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長野 美光 |
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とりあえず、訂正モードから
Ａ〜Ｆ → Ａ〜Ｅ |
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はままつ
9月15日（木） 0:08:29
HomePage:ヨッシーの八方美人 25794 |
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あ〜く＠ジューク |
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五角形の中心をＯとでもすれば、あとは正三角形から△OABの蒼部分を切り取ったものをパズルみたいにくるっとひっくり返し、それを五つつなげる。
すると中心角60度半径6の扇形の完成〜 日が落ちる時間がだんだん早くなってきたのをしみじみと感じる今日この頃です。 |
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未完成の蜜柑星
9月15日（木） 0:10:53
MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 25795 |
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taku |
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あ〜く＠ジュークさんと同じ解法でした。
が、最初間違えて188.4を送ってしまいました。 |
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9月15日（木） 0:17:35
MAIL:takuo@kcv.ne.jp 25796 |
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CRYING DOLPHIN |
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むう〜 勘が当たってたみたい。。（
で、自分を納得させようとして作った図がこれ。。 http://www7a.biglobe.ne.jp/~cdcdcd/q468kashan.GIF |
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１年ピカチュウ組
9月15日（木） 0:52:19
HomePage:算数の限界ってどのくらい？ 25797 |
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なか |
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もたもた描いているうちに２番煎じになりましたが、せっかく描いたのでアップ。
http://www3.sansu.org/tables/san09151884.gif |
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北国
9月15日（木） 0:58:56
MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page 25798 |
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スモークマン |
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うまいこと消えて、結局６π＝18.84 で入れた〜
図形問題解けてうれしいな〜 地道に求めました。 正五角形の面積は、5(108/360)*6^2*π-5(1/6*6^2*π+(1/6*6^2*π-1/2*6*3√3))+真ん中の切り取られた面積 求める面積は、5*1/2*6*3√3-(正五角形の面積-真ん中の切り取られた面積)=60π-54π=6π えらい周りくどい計算だ。。。 |
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金光
9月15日（木） 4:36:50
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25799 |
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長野 美光 |
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では、私は３番煎じ。
http://yosshy.sansu.org/junk/san468_1.gif ブラウザで見ると、何でこんなに切り替え時間長いんだろう？ |
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はままつ
9月15日（木） 6:44:45
HomePage:ヨッシーの八方美人 25800 |
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和田 浩 |
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あまり、影響がないと思いますが、
※・・・「ピンク色の部分」とは、一辺が６cmの正三角形６つ分を表します。 となってますが、正三角形は5つですよね。 失礼しました。m(__)m |
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9月15日（木） 8:27:57
25801 |
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kasama |
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おはようございます。
答えは6πですね。今回もCADにやらせました(^_^;) |
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出先
9月15日（木） 9:35:16
25802 |
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uchinyan |
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はい、こんにちは。
最近は、諸般の事情で、リアルタイムどころか、朝に問題を見ることも難しくなってしまいました。 まぁ、その分、のんびりやってます ^^; 今回の問題は、図を書いてみれば、分かりますね。図がないと分かりづらいですが．．． まず、正五角形ABCDEの中心を O とします。 次に、A、B それぞれを中心に半径 AB = 6cm の円を書き、その正五角形ABCDE内の交点を F とします。 また、A から対辺 CD に垂線を下ろし、A を中心とした円との交点を G とします。 明らかに、△FAB は、△PAB などと合同の正三角形です。 すると、対称性などから、図の白い部分は、図形OFG の 2 * 5 = 10 倍になることが分かります。 さらに、図をにらんでいると、 (図形OFG) = (半径6cm中心角6度の扇形) - 1/2 * (△FAB - △OAB) △OAB = 1/5 * (正五角形ABCDE), △FAB = △PAB などが分かります。そこで、 (白い部分) = 10 * (図形OFG) = 10 * (半径6cm中心角6度の扇形) - (5 * △FAB - 5 * △OAB) = (半径6cm中心角60度の扇形) - (ピンクの部分) + (正五角形ABCDE) となり、 (水色の部分) = (正五角形ABCDE) - (白い部分) = (半径6cm中心角60度の扇形) - (ピンクの部分) なので、 ((水色の部分)と(ピンクの部分)の差) = (半径6cm中心角60度の扇形) = π * 6 * 6 * 1/6 = 6π = 6 * 3.14 = 18.84 cm^2 になります。 文字式まがいの解法で、算数としてはあまりよくないですね。 図をうまく書いて動かしたりすれば、もっとうまくいくと思いますが、どなたかがやっていると思うので．．．(^^; |
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ネコの住む家
9月15日（木） 12:50:59
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25803 |
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uchinyan |
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掲示板読みました。でも、今回は書き込みが少ない気が．．．
大体、皆さん、同じようですね。 なお、私の解法#25803は、最初から、CRYING DOLPHINさんの#25797の右側の図(の右半分)を元にしています。 そうそう、長野 美光さんの#25800、スゴイ！ |
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ネコの住む家
9月15日（木） 13:17:18
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25804 |
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kashi |
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> ※・・・「ピンク色の部分」とは、一辺が６cmの正三角形６つ分を表します。
> となってますが、正三角形は5つですよね。 最初、外側の正三角形を6つと勘違いして計算してて、 合ってるはずなのにおかしいなあ、と。5つなことに気づいたときは 自分のマヌケさ加減に唖然としたんですが・・・ ここの記述に騙されたんだな、やっと分かった（笑 |
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9月15日（木） 13:23:20
25805 |
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ハラギャーテイ |
| MATHEMATICAで強引に計算しました。 |
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北九州
9月15日（木） 13:29:47
HomePage:信号処理に挑戦 25806 |
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吉川 マサル |
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#25801,#25805
正三角形「５つ」が「６つ」になっていた件、訂正いたしました。ご指摘ありがとうございました。また、ご迷惑をおかけし、申し訳ありませんでした。 解法ですが、まぁ似たようなものだとは思いますが、私は http://www.sansu.org/toi468A.gif のような解法（色分けされた５つの部品が全部合同で、これらは、中心角４８°の扇形ー（中心角６０°の扇形ー正三角形））を想定していました。 |
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PowerBook G4
9月15日（木） 15:24:10
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 25807 |
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uchinyan |
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#25807：
あ、そうか。この方が簡単そうだなぁ。これは参りました ^^; |
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ネコの住む家
9月15日（木） 17:27:48
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25808 |
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uchinyan |
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仮面ランナーサブスリーさん、スモークマンさんへ：
＞★3次元のとき、 > 表面(球面)の表面積が１の球がある。球面上に3つの異なる点 > をランダムに選ぶ。これらの3点のうち2点ずつを測地線(大円) > (ただし短い方)で結ぶと、3本の測地線で囲まれた領域(曲面三角形)ができる。 > この領域の表面積の期待値はいくらか。 ですが、十進BASICで乱数を発生させてシミュレーションしてみたところ、"回数: 期待値"で、 100000 : .125200282661269 200000 : .125095672113839 300000 : .124776594957014 400000 : .124793213409154 500000 : .124879806569528 600000 : .124910137128028 700000 : .124888778917423 800000 : .125002615428481 900000 : .125041080680199 1000000 : .124976433659403 となりました。シミュレーションなので、もちろん、期待値は、計算するたびに変わりますが、 どうやら、仮面ランナーサブスリーさんの予想のように、1/8 辺りになりそうな感じです。 取り敢えず、ご報告まで。 |
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ネコの住む家
9月15日（木） 18:34:12
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25809 |
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スモークマン |
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#25809
uchinyanさんへ。 どのような関数でのシミュレーションなのか分からないからなんとも。。。 逆に一次元の時を考えてみました。 長さ１の直線上に２点を取る時、その直線の中点を含む取り方の確率は、 中心をはさんで２点を取ればよいので、1/2*1/2=1/4 ですよね？ これが1/2 なら、２次元で1/4、３次元で1/8 は正解のようにも思えますが。。。 いかがでしょう？どっかおかしいかな〜？ |
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金光
9月15日（木） 22:10:07
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25810 |
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スモークマン |
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あっ、1/2ですね！
片側に２点があるときが、1/4だから、両側にある時は、1-2*1/4=1/2 か！ ならやっぱり、1/8 っぽいですね！？ なんともいい加減なことで。。。 |
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金光
9月15日（木） 23:01:29
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25811 |
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圭太 |
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18.84でよかったのか。。。OTL
471/25と無理やり分数で表現しないと、ここは入れないかと思ってた。。。 認証にも471/25を追加したほうが良いかも。（昨日から相当無駄な時間を過ごしてしまったよ。） |
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米所〜♪
9月15日（木） 23:13:44
HomePage:圭太の研究所＠いれこみくん！＆役満縛り〜♪ 25812 |
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uchinyan |
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#25809への追加：
少し長くなりますが、一応、プログラムを書いておきましょう。 北極点に点 A、経度 0 度の子午線上に点 B、球面の任意の位置に点 C をとって、点 B、C を極座標で表します。なお、球の中心を O とします。 点 B は、経度 0 度上なので、緯度の自由度だけでこれを y とします。点 C は、経度を a、緯度を z にしています。 これら、a, y, z は自由に等確率で与えることができると仮定していますが、さすがに、これは大丈夫でしょう。 次に、球面上の幾何学の知識を使います。私は、今回始めてWebで勉強したので、ひょっとしたら間違っているかもしれません．．．^^; さて、球面三角形ABC を考えます。すると、∠A は a になることが分かります。 ただし、球面三角形は、測地線の短い方を取るとしているので、a がπを超える場合は、∠A = 2π - a とします。 さらに、∠B = b、∠C = c とおきます。 球面三角形の各辺は、その辺となる測地線の中心角で表すので、∠AOB = y、∠AOC = z ですが、さらに、∠BOC = x とします。 球面三角法の公式から、 cos(x) = cos(y)cos(z) + sin(x)sin(y)cos(a) cos(b)sin(x) = cos(y)sin(z) - sin(y)cos(z)cos(a) cos(c)sin(x) = cos(z)sin(y) - sin(z)cos(y)cos(a) がいえ、b, c が求まります。 球面三角形の面積 s は、やはり、球面上の幾何学から、s = a + b + c - π と求まります。 後は、この面積を足しあげて、球の表面積を 1 としているので 4πで割って、取ってきた三角形の個数で平均します。 なお、プログラムの限界による桁あふれなどで計算がエラーになることがあるので、それを防ぐための工夫、DO LOOP の辺り、をしています。 2005/09/16 8:00am 頃追加。 RANDOMIZEの位置を少し変えました。この方が、ランダム性が増すようです。 2005/09/16 11:30am 頃追加。 ほとんど不要ですが、安全性を増すために、さらに工夫しました。 とはいえ、計算結果に改善は見られません。まぁ、乱数ですから、当然ですね。むしろ、揺れが大きくなったかなぁ。 100000 : .124803944399878 200000 : .125444581427515 300000 : .125101556380867 400000 : .125008553196104 500000 : .124829641436551 600000 : .125150645416347 700000 : .125171487607043 800000 : .125133544380509 900000 : .124987211093014 1000000 : .125020609081723 しかしいずれにせよ、1/8 = 0.125 の辺りをフラフラしている感じはあります。 以下、プログラムです。 LET n = 1000000 FOR k = 0 TO n STEP 100000 RANDOMIZE LET sum = 0 FOR i = 1 TO k LET x = 0 LET s = 10 LET t = 10 DO WHILE (ABS(s) > 1) OR (ABS(t) > 1) DO WHILE SIN(x) = 0 LET a = 2 * PI * RND IF a > PI THEN LET a = 2 * PI - a END IF LET y = PI * RND LET z = PI * RND LET x = ACOS(COS(y) * COS(z) + SIN(y) * SIN(z) * COS(a)) LOOP LET s = (COS(y) * SIN(z) - SIN(y) * COS(z) * COS(a))/SIN(x) LET t = (COS(z) * SIN(y) - SIN(z) * COS(y) * COS(a))/SIN(x) LOOP LET b = ACOS(s) LET c = ACOS(t) LET s = a + b + c - PI LET sum = sum + s NEXT i IF k <> 0 THEN LET p = sum/(4 * PI) LET p = p/k PRINT k;":"; p END IF NEXT k END |
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ネコの住む家
9月16日（金） 11:28:27
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25813 |
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uchinyan |
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#25810＆#25811：
#25813で示したとおりです。シミュレーションというよりも、まじめに計算している、という感じですね。 |
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ネコの住む家
9月15日（木） 23:58:35
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25814 |
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英ちゃん |
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最初問題の意味を履き違え、
物凄い答えを出していました・・・。 ちなみに五角形の中に五角形があるのだと勘違いしてしまいました。 |
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福島
9月16日（金） 0:10:47
HomePage:英ちゃんのホームページ 25815 |
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スモークマン |
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#25813
uchinyanさんへ。 詳しくご披露いただき恐縮です。が、わたしにはつきていけません。 ところで、少し問題を変えて、円内に３点を取る時中心が含まれる確率、あるいは、球内に４点を取る時中心が含まれる確率なんてのはどうなるのかなあ・・・？ |
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金光
9月16日（金） 0:14:34
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25816 |
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uchinyan |
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#25811：
1次元では、 ＞★3次元のとき、 ＞ 表面(球面)の表面積が１の球がある。球面上に3つの異なる点 ＞ をランダムに選ぶ。これらの3点のうち2点ずつを測地線(大円) ＞ (ただし短い方)で結ぶと、3本の測地線で囲まれた領域(曲面三角形)ができる。 ＞ この領域の表面積の期待値はいくらか。 の面積にあたる概念が明確ではないので、2次元、3次元で等価な ＞ 問題 ＞ 与えられた球の表面上に、4つの異なる点をランダムに選ぶ。 ＞ 与えられた球の中心が、4つの点により決まる4面体の内部に ＞ ある確率はいくつか。 の1次元版を解くことになりますね。 答えは、確かに 1/2 です。ということは．．． 1次元：等価な問題で 1/2。 2次元：1/4。 3次元：シミュレーションによる状況証拠は 1/8。1/4 より小は正しそう。 ．．． n次元：大胆な予想。(1/2)^n になるのかなぁ．．．？ |
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ネコの住む家
9月16日（金） 11:47:07
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25817 |
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ゆりの父さん |
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#25772:
9月に入ってこのサイトを知り、先々回から参加しています。 （先回は三角関数を使って途中ま求めましたが皆さんの回答のはやさから こんな方法のはずがないと結局であきらめてしまいました） 仮面ランナーサブスリーさんが出された次の問題ですが興味深かったので コメント致します。 ＞ [本題] ＞ 表面(球面)の表面積が１の球がある。球面上に3つの異なる点 ＞ をランダムに選ぶ。これらの3点のうち2点ずつを測地線(大円) ＞ (ただし短い方)で結ぶと、3本の測地線で囲まれた領域(曲面三角形)ができる。 ＞ この領域の表面積の期待値はいくらか。 私も皆さんの予想通り1/8だと思います。 理由は次の通りです。 （証明と言うには曖昧な気がする...） [本題]のように球面上の3点を通る大円を描くとこれらの3つの大円は 指定3点以外にもう3箇所で交差します。 その結果3つの大円は[本題]の曲面三角形と合わせ8個の曲面三角形に 球面を分割します。 それぞれ8個の曲面三角形は同等な関係にありますからそれぞれの表面積の 期待値は同じです。 この球面上に8個の曲面三角形に属さない領域はありませんから [本題]の曲面三角形の表面積の期待値は1/8となります。 |
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新潟
9月16日（金） 14:26:47
25819 |
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uchinyan |
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#25819：ゆりの父さん さんのお考えですが．．．
あー、なるほど。うーむ。これは、面白い考え方ですね。 確かに、直感的で多少曖昧な気もしますが、基本的には正しいように思います。 1/2, 1/4, 1/8, ..., の感じからして、少なくとも直感的に簡単な説明がありそうな気がしていましたが、 そうですよねぇ、n次元でも多分同じですよね。この考え方には脱帽です ^^/ 仮面ランナーサブスリーさん、どうでしょうか？ 直感的説明大好きな私は、納得してしまいました ^^ |
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ネコの住む家
9月16日（金） 15:46:38
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25820 |
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スモークマン |
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#25819
ゆりの父さんの解法にわたしも納得です。 感激！！ 新たな問題の考え方をどなたかご教示下さいませんでしょうか？ ・円内に３点を取る時、中心点を含む確率は？ ・球内に４点を取る時中心点を含む確率は？ 今までと同値の問題なんでしょうか？ |
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金光
9月16日（金） 15:08:56
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25821 |
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uchinyan |
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#25821：
最初、点を取る自由度の次元が増えるので、全く異なる問題だろう、と思いましたが、 1次元、2次元などを考えてみると、結局は同じになるようです。 全く自信はないですが、要は、 ・2次元の場合は、中心角が問題になりますが、これは円弧の長さに対応するので、円上の問題と等価。 ・3次元の場合は、立体角が問題になりますが、これは球上の曲面三角形の表面積に対応するので、やはり、球上の問題と等価。 ということになりそうな気がします。 うーん、でも、違うかなぁ．．． |
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ネコの住む家
9月16日（金） 18:50:08
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25823 |
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スモークマン |
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#25823
uchinuanさんへ。 ご考察ありがとうございます。 わたしもそういう気がして参りました。。。 それにしてもゆり父さんの閃きには「目から鱗」が落ちましたねえ！ |
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金光＠岡山
9月17日（土） 0:26:59
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25824 |
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n厨 |
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＞まさる様
すみません少し掲示板で、皆さんにお聞きしたい問題がありまして質問させてください。 基本的にスレ(？)違いなのでスルーしてもらって構わないのですが。 この問題はネット(○ch)上で発見した問題です 辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。 東大実戦の問題ということらしいのですが、これはどう評価できましょう？ 一応自分なりの解答は得ているのですが、合ってるかはわからず30分以上は普通にかかるしなんや(実戦の問題ということが)ハッタリ臭く思って仕方ないのですが。。 |
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9月17日（土） 20:30:26
25825 |
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ｎ厨 |
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×辺a
○1辺a すみません。 |
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9月17日（土） 20:39:29
25826 |
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仮面ランナー サブスリー |
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#25813、#25819：
uchinyanさん、ゆりの父さん さん、ありがとうございます。 緻密な考察と鮮やかな着想に感服しました。シミュレーション、理論の両面から1/8という同じ結論が 出たわけですね。新たな発見があり、私も問題を書き込んでみた甲斐がありました。 ゆりの父さん さんの解法の核は「それぞれ8個の曲面三角形は同等な関係にある」の一言に尽きますね。 簡潔ながら強い説得力のある視点です。 ということは、uchinyanさんの予想(#25817)「n次元の場合の確率は (1/2)^n」も正しそうな気がします。 uchinyanさんの乱数シミュレーションも勉強になりました。念のためプログラム導出に至るまでの議論 を追ってみましたが、妥当と思います。 スモークマンさんの問題 #25816： 私もuchinyanさんと同感で、結局これは同じ問題に帰着すると思います。 じつは、uchinyanさんが披露された乱数シミュレーションによって解く手法を見たのを きっかけに、私も新たに以下の問題を考えつきました。 (あとから #25816 を見て「私のとそっくり！」と思いました) | [別題] | 3次元空間内に固定された点Ｏがある。 | 3次元空間から点Ｏだけを除いた領域Ｒ内に4つの異なる点をランダムに選ぶ。 | 点Ｏがこれら4点を2点ずつ結んでできる四面体の内部(あるいは面上)にくる確率はいくらか。 次のような理由から、この答は本題と同じになると思うのですが、どうでしょうか。 (理由) 領域Ｒ内の点Ａに対して、直線ＯＡと本題の球面との交点Ａ’を対応させる。 この対応づけによって、別題で領域Ｒ内に4点をランダムにとることは、本題で球面上に 4点をランダムにとることに帰着する。 (無限遠まで含めて考えているところが少しモヤッとしますが) |
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9月18日（日） 12:10:27
25827 |
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uchinyan |
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#25824＆#25827：
仮面ランナーサブスリーさんも、ゆりの父さん さんの解法に納得なされたようなので、本題はひとまず解決ですね。 それにしても、ゆりの父さん さんの解法には、本当に、頭をガーンと殴られたようでした。 気付かなかった自分に腹が立つ．．． (^^; ＞ゆりの父さん さんの解法の核は「それぞれ8個の曲面三角形は同等な関係にある」の一言に尽きますね。 はい、そう思います。 負け惜しみで強いて付け加えると、球面という、対称性の高い一様な閉じた領域であることが、その裏にあると思います。 ゆりの父さん さん、書き込み、大変ありがとうございました。 さて、別題の方ですが．．． スモークマンさんの問題のように、領域Rが球と同じような対称性をもっていれば、問題ないと思います。 半径方向の自由度は、その対称性によって相殺されると思うので。 そうでない場合は、ちょっと微妙ではないかなぁ。 半径方向の自由度が効いてきて、領域Rの形状に依存するような気もするのですが．．． |
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ネコの住む家
9月18日（日） 14:32:44
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 25828 |
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スモークマン |
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#25827擤
仮面ランナーサブスリー（長い名前だこと。。。）＆uchinyanさんへ。 [別題] | 3次元空間内に固定された点Ｏがある。 | 3次元空間から点Ｏだけを除いた領域Ｒ内に4つの異なる点をランダムに選ぶ。 | 点Ｏがこれら4点を2点ずつ結んでできる四面体の内部(あるいは面上)にくる確率はいくらか。 わたしも球の中心以外の点ではどうなんだろうかって考えて見たんですが、簡単ではなさそうに思いました。uchinyannさんと同じです。 円内においても中心点でない場合、例えば、円周に限りなく近い場合は、確率０になりそうに思うのですが・・・ １次元の場合においても中心点でなければ、たとえば、1/3の点なら、1-((1/3)^2+(2/3)^2)=4/9 < 1/2 となると思いますし。。。 |
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金光
9月18日（日） 16:54:05
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25829 |
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スモークマン |
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#25835
n房さんの問題： 1辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。 2次元だったらπa^2/2-√3*a/2 になると思いますが、3次元になると空間図形が頭に浮かばない・・・ また全然違う問題なのですが。。。 問題 どのようなn個の整数の組み合わせでも、その中から、合計が18で割り切れるような18個の数を選ぶことができる。そのようなnの最小値をみつけてください。 どなたかスマートな解法を教えて下さいませ！ |
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金光＠岡山
9月19日（月） 14:13:57
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25830 |
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スモークマン |
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誤：πa^2/2-√3*a/2
正：πa^2/2-√3*a^2/2 = a^2*(π-√3)/2 ↓ |
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金光＠岡山
9月19日（月） 17:56:10
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25831 |
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ｎ厨 |
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＞スモークマンさん
僕のHNがあれですが。。。まぁそこはいいとして ありがとうございます。 求める体積をVとして 僕の解答 V/a^3=(sqrt(2)/12)+4(18-7sqrt(6))pi/27 模試の問題と聞きましたが、やっぱり違うような。。 解答方法はアルキメデスの定理をいくつか使っています。 |
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9月19日（月） 18:40:36
25832 |
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スモークマン |
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#25832
> n厨さんへ。 HN 間違えてごめんなさいませ。「厨房」の「厨」の方なんでしたか。。。関係ないけど、だったら、「エンチュウ」て読むんですか・・・？ できればもっと詳しい解法をご披露いただけたらありがたいのですが。 何せ空間は苦手なものでして。。。だから聞いても分からない可能正大とは思うんですけどね。（汗） |
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金光
9月19日（月） 22:48:20
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 25833 |
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吉川 マサル |
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「ギャンブル宝典special」の１１月号原稿をようやく書きました。〆切過ぎてる
ことをすっかり忘れてて慌てて書いたのでミス等あるかも。(^^;; --------こっから----------- 暑い夏も終わり、いよいよ待ちに待った「ギャンブルの秋」がやってまいりました。 例年この季節はギャンブル三昧、負け三昧なのですが、今年はさすがに独立元年なの でそうも行かない＝あまり負けない、という素晴らしい？年になりそうな感じです。 はぁ〜。（なぜかため息） さて皆様、唐突ですが「アカギ」というマンガはご存じでしょうか。天才ギャンブ ラーのアカギが様々な相手と麻雀をやるという、まぁありがちなマンガなのですが、 これが面白い。で、今は「鷲巣」なる相手と闘っているのですが、巨大な資金力を持 つ相手に、麻雀の強さで数倍上回るアカギが立ち向かう、というお話です。私も新し い単行本が出るのを楽しみにしまくっているのですが、果たしてアカギは鷲巣に勝て るのか？というのは全国のアカギファンが考えるところかと思います。そこで今週の 問題です。 問）Ａ君とＢ君がギャンブルをすることになりました。Ａ君はＢ君の２倍強いので すが、Ｂ君はＡ君の２倍資金があります。どちらかの資金がなくなるまで勝負すると すると、Ａ君の勝つ確率は？ ちょっとマンガを現実に近づけて、まぁ「あってもおかしくない」程度のシチュエ ーションにしてみました。とは言っても、実はこの問題は大学入試問題としても超難 問です。以前にも何度か登場してはいるのですが、「確率の方程式」っぽいこと（ホ ントは漸化式といいます）をやらなくちゃならないんです。というわけで、詳しい計 算は端折っちゃうとして、サワリだけを扱っておくことにします。 さて、Ａ君の勝つ確率＝Ｂ君が破産する確率、ですので、ここでは「Ｂ君が破産す る確率」を求めてみることにします。まず、２人の勝利確率をそれぞれ求めておきま す。Ａ君はＢ君の２倍勝ちやすくて、２人の勝つ確率の合計は１ですから、Ａ君の勝 つ確率＝２／３、Ｂ君の勝つ確率＝１／３ですね。また、資金はＡ君がｋ万円、Ｂ君 が２ｋ万円で、１回の勝負で１万円が行き来することにします。で、Ｂ君の残り金額 がｘ万円のとき、Ｂ君が破産する確率をＰ(ｘ)とすると、こんな式が成り立つんです。 Ｐ(ｘ)＝Ｐ(ｘ＋１)／３＋２Ｐ(ｘ−１)／３ これはつまり、１／３の確率で勝ったらＰ(ｘ＋１)、２／３の確率で負けたらＰ(ｘ ＋１)となることを示していて、その合計がＰ(ｘ）ってことなんですが、まぁそんな わけでこれを計算すると、Ｐ(2ｋ）、すなわち２ｋ万円持っているＢ君が破産する確 率は、２^2k／（１＋２^k＋２^2K）ってことになるんです！ 「なるんです！」と言ってもなんだかよく分からない方も多いことでしょうから、 ｋ＝１０、つまりＡ君の資金が１０万円、Ｂ君の資金が２０万円だとして計算してみ ましょうか。この場合、Ｂ君の破産確率は１０４８５７６／１０４９６０１＝０．９ ９９０２・・・つまり、９９.９％Ｂ君の負け、ということになってしまうんです！ ちなみにｋ＝１の場合だと４／７の確率でＢ君の負けです。ｋ＝１ってことは、Ａ君 は資金１万円ですから、最初に負けたらそれで破産なんですが、それでもＢ君が負け る確率が高いんです。これは凄いことですよね。 よく巷では「ギャンブルなんて、結局は資金の多いモノが強いんだよ」というセリ フを聞きますが、確率計算をしてみると「資金不足は十分ウデでカバーできる」とい う結果が出てきますね。そうなると、アカギの挑んでいる勝負もあながち無謀とも言 えなさそうですねぇ。ん？ということはしょっちゅう負けてる私は、やはり腕が... ということなのか。（涙） |
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PowerBook G4
9月21日（水） 1:55:28
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 25834 |
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ｎ厨 |
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＞スモークマンさん
「エヌ」そのままでいいですが、なんでもいいです。 僕が追っている人だとか、在籍している学校の頭文字など色々意味は含めていますが。。人にはどうでもいいことですし。 解答書こうとしましたが、もう一度考えて見てこれはおそらく積分の途中で逆三角関数使わないと解けないことがわかりました。すみません、ありがとうございました。皆様＞色々ご迷惑かけてすみませんでした。 |
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9月21日（水） 23:07:37
25835 |
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ｎ厨 |
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あと#25832は間違った解答ですね。
連投すみません。 |
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9月21日（水） 23:09:23
25836 |