吉川　マサル
ちょっと早いですけど、正解者掲示板あけちゃいます。いえ、まだ会社なんですが、終電が...。m(__)m
MacOS X　　 3月3日（木） 0:11:05　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24615
あーく＠19
分数計算苦手です。見苦しい言い訳ですね、はい。

各辺が何対何に分割されているかは、△OAD上で考えるとすぐに出るので、あとはこの六角錘を四つに区切って各々上の区切られた立体がその錘のどれだけをしめているかを計算しました。

比を出すにはメネラウスがやっぱ早いですね・・・（痛感）
　　 3月3日（木） 0:15:02　　 　　24616
呑ちゃん
辺の比をそれぞれかけなくちゃいけないのに、１回だけにしていました。やっぱりお馬鹿で酒。
ところで最近寒いですね〜。
皆さんお元気ですか？
私は微妙で酒。では、また。ごきげんよう。
酔っ払い天国　　 3月3日（木） 0:21:21　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPES　　24617
数楽者
底面を正三角形に分割して、６個の三角錐で考えました。
横浜　　 3月3日（木） 0:52:12　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　24618
ひろぼうず
私も、あーく＠19さんとまったく同じ方法で解きました。
メネラウスが早いのはわかってるけど、あくまでも小学生の解き方にこだわって、毎回解くよう心がけてます。
前回の問題も、三平方、三角関数をぐっとこらえて解いたら、時間がすごーくかかってしまいました。
でもこれからも算数の解き方オンリーで、がんばります。
　　 3月3日（木） 0:58:46　　 　　24619
N.Nishi
私も悪戦苦闘の末あーく＠19さんと同じ方法で解きました。個人連続正解記録が途絶えるかと思いました。
　　 3月3日（木） 3:16:19　　 　　24620
kasama
おはようございます。今回もCADにやらせました。素手でやると大変そう(^_^;)
出先　　 3月3日（木） 9:27:13　　 　　24621
吉川　マサル
#24621
　う〜ん、空間図形の問題をどうやってCADで解くんだろう...。（表面積とかなら分かるけど）
MacOS X　　 3月3日（木） 12:11:07　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24622
kasama
#24622 えっと、CADによってやり方が違いますが、AutoCADの場合は三次元空間に描かれた立体図形(Solid)の体積を計算する機能があります。また、立体の切断もできます(*^_^*)
なんか〜ほとんど頭を使っていないので、昼休みに少しだけ頭を使ってやってみました(^_^;)。
OB上の分割点H、AF上の分割点Iとすると、上部の立体は
　O-AHI + O-HXI + O-XYI + O-XYP ・・・ ※
です。で、おそらく皆さんがやっているのと同じ方法で、
　OI=OH=2/3、OX=OY=2/5
を出して、※にあてはめると
　(2/3)^2*1/6 + ((2/3)^2*2/5*1/2 + 2/3*(2/5)^2*1/2)*4/6 + (2/5)^2*1/3*1/6 = 8/45
です。
出先　　 3月3日（木） 12:37:20　　 　　24623
吉川　マサル
#24623
　なるほど、体積計算なんて機能があるとは...。恐れ入りました。
MacOS X　　 3月3日（木） 16:32:51　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24624
uchinyan
はい、こんにちは。今回も難しかった．．．
なお、最初、座標を使って答えを出したことを白状しておきます (^^;
どなたかと同じかも知れませんが、一応、解法です。
ちょっと複雑、はっきりいってスマートではない、なので、同じ解法はないかな。
六角形ABCDEFの中心を H とし、OH と切断面との交点を M とします。また、OB と切断面との交点を Z とします。
さらに、六角すいの切断面の上部の体積を v、六角すいの体積を V とします。
すると、V は、六角すいの側面 △OAB を底面とし頂点を H とする六つの三角すいの集まりと考えられます。
つまり、H から △OAB に下ろした垂線の長さを h とすると、
V = 1/3 * △OAB * h * 6 = 2 * △OAB * h
次に、v について考えます。M が切断面上にあることから、V の場合と同様のことがいえます。
つまり、v は、六角すいの側面を切断面で切った三角形を底面とし、頂点を M とする六つの三角すいの集まりと考えられます。
このときの高さは、対称性から、M から △OAB に下ろした垂線の長さとしていいですが、これは、次のようになります。
A と P とを結び、PD の中点を N として H と N とを結びます。対称性から、M は AP 上にあります。
H は AD の中点なので、中点連結定理より、AP と HN とは平行です。
一方、OP : PN : ND = 1 : 1 : 1 なので、OP = PN となり、M は AP 上にあったので、MP は HN と平行になり、
中点連結定理の逆より、OM : MH = 1 : 1 になります。つまり、OM : OH = 1 : 2 です。
そこで、M から △OAB に垂線を下ろすと、H から △OAB に下ろした垂線の長さ h の半分、1/2 * h になります。
したがって、対称性も考慮すると、
v = 1/3 * (△OPX + △OXZ + △OZA) * 2 * 1/2 * h = 1/3 * (△OPX + △OXZ + △OZA) * h
以上のことより、
v/V = 1/3 * (△OPX + △OXZ + △OZA) * h / 2 * △OAB * h = 1/6 * (△OPX + △OXZ + △OZA) / △OAB
となります。ここで、これらの三角形の角度のうち、六角すいの O の回りの角度は等しいので、
△OPX / △OAB = OP/OA * OX/OA
△OXZ / △OAB = OX/OA * OZ/OA
△OZA / △OAB = OZ/OA * OA/OA = OZ/OA
となり、
v/V = 1/6 * (OP/OA * OX/OA + OX/OA * OZ/OA + OZ/OA)
なので、六角すいの O からの切断面への辺の比が分かれば答えが求まります。
これを求めるには、再び対称性を使うと、次のようにして △OAD に帰着できます。
AD と BF, CE との交点を S, T とし、OS, OT と切断面との交点を U, V とします。
すると、対称性から明らかに、XY, CE は平行で、OX/OA = OX/OC = OV/OT、同様に OZ/OA = OU/OS です。
そこで、△OAD について考えます。すると、OP/PD = 1/2, AS : ST : TD = 1 : 2 : 1 なので、
メネラウスの定理を使って、
OV/VT * TA/AD * DP/PO = 1, OV/VT * 3/4 * 2/1 = 1, OV/VT = 2/3, OV/OT = 2/5 = OX/OA
OU/US * SA/AD * DP/PO = 1, OU/US * 1/4 * 2/1 = 1, OU/US = 2/1, OU/OS = 2/3 = OZ/OA
したがって、OP/OA = 1/3 も使って、
v/V = 1/6 * (1/3 * 2/5 + 2/5 * 2/3 + 2/3) = (1 + 2 + 5)/45 = 8/45
ネコの住む家　　 3月4日（金） 13:50:51　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24625
uchinyan
#24619：
「メネラウスの定理」って、算数ではないのですか？
確かに私が子供のころ、うーむ、40年以上前のこと、では、習いませんでしたが、
最近は小学生はみんな知っているのかと思っていました。
なにせ、いつぞやの「ピックの定理」と同様、算チャレで知って、使いこなせるようになったもので (^^;
ネコの住む家　　 3月3日（木） 17:06:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24626
uchinyan
#24625：補足
＞メネラウスの定理を使って、
念のために、メネラウスの定理を使わない解法。
T より AP に平行に線を引き、OD との交点を K とします。
PK : KD = AT : TD = 3 : 1 より、PK : PD = 3 : 4 で、OP : PK = 1/2 * PD : PK = 4/2 : 3 = 2 : 3
OV : VT = OP : PK = 2 : 3, OV/OT = 2/5 = OX/OA
S より AP に平行に線を引き、OD との交点を L とします。
PL : LD = AS : SD = 1 : 3 より、PL : PD = 1 : 4 で、OP : PL = 1/2 * PD : PL = 4/2 : 1 = 2 : 1
OU : US = OP : PL = 2 : 1, OU/OS = 2/3 = OZ/OA
以下同様。
ネコの住む家　　 3月3日（木） 18:24:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24627
小学名探偵
#24616 #24623　みなさまと同じ解き方でした。
　(2/5)^2*1/3*1/6 +(2/5)(2/3)*2/5*1/3+(2/5)(2/3)*2/3*1/3+(2/3)^2*1/1*1/6= 8/45
　　 3月3日（木） 18:48:54　　 　　24628
なか
１点から３方向に伸びる辺の長さがa,b,cである３角錐の体積が
abcの積に比例することを利用して、こんな風になります。
http://www3.sansu.org/tables/san0303_845.gif
北海道　　 3月3日（木） 20:57:14　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　24629
takaisa
真横から見てメネラウスの定理を４回使って
PX:XA=1:9,PF:FA=1:1,OF:FB=2:1,OX:XC=2:3
と求め、後は頂点Aを共有する４個の三角錐に分割して,体積をVとすると
2/6V*2/3*2/5+2/3V*2/5*1/3=8/45V

　　 3月4日（金） 0:15:25　　 　　24630
takaisa
底面に平行な断面積の関数を作り３通りに場合分けして定積分しても、
もちろんできますが算数じゃないからだめですね。
　　 3月3日（木） 21:14:16　　 　　24631
uchinyan
#24630；
なるほど。ただ、
＞2/6V*2/3*2+2/3V*2/5*1/3=8/45V
第一項は、2/6V*2/3*2/5 ですよね。

ネコの住む家　　 3月3日（木） 22:11:04　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24632
takaisa
#24632:
ありがとうございます。打ち間違えました。
　　 3月4日（金） 0:19:02　　 　　24633
n厨
メネラウスって面積関係から簡単に出せますよね？
というかメネラウス使うより面積で出したほうが僕の場合はやかったですが。
大体皆さんと同じです
OADについて切断平面は直線にしてAD//GOとなる点を取れば綺麗に比がでますね
OからのADの垂線の足をHとすれば軸OHとAGの交点JとするとOJ:Jh=1:1でこれまた綺麗というか意図的というか
あとはJまわりに体積を計算してやればでました

これはOADに射影することが今回のポイントですね

さ、家送ってもらお
　　 3月4日（金） 1:11:33　　 　　24634
水田X
ひたすら計算まちがえしまくりましたがメネ羅臼と射影でときました。今回の問題はなんで正解率が少ないのかちょっとわかりません。きのうは休んでびわこバレイスキー場いってきました。スキーの後はびわこのほとりの温泉。かみさんと楽しいひな祭りでした。
　　 3月4日（金） 11:32:08　　 　　24635
さいと散
高さ1/2 、真上から見た切断面の面積16/45 でやりました。
　　 3月4日（金） 12:44:37　　 　　24636
uchinyan
#24625：済みません。少し修正しました。
ネコの住む家　　 3月4日（金） 13:51:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24637
uchinyan
#24629, #24636：
なるほど。この方が簡単ですね :-)
ネコの住む家　　 3月4日（金） 13:13:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24638
tomh
座標計算で愚直に計算しました。 (^^;

さて、主催者のミキティさんが正解されてないので、
代わりに宣伝です。 (^.^)

『算トラ』が休止になって久しく、今年は『ミニトラ』も
開催されなかった状態ですが、ミキティさんがこんな企画を
立ち上げました。

　『数学バイアスロン』
　　　http://www9.plala.or.jp/sgmiki/math/mb1/index.html

只今、参加者を募集中です。
＃わたくしも"問題チェック係"として、企画に携わっています。

よろしくお願いします。 m(__)m
新潟市　　 3月4日（金） 19:12:53　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　24639
ミキティ
↓一応、正解しました。(^^;;
これくらいの解けないのかと言われるとアレなので、
久々に頑張って座標計算しました（
　　 3月4日（金） 22:39:34　　 HomePage:みきこむ　　24640
吉川　マサル
#24640
　これ、算チャレのTopページで宣伝しましょうか〜？
MacOS X　　 3月4日（金） 22:54:43　　 MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ　　24641
ひろぼうず
やっぱり、メネラウス・チェバ・ピック……の定理は算数ではないような。
と思うのは私だけでしょうか？
みなさんどうでしょう。
定理を利用すれば泥沼の計算になりそうな問題が、あるひらめきでパッ！と解ける（うまく表現できませんが）算数ってそんなものですよね。
　　 3月5日（土） 1:12:44　　 　　24642
あーく＠19
#24842
私もほぼ全ての問題を算数でやっていますが、
「この手法とこの定理は同値だろ」
と思ったら、リアルタイムでは定理を使います。
今回の場合だと、面積比とメネラウスですね。
算数はひらめきが一番の醍醐味ってのは分かりますが、今回のその計算部分は別に言ってしまえばどうでもいいような・・・
逆に「小学算数」という範疇だけで算数を抑えてしまうのはあんまり頂けない感じがします。
まぁー、最終的には「個人のこだわり」という話になるので何ともいえませんが（＾＾；）
　　 3月5日（土） 22:53:01　　 　　24643
あーく＠19
リンクナンバーが違いますね・・・
#24642 です。
　　 3月5日（土） 22:54:29　　 　　24644
水田X
今回の問題は１：２のとこでカットしたのできれいに射影の時との比が１／２になったので算数でとけたと自負してます。これがｒ：１−ｒだとベクトルとか使わないと比が求まらないはず。メネラウス使うくらいは許してね。ところで先週のは算数で解けなかったです。残念！
　　 3月6日（日） 17:35:48　　 　　24645
水田X
ちなみにOP:PD=r:1-rの時は射影の時との比率(*高さ　も含みます)がベクトルを駆使して2r/(1+r)になって答えは8r~2(r+1)/(r+3)(3r+1)になりました。検算のため今回のケースr=1/3を代入したら8/45になったので正しいと思います。大人のための計算ドリルじゃないけどいいボケ防止になりました！
　　 3月6日（日） 22:31:22　　 　　24646
uchinyan
#24645及び#24646：
？　私の解法#24625及び#24627では、特に問題なく算数の範囲で、OP：PD = r：(1-r) に拡張できますが。
気になさっている部分、私の解法では、OP：PN：ND 及び OM：OH は、同じロジックで、
OP：PN：ND = 2r：(1-r)：(1-r)、OM：OH = 2r：(r+1) に変わります。
もちろん結果は、同じになって、v/V = 8r^2(r+1)/(r+3)(3r+1) です。
私の解法で必要なのは、底面が正六角形であること、切断面が AP に関して底面に水平な(左右に傾いていない)こと、です。
他の解法でも、状況は同じなのではないのかな？
ネコの住む家　　 3月7日（月） 11:19:49　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24647
水田X
uchinyanさま　わたしのやりかたはn厨さんとかなかさんと同じだと思います。でも算数でできるんだ。比がｒでも。まあぼくはそれが気づかなかったおかげでベクトルでの面積の公式を自分で導いたりいい頭の体操になったので怪我の功名のようなものです。これからもご指導よろしくお願いします。
　　 3月7日（月） 13:47:06　　 　　24648
トトロ＠Ｎ
ちょっと忙しくて忘れたフリをしてました。
昼間、会議中の眠気覚ましに考えて解けました。
辺の比を面積比から求めて６つの合同な三角錐で考えました。
三角錘１つの体積を１とすると
辺の比は2：1、2：3、1：2だから
（1×2/3×1/2×2＋2/3×2/5×1/2×2＋2/5×1/3×1/2×2）÷6＝8/45
兵庫県明石市　　 3月8日（火） 2:26:05　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　24649
uchinyan
#24647：
＞私の解法で必要なのは、底面が正六角形であること、切断面が AP に関して底面に水平な(左右に傾いていない)こと、です。
ここは、
＜私の解法で必要なのは、底面が正六角形の正六角すいであること、
切断面が AP に関して底面に水平な(左右に傾いていない)こと、です。 ＞
の方が正確ですね。修正しておきます。
なお、もっと拡張できるかもしれませんが、大変そうなので止めておきます (^^;
#24642及び#24643：
何が算数か、は、考え出すとよく分かりません。ただ、
＞算数はひらめきが一番の醍醐味ってのは分かりますが、今回のその計算部分は別に言ってしまえばどうでもいいような・・・
＞逆に「小学算数」という範疇だけで算数を抑えてしまうのはあんまり頂けない感じがします。
ここらは、賛成です。
中学以上の知識、場合によっては大学及び大学院？レベル、を使えば解けてしまうものでも、
ちょっとした発想の転換でより単純な仕掛けで解けるという解法を見つけるのは、楽しいです。
なかなかスマートな解法には届かないのが情けない私ですが、そんな解法を見つけたいと思っています。
特に掲示板を読むと、いろんな方のいろんな発想を知ることができて、とっても楽しいです。
ネコの住む家　　 3月8日（火） 16:59:30　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24650
アヒーのおじさん
かなり時間が掛かってしまった...
でも解けて良かった...（苦笑
解法はあーく＠19様と同じであります（＾＾；
アンドロメダ大星雲　　 3月8日（火） 20:15:25　　 HomePage:正体不明　　24651
tomh
#24641

どうやら、私が広報係のようなので… (^^;

> これ、算チャレのTopページで宣伝しましょうか〜？

マサルさん、よろしくお願いします。 m(__)m
新潟市　　 3月8日（火） 21:39:01　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　24652