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Taro

試行錯誤のすえ、３辺が3.6cm,4.8cm,6cmの直角三角形と特定できました

　　 10月6日（木） 0:06:25　　 MAIL:tarox@nifty.com 　　25930

むらかみ

私も試行錯誤でしか長さを特定できませんでした。
改めて解法を考えています。

２４までに解けてほっとしました

　　 10月6日（木） 0:20:00　　 MAIL:ryoiti@sansu.org 　　25931

吉川マサル

帰宅途中の電車から。

　とりあえず、想定している解法だと、結構楽な計算でできます。ミスはないようでホッとしています。

　　 10月6日（木） 0:23:54　　　　25932

Shin Koba

角の二等分線を各々延長して、角を二等分している二つの頂点から底辺に垂直な直線を、上に向かって延ばしてみると、先ほどの延長線と、底辺に垂直な直線とが一つの頂点となる三角形が、はじめの三角形の外側に二つできます。この三角形の角度を二等分した角度を基準に○や△であらわしてみると、二つの三角形は二等辺三角形であることがわかり、それによって、相似な図形で基本型として有名な道の両側に電灯があり、その間に人間が立つと、その影が各々両端の電灯の足元まで届いている状態の図形が出来上がります。これで、2分の１＋3分の1＝Ｘ分の1　から1.2と導きました。

　　 10月6日（木） 0:39:01　　　　25933

Shin Koba

　　 10月6日（木） 0:41:05　　　　25934

吉川　マサル

#25933
　あ、これが想定していた解法です。(^^;;

PowerBook G4　　 10月6日（木） 0:50:55　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25935

ゴンとも

いつも通りの座標置き+点Rが直角三角形の内心であることで
先ず、題意の図でAP=a,AQ=bとすると
題意の図はA(0,0)としてP(a,0),Q(0,b),B(a+3,0),C(0,b+2)とおけ、すると
直線BQ:e1:y=-b*x/(a+3)+b$
直線CP:e2:y=-(b+2)*x/a+b+2$
この交点Rはsolve([e1,e2],[x,y]);x=(2*a^2+6*a)/(3*b+2*a+6),y=(3*b^2+6*b)/(3*b+2*a+6)
ここで点Rが内心で角A=90度より
RH=(2*a^2+6*a)/(3*b+2*a+6)・・・・・・(答えとなるもの)=(3*b^2+6*b)/(3*b+2*a+6)　より
この方程式を解いて
solve(2*a^2+6*a=3*b^2+6*b,b);b=(SQRT(3)*SQRT(2*a^2+6*a+3)-3)/3(但し長さがマイナスは省いた)
これと面積を(AP+3)*(AQ+2)=(AB+BC+CA)*RH のように2様にだすと
(a+3)*(b+2)=(a+3+b+2+SQRT((a+3)^2+(b+2)^2))*(2*a^2+6*a)/(3*b+2*a+6) より
以下この方程式を数式処理(xmxima5.9.1)で以下のように解いて
(%i1) b:(SQRT(3)*SQRT(2*a^2+6*a+3)-3)/3$
(%i2) factor((a+3)*(b+2)-(a+3+b+2+SQRT((a+3)^2+(b+2)^2))*(2*a^2+6*a)/(3*b+2*a+6))$
(%i3) num(%)$
(%i4) factor(%/(-2*(a+3)))$
(%i5) part(%,1)$
(%i6) part(%th(2),2)+part(%th(2),3)$
(%i7) expand(%^2-(%th(2))^2)$
(%i8) part(%,1)+part(%,2)$
(%i9) part(%th(2),3)+part(%th(2),4)+part(%th(2),5)+part(%th(2),6)+part(%th(2),7)$
(%i10) expand(%^2-(%th(2))^2)$
(%i11) fortran(factor(%));
a**3*(a+3)**3*(5*a-9)*(5*a+12)
(%o11) DONE
(%i12) a:9/5$
(%i13) fortran((SQRT(3)*SQRT(2*a^2+6*a+3)-3)/3);
8.0/5.0
(%o13) DONE
(%i14) kill(a);
(%o14) DONE
(%i15) kill(b);
(%o15) DONE
(%i16) b:8/5$
(%i17) a:9/5$
(%i18) (2*a^2+6*a)/(3*b+2*a+6);・・・・・・(答えとなるもの)
(%o20) 6/5
(%i21) float(%);
(%o21) 1.2・・・・・・(答え)
途中結果が$で抑制してでてなくて何をやってるかわからないですが
分数式=分子/分母=0なら分子=0を解けばよく分子が因数分解されているから
aがわかっているものを因子を省きそれをsqrt=sqrt+・・・の形にして
両辺2乗してまだsqrt=sqrt+・・・だからもう一回両辺2乗して
すべてsqrtがはずれ25*a^8+240*a^7+702*a^6+108*a^5-2511*a^4-2916*a^3
でこれを因数分解してa^3*(a+3)^3*(5*a-9)*(5*a+12)で正の値のa=9/5
がでるという風に方程式を解きました。

豊川市　　 10月6日（木） 3:47:42　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　25937

kasama

おはようございます。勘でやりました(^_^; なんかぁ～、図が正確なので、三角形が3:4:5であるような気がして(*^_^*)・・・

出先　　 10月6日（木） 9:20:23　　　　25938

ハラギャーテイ

おはようございます。勘でした。

北九州　　 10月6日（木） 11:12:51　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25939

ハラギャーテイ

この三角形の形が決まると簡単に解けるので３辺の長さを
求めた。辺の長さをａ，ｂ，ｃとすると

(c-3)/3=b/a, (b-2)/c=c/a, a^2=b^2+c^2はMATHEMATICAで

解けて

b -> 18/5, c -> 24/5, a -> 6　と求まる。

あとは座標で解ける。

北九州　　 10月6日（木） 15:01:26　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25940

uchinyan

はい、こんばんは。あー、今回はダメでした．．．
「RHって内接円の半径 r だよな。角の二等分だから辺の比だよな。」となって、考えても分からず．．．
ここで、∠A = 90度の条件を忘れていることに気付き．．．
「えーい、面倒だ。直角三角形だから三平方の定理でとにかく答えを．．．」となって、ハラギャーテイさんと同じ、です。
＞(c-3)/3=b/a, (b-2)/c=c/a, a^2=b^2+c^2
これを一生懸命解くと、a の 4次方程式になるんだけど、「絶対に解けるんじゃい！」と頑張ると、
a^4 - 25 * a^2 - 60 * a - 36 = 0
(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a - 6) = 0
となって、a > 0 から、a = 6 と分かり、b = 18/5、c = 24/5 となります。
こうなればしめたもので、面積の関係から、1/2 * (a + b + c) * r = 1/2 * bc で、RH = r = 6/5 cm ．．．
情けない、完敗でした．．．
癪なので、BP = p, CQ = q の場合を求めておくと、
a = 1/2 * ((p + q) + sqrt((p + q)^2 + 4pq))
RH = r = bc/(a + b + c) = 1/2 * pq/(p + q) * (a + p)(a + q)/a^2
割ときれいな式です。
算数は．．．？　掲示板読んで勉強します ^^;

ネコの住む家　　 10月6日（木） 17:31:11　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25941

uchinyan

#25941：自己レスです。
うー、一般の場合、間違えました。
＞癪なので、BP = p, CQ = q の場合を求めておくと、
＞a = 1/2 * ((p + q) + sqrt((p + q)^2 + 4pq))
＞RH = r = bc/(a + b + c) = 1/2 * pq/(p + q) * (a + p)(a + q)/a^2
r の式はもっと簡単になります！
RH = r = bc/(a + b + c) = pq/(p + q)
なんと、a, b, c には依存しません。
1/r = 1/p + 1/q
です。きれいです。何か、並列につないだ抵抗の合成を思い出しました。
それと、掲示板読みました。
#25933の解法、お見事です。全くそのとおり。目からウロコでした。あぁ、何で分からなかったのだろうか．．．
ちなみにこの解法で一般の場合を考えると、三角形の相似から、
r/p = a2/a, r/q = a1/a, a = a1 + a2
r/p + r/q = 1
r = pq/(p + q)
ですね。何と簡単なことか、さすが、算数。算数バンザイですぅ ^^/

ネコの住む家　　 10月6日（木） 18:23:33　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25942

uchinyan

#25941＆#25942への補足：
折角なので、∠A = 90度でない一般の場合も、計算してみました。
RH = r = 1/2 * a/|a^2 - pq| * sqrt((a - p)(a - q)(4pq - (a - p)(a - q)))
さすがにここまでくると、あまりきれいな式にはならないようです。
なお、∠A = 90度の場合は、三平方の定理によって、
a^2 - (p + q) * a - pq = 0
がいえて、当然ですが、#25942の結果に一致します。

ネコの住む家　　 10月6日（木） 22:47:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25944

ｎ厨

＞
uchinyanさん、まさるさん、スモークマンさん並びに四面体の問題を考えてくださった他の方々ここでお礼を申しあげます。
uchinyanさんとの個人的なやりとりでまとめたものを以下にはっておきます。http://blog.livedoor.jp/czax/
と言ってもこのブログ自体勧められるほどのものではないですが。。

　　 10月6日（木） 23:00:03　　　　25945

Toru Fukatsu

とても苦労したので、算数の解法の足下にも及びませんが、三角関数を使った私の解法を一応書いておこうかと思います。もう少し線をのばせばよかったのに、残念ながら気がつきませんでした。
緑の四角の角をθとすると赤の丸はπ/4-θ　BC=aとして　BからCPの延長線上に垂線を降ろした足をP',CからBQの延長線上に降ろした垂線の足をQ'とすると∠P'BP=π/4-θ,∠Q'CQ=θ　よって、3cos(π/4-θ)=a sin(π/4-θ)=BP', 2cosθ=a sinθ=CQ' これらから、a=6,tanθ=1/3,tan(π/4-θ)=1/2が求まって、RH=rとすれば、r/tanθ+r/tan(π/4-θ)=a 　よりr=6/5

　　 10月7日（金） 11:28:42　　 MAIL:tfukatsu@tth-japanpost.jp 　　25946

ハラギャーテイ

a,b,cが求まるとRは内接円の中心なのでRH=hとして

1/2*(a+b+c)*h=1/2*bc

を解いてｈが求まる。多分これがMathematica向きの解き方。

北九州　　 10月7日（金） 14:41:57　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25947

黒木　結花

直線bcとpを垂直におろして当たった部分をmとして考えます。
pm対rh＝3対2
直角三角形の辺の比率は3対4対5
直線ｂｐ＝3cm・・5の比に当たるから
3÷5＝0.6（cm）
直線pm＝0.6×3＝1.8（cm）
pm対rh=3対2（さっきもいったんだけど）なんだから、
1.8÷3×2＝1.2
・・・どうですか？

　　 10月7日（金） 21:12:45　　　　25948

信三

Ｓｈｉｎ　Ｋｏｂａさんの解法に感銘を受けました。私の解法は地道なものですが、２個の２次方程式で解くことができました。
Rは三角形ABCの内心なので、RからABとACに垂線をおろしてその足をS、Tとすると、RS、RSは求めるRHの長さと同じ。これを　h　とする。AS、ATも同じ長さ。
PS＝c、QT＝b　と置くと、三角形RTQとBSRの相似から、b/h=h/(c+3)
同様に、三角形RSPとCTRの相似から、c/h=h/(b+2)　これらから　2*c=3*b
c=3*k、b=2*k　と置く。
BC＝5*(k+1)、AB＝h+3*(k+1)、AC＝h+2*(k+1)　を３平方の式に入れて
h*h+5*h*(k+1)-6*(k+1)*(k+1)=0　これを解いて　h＝k+1
b、c、h　をkで表す値をはじめの　b/h=h/(c+3)　に入れると　(k+1)*(k+1)=2*k*(3*k+3)　は　5*k*k+4*k-1=0　となり、これを解いて　k＝1/5
従って　h＝6/5

　　 10月8日（土） 11:19:49　　　　25949

アヒーのおじさん

かなり強引に計算をしました（＾＾；

AP＝x,AQ＝y,BC＝zとおきます
3平方の定理より (x+3)^2+(y+2)^3＝z^2
角の2等分線の定理より 2x+6=yz , 3y+6=xz
これらの式を色々いじって...
2x(x+3)＝3y(y+2) …《1》
(1/9)x^2+(1/4)y^2＝1 …《2》

ここで《2》より (1/3)x＝sinθ,(1/2)y＝cosθとおくと...
x＝3sinθ,y＝2cosθ これを《1》に代入して、ごちゃごちゃやって...
25(sinθ)^4+30(sinθ)^3-7(sinθ)^2-12sinθ＝0
因数定理などを用いて因数分解して...
sinθ(sinθ+1){25(sinθ)^2+5sinθ-12}＝0
sinθ＝0,-1,(3/5),-(4/5)
x>0 より sinθ>0 だから sinθ＝(3/5) cosθ＝(4/5)
これらから x＝(9/5),y＝(8/5),z＝6
あとは普通にrを求めてr=1.2となりました

まず文字の置き方からして失敗でした（苦笑）

9点円の中心　　 10月8日（土） 19:34:32　　 HomePage:正体不明　　25950

uchinyan

Shin Koba さんの算数解法の足元にも及びませんし、文字式、円の性質を使用しないと説明できないので、算数ではないのですが、
それ以外は、相似比、三角形の面積、一次方程式なので、比較的算数に近い解法です。
まず、条件より、(緑の角度) + (赤の角度) = 45 度です。以下では、これを使っています。
R より、AB、AC に垂線を下ろしその足を S、T とします。R は △ABC の内接円の中心なので、RH = RS = RT です。RH = r とします。
角度の関係から、S、T は、それぞれ、AP、AQ 上にあることが分かります。
さらに、角度の関係から、△RPS ∽ △CRH、△RQT ∽ △BRH がいえます。そこで、PS/RS = RH/CH、QT/RT = RH/BH になります。
内接円と接線の関係、対称性、から、BH = BS、CH = CT、AS = AT がいえます。
これを使うと、(BH - 3)/r = r/CH、(CH - 2)/r = r/BH です。
簡単にすると、3 * CH = BH * CH - r^2 = 2 * BH、BH：CH = 3：2 となり、BC = a とすると、BH = 3/5 * a、CH = 2/5 * a です。
これを使って先ほどの二つの相似比の式を簡単にすると、一つの 6 * a^2 - 25 * r^2 - 30 * a = 0 になります。
次に、△ABC の面積を二つの方法で計算して、1/2 * (AB + BC + AC) * RH = 1/2 * AB * AC です。
AS = AT と、∠BAC = 90 度から、AS = AT = RH = r です。そこで、AB = BS + AS = 3/5 * a + r、AC = 2/5 * a + r です。
これらから a と r で表すと、2 * (a + r) * r = (3/5 * a + r) * (2/5 * a + r) で、簡単にして、25 * r^2 + 25 * a * r - 6 * a^2 = 0 です。
ここまでで、a と r の二つの式、
6 * a^2 - 25 * r^2 - 30 * a = 0, 25 * r^2 + 25 * a * r - 6 * a^2 = 0
が得られました。この二つを加えると、うまく、r^2, a^2 が消えて、
25 * a * r = 30 * a, r = 6/5
つまり、RH = r = 6/5 cm になります。
BP = p、CQ = q の一般の場合も同様に計算できて、RH = pq/(p + q) になります。
さて、今回の場合には、25 * r^2 + 25 * a * r - 6 * a^2 = (5r + 6a)(5r - a) = 0 なので、
実は、r = a/5、つまり、BC = 5 * RH です。
すると、AB = 4 * RH、AC = 3 * RH、BH = 3 * RH、CH = 2 * RH などがいえ、△ABC は 3：4：5 の直角三角形で、BH = AC がいえます。
これは、今回の問題に特有の話で、一般の p. q ではいえません。
そこで、この特性を使った解法も可能かもしれません。
#25948の黒木結花さんの解法は、この方向の解法だと思います。
ただ、これらの特性が「明らか？」というと、ちょっと考えてみたのですが、残念ながらあまり明らかではないようです。
そのいみで、#25948の
＞・・・どうですか？
ですが、もう少し説明が必要ではないかな、と思います ^^
個人的には、BH = AC がポイントと思われたので、トライしてみたのですが、あまり簡単ではなさそうです．．．
実は、上記の解法を考えてみたのも、#25948がちょっと面白いな、と思ったのがきっかけでした。

ネコの住む家　　 10月11日（火） 11:35:15　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25951

大岡　敏幸

ようやく入れました（＾＾）
相似＆で求めました。今回の問題は結構てこづりましたね。

石川県　　 10月11日（火） 22:41:32　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　25952