地道に計算しました。 (^^;
新潟市　　 2月10日（木） 0:13:58　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　24492
姉小路
最初は、２だと思ったんですけど、
よくよく考えたらもっと小さいのを発見しまして……。
これが最小であるかどうかは考えずに駄目元で1/2にしました（汗
もしかしたら０かと思って送ろうとしましたが送信エラーでしてｗ
算数の街　　 2月10日（木） 0:14:22　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　24493
みかん
うへ〜、あわてて「１」って送信してしまった…
左から１４個目、下から１２個目のの点ですね。

#24480　鉄道アニマルさん
情報ありがとうございます。そこのサイトだと学校が限られている代わりに
社会・理科があるので楽しめました。算数だけなら東京出版のがいいかなぁ
と思っています。
算数好きの溜まり場　　 2月10日（木） 0:22:47　　 　　24494
DrK
座標を使う場合は、ABの傾きは16/19ですね。
あとは、x座標に対して、(x,y)共に整数になる座標とAB上の点との差が高さになります。
16と19は互いに素なので、それぞれの倍数同士の差は1になりえます。
従って、高さは最小が1/19ということになり、底辺の長さ19と1/2を掛けると1/2が求まる。
今は楽園かな?違うな。　　 2月10日（木） 0:17:41　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　24495
tomh
A:(0,0), B(19,16), C:(19,17), D(0,1) と座標を設定します。

選んだ点の座標を(p,q)とすると、題意の面積は
|16p-19q|/2 となります。

後は、(p,q)に(1,1)から(18,16)までの座標を代入して、
実際に計算するだけ。
(p,q)=(13,11) のときに面積が最小の1/2になりました。
(単位は省略)
新潟市　　 2月10日（木） 0:21:23　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　24496
アヒーのおじさん
最初17cmと20cmだと考えていた大馬鹿者です（＾＾；
解き方はエルク様と同じです
アンドロメダ大星雲　　 2月10日（木） 0:24:11　　 HomePage:正体不明　　24497
呑
#24490
多角形の面積＝内部の格子点の数＋辺上の格子点の数／２−１
で、求められるという素晴らしい定理なのね。でも理由は謎じゃ。
酔っぱらい天国　　 2月10日（木） 0:30:19　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:ＨＯＰＥＳ　　24498
arijune
更新されると思って、早速のぞいてみたら、見覚えのある設定。ちょうどいい復習になった。(m,n)=1、（m,nが互いに素）1<=k<=m-1のとき、nkはmを法としてすべて異なる。故にnk/mの少数部分はm-1/mが最大となり、このとき、四辺形の中の格子点と、y=(n/m)xのx=kにおけるy座標の差は最小で１／m然るにmかける1/m割る２で1/2と。以上m=19, n=16
こういう企画もine^2
　　 2月10日（木） 0:39:57　　 　　24499
カエ
そんなの知ってる呑さんずる過ぎ！！私は電卓で0.85＋0・85＋0.85・・・で整数に一番近い5.95から出しました。
　　 2月10日（木） 0:40:54　　 MAIL:yhpnh760@ybb.ne.jp 　　24500
カエ
そんなの知ってる呑さんずる過ぎ！！私は電卓で0.85＋0・85＋0.85・・・で整数に一番近い5.95から出しました。
　　 2月10日（木） 0:42:21　　 MAIL:yhpnh760@ybb.ne.jp 　　24501
きょろ文
#24498
あぁ、あれですか

眠いのでもう寝ます(。・・)ノ
√2の隣　　 2月10日（木） 1:02:08　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　24502
y.kobayashi
直線ABと傾き１の直線との交点から最も近い格子上の点をもとめて（この場合（１３，１１））計算するしか方法が思いつきませんでした　
　　 2月10日（木） 1:28:47　　 　　24503
ゴンとも
数式処理のコマンドに慣れる為にxmaxima5.5,mupad light 2.53とか
問題を解くときに使用すると身につくので
先ず、直線AB:y=16*x/19 16*x-19*y=0・・・・・・�…樟�CD:y=16*x/19+1
∴　16*x/19<y<16*x/19+1
この不等式を満たす格子点は
fpprec:3$
for n:1 thru 18 do ldisplay(float(16*n/19))$
for n:1 thru 18 do ldisplay(float(16*n/19+1))$
0.8<y<1.84/(x,y)=(1,1),1.68<y<2.68/(x,y)=(2,2),2.53<y<3.53/(x,y)=(3,3)
3.37<y<4.37/(x,y)=(4,4),4.21<y<5.21/(x,y)=(5,5),5.05<y<6.05/(x,y)=(6,6)
5.89<y<6.89/(x,y)=(7,6),6.74<y<7.74/(x,y)=(8,7),7.58<y<8.58/(x,y)=(9,8)
8.42<y<9.42/(x,y)=(10,9),9.26<y<10.3/(x,y)=(11,10),10.1<y<11.1/(x,y)=(12,11)
10.9<y<11.9/(x,y)=(13,11),11.8<y<12.8/(x,y)=(14,12),12.6<y<13.6/(x,y)=(15,13)
13.5<y<14.5/(x,y)=(16,14),14.3<y<15.3/(x,y)=(17,15),15.2<y<16.2/(x,y)=(18,16)
この18点と�，箸竜�離が△ABCの高さとして
AB=sqrt(19^2+16^2)=sqrt(617)を底辺とすると
△ABC=abs(16*x-19*y)*sqrt(617)/(2*sqrt(617))=abs(16*x-19*y)/2
(x,y)=(1,1)=(2,2)=(3,3)=(4,4)=(5,5)=(6,6)=(7,6)=(8,7)=(9,8)=(10,9)=(11,10)=(12,11)
△ABC=3/2,abs(16*1-19*1)/2,abs(16*2-19*2)/2,abs(16*3-19*3)/2,abs(16*4-19*4)/2,abs(16*5-19*5)/2,
abs(16*6-19*6)/2,abs(16*7-19*6)/2,abs(16*8-19*7)/2,abs(16*9-19*8)/2,abs(16*10-19*9)/2,abs(16*11-19*10)/2,
abs(16*12-19*11)/2,abs(16*13-19*11)/2,abs(16*14-19*12)/2,abs(16*15-19*13)/2,abs(16*16-19*14)/2,
abs(16*17-19*15)/2,abs(16*18-19*16)/2;
3/2, 3, 9/2, 6, 15/2, 9, 1, 5/2, 4, 11/2, 7, 17/2, 1/2, 2, 7/2, 5, 13/2, 8
min(%);1/2・・・・・・(答え)
問題の図が正確でない所がいいですね。
正確すぎると長さ,角度問題は定規,分度器が1番はやいとかありますから。
愛知県豊川市　　 2月10日（木） 1:48:39　　 MAIL:ｆｔｔnm528@ybb.ne.jp 　　24504
カエ
ひぁー、傾き16/19だったんですよね〜。私はうっかり17/20でやってしまいました、つまり釘が21x19の場合でも答えは同じだったんだ・・・。
恐るべしピックの定理。
　　 2月10日（木） 8:04:51　　 MAIL:yhpnh760@ybb.ne.jp 　　24505
経友会の進作
　tomhさんと同じ座標を使って地道に解きました。綺麗な面積が続くのには
驚きましたね。年寄りは夜早く眠くなるので朝からやりました。いやぁ〜面白かったです。
京都府木津町　　 2月10日（木） 9:23:08　　 MAIL:tanioka-s@ams.odn.ne.jp 　　24506
kasama
CADでやりました(*^_^*)。理屈を考えるよりやってみるのが早いですね。とは言っても、潰れてしまいそうな三角形を見つけないといけないので、かなり正確な図を描かないとできませんが(^_^;)。
出先　　 2月10日（木） 9:30:00　　 　　24507
ほげ
ちょっとながくなっちゃった
ベクトルa=（19,17） ベクトルb=(x,y)によってできる 三角形の面積は
（ベクトルbがベクトルaから見て反時計回りにあるので絶対値がはずれるのです）
1/2(19y-17x) この最小値は

19と17でできる群を考えることになります
19と17は互いに素ですから 19y-17x=1となる整数解があります。
（整数論で有名な性質です aとbの最大公約数をdとすると
ax+bY=dとなるx、yが存在する）

そのとき x>17の解だとしても (x,y)=(17m+k,l) 0<k<17が 解だとして
19(17m+k)-17l=1 から 19k-17(l-19m)=1が成り立ち
17(l-19m)=19k+1<19×17から l-19m<19になります
こうしてできた(x,y)=(k,l-19m)は 0<x<19 0<y<17をみたしますから
0<x<19 0<y<17に答えが必ず１つあることがわかります
よって1/2が最小値になります。
　　 2月10日（木） 10:23:00　　 MAIL:micci@sansu.org 　　24508
uchinyan
はい、こんにちは。
何かうまい方法もあるのでしょうが、面倒なので、素直に計算しました。

内部にある点の横方向の位置と縦方向の位置、(横,縦)が、まぁ、早い話が座標ですが、
(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,6), (8,7), (9,8), (10,9),
(11,10), (12,11), (13,11), (14,12), (15,13), (16,14), (17,15), (18,16)
なので、一つずれる、(7,6) 又は (13,11) の場合が最小の可能性があります。
後は、この二つの場合の面積を直角三角形と長方形に分けて計算すると、
(7,6) の場合は 1 cm^2、(13,11) の場合は 1/2 cm^2 となり、1/2 cm^2 が答えです。

と、ここまで書いて、一応、掲示板をざっと読みました。
確かに座標を使うならば、内部の点を (a,b) として、ABとの距離が |16a-19b| に比例するので、
a, b が自然数だということと、16, 19 が互いに素ということから、|16a-19b| が 1 になる場合が解ですね。
なお、ピックの定理、というのは知りませんでした。勉強になりました (^^;

ネコの住む家　　 2月10日（木） 10:37:32　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24509
万打無
　輪ゴムの内側にある釘をEとし、その釘から下の釘までのばした直線と輪ゴムの交点をFとする。
　△ABE=△AEF+△BEF
　底辺は共通で高さの和は19cmなので面積はEF×19÷2

　AからBまで横に19cm、縦に16cm、よって右に1cm移ると一番下から輪ゴムまでの高さは16/19cm長くなる。

　上から順に左からの釘の個数・下の輪ゴムまでの高さ・上の輪ゴムまでの高さ・輪ゴムの間にある釘の高さ・下の輪ゴムと輪ゴムの間にある釘の間の距離

　１　　２　　 ３ …　14　…　19　　　20
　0　　16/19　32/19　208/19　288/19　304/19
19/19　35/19　51/19　227/19　307/19　323/19
　−　 19/19　38/19　209/19　304/19　　−
　−　　3/19　 6/19　 1/19　 16/19　　−

　EFの最小値は1/19。
　よって△ABEの最小値は　1/19×19÷2=0.5[cm^2]
　　 2月10日（木） 10:54:51　　 　　24510
小学名探偵
ピックの定理を使いました。
Ａ点とＢ点を結ぶ線分上に格子点はありませんね（１９と１６が互いに素なので）
枠内の格子点Ｍについて三角形ＡＭＢが最小になるとき、
三角形ＡＭＢの内部には格子点はありません（もしあれば、三角形ＡＭＢは最小でなくなりますから）
したがって、三角形ＡＭＢ＝３／２−１＝１／２
　　 2月10日（木） 12:29:43　　 　　24511
M.Hossie
　こんにちは、お久し振りです。
　たいがいの皆さまと同じく、座標を設定しました。１９と１６は互いに素なので、１９の倍数と１６の倍数の差は１に出来ますね。なので特に何も考えず０．５にしました。
温泉のある場所　　 2月10日（木） 13:18:42　　 　　24512
ほげ
#24508 17 →16　に訂正します。記事の訂正ができませんでしたm(__)m
北の隠れ家　　 2月10日（木） 14:28:50　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　24513
uchinyan
#24509：若干追加です。白状しますが、今回はかなりいい加減でした (^^;
AB上に格子点がないことは明らかなので、内部の点は、(19-16) * 6 = 18、大体 19 ということと、
図を見ながら、6 ぐらいで最小の候補を繰り返す、と判断し、面積の計算をしました。
面積の計算も、分数を嫌って計算が楽になるように、直角三角形と長方形に分解しました。
厳密には、皆さんがやっておられるように、縦方向の差を求め、1/19が最小になることを確認した方がいいですね。
しかし．．．
#24511。なるほど、ピックの定理を知らないとダメだけれど、これは簡単ですねぇ。
ネコの住む家　　 2月10日（木） 14:54:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24515
tapu
私は算数しかしたことがないので、輪ゴムの中の点ｎで分けた直角三角形と台形の面積の和から、ＡＢが斜辺の19ｃｍと16ｃｍ直角三角形をひいてその一番小さい数値を探しました。
　　 2月10日（木） 16:44:42　　 　　24516
ハラギャーテイ
どうも計算間違いばかりでした。
グラフ用紙に図を書いて一番小さな点を見つけて
それを計算するものでした。
北九州　　 2月10日（木） 18:04:00　　 HomePage:信号処理に挑戦　　24517
小学名探偵
ＡＢＣＤ枠内の格子点Ｍに関して、三角形ＡＭＢが最小になるとき、
Ｍの座標は、
19-16=3から19n-16n=3n
3nMOD19=1から、3n=39　よってn=13（ｘ座標）
3nMOD16=1から、3n=33 よってn=11 (y座標）
で求められるようですが？
　　 2月10日（木） 21:25:03　　 　　24518
masami
ここにいるってことは、俺は正解したのか・・ｗ
直感的にあれだと思ったんだが・・
他に考え付かなかった俺はやはりアホなのか・・orz
　　 2月10日（木） 21:56:10　　 　　24519
ｎ厨
(a,b)が互いに素であれば一般的に1/2
　　 2月10日（木） 22:20:07　　 　　24520
まるケン
#24505
17/20でやってたのに一票
（from 蔵王温泉）
　　 2月11日（金） 3:08:19　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　24521
uchinyan
済みません。ちょっと、修正、というか追加。
以下の、○番目、というのは、点 A から横方向に○番目の格子点、計算式及びそれに基づいての上とか下とかは、縦方向の話です。
やっぱりいい加減だな．．．イメージなのでご勘弁を m(__)m

#24518：はい。というか、もっと直感的に、次のようなことをイメージしていました :-)
最初の6番目で 19 - (19-16) * 6 = 1 なので、7番目は CD から上に 2 だけ飛び出し、したがって、内部の点は、1 ずれた AB から 2 だけ上にあり、
次の6番目、最初から12番目、では、最初の6番目が 1 ずれた AB から 1 だけ下にあるので、基点を調整して、
19 - (19-16) * 6 + 1 = 2 だけ CD より下にあり、13番目は、CD より 1 だけ飛び出し、内部の点は、AB より 1 だけ上にあります。
さらに次の6番目、18番目、では、19 - (19-16) * 3 + 2 = 3 = 19-16 なので、19番目は AB 上にのります。これが、点 B です。
以降、これの繰り返しです。
したがって、内部の最小は、13番目で、縦方向は一回ずれる度に 1 だけ下がるので、点は、(13,13-2) = (13,11) になります。
まぁ、しかし、こんなことを書いても厳密ではないし、一応算数だから、当たりをつけて面積を計算した方が早いな、というのが、#24509です。
ちゃんとやるには、#24518のようにするのでしょうね。
#24520：確かにそうですね。#24511は、そのまま一つの証明になっているでしょう。もちろん、他にも皆さんの方法でそれぞれ証明できると思います。
ネコの住む家　　 2月11日（金） 13:25:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24522
某有名私立中出身
ほぼ即答ですね
　　 2月11日（金） 16:23:42　　 　　24523
RD
2/14の高校受験、緊張してきました。
点Aを原点（0.0）として一次関数の問題として解きました。
かなり原始的な方法で疲れました・・・・・。
（13.11）が三角形最小になるとわかったあとは等積移動して「くぎ」を線分ADまで持っていって、（13.11）を通る関数（線分ABに平行）のY切片をもとると、
底辺が1/19ｃｍ
19×1/19×1/2＝1/2
北海道　　 2月11日（金） 19:05:42　　 　　24524
arc
初挑戦っす。RDさんと同様、一次関数の問題として原始的なとき方をしましたね。
y=16x/19とy=(16x/19)+1の間にあって、尚且つy=x+k上にある格子点を求めるという方針です。kが同じなら、x座標の最も小さい格子点が面積を最小にするのは明らかなので、候補は3つに絞られ、後は普通に面積を計算。

皆さん、すっきりした解法ですね。
　　 2月12日（土） 11:52:05　　 　　24525
さいと散
n+1列の釘の場合の面積＝19*((3*n mod 19)/19)/2なので最小は1/2ですね。
　　 2月12日（土） 15:52:20　　 　　24526
阪急大好き！
初めは、素直に計算しました。あとで、掲示板を見ると「互いに素」と言う言葉が書いてありましたが、素の意味がわからなかったのでお父さんに聞いて教えてもらいました。その方法で解いてみたらとても簡単に解けました。
　　 2月13日（日） 16:01:14　　 MAIL:keihantrain@yahoo.co.jp 　　24527
RD
ちなみに僕は広島のファンです。
北海道　　 2月14日（月） 18:56:05　　 　　24528
那由他
問題を見て「ああ、ピックの定理だな」と思いました。
でも掲示板に書き込みしている皆さんのようにきちんと検証をしないで直感でここに来てしまいました。
最後まできちんと解ききらないとだめですよね。反省。
　　 2月14日（月） 20:24:48　　 　　24529