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N.Nishi

前回はギブアップ。考え方は合っていたのに・・・今回はチャレンジ系で培った知識が活かせました。７×５－(７＋５)＝２３

　　 3月17日（木） 0:08:04　　　　24701

姉小路

7と5の組合せで出来る数を書き出していきました。
5,7,10,14,15,17,19,20,21,22,24,25,26,27……（後は全て出来る）
よって、23。

算数の街　　 3月17日（木） 0:19:44　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　24702

みかん

風邪が治りかけでの参加はきつい…易しい問題で助かりました。

５と７をどう組み合わせてもできない数を出せ、ってことですね。
１から公倍数の３５までを表にして、７ｘ・７＋５ｙ、１４＋５ｙ…を
順に消しこんでいきました。

　　 3月17日（木） 0:08:46　　　　24703

N.Nishi

前回はギブアップ。考え方は合っていたのに・・・今回はチャレンジ系で培った知識が活かせました。７×５－(７＋５)＝２３

　　 3月17日（木） 0:09:18　　　　24704

ひろぼうず

中学入試では有名な切手問題ですね。
５×７－(５＋７)＝２３と求めました。
（子どもたちは表を書いて求めるのでしょうが・・・）

　　 3月17日（木） 0:09:39　　　　24705

tomh

aとbが互いに素のとき、ma+nbで書けない
最大の整数は、

　m,n＞0 のときは、ab.
　m,n≧0 のときは、ab-a-b.

でしたね。

参考：
・算チャレQ44
・「みっちの隠れ家」投稿問題第14回　http://micci.sansu.org/

新潟市　　 3月17日（木） 0:17:04　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　24706

あまちゅあごるふぁ～まさる

姉小路さんへ・・・
１９が抜けてますよ・・・

　　 3月17日（木） 0:10:45　　　　24707

きょろ文

お久しぶりです
僕のいない間に図形出題って...
というより1分切るって…
表を書くのに1分かかるのに…
それとも公式かなぁ
m*n-(m+n)
かな？

√2の隣　　 3月17日（木） 0:11:12　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　24708

はなう

Σ(￣Д￣|||)30秒後くらいにアクセスしたらもうtaroさん１位

マサルさんは振る舞うだけでチョコを食べれないのね。。。(ノ_ <。)　

とーきょ　　 3月17日（木） 0:11:57　　 HomePage:http://hanau.daa.jp/blog2/　　24709

あーく＠初心

仕事にかまけていたら算チャレの存在を忘れていた・・・（阿呆

とき方の概要はtomhさんの書いたとおりです。算数で証明はできるのだろうか？

　　 3月17日（木） 0:15:52　　　　24710

DrK

今回は、最小公倍数に気づけば楽な問題です。
5か7に注目して、余りの数を1づつ増やして、もう一方の数字との組み合わせで実現できるかどうかを考えれば答えは決まる。
私は、35から1づつ減らしていき、答えを得ました。

今は楽園かな?違うな。　　 3月17日（木） 0:15:58　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　24711

ひろぼうず

５×７－(５＋７)を、小学生にもわかりやすく説明できるのでしょうか？
現在研究中です。

　　 3月17日（木） 0:16:49　　　　24712

アヒーのおじさん

#24705
自分の無知ぶりにちょっとショック
ゆ...有名な問題だったのか...（＾＾；

少し時間をおいて更新してみたら正解者の表がいっぱいだったのでかなり焦りました（＾＾；
最終的な解法はDrK様と同じです（＾＾；

アンドロメダ大星雲　　 3月17日（木） 0:20:18　　 HomePage:正体不明　　24713

馬渕の算数星人

ひろぼうずさんに負けたあ・・・。出遅れ失敗…。こんなときしか勝てないのにい…。これって奥深いですよねえ…。

　　 3月17日（木） 0:20:21　　　　24714

姉小路

＞あまちゅあごるふぁ～まさるさん
有り難うゴザイマス。訂正しておきました（^^;

算数の街　　 3月17日（木） 0:21:26　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　24715

吉川＠京ポン

今回のは昔の問題の焼き直しでした。先週が難しかったので…。
例によって帰宅途中でして、更新は１時ごろになりそうです。m(_ _)m

　　 3月17日（木） 0:22:29　　　　24716

馬渕の算数星人

ひろぼうずさんに負けたあ・・・。出遅れ失敗…。こんなときしか勝てないのにい…。これって奥深いですよねえ…。

　　 3月17日（木） 0:23:07　　　　24717

馬渕の算数星人

ひろぼうずさんに負けたあ・・・。出遅れ失敗…。こんなときしか勝てないのにい…。これって奥深いですよねえ…。

　　 3月17日（木） 0:23:13　　　　24718

nakakun

あのー、これって「１個ずつ配る」って言う注釈が必要では？
４６個は作れるのだから・・・。

　　 3月17日（木） 0:28:12　　　　24719

仮面ランナーサブスリー

ひとり１個、ということだったんですね。
今回はなかなか題意を見抜けませんでした。

　　 3月17日（木） 0:30:13　　　　24720

5,7,10,12・・・・・22,24,25,26とひたすら書きました。

　　 3月17日（木） 0:32:01　　　　24721

仮面ランナーサブスリー

ひとり１個、ということだったんですね。
今回はなかなか題意を見抜けませんでした。

　　 3月17日（木） 0:33:01　　　　24722

仮面ランナーサブスリー

nakakunさんとコメントとかぶった上に二重カキコ...消せません

　　 3月17日（木） 0:37:30　　　　24723

きょろ文

あ　僕は
1～35まで横7行縦5段の表を書いて、
5の倍数の下にある数字を消していきました

ねむいよー

√2の隣　　 3月17日（木） 0:37:42　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　24724

nakakun

「１個」はやはり不要です。明らかですよね。失礼しました。

日本　　 3月17日（木） 0:41:18　　　　24725

仮面ランナーサブスリー

細かいことを言うと、

「ひとり１個」を仮定しなければ解が存在しなくなる
↓
解が存在しないような問題は出題しないはず
↓
よって「ひとり１個」に決まっている

...という三段論法ですよね。

私も、問題文を修正すべきと主張する意図はありません。
こんな単純なことに気づけなかった自分に残念！（それだけ）
お目汚し失礼いたしました。

　　 3月17日（木） 0:50:37　　　　24726

n厨

7x+5yの下一桁について
0124556789は生成できるが3はできないので最高は23

余談ですが知り合いの家からいつもPCを打ってます。県を越えてここまで来るのは正直しんどいorz
ではまた

　　 3月17日（木） 0:58:07　　　　24727

n厨

20以上でが抜けてました

　　 3月17日（木） 1:09:42　　　　24728

エルク

0=0+0 7=5+2 14=10+4 21=20+1 28=25+3 を考えると
５で割ったあまりが同じものを上から探して必要に応じて５を足していく。
この方法で作れない(可能性がある)数は
上の数から５を引いていったものだけでして・・・
結局作れない中で一番大きいのは　
２８－５=２３が実際に作れないのでこれが正解ですね。

魔法の国　　 3月17日（木） 2:00:58　　 HomePage:迷いの森　　24729

ゴンとも

今回の問題はあれだなとわかったんですがプログラムでやるも(練習です。)
数字が大きさ順に並ばず保留。m*n-(m+n) となる証明も表からヒント
を得た証明を見ました。では。

愛知県豊川市　　 3月17日（木） 2:06:17　　 MAIL:ｆｔｔnm528@ybb.ne.jp 　　24730

Revin

7の倍数のうち・・・
1の位　最小の数
0,5　　5個入りでまかなえるので考える必要なし
1,6　　21
2,7　　7
3,8　　28
4,9　　14

上記の数字は7の倍数なので当然チョコをまかなえる
末尾の数字をもとに表から最小の数を取得した時、それより大きいなら5nを加えることでやっぱりまかなえる
つまり上記の表の最小の数それぞれから5を引いて、その中で最大の数が答えになる
よって23！
という考えで出しましたあ

　　 3月17日（木） 4:20:07　　　　24731

kasama

おはようございます。まぁ、最大値は1000以下だろう？って勝手に考えてプログラムにやらせました(^_^;)いい加減なやり方だぁ～

出先　　 3月17日（木） 9:21:17　　　　24732

トトロ＠Ｎ

#24712
私も小学生にうまく説明できません。
昨夜は風邪を引いて早くやすみました。

兵庫県明石市　　 3月17日（木） 10:40:49　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　24733

ハラギャーテイ

おはようございます。
matlabで解きました。

老化のためか問題を解くのが面倒となっています。
解けそうだが、考える気がしないという状態に
なっています。

北九州　　 3月17日（木） 11:08:17　　 HomePage:信号処理に挑戦　　24734

uchinyan

はい、こんにちは。(ちょっと修正しました。)
今回は比較的容易でしたが、算数の解法に少し手こずりました。
一応、算数っぽい解法と、数学っぽい解法を、書いておきます。しかし、まだ、算数としてはこなれてないですね (^^;

(解法１)
題意から、パーティに集まった人の人数は、5の倍数と7の倍数を加えて表せない最大の数を求めていることになります。
そこで、まず、条件「5の倍数と7の倍数を加えて表せる数」について考えて見ます。
一般に、数を 7 で割ると 0 ～ 6 の余りが生じますが、今は、5の倍数と7の倍数を加えて表せる数を考えるので、
余りを除いた7の倍数の一部を等しい「5の倍数とその余り」に置き換えて、7 で割った余り 0 ～ 6 と合わせて5の倍数になればいいわけです。
7 = 5 * 1 + 2 なので、この余り 2 がポイントになります。この 2 と 7 で割った余り 0 ～ 6 とを組み合わせて、5の倍数を作ります。
実際に調べると、
０）7 で割った余りが 0 の場合：7の倍数なので、5の倍数は 0 として、常に条件を満たします。
１）7 で割った余りが 1 の場合：2 * 2 + 1 = 5 より、二つの 7 を 5+2 に置き換えると5の倍数が得られて、条件を満たします。
この場合の最小の数は、7 * 2 + 1 = 15 です。つまりこれ以上の１）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。
２）7 で割った余りが 2 の場合：2 * 4 + 2 = 10 より、四つの 7 を 5+2 に置き換えると5の倍数が得られて、条件を満たします。
この場合の最小の数は、7 * 4 + 2 = 30 です。つまりこれ以上の２）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。
３）7 で割った余りが 3 の場合：2 * 1 + 3 = 5 より、一つの 7 を 5+2 に置き換えると5の倍数が得られて、条件を満たします。
この場合の最小の数は、7 * 1 + 3 = 10 です。つまりこれ以上の３）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。
４）7 で割った余りが 4 の場合：2 * 3 + 4 = 10 より、三つの 7 を 5+2 に置き換えると5の倍数が得られて、条件を満たします。
この場合の最小の数は、7 * 3 + 4 = 25 です。つまりこれ以上の４）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。
５）7 で割った余りが 5 の場合：明らかに、7の倍数と5の倍数との和になっているので、常に条件を満たします。
６）7 で割った余りが 6 の場合：6 = 5 * 1 + 1 なので、１）型に帰着し、１）型と +5 だけズレます。
この場合の最小の数は、１）型の最小 15 に 5 を加えた 20 です。つまりこれ以上の６）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。
以上のことから、条件を満たさない、「5の倍数と7の倍数を加えて表せない数」は、
０）型：なし。
１）型：15 - 7 = 8 以下。
２）型：30 - 7 = 23 以下。
３）型：10 - 7 = 3 以下。
４）型：25 - 7 = 18 以下。
５）型：なし。
６）型：20 - 7 = 13 以下。
となり、今回の問題の題意を満たす数は、最大で 23 となり、答えは 23 人になります。

(解法２)
要するに、n を自然数としたときに、5x + 7y = n が 0 以上の整数解 x, y をもたないような最大の n を求めることになります。
よく知られたように、この解は、t を整数として、x = 3n-7t, y = -2n+5t と書けます。
したがって、これらの x, y が 0 以上の整数にならない、
つまり、2n/5 <= t <= 3n/7 となる整数 t が存在しない最大の n を求めればいいわけです。
3n/7 - 2n/5 = n/35 なので、明らかに、n >= 35 の場合には、整数の t が少なくとも一つあります。
n < 34 では、0 < 3n/7 - 2n/5 < 1 なので、
3n/7 の整数部分 [3n/7] が 2n/5 の整数部分 [2n/5] より大きくないと t は存在しません。
n を 34 から一つずつ小さくして調べていくと、
[3n/7] > [2n/5] for n = 34, 33, ..., 24, [3n/7] = [2n/5] = 9 for n = 23, ...
つまり、n = 23 で、初めて解がなくなります。したがって、最大の人数は、23 人になります。

ネコの住む家　　 3月17日（木） 16:59:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24735

uchinyan

#24705：
なるほど。有名な問題なのですか．．．
#24706：
＞aとbが互いに素のとき、ma+nbで書けない最大の整数は、
＞　m,n＞0 のときは、ab.
＞　m,n≧0 のときは、ab-a-b.
＞でしたね。
きれいな結果ですねぇ。
#24731, #24729：
なるほど。私の#24735の(解法１)と同種と思いますが、より算数らしい感じがして、いいですね。
これらは、一般化もできそうな。
7 を a, 5 を b, a > b で、a, b は互いに素、として、一般に、数を b で割った余りを r = 0, ..., b-1 とします。
a と b は互いに素なので、a の倍数を b で割った余りには、すべての r が出現します。
今、0 以上の数で、b で割った余りが r の数を c、その r を余りにもつ a の倍数の最小を c0 とすると、
c = b * m + r、c0 = a * n0 = b * m0 + r、m >= m0 なので、c = c0 + b * (m - m0) = a * n0 + b * (m - m0)
となり、m - m0 >= 0 ならば、c は a の倍数と b の倍数の和で書けます。
そこで、c0 の r について見た最大を c0_max とすると、c0_max - r は、必ず、他の c0 で実現されているので、
c0_max から b を引いたものが、a の倍数と b の倍数の和で書けない最大の数になります。
ここで、今は 0 を許しているので、r = 0 の場合の c0 は、a * b ではなくて、0 になります。
つまり、c0_max は、a * (b-1) = a * b - a ですね。したがって、求める数は、a * b - (a + b)。
もし、対象とする数を pa+qb, p > 0, q > 0 に限ったら、#24706の最初の場合、n0 > 0, m > m0 でなければならず、
m = m0 の c0_max が求める数で、r = 0 の c0 = c0_max = a * b です。

ネコの住む家　　 3月17日（木） 17:20:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24736

ろろ

http://www1.ttcn.ne.jp/~roro/santyare1.GIF
のように５列のマス目に１から数字を書き込みます。
５の列の下の数値は５の倍数になるので必ず作ることができるので水色で塗りつぶします。
次に７の列の７から下は７に５を順に足していくとできる数値なので水色で塗りつぶします。
同様にピンクで示す７の倍数にそれぞれ順に５を足していくとその列の７の倍数から下の数値となるので水色で塗りつぶします。
塗られていない最大は２３になります。
最小公倍数になるまで７の倍数は同じ列にくることはありません。
また最小公倍数になるまでに必ず全ての列が埋まります。
最後に残った列は最小公倍数から７を引いた値の列です。
３５－７＝２８
この列は最後まで塗りつぶされなかった列なのでこの数値の一つ上の行にある数値が作ることのできない最大値となり
２８－５＝２３が答えとなります。
これは
mxn-(m+n)を意味し、互いに素の場合ｍ列のマス目に順に数字を書き込み
ｎの倍数を塗りつぶしていくと最小公倍数になるまで必ず違う列にｎの倍数は存在し、
最後に残った列は　最小公倍数　ｍｘｎ　から　ｎ　を引いた値のある列になり、
その数値の１行上の数値はさらに　ｍ　を引いた値となります。

　　 3月17日（木） 17:04:16　　　　24737

uchinyan

#24737：なるほど。
Revinさんの#24731、エルクさんの#24729、私の#24736などと等価だと思いますが、すごく分かりやすいですね。
これならば、普通の小学生にも分かりそうな気がします。
なお、行と列とを入れ替えた感じなのが、きょろ文さんの#24724、私の#24735になるのかな？

ネコの住む家　　 3月17日（木） 18:06:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　24738

しゅ

5の倍数の人数なら当然配れることから7の倍数で5の倍数+1,+2,+3,+4を作ることを考える。すると+3が7*3=28で一番数字がでかいことがわかる。だから5を引いて23になる。(算数的な解法)

　　 3月17日（木） 21:42:03　　　　24739

こてつマニア

Revinさんに同じ。

　　 3月18日（金） 10:10:30　　 MAIL:katsuya.tokuno@mbk.nifty.com 　　24740

さいと散

a*x+byであらわす事を考えた。a=2*n+1 ,b=a+2 として　1=a(n+1)-b*n=b(n+1)-a(n+2) から、p*n+q*n以上なら可能で、a*n+b*n-1=a^2-2では不可 ,5^2-2=23。５＊７に数をならべて篩にかけたほうが早いのはわかってたんですけど。

　　 3月18日（金） 12:43:26　　　　24741

ひろぼうず

みなさんの解答、たいへん参考になります。
自分ももっと研究しなければ。
あっと、それから『有名な問題』だったのは数年前のことです。
最近はほとんど出題されなくなりました。
（それだけ有名になったともいえるんでしょうが・・・）

　　 3月19日（土） 2:25:11　　　　24742

等速人

第４４回の問題
　算チャレ共和国は変な国で、流通している貨幣は１７円玉と１８円玉だけであるそうです。（^_^;
　このとき、ぴったりで払うことのできない金額のうち、最大の金額を求めてください。

　　 3月19日（土） 10:56:30　　　　24743

kobayashi

♯２４７４３　たぶん２７１円でしょう　払うことができる金額が連続で１７個出てくる所以降はすべて払う事ができるので連続する１７個の金額(２７２円から２８８円）のひとつ手前の２７１円が答え　　と思うんですが

　　 3月20日（日） 2:40:23　　　　24744

kobayashi

♯２４７４３　払えない金額が結構あるんで１７円玉と１８円玉は貨幣失格ではないでしょうか

　　 3月20日（日） 2:49:15　　　　24745

Revin

271円ですね
#24737のろろさんの表の横の列を17個にすると、紫に塗る18の倍数部分が綺麗にナナメに並んで、塗れない最大部分は271になりますね
っていうか１円玉作れよって感じですね

　　 3月20日（日） 14:52:53　　　　24746

求める数は、5a+7b+c（a,bは0以上の整数、cは1から4の整数のどれか）と表される必要がある。もし、c=1だと、
5a+7b+1=5(a+3)+7(b-2)
あるいは、
5a+7b+1=5(a-4)+7(b+3)
と変形できるが、これらが、
5A+7B（A,Bは0以上の整数）の形になってはいけない。
ゆえに、b-2<0,a-4<0
であり、これを満たす最大のa,bはそれぞれ3と1である。
したがって、この場合、条件を満たす最大の整数は、
5*3+7*1+1=23
以後、c=2,3,4で同じことをすると、すべて23になることが分かる。
以上です。う～ん、面倒だし、微妙か。

5a+7b+1=5(a+3)+7(b-2)の変形は、5aを7で割ったときに余りが1になる最小のaを考えています。この場合、そのようなaは3が最小なので、5*3=7*2+1より、上の変形が成り立ちます。ここで、aが最小のものをとるのがミソです。もしそれがないと、5a+7b+1=5(a+10)+7(b-7)のような変形も可能ですからね。b-7<0は、b-2<0に比べて弱いので、これではいけない。

以上、泥臭いけれどとっつきやすい（と思う）解法でした。もっとエレガントに解きたいですね～。

　　 3月20日（日） 18:00:01　　　　24747

豪豪豪

４４２回　　
下１桁が１～９の最小はどう表現できるか考えてみて、
１・・・７＋７＋７＝２１
２・・・５＋７＝１２
３・・・５＋７＋７＋７＋７＝３３
４・・・７＋７＝１４
５・・・５
６・・・５＋７＋７＋７＝２６
７・・・７
８・・・７＋７＋７＋７＝２８
９・・・５＋７＋７＝１９

で、１０の位は５＋５＝１０でどうとでも表現できるので、
それぞれの桁の１０の位が１つ下だと表現できない。
表から最大をみてみて、３が一番大きそうだなぁーというかんじ。
一発で解けましたが、エレガントな解き方じゃないでしょうねぇ。（＾＾；

　　 3月21日（月） 1:40:55　　　　24748

Wing

５個入りのケーキでは、５、１０、１５・・・しか買えない。つまり人数を５で割った場合、その余りは７個入りで補うしかない。
１余る…7*3箱＝21個より７個入りは最低でも３箱→よって1,6,11,16人は不可
２余る…7*1箱＝７個より７個入りは最低でも１箱→よって2人は不可
３余る…7*4箱＝28個より７個入りは最低でも４箱→よって3,8,13,18,23人は不可
４余る…7*2箱＝14個より７個入りは最低でも２箱→よって4,9人は不可
０余る…どの人数でもぴったり買える。

ゆえに最大で23人。
どうでしょう？

　　 3月22日（火） 2:53:00　　　　24749

Wing

　　 3月22日（火） 2:54:56　　　　24750