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Taro

今回は第450回だったとは・・・・
解いたあとに気づきました。

じたく・・・帰宅直後　　 5月12日（木） 0:06:19　　　　25022

吉川　マサル

久々に更新時刻に帰宅しました。(^^;;

　ま、今回は記念ってことで...。はて、算数で解いた方はどのくらいいらっしゃるだろう？

PowerBook G4　　 5月12日（木） 0:06:32　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25023

吉川　マサル

#25022
　マジっすか！

PowerBook G4　　 5月12日（木） 0:06:56　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25024

あ～く＠１９

僕も解いた後に気づきました。。。
なんで「３０」なんだろう、と思ったら。。。

想像してみて♪　　 5月12日（木） 0:07:57　　　　25025

みかん

３０ｃｍと不自然に長いので、ひょっとしたらと思って４５０で認証したら
大当たりでした。答えだけを要求する試験ではこういうカンも大事、ということで。

　　 5月12日（木） 0:09:56　　　　25026

トトロ＠Ｎ

#25022 本当だ！

兵庫県明石市　　 5月12日（木） 0:08:53　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25027

吉川　マサル

こ、この問題、簡単ですかねぇ？いえ、三角比使えば楽勝ではあるんですけど、算数で解くのは結構しんどいと思ったのですが...。一応（アイデアのもとになった問題はありますが）自作した問題なので、「抜け道」が存在するのに私が気付いていないだけかも...。(^^;;

PowerBook G4　　 5月12日（木） 0:11:08　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25028

N.Nishi

みかんさんと同じで山勘一発でした。私には珍しい。

　　 5月12日（木） 0:14:06　　　　25029

taku

三角比です。山勘で入れてれば・・・後の祭りです。

　　 5月12日（木） 0:17:13　　 MAIL:takuo@kcv.ne.jp 　　25031

姉小路

ADの延長線上に角BFAが直角となる点Fをとると
30°、60°、90°の三角形と直角二等辺三角形が出来るので、
そこから三角比でゴニョゴニョと解きました（汗

算数の街　　 5月12日（木） 0:23:06　　 MAIL:pctakada@mail.goo.ne.jp HomePage:高田の呟き　　25032

nakakun

ADの延長をＤＸ＝ＢＤにとると求める面積は、５角形ＡＢＸＤＣ。△ＤＢＸは正三角形。ＢからＤＸに垂線を下ろし、交点をＹとすると△ＡＹＢは直角二等辺三角形になり、面積は２２５。５角形ＡＢＸＤＣの面積はこの２倍。
したがって、４５０となります。

日本　　 5月12日（木） 0:25:52　　　　25033

アヒーのおじさん

とりあえず下半分が450-無理数になるので、上半分で無理数が消えたりするのかなぁと...
つまり半分勘のようなものです（＾＾；

9点円の中心　　 5月12日（木） 0:27:50　　 HomePage:正体不明　　25034

吉川　マサル

とりあえずミスはないかな...ホッ。

PowerBook G4　　 5月12日（木） 0:32:18　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25035

kobayashi

AEが１０×√６という半端な数値だったので間違ってると思い計算しませんでしたが再度やってみると後で相殺されて無くなりました　３０√２×１５√２×１/２＝４５０でした

　　 5月12日（木） 0:33:51　　　　25036

tomh

いつもどおり、三角関数を使いました。 (^^;

ということで、450回おめでとうございま～す!!
　(*^^)//。・:*:・°'★,。・:*:♪・°'☆ パチパチ

新潟市　　 5月12日（木） 0:37:24　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　25037

仮面ランナーサブスリー

私としては珍しく、一発正解でした。
直線AD上に点P,Qを以下の条件を満たすようにとる。
直線上でA,D,P,Qの順に並ぶ
DP=AE=BD=CD
PQ=AD
等積移動により△BAE=△BDP、△ADC=△BPQ(=△BAD)なので
四角形AEBC=△BAE+△BAD+△ADC=△BDP+△BDP+△BPQ=△BAQ.
角度に注目すると△BAQは直角二等辺三角形と分かり、面積は30*30/2=450。

#25022
今回は気がついていませんでした。
第444回のときは何も考えずに「４」を送って見事玉砕しましたが...

寝床　　 5月12日（木） 0:54:56　　　　25038

ひろぼうず

１辺が３０cmの正方形と１辺を共有する正三角形を、正方形の内側にかいて、（この図形は算数でよく出てくるので・・・）
正方形内にできる『１５度、１５度、１５０度の三角形』と『正三角形』の和になるにちがいない！と思い、正方形の半分で４５０としました。
ほとんど勘です。トホホ。。。
今からきちんと考えます。

　　 5月12日（木） 0:51:00　　　　25039

ろろ

http://www1.ttcn.ne.jp/~roro/toi450.GIF
点Ｂより長さ３０ｃｍで辺ＡＢに垂直になるように点Ｆをとり△ＢＦＧが△ＢＡＤと合同になるような点Ｇをとる。
まずＢＤ＝ＤＣより△ＡＢＤと△ＡＤＣの面積は等しい。
△ＢＦＧが△ＢＡＤと合同より∠ＦＢＧ＝１５°
∠ＧＢＤ＝６０°
△ＢＧＤは正三角形
ＧＤ＝ＡＥとなり
△ＢＧＤと△ＢＡＥの面積は等しい四角形ＡＥＢＣの面積は
△ＡＢＦの面積と等しい。
よって
３０ｘ３０÷２＝４５０

　　 5月12日（木） 0:56:22　　　　25041

ゴンとも

いつものように何も考えずに座標におくも三角形の面積を足す段階で
数式処理でexpandしてもxmaxima5.9.1もmupad light 2.5.3も450
とならず紙で手計算で450と計算しました。(floatではmupadでなりました。)
数式処理では2重根号はexpand一発では
はずれない事がわかりました。以下自分なりの解答です。
先ず、題意の図をB(0,0),A(30,0)とすると
直線BC:y=(sqrt(3)-2)*x
直線AE:y=x-30
この2直線の交点は連立方程式を解いて
D(-30/(sqrt(3)-3),-30*(sqrt(3)-2)/(sqrt(3)-3))・・・・・・①
これとB(0,0)との距離は
BD=AE=DC=sqrt((-30/(sqrt(3)-3))^2+(-30*(sqrt(3)-2)/(sqrt(3)-3))^2)
=sqrt(600)=10*sqrt(6)・・・・・・②
①とA(30,0)との距離は
AD=sqrt((-30/(sqrt(3)-3)-30)^2+(-30*(sqrt(3)-2)/(sqrt(3)-3))^2)
=10*sqrt(33-19*sqrt(3))*sqrt(3)/(sqrt(2-sqrt(3))*sqrt(3-sqrt(3)))・・・・・・③
ここで△AEBの面積は②と題意でAB=30とより
△AEB=30*10*sqrt(6)*sqrt(2)/4=150*sqrt(3)・・・・・・④
また△ABD=△ADCの面積は③と題意でAB=30とより
△ABD=30*10*sqrt(33-19*sqrt(3))*sqrt(3)*sqrt(2)/(4*(sqrt(2-sqrt(3))*sqrt(3-sqrt(3))))
=75*sqrt(33-19*sqrt(3))*sqrt(3)*sqrt(2)/(sqrt(2-sqrt(3))*sqrt(3-sqrt(3)))
これを2倍して④と足すと
□AEBC=150*(sqrt(3)+sqrt(33-19*sqrt(3))*sqrt(3)*sqrt(2)/(sqrt(2-sqrt(3))*sqrt(3-sqrt(3))))
=150*(sqrt(3)*sqrt(9-5*sqrt(3))+sqrt(6)*sqrt(33-19*sqrt(3))/sqrt(9-5*sqrt(3)))
ここで分母子にsqrt(9+5*sqrt(3))を掛けて
□AEBC=150*(sqrt(3)*sqrt(6)+sqrt(6)*sqrt(33-19*sqrt(3))*sqrt(9+5*sqrt(3))/sqrt(6))
=150*(sqrt(3)+sqrt(33-19*sqrt(3))*sqrt(9+5*sqrt(3)))
=150*(sqrt(3)+sqrt(12-6*sqrt(3)))=150*(sqrt(3)+sqrt(6)*sqrt(2-sqrt(3)))・・・・・・⑤
ここでsqrt(2-sqrt(3))をsqrt(4-2*sqrt(3))/sqrt(2)として2重根号をはずすと
sqrt(2-sqrt(3))=sqrt(4-2*sqrt(3))/sqrt(2)=(sqrt(3)-1)/sqrt(2)より⑤は
□AEBC=150*(sqrt(3)+sqrt(6)*(sqrt(3)-1)/sqrt(2))=150*(sqrt(3)+sqrt(3)*(sqrt(3)-1))
=150*(sqrt(3)+3-sqrt(3))=150*3=450・・・・・・(答え)
答えを出してからああ450回で450が答えかと感動しました。
おまけに自分の順位も45位。今回もおおいに楽しめました。では。

豊川市　　 5月12日（木） 2:04:38　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　25042

呑ちゃん

４５０回で酒か？すげーすげー！
おめでとうございま酒！

酔っ払い天国　　 5月12日（木） 7:19:31　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPES　　25043

kasama

おはようございます。450回目だったんですね(*^_^*)おめでとうございます。
いつも通り、CADにやらせました。

出先　　 5月12日（木） 9:26:56　　　　25044

ハラギャーテイ

おはようございます。正弦定理でした。

北九州　　 5月12日（木） 10:55:11　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25045

数楽者

#25038、#25041ですね。
「ろろ」さんの図がわかりやすいです。

横浜　　 5月12日（木） 12:17:51　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　25046

uchinyan

はい、こんにちは。今日は、ちょっとさえない感じで、イマイチですが．．．
AD を D の方に延長して、その上に、B より垂線を下ろし、その足を H とします。
すると、∠BHD = 90度、∠BDH = 60度、∠DBH = 30度で、∠HBA = 15 + 30 = 45度です。また、BD = 2 * DH です。
BD = CD より、△ACD = △ABD、また、BD = AE より、△ABE = 1/2 * AE * BH = 2 * 1/2 * DH * BH = 2 * △DBH です。
そこで、□AEBC = △ABD + △ACD + △ABE より、□AEBC = 2 * (△ABD + △DBH) = 2 * △ABH です。
ところで、△ABH は、∠AHB = 90度、∠HAB = ∠HBA = 45度の、直角二等辺三角形なので、
△ABH = 1/2 * AB * (1/2 * AB) = 1/4 * AB * AB となり、
□AEBC = 2 * 1/4 * AB * AB = 1/2 * 30 * 30 = 450 cm^2
今回は、450回でしたね ^^; おめでとうございます ^^/

ネコの住む家　　 5月12日（木） 14:37:31　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25047

uchinyan

#25038、#25041などの解法、見事ですねぇ。
どこかに正三角形はありそうだなとは思っていました。もっとも、私の解法もその半分を使っていますが。

ネコの住む家　　 5月12日（木） 16:02:58　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25048

uchinyan

#25021：少なくとも、私は知りません。
30分ほど考えてみたものの分からず．．．うーむ．．．

ネコの住む家　　 5月12日（木） 13:29:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25049

吉川　マサル

#25049
　あ、やはり有名問題ではないってことでしょうかねぇ。＞#25021

　ちなみにちょっとしたヒントみたいなのはあったので私でも出来ましたが、それがなかったら絶対出来なかったっす。orz

PowerBook G4　　 5月12日（木） 18:25:08　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25050

M.Hossie

　こんばんにゃ。３ヶ月程ほったらかしてあった某雑誌の原稿も上げて編集部に送り、やっと時間が出来まして久し振りに解いています。それと、先日のオフは乙彼様でした。
　今週の問題は三角函数のいい練習になりました。言われてみれば４５０ですね。４５０回記念おめ。

　来週末は昨年と同じく下地空港の飛行機の touch and go 訓練を見に、JTA のバーゲンフェアを使って沖縄県の宮古島まで参ります。昨年はからっと晴れましたが、果たして来週は晴れてくれるのか心配です。
　また、７月のバーゲンフェアでは念願叶って与那国島行きのチケットを押さえることに成功しました。『Dr.コトー診療所』を見てからずっと憧れていた日本最西端の小さな島 (人口 1,600 人) へ有休取って出掛けます。ドラマのエンドロールで流れていた、主人公が自転車に乗って走り抜け、その様子を空撮でズームアウトしながら「銀の龍の背に乗ってー」ってのをやってみるのが旅行の唯一の目的です。しかし与那国空港は visual approach なので、ちょっとでも雲が掛かっていたら１日１便の飛行機はすぐに欠航になってしまいます。昨夏と同様、２日間現地で足止めを喰らって帰って来られなくなりそうな悪寒。

温泉地　　 5月12日（木） 20:40:16　　　　25051

ぷー太郎

450という答えに感動！笑
ろろさんの図がとてもわかりやすいと思います。

　　 5月13日（金） 10:25:55　　　　25052

スモークマン

最初、√3が残り撃沈。再度直角二等辺三角形から計算し直したら、消えた～！
でも、ろろさんの見たら感激しました。算数だけで解けるんですね～～

ところで、友人からの問題ですが、これって有名？
問題　会議に34カ国が参加した。各国より2名の代表（団長と副団長）が出席。出席者の何人かの間で握手がかわされたがどの人も自分の国の同伴者とは握手しなかった。Aは自分以外の67名に何回握手したかを尋ねた。驚くべき
ことに、67人のすべての回数が異なっていた。
さて、Aの同伴者は何人の人と握手しただろうか。

　　 5月13日（金） 22:51:23　　　　25053

吉川　マサル

>>25053
　確か算チャレの過去問にあるような気が。（原題は数学オリンピックの昔の問題だったかな？）

PowerBook G4　　 5月13日（金） 23:04:50　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25054

あ～く＠１９

#25053
1982年のIMOの問題ですよ。
k人と握手した人と66-k人と握手した人が同国の代表だってことがキーですね。

想像してみて♪　　 5月13日（金） 23:27:34　　　　25055

tomh

#25054
算チャレQ60ですね。

新潟市　　 5月14日（土） 0:03:59　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　25056

スモークマン

おはようございます。
みなさん知ってらっしゃるみたいでありがとうございます。
やっぱり有名問なんですね！
こうゆう問題を思いつくことがすごいと感心します。

金光　　 5月14日（土） 8:15:40　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25057

あする

初正解しました。

東京　　 5月14日（土） 15:18:12　　　　25058

uchinyan

(不完全な表現があったので、少し修正しました。)
(さらに、冗長な部分があったので修正しました。#25067を参照。)
#25021：何とか解けたようです。もっとも、証明に、穴があるかもしれませんが．．．
今回の問題とは全く関係ないので、概要だけ。
まず、個数は、(0,0), (1/6,1/2), (1/2,1), (5/6,1/2), (1,0) の 5 個です。
証明ですが．．．
まず、sin(πx) = sin(π(1 - x)) より、0 <= x <= 1/2 に絞られ、sin(πx) = cos(π(1/2 - x)) より、cos(πx) で考えても OK です。
x = m/n, m, n は互いに素、とすると、πx = π * m/n = 2π * m/2n で、2π/2n は、正2n角形の中心角になります。
そこで、z = cos(πx) + i * sin(πx) とおいて、複素平面上の原点を中心とし、半径 1 の単位円に内接する正2n角形を考えます。
これは、z^(2n) = 1 を満たします。そして、z~ を z の複素共役とすると、z + z~ = 2 * cos(πx) です。
したがって、z + z~ が有理数となる場合を考えます。
z^(2n) = 1 から、z + z~ の方程式を導くと、その係数は、最高次数は 1 で、すべて整数となります。
z + z~ が有理数となるには、この方程式が有理数の範囲で因数分解できる必要がありますが、
係数の関係から、実は、整数の範囲で可能なことが必要です。
このことと、単位円で 0 <= x <= 1/2 としたので 0 <= z + z~ <= 2 とから、z + z~ = 0, 1, 2 がいえます。
これから、cos で、(1/2,0), (1/3,1/2), (0,1)、sin で (0,0), (1/6,1/2), (1/2,1)、で、
0 <= x <= 1 では、(0,0), (1/6,1/2), (1/2,1), (5/6,1/2), (1,0) だけが解となります。
なお、解いてから気になって調べてみたのですが、大学レベルの整数論、代数的整数論？、の知識を使えば、容易に解けるそうです。
今の私にはよく分かりませんが、ちょっと勉強してみようかな。
類題として、「格子点上に頂点をもつような正多角形は正方形だけ。」というのがあるらしいです。
私は知りませんでしたが、これは、有名問題らしいです。皆さんは、ご存知ですか？

ネコの住む家　　 5月18日（水） 15:10:22　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25061

uchinyan

#25053：握手の問題、面白いですね。勉強になりました。

ネコの住む家　　 5月14日（土） 20:32:42　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25062

b4kumatyan

http://www10.plala.or.jp/kumatyan/sansu_kaito.gif

本質的にはろろさんのと同じですが。。。
ＣＥも３０ｃｍとなるのはあってますかなぁ？

　　 5月15日（日） 23:08:20　　　　25063

uchinyan

#25063：
＞ＣＥも３０ｃｍとなるのはあってますかなぁ？
三角関数で確認しましたが、大丈夫のようです。

なお、有理数点の問題などを考えていて書き込みが遅れましたが、似たような別解を考えていました。
ご参考までに、書いておきます。

A より DC に平行に、C より AD に平行に、それぞれ線を引き、その交点を F とし、C, E, F を結びます。
また、AB を A の方に延長して CE との交点を H とします。
DC//AF, AD//FC より、□ADCF は平行四辺形になり、AF = DC, FC = AD, ∠CFA = ∠ADC = 60度、∠DAF = 120度です。
△EAF において。
AE = CD = AF、∠EAF = 180 - ∠DAF = 180 - 120 = 60度なので、△EAF は正三角形です。
そこで、EF = AF = CD = BD、∠AEF = ∠EFA = 60度です。
△CEF, △ABD において。
EF = BD, FC = AD, ∠EFC = ∠EFA + ∠CFA = 60 + 60 = 120 = 180 - 60 = 180 - ∠ADC = ∠ADB なので、
△CEF≡△ABD です。そこで、CE = AB = 30 cm、∠FEC = ∠DBA = 15度になります。
△HEA において。
∠HEA = ∠FEA - ∠FEH = 60 - 15 = 45 = ∠HAE なので、△HEA は直角二等辺三角形で、BH⊥CE になります。
そこで、
□AEBC = △BCE - △ACE = 1/2 * CE * (BH - AH) = 1/2 * CE * AB = 1/2 * 30 * 30 = 450 cm^2

比較すると、
・ろろさんの解法は BD を一辺とする正三角形
・b4kumatyanさんの解法は CD を一辺とする正三角形
・この解法は AE を一辺とする正三角形
を、それぞれ利用しています。

ネコの住む家　　 5月16日（月） 11:50:05　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25064

Toru Fukatsu

#25061 いつもながら、すばらしい考察で感心して読ませてもらいました。少しだけ代数的整数なるもののことを勉強してみたので、理解不充分のところ多々ありますが、ひさしぶりに書き込んでみます。流れ的にはuchinyanさんと同じです。
代数方程式　
X^m+a1X^m-1+a2X^m-2+-------+am-1X+am=0 (a1,a2,-----,amは整数)
の根となるような数を、代数的整数と呼ぶと、
これは通常の整数（有理整数と呼ぶ）と似た性質をもっている。
１）代数的整数の和、差、積は代数的整数
２）代数的整数のうち有理数のものは有理整数のみ
ここでZ=cos(p/q)π+ i*sin(p/q)πとすれば（p、qは互いに素な有理整数）
ZはZ^(2q)-1=0の根であるから、代数的整数で、Zの共役複素数Z~も代数的整数、よってその和Z＋Z~=2cos(p/q)πも代数的整数で、これが有理数とすれば、有理整数であるから、-2,-1,0,1,2のどれかとなる。

　　 5月17日（火） 13:41:09　　 MAIL:tfuatsu@tth-japanpost.jp 　　25065

きょろ文

機会があって参上!!
携帯で見てはいたんだけれども答えが送れなかった

…
…
もうすぐ消えます

√2の隣　　 5月17日（火） 14:36:38　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　25066

uchinyan

#25065：Toru Fukatsuさん、#25061へのレスありがとうございます。
読ませて頂いて、#25061の
＞証明は略しますが、x = 1/n となる解をαとし、m を n と互いに素とすると、「αの実部が有理数」<=> 「α^m の実部が有理数」がいえます。
＞これは、「cos(π/n) が有理数」<=> 「cos(πm/n) が有理数」を意味します。
＞このことより、m/n の場合は、1/n から構成することができ、α+α~ = 2 * cos(π/n) の場合を考えれば十分です。
は、不要だな、と気付きました (^^;
私の場合、α、α+α~ に関して、
＞１）代数的整数の和、差、積は代数的整数
＞２）代数的整数のうち有理数のものは有理整数のみ
を、α+α~ の方程式を導くことで個別に証明しましたが、これは、z に関しても同様にできるので、1/n に限る必要はないです。訂正しておきます。
実は、ここで一番悩んでいたのですが．．．何で必要と思い込んでしまったのだろう．．．まだまだですね．．．

ネコの住む家　　 5月17日（火） 16:15:16　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25067

たくみそ

ずるしました・・・。
三角関数です・・・。

　　 5月17日（火） 22:04:38　　　　25068

小6(受験生)航空アニマル

算チャレをやったの5回目です。

　　 5月18日（水） 17:46:06　　　　25069