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ミキティ |
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100 p=0
110 for a=1 to 11 120 for b=a+1 to 12 130 for c=b+1 to 13 140 for d=c+1 to 14 150 if a+d-b-c=0 then p=p+1 160 next d 170 next c 180 next b 190 next a 200 print p 210 end 161通り 今回はそれなりに早いと思ったけど……、全然だなぁ。○|￣|＿ |
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4月6日（木） 0:06:30
27100 |
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kasama |
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import java.util.*;
public class Question496 { public static void main(String args[]) { Integer nos[] = new Integer[14]; for(int i = 0; i < 14; ++i) nos[i] = new Integer(i+1); int count = 0; List list = new Combination(Arrays.asList(nos), 4).getList(); // クラスCombinationは#19625を使用 for (Iterator iter = list.iterator(); iter.hasNext(); ) { List eList = (List) iter.next(); int a = ((Integer) eList.get(0)).intValue(); int i = ((Integer) eList.get(1)).intValue(); int u = ((Integer) eList.get(2)).intValue(); int e = ((Integer) eList.get(3)).intValue(); if (a + e == i + u) ++count; } System.out.println(count); } } |
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和歌山県
4月6日（木） 0:07:49
27101 |
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ゴンとも |
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あらかじめメモ帳に作ってあるのでちょっと変形して
以下のプログラム(十進basic)で 10 FOR a=1 TO 14 20 FOR b=1 TO 14 30 if b=a then goto 290 40 FOR c=1 TO 14 50 if ((c=a) or (c=b)) then goto 280 60 FOR d=1 TO 14 70 if ((d=a) or (d=b) or (d=c)) then goto 270 100 LET x=a+d 110 LET y=b+c 120 IF x=y AND a<b AND b<c AND c<d THEN PRINT a;b;c;d 270 next d 280 next c 290 next b 300 next a END |
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豊川市
4月6日（木） 0:08:10
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 27102 |
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しんちゃん |
| １＋（１＋２＋３）＋（１＋２＋３＋４＋５）＋（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７）＋（１＋２＋３＋・・・＋９）＋（１＋２＋３＋・・・・＋１１）＝１＋６＋１５＋２８＋４５＋６６＝１６１ |
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4月6日（木） 0:18:23
27104 |
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カイト |
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ア＋エ＝イ＋ウより，エ−ウ＝イ−ア
エ−ウ＝イ−ア＝1のとき，イとウは2から13までの中から選ぶことになる．12C2=66通り 以下同様に， エ−ウ＝イ−ア＝2のとき，3から12までの中から2枚選んで10C2=45 エ−ウ＝イ−ア＝3のとき，4から11までの中から2枚選んで8C2=28 エ−ウ＝イ−ア＝4のとき，5から10までの中から2枚選んで6C2=15 エ−ウ＝イ−ア＝5のとき，6から9までの中から2枚選んで4C2=6 エ−ウ＝イ−ア＝6のとき，7から8までの中から2枚選んで2C2=1 66+45+28+15+6+1=161通り もっときれいな解き方がありそう… |
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4月6日（木） 0:21:21
MAIL:kaitoexe@green.livedoor.com HomePage:中学受験算数 Kaito's Lab. 27105 |
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圭太 |
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36+30+25+20+16+12+9+6+4+2+1=161
素直に考えればよかったOTL |
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アルビレックス
4月6日（木） 0:24:27
HomePage:圭太の研究所 27106 |
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ヘラクレス辻。 |
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誤植が多すぎたので再び書き直し。
宇宙語のプログラムは理解不能なので地道に求めました。 ア＋エ（イ＋ウ）の候補は ５から２５の２１通り。 中央の１５で対称になるのは予想がつくので ５…１ ２ ３ ４ ６…１ ２ ４ ５ ７…１ ２ ５ ６ or １ ３ ４ ６ or ２ ３ ４ ５ ８…１ ２ ６ ７ or １ ３ ５ ７ or ２ ３ ５ ６ ９…１ ２ ７ ８ or １ ３ ６ ８ or １ ４ ５ ８ or ２ ３ ６ ７ or ２ ４ ５ ７ or ３ ４ ５ ６ 10…１ ２ ８ ９ or １ ３ ７ ９ or １ ４ ６ ９ or ２ ３ ７ ８ or ２ ４ ６ ８ or ３ ４ ６ ７ 以下略とやりました 実際はアエの組み合わせだけ考えて、対応するイウを探しましたが 途中で規則性に気づきました 最終的な式は （１＋３＋６＋１０＋１５）×４＋２１＝１６１ まあ手計算で４分で出来たから満足 |
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第参新埼玉市
4月6日（木） 0:26:47
HomePage:ドンピシャ 27108 |
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呑ちゃん |
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お馬鹿でした。何度間違えたことか。
ところでろろさん。復活おめでとう。 |
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河童ランド
4月6日（木） 0:28:09
MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:ＨＯＰＥＳよいとこ一度はおいで 27109 |
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みかん |
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14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04←エの数字
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 06 05 05 04 04 03 03 02 02 01 01 (1) 05 05 04 04 03 03 02 02 01 01 (2) 05 04 04 03 03 02 02 01 01 (3) 04 04 03 03 02 02 01 01 (4) 04 03 03 02 02 01 01 (5) 表は以下省略、っていうことで。( )はアの数字を示す。 上の表の数字（組み合わせ数）を足すと １×２１＋２×１７＋３×１３＋４×９＋５×５＋６×１＝１６１通り。 |
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4月6日（木） 0:29:03
27110 |
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かっくん |
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地道に計算しました。。。
ア＋エ＝イ＋ウ＝k と置くと、 k は5〜25のどれか。 k＝5のとき、 （1,4）、（2,3）の組み合わせしかないので、題意に当てはまるものは1通り。 k＝6のとき、 （1,5）、（2,4）の組み合わせしかないので、題意に当てはまるものは1通り。 k＝7のとき、 （1,6）、（2,5）、（3,4）の組み合わせしかないので、題意に当てはまるものは1＋2＝3通り。 とここまで計算して、規則性に気付き k＝5,25のとき1通り k＝6,24のとき1通り k＝7,23のとき1＋2通り k＝8,22のとき1＋2通り k＝9,21のとき1＋2＋3通り k＝10,20のとき1＋2＋3通り k＝11,19のとき1＋2＋3＋4通り k＝12,18のとき1＋2＋3＋4通り k＝13,17のとき1＋2＋3＋4＋5通り k＝14,16のとき1＋2＋3＋4＋5通り k＝15のとき1＋2＋3＋4＋5＋6通り ∴{1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋（1＋2＋3＋4）＋(1＋2＋3＋4＋5)}×2＋(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝161 としました。(^。^;)フウ |
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お風呂
4月6日（木） 0:35:55
27111 |
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まー |
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和が5or6or24or25→2C2
和が7or8or22or23→3C2 同様にして4C2,5C2,6C2 和が15→7C2 より，（2C2+3C2+4C2+5C2+6C2）×4+7C＝１６１通り |
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4月6日（木） 0:36:13
27112 |
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かっくん |
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#27111
最後の計算式を間違って書きました。(^^ゞ 誤）〜 ×2 〜 正）〜 ×4 〜 |
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お風呂
4月6日（木） 0:40:32
27113 |
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スモークマン |
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わたしも地道に・・・
1*6+(2+3)*5+(4+5)*4+(6+7)*3+(8+9)*2+(10+11)*1=161 きっと、とうまい方法があるんだろうなあ。。。 |
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金光
4月6日（木） 5:21:01
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27114 |
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なか |
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#27105 カイトさんに一票
イーア＝エーウ＝Ｄとなるものが、(14-2D) Ｃ 2 あるので、 12C2 * 10C2 + 8C2 + 6C2 + 4C2 + 2C2 = 161 |
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北国
4月6日（木） 6:56:26
MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page 27115 |
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しんちゃん |
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昨夜は、カイトと同様な場合分けで求めました。（数え方は算数的にイとウの差が１，２、・・の時、とさらに場合分けしました）
図形的に考えると、白丸を ○○○○○○○○○○○○○○ と１４個並べ、隙間の位置を左から１，２，３・・・１３とする。○を４個塗りつぶし、●４個が線対称な図形になればよい。線対称の対称の軸の位置が、２、２.５、１１.５，１２のときは、片側だけ考えて2Ｃ2通り、軸の位置が３、３.５、１０.５，１1のときは、3Ｃ2通り、軸の位置が４、４.５、９.５，１０のときは、4Ｃ2通り、軸の位置が５、５.５、８.５，９のときは、5Ｃ2通り、軸の位置が６、６.５、７.５，８のときは、6Ｃ2通り、軸の位置がが７のときは、7Ｃ2通り。結局、（2Ｃ2＋3Ｃ2＋4Ｃ2＋5Ｃ2＋6Ｃ2）×４＋7Ｃ2＝１６１通り。 |
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4月6日（木） 8:44:19
27116 |
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しんちゃん |
| カイトさん、呼び捨てにしてすみません。パスワードを設定していなくて訂正できませんでした。お詫びします。 |
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4月6日（木） 8:51:19
27117 |
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ハラギャーテイ |
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おはようございます。
プログラムです。 |
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北九州
4月6日（木） 9:48:45
HomePage:信号処理に挑戦 27118 |
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DrK |
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私も場合わけをしました。
但し、アイウエの大小関係が固定されていることを見落として、2回失敗しました。 2つの数の和は15(=1+14)に対して対象になっていることに気づけば合計に対しての場合わけをすればいい。 合計は3から27を取りうる 3、4については1通りしかないので不可 5、6は2通りで、ここから2つの組み合わせを選ぶのは1通り 7、8は3通りで、ここから2つの組み合わせを選ぶのは3C2=3 9、10は4通り、4C2=6 11、12は5通り、5C2=10 13、14は6通り、6C2=15 15の場合は7通り、7C2=21 以上から (1+3+6+10+15)×2×2+21=161 が答え |
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今度こそ地上の楽園
4月6日（木） 11:55:53
MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 27119 |
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おかひで博士 |
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圭太さんと同じやり方だと思うのですが・・・
１２○□ → １１通り １３○□ → ９通り ・・ ・・ １７○□ → １通り １を含むとき、３６通り 同じく、２を含むのは１０＋８＋・・＋２＝３０通り あとは規則的に、 ３６＋３０＋２５＋２０＋１６＋１２＋９＋６＋４＋２＋１、と。 |
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4月6日（木） 12:39:02
27120 |
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おかひで博士 |
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ちなみに、１ｃｍから１４ｃｍまでの針金で三角形をつくる方法も同じ１６１のようですね
↓↓ http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html |
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4月6日（木） 12:59:39
27122 |
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おかひで博士 |
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リンク間違えました
↓ http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=1%2C3%2C7%2C13%2C22%2C34&language=english&go=Search |
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4月6日（木） 13:03:09
27123 |
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uchinyan |
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はい、こんにちは。今回は、答えはそれなりに求まったものの、最初は、どうも今一つでした。．
その後、少し考え出したら、次々といろんな解法を思いつきました。 皆さんと同じかともと思いますが、折角なので、一応、書いておきます。 まずは、今朝、頭の中で考えた解法から。 (解法1) ひらめかなかったので、地道に数えました。 (1) アが 1 の場合：エは、4 〜 14 です。 (1-1) エが 4 の場合：イ + ウ = 5 で、イ < ウ なので、1 通り。 (1-2) エが 5 の場合：イ + ウ = 6 で、イ < ウ なので、1 通り。 (1-3) エが 6 の場合：イ + ウ = 7 で、イ < ウ なので、2 通り。 (1-4) エが 7 の場合：イ + ウ = 8 で、イ < ウ なので、2 通り。 (1-5) エが 8 の場合：イ + ウ = 9 で、イ < ウ なので、3 通り。 (1-6) エが 9 の場合：イ + ウ = 10 で、イ < ウ なので、3 通り。 ．．． (1-9) エが 12 の場合：イ + ウ = 13 で、イ < ウ なので、5 通り。 (1-10) エが 13 の場合：イ + ウ = 14 で、イ < ウ なので、5 通り。 (1-11) エが 14 の場合：イ + ウ = 15 で、イ < ウ なので、6 通り。 つまり、(1 + 2 + 3 + 4 + 5) * 2 + 6 通り。 これで、大体、規則性が見えてきています。 (2) アが 2 の場合：エは、5 〜 14 です。 (2-1) エが 5 の場合：イ + ウ = 7 で、イ < ウ なので、1 通り。 (2-2) エが 6 の場合：イ + ウ = 8 で、イ < ウ なので、1 通り。 (2-3) エが 7 の場合：イ + ウ = 9 で、イ < ウ なので、2 通り。 (2-4) エが 8 の場合：イ + ウ = 10 で、イ < ウ なので、2 通り。 ．．． (2-9) エが 13 の場合：イ + ウ = 15 で、イ < ウ なので、5 通り。 (2-10) エが 14 の場合：イ + ウ = 16 で、イ < ウ なので、5 通り。 つまり、(1 + 2 + 3 + 4 + 5) * 2 通り。 最後が一つずれるのがポイントです。 同様にして、 (3) アが 3 の場合：エは、6 〜 14 です。 (1 + 2 + 3 + 4) * 2 + 5 通り。 (4) アが 4 の場合：エは、7 〜 14 です。 (1 + 2 + 3 + 4) * 2 通り。 (5) アが 5 の場合：エは、8 〜 14 です。 (1 + 2 + 3) * 2 + 4 通り。 (6) アが 6 の場合：エは、9 〜 14 です。 (1 + 2 + 3) * 2 通り。 (7) アが 7 の場合：エは、10 〜 14 です。 (1 + 2) * 2 + 3 通り。 (8) アが 8 の場合：エは、11 〜 14 です。 (1 + 2) * 2 通り。 (9) アが 9 の場合：エは、12 〜 14 です。 1 * 2 + 2 通り。 (10) アが 10 の場合：エは、13 〜 14 です。 1 * 2 通り。 (11) アが 11 の場合：エは、14 だけです。 1 通り。 これですべてです。結局、 ((1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2) + 1) * 4 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = (1 + 3 + 6 + 10 + 15) * 4 + 21 = 35 * 4 + 21 = 161 通り (解法2) (解法1)と同様に数え上げですが、場合分けの仕方が少し違います。この方が簡単かもしれない．．．？ アとエを決めると、イとウは、アとエの間に ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めてやればいいことになります。 そこで、エ−ア の可能な範囲で分類すると、 ・エ−ア = 13 の場合 エ−ア = 13 となるアとエは、1 通り。 イとウは、残りの 12 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 6 通り。 ・エ−ア = 12 の場合 エ−ア = 12 となるアとエは、2 通り。 イとウは、残りの 11 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 5 通り。 ・エ−ア = 11 の場合 エ−ア = 11 となるアとエは、3 通り。 イとウは、残りの 10 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 5 通り。 ・エ−ア = 10 の場合 エ−ア = 10 となるアとエは、4 通り。 イとウは、残りの 9 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 4 通り。 ・エ−ア = 9 の場合 エ−ア = 9 となるアとエは、5 通り。 イとウは、残りの 8 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 4 通り。 ・エ−ア = 8 の場合 エ−ア = 8 となるアとエは、6 通り。 イとウは、残りの 7 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 3 通り。 ・エ−ア = 7 の場合 エ−ア = 7 となるアとエは、7 通り。 イとウは、残りの 6 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 3 通り。 ・エ−ア = 6 の場合 エ−ア = 6 となるアとエは、8 通り。 イとウは、残りの 5 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 2 通り。 ・エ−ア = 5 の場合 エ−ア = 5 となるアとエは、9 通り。 イとウは、残りの 4 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 2 通り。 ・エ−ア = 4 の場合 エ−ア = 4 となるアとエは、10 通り。 イとウは、残りの 3 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 1 通り。 ・エ−ア = 3 の場合 エ−ア = 3 となるアとエは、11 通り。 イとウは、残りの 2 個の中から ア＋エ＝イ＋ウ を満たすように決めるので 1 通り。 これですべてです。結局、 1 * 6 + 2 * 5 + 3 * 5 + 4 * 4 + 5 * 4 + 6 * 3 + 7 * 3 + 8 * 2 + 9 * 2 + 10 * 1 + 11 * 1 = 6 + 10 + 15 + 16 + 20 + 18 + 21 + 16 + 18 + 10 + 11 = 161 通り (解法3) その後、仕事の合間に考えた解法です。でも、算数ではないですね。 ア = a, イ = b, ウ = c, エ = d とします。すると、 a + d = b + c, 1 <= a < b < c < d <= 14 です。等式を変形して、 b + (c - b - 1) + (b + 1) = a + d 2 * (b - a - 1) + (c - b - 1) + 2 * a + 3 = a + d (a - 1) + 2 * (b - a - 1) + (c - b - 1) = d - 4 (a - 1) + 2 * (b - a - 1) + (c - b - 1) + (14 - d) = 10 ここで、x = a - 1, y = b - a - 1, z = c - b - 1, u = 14 - d とおくと、 x + 2y + z + u = 10, x >= 0, y >= 0, z >= 0, u >= 0 になります。この解の組の個数を求めればいいことになります。ただ、残念ながら、y の係数が 1 ではないので、場合分けします。 ナイーブには 0 <= y <= 10 ですが、x >= 0, z >= 0, u >= 0 にも注意すると、0 <= y <= 5 になり、 x + z + u = 10 - 2y, x >= 0, z >= 0, u >= 0 各 y に対する、(x,z,u) の解の個数は、(12-2y)C2 個なので、結局、元の不定方程式の解の個数は、 12C2 + 10C2 + 8C2 + 6C2 + 4C2 + 2C2 = 66 + 45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 161 そこで、元の ア＋エ＝イ＋ウ の取り出し方は、161 通り。 (解法4) あー、(解法2)＆(解法3)を書いていて思いついた解法。これならば、何とか算数かな？ ア＋エ＝イ＋ウ を エ−ウ＝イ−ア と変形してみます。すると、1 〜 14 の範囲の制限より、差は、1 〜 6 しかありえません。 しかも、差をこの範囲で一つ決めると、ア、ウを決めることで、イ、エは一つに決まってしまいます。 差を 1 とできるのは、ナイーブには 13 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 12 通りです。 そこで、アとウを選んで 12C2 通り。 差を 2 とできるのは、ナイーブには 12 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 10 通りです。 そこで、アとウを選んで 10C2 通り。 差を 3 とできるのは、ナイーブには 11 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 8 通りです。 そこで、アとウを選んで 8C2 通り。 差を 4 とできるのは、ナイーブには 10 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 6 通りです。 そこで、アとウを選んで 6C2 通り。 差を 5 とできるのは、ナイーブには 9 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 4 通りです。 そこで、アとウを選んで 4C2 通り。 差を 6 とできるのは、ナイーブには 8 通りですが、ウ > イ を満たさないとならないので、選べるのは 2 通りです。 そこで、アとウを選んで 2C2 通り。 これですべてです。結局、 12C2 + 10C2 + 8C2 + 6C2 + 4C2 + 2C2 = 66 + 45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 161 通り (解法5) (解法4)を書き上げて、ふと思いついた解法。(解法4)では差に注目しましたが、和のままでもできますね。 もっとも、これは、実は、(解法1)と等価です。一巡しました (^^; ア＋イ＋ウ＋エ を考えると、1 + 2 + 3 + 4 = 10 〜 50 = 11 + 12 + 13 + 14 なので、ア＋エ＝イ＋ウ は、5 〜 25 の範囲をとります。 そして、5 〜 14 と 16 〜 25 とは、15 に関して対称というか、少なくとも個数に関しては同じになります。 さらに、和を 5 〜 15 範囲で一つ決めると、ア、イを決めることで、ウ、エは一つに決まってしまいます。 和を 5 とできるのは、2 通りになり、アとイを選んで 2C2 通り。 和を 6 とできるのは、2 通りになり、アとイを選んで 2C2 通り。 和を 7 とできるのは、3 通りになり、アとイを選んで 3C2 通り。 和を 8 とできるのは、3 通りになり、アとイを選んで 3C2 通り。 和を 9 とできるのは、4 通りになり、アとイを選んで 4C2 通り。 和を 10 とできるのは、4 通りになり、アとイを選んで 4C2 通り。 和を 11 とできるのは、5 通りになり、アとイを選んで 5C2 通り。 和を 12 とできるのは、5 通りになり、アとイを選んで 5C2 通り。 和を 13 とできるのは、6 通りになり、アとイを選んで 6C2 通り。 和を 14 とできるのは、6 通りになり、アとイを選んで 6C2 通り。 和を 15 とできるのは、7 通りになり、アとイを選んで 7C2 通り。 これと、対称な 16 〜 25 ですべてです。結局、 ((2C2 + 3C2 + 4C2 + 5C2 + 6C2) * 2) * 2 + 7C2 = ((1 + 3 + 6 + 10 + 15) * 2) * 2 + 21 = (35 * 2) * 2 + 21 = 161 通り まだまだ、ありそうな気が．．． 掲示板読んで勉強します ^^/ |
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ネコの住む家
4月7日（金） 9:04:09
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27124 |
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uchinyan |
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一応、掲示板読みました。やはりいろいろな解法があるようですが、大筋、私が気が付いたのと同じか、それに近いようです。
ただ、#27106, #27120は、場合分けの仕方が違うようです。 #27100, #27101, #27102, #27118 ここらは、プログラム。まぁ、コーディングは易しいですよね。 #27104, #27105, #27115, #27116 これは、私の#27124の(解法4)と(実は(解法3)とも)同じ。 ただし、#27116は、図形的な解釈が面白いですね。 それと、#27115の最初の「*」は「+」の間違いと思われます。 #27106, #27120 これは、アを決めてイを決めるという、別の場合分けをしています。 もっとも、これは、イ−ア を決めているということにはなるのですが、大分違いますよね。 #27108, #27111, #27112, #27119 これは、私の#27124の(解法5)と(実は(解法1)とも)同じ。 #27110 これは、基本的には、私の#27124の(解法1)と同じ。 ただし、足し算の仕方が違うようです。 #27114 これは、私の#27124の(解法2)と同じ。 |
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ネコの住む家
4月6日（木） 18:00:35
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27125 |
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??? |
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3つ分かれば残りの1つは自動的に決まるので、for next文またはwhile文は3つでいいはずです。
Option Explicit Sub Macro1() Sheets("Sheet1").Select Cells(1, 1).Value = 0 Range("A1").Select Dim a(4) As Integer Call saiki(1, a()) Range("A1").Select End Sub Sub saiki(ByVal n As Integer, ByRef a() As Integer) Dim j As Integer If n = 1 Then a(1) = 1 Else a(n) = a(n - 1) + 1 End If While a(n) <= 14 - (4 - n) If n < 4 - 1 Then Call saiki(n + 1, a()) Else a(4) = a(2) + a(3) - a(1) If a(3) < a(4) And a(4) <= 14 Then Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1 For j = 1 To 4 Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j) Next j Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select End If End If a(n) = a(n) + 1 Wend End Sub |
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4月6日（木） 16:44:30
27126 |
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uchinyan |
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#27124への追加
(解法6) (解法4)のちょっとした変形です。しかし、状況が大分変わり、規則性はあるものの、あまり簡単ではないようです。 あくまでも、比較の意味での、ご参考。 ア＋エ＝イ＋ウ を エ−イ＝ウ−ア と変形してみます。すると、1 〜 14 の範囲の制限より、差は、2 〜 12 が可能です。 差をこの範囲で一つ決めると、アを決めることでウは決まりますが、イはアとウの間を取ることが可能です。このとき、エは決まります。 ただし、アは、ウより大きいエが取れるように、差の取れる場合の数よりも一つ少ない数だけ選択可能で、 端のところではイの取れ方がずれてくることに注意します。具体的には、 差を 2 とできるのは、12 通りになり、アとイを選んで 11 * 1 通り。 差を 3 とできるのは、11 通りになり、アとイを選んで 9 * 2 + 1 通り。 差を 4 とできるのは、10 通りになり、アとイを選んで 7 * 3 + 2 + 1 通り。 差を 5 とできるのは、9 通りになり、アとイを選んで 5 * 4 + 3 + 2 + 1 通り。 差を 6 とできるのは、8 通りになり、アとイを選んで 3 * 5 + 4 + 3 + 2 + 1 通り。 差を 7 とできるのは、7 通りになり、アとイを選んで 1 * 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 通り。 差を 8 とできるのは、6 通りになり、アとイを選んで 5 + 4 + 3 + 2 + 1 通り。 差を 9 とできるのは、5 通りになり、アとイを選んで 4 + 3 + 2 + 1 通り。 差を 10 とできるのは、4 通りになり、アとイを選んで 3 + 2 + 1 通り。 差を 11 とできるのは、3 通りになり、アとイを選んで 2 + 1 通り。 差を 12 とできるのは、2 通りになり、アとイを選んで 1 通り。 これですべてです。結局、 11 * 1 + 9 * 2 + 7 * 3 + 5 * 4 + 3 * 5 + 1 * 6 + (1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)) * 2 = 11 + 18 + 21 + 20 + 15 + 6 + (1 + 3 + 6 + 10 + 15) * 2 = 91 + 35 * 2 = 161 通り なお、ある種の対称性があり、 差が 2 は、11 * 1 差が 3 と 12 を合わせると、(9 * 2 + 1) + 1 = 10 * 2 差が 4 と 11 を合わせると、(7 * 3 + 2 + 1) + (2 + 1) = 9 * 3 差が 5 と 10 を合わせると、(5 * 4 + 3 + 2 + 1) + (3 + 2 + 1) = 8 * 4 差が 6 と 9 を合わせると、(3 * 5 + 4 + 3 + 2 + 1) + (4 + 3 + 2 + 1) = 7 * 5 差が 7 と 8 を合わせると、(1 * 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) + (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 6 * 6 となりますが、これが、意味があるのかどうかは、少なくとも、今の私には分かりません。 |
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ネコの住む家
4月6日（木） 17:38:39
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27127 |
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uchinyan |
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なお、今までの掲示板の議論で明らか、と思いますが、1 〜 n の場合には、
f(n) = f(n-2) + (n-2)C2 for n >= 6, f(4) = 2C2 = 1, f(5) = 3C2 = 3 になるようですね。 |
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ネコの住む家
4月6日（木） 22:26:19
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27128 |
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fumio |
| こんばんは |
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4月6日（木） 23:27:06
27129 |
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Revin |
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恐るべきPerl
for($i = 1; $i <= 14; $i++){ for($j = 1; $j <= 14; $j++){ for($k = 1; $k <= 14; $k++){ for($l = 1; $l <= 14; $l++){ if($i == $j || $i == $k || $i == $l || $j == $k || $j == $l || $k == $l){ next; } @line = ($i, $j, $k, $l); @line = sort{$a <=> $b} @line; $calc = $line[0]*1000+$line[1]*100+$line[2]*10+$line[3]; if($record[$calc] != 0){ next; } $record[$calc]++; if($line[0] + $line[3] == $line[1] + $line[2]){ $count++; } } } } } print $count; |
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4月7日（金） 2:17:41
27130 |
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なか |
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PERL ならこんな感じでどうでしょう。
for $i(1..14){ for $j($i+1..14){ for $k($j+1..14){ for $l($k+1..14){ if($i+$l == $j+$k){ $c++; } }}}} print $c; |
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北国
4月7日（金） 3:47:51
MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page 27131 |
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mhayashi |
| d(≧▽≦)b わーい。初めて１位だー |
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関西
4月7日（金） 8:22:04
HomePage:M.Hayashi's Web Site 27132 |
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スモークマン |
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友人問・・・これは簡単？
x1,x2,........xnは各々1,0,-1のいずれかである。 これらの数の2つの数の積すべての和Σxixjの最小値を求めよ。 Σは1≦i＜j≦nを満たすすべての整数の組（i、j）についての和をあらわす。 前々回の天秤問の返事なし。。。(^^;) まあ、問題集も間違ってることもあるし・・・大目にお願いします。(OrZ) |
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金光
4月7日（金） 18:34:36
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27133 |
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ER部長 |
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ヘタレ Excel VBA プログラミング(X_X;
Option Explicit Sub ヘタレ解法() Dim a As Integer, i As Integer, u As Integer, e As Integer, kosuu As Integer With Worksheets("sheet1") kosuu = 0 For a = 1 To 14 For i = 1 To 14 For u = 1 To 14 For e = 1 To 14 If (((a < i) And (i < u) And (u < e)) And (a + e = i + u)) Then kosuu = kosuu + 1 Next e, u, i, a .Range("A1").Value = kosuu End With End Sub |
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4月7日（金） 23:22:39
27134 |
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ER部長 |
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ヘタレ Excel VBA プログラミング(X_X;
Option Explicit Sub ヘタレ解法() Dim a As Integer, i As Integer, u As Integer, e As Integer, kosuu As Integer With Worksheets("sheet1") kosuu = 0 For a = 1 To 14 For i = 1 To 14 For u = 1 To 14 For e = 1 To 14 If (((a < i) And (i < u) And (u < e)) And (a + e = i + u)) Then kosuu = kosuu + 1 Next e, u, i, a .Range("A1").Value = kosuu End With End Sub |
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4月7日（金） 23:25:52
27135 |
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uchinyan |
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#27133
(��[i=1,n] xi)^2 = ��[i=1,n] (xi)^2 + 2 * ��[1 <= i < j <= n] xi * xj なので、 2 * P ≡ 2 * ��[1 <= i < j <= n] xi * xj = (��[i=1,n] xi)^2 - ��[i=1,n] (xi)^2 右辺は、xi = -1 or 0 or 1 のときは、 (��[i=1,n] xi)^2 = 0 and ��[i=1,n] (xi)^2 = n のとき、最小です。 n が偶数のとき、例えば、x1 = 1, x2 = -1, ..., x_(n-1) = 1, x_n = -1 で実現可能で、2 * Pmin = - n, Pmin = - n/2 です。 しかし、n が奇数のときは、残念ながら、これはできません。 しかし、2 * P は整数なので、一つずれた - n + 1 を考えると、 例えば、x1 = 1, x2 = -1, ..., x_(n-2) = 1, x_(n-1) = -1, x_n = 1 で実現可能で、Pmin = - (n-1)/2 です。 そこで、まとめると、[ ] を通常のガウスの記号として、 Pmin = - [n/2] となるようです。 ただ、この解法だと、0 を使ってないですね。 どこか間違っているのだろうか．．．？ |
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ネコの住む家
4月8日（土） 9:06:09
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27136 |
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スモークマン |
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#27136 uchinyanさん、わたしも同じく・・・
-1の数をｘ 0の数をｙ 1の数をｚ とする。 それらの和は、 xC2+zC2-x*z=(x(x-1)+z(z-1))/2-xz =1/2(x^2-x(2z+1)+z^2-z) =1/2((x-(z+1/2))^2+z^2-z-(z+1/2)^2) =1/2((x-(z+1/2))^2-2z-1/4) つまり、x=z あるいは、x=z+1 のとき、和は、それぞれ、-z が最小となる。 x+y+z=n なので、y=0 のときを考えて、 2z=n のとき、つまり、n が偶数の時、-n /2が、 2z+1=n のとき、つまり、nが奇数の時、(-n+1)/2 がそれぞれ最小となる！ 0がないときが最小になることはこれで言えますよね！？ |
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金光
4月8日（土） 14:04:11
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27137 |
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信三 |
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なかさん 私も同じことをCでやりました。
ただ、ｉは１１まで、ｊは１２まで、ｋは１３までとしました。 すみません 冗談です。 |
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4月8日（土） 15:02:11
27138 |
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uchinyan |
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#27137
はい、0 は不要なようです。 ところで、最大は n(n-1)/2 でいいのでしょうか？ それと、いつも出題して頂いてばかりなので、たまには、こんな問題どうでしょう。 もとは、Webで見たのですが、(1)と(3)を足して２で割ったような、大学入試の問題だったと思います。 それを元に、作題してみました。 問題：(題意を明確にするために少し変えました。) 0 以上 100 以下の数を考えます。値がこの範囲にある、 (1) 分母が 3 である既約分数、2/3 とか 10/3 とかです、の合計を求めてください。 (2) 分母が 12 である既約分数の合計を求めてください。 もし可能ならば、数の範囲を、0 以上の整数 a と b に対して a 以上 b 以下として、値がこの範囲にある、 (3) 分母が素数 p である既約分数の合計を求めてください。 (4) 分母が 1 でない自然数 c である既約分数の合計を求めてください。 (1)と(2)は、算数だと思います。いろいろやってみれば、糸口は見つかるでしょう。 (4)は、あることを知らないと、式を書き下すのは難しいかもしれませんが、少し前に、この掲示板で話題になったことがあります。 (1)や(2)辺りは、算チャレの過去問にあったりして．．．？ |
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ネコの住む家
4月9日（日） 11:33:11
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27140 |
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スモークマン |
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#27140
問題ありがとうございま〜す！ 考えてみました・・・ 回答 １）Σ(1~100)-(3*Σ(1~33))/3=(100*101-3*33*34)/6=6734/6 =3267/3=1089 ２）12=2^2*3 だから、2,3で割れるものを除けば、その中には、4,6,12で割れるものも除かれている。 分母が3のものは求められているので、 分母が2のもの、６のを求めると、 それぞれ、Σ(1~100)-(2*Σ(1~50)=(100*101-2*50*51)/2=2500 Σ(1~100)-(6*Σ(1~16))=(100*101-6*16*17)/2=4234 つまり、3267-2500+4234=5001 なので、求めるものは、5001/12=1667/4 ３）(Σ(a~b)-p*(Σ(1~[b/p])-(Σ(1~[a/p]))/p でいいのかな？ ４）は、かなりややこしくなりそう・・・？ |
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金光
4月8日（土） 19:24:15
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27141 |
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uchinyan |
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#27141
うーん、残念ながら違うようです。もっときれいな値になります。 まず、0 〜 1 の場合、0 〜 2 の場合、0 〜 10 の場合などを考えてみてください。 |
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ネコの住む家
4月8日（土） 21:18:02
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27142 |
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スモークマン |
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#27142
分母が3であるような規約分数で、その値が、0〜100ってことですね？ わたしは、勝手に、分子が1〜100だと思ってました。。。 なら、 １）は、Σ(1~300)-3*Σ(1~100)=(300*301-3*100*101)/2=30000 だから、求めるものは、30000/3=10000 ？ ２）は、2*Σ(1~600)=2*600*601/2=1200*601/2 3*Σ(1~400)=3*400*401/2=1200*401/2 6*Σ(1~200)=6*200*201/2=1200*201/2 Σ(1~1200)-1200*601/2-1200*401/2+1200*201/2=1200(1201-601-401+201)/2=1200*400/2=240000 求める値は、240000/12=20000 こんな感じでしょうか？（確かに綺麗・・・） 分母の素数が一個なら10000，m個なら、m*10000 かな？ 3）、4）は、もうちょっと考えて見て分かれば書き込みさせていただきま〜す！ |
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金光＠岡山
4月8日（土） 23:08:14
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27143 |
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uchinyan |
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#27143
＞分母が3であるような規約分数で、その値が、0〜100ってことですね？ はい、そのつもりでした。言葉足らずだったかな。 (1), (2) ともに、正解です！ 要は．．． (1)は、0 〜 1 で 1/3 + 2/3 = 1、1 〜 2 で 4/3 + 5/3 = (1 + 1/3) + (1 + 2/3) = 2 + (1/3 + 2/3)、．．．となるので、 後は、これをうまく足せばいいだけです。 (2)も同様で、0 〜 1 で 1/12 + 5/12 + 7/12 + 11/12 = 2、 1 〜 2 で 13/12 + 17/12 + 19/12 + 23/12 = (1 + 1/12) + (1 + 5/12) + (1 + 7/12 + (1 + 11/12) = 4 + (1/12 + 5/12 + 7/12 + 11/12)、．．． がポイントですね。 これは、(3), (4)のヒントにもなっています ^^; |
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ネコの住む家
4月9日（日） 0:06:28
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27144 |
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しんちゃん |
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uchinyanさんの問題の答
(1) 10000 (2) 20000 (3) 5000(P−1) (4) 1以上C以下の整数で、Cと互いに素な数(1も含む)の個数をｎ、和をｍとすれば 4950*ｎ＋100*ｍ/C になりそうですが、ｎやｍを求める一般的な公式があるのかな？ |
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4月9日（日） 1:26:38
27145 |
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uchinyan |
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#27145
しんちゃん さん、解答ありがとうございます。 (1), (2)は、正解！ (3)は、a = 0, b = 100 の場合ですね。その意味で、正解。一般の a, b の場合も考えてみてください。 (4)ですが、m は n と c で書けます。実は、ちょっと難しいですが、n も計算できます。 [ちょっと追加] 「計算できる」というのは、c を与えたときに n を計算できる方法がある、という意味です。 そこで、n は c の関数、n = φ(c) ですが、残念ながら、n を c だけで直接に書き下すことはできないようです。 もっとも、c を変形して、そのときに現れるものを使えば、式を書くことができますが．．．^^; したがって、答えは、n、つまり φ(c)、と c とで表現できれば、OKです。 [追加終] 算チャレの第470回の過去ログ、正解者掲示板、の私の書き込みの辺りにヒントがあります。 可能ならば、(一般の a, b でも、)チャレンジしてみてください。 |
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ネコの住む家
4月9日（日） 11:25:29
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27146 |
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しんちゃん |
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uchinyanさんの問題
(3) a,b の場合は、 (a+b)*(-a+b)*(p-1)/2 でしょうか？ (4) は、今のところ短時間では(時間をかけても？)解けそうにありません。 暇なときにuchinyanさんの書き込みを読んで考えてみますね。 面白い問題をありがとうございます。花見に行ってきま〜す。 |
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4月9日（日） 10:21:47
27147 |
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uchinyan |
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#27147
(3)は正解です！ (4)は、更なるヒントとして、私の書き込み#27146の追加部分をご覧ください。もちろん、(3)の自然な拡張になっています。 |
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ネコの住む家
4月9日（日） 11:29:09
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27148 |
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uchinyanさんの問題
(4) 結果を見てびっくり！こんなに簡単な式で良いのでしょうか？ (a＋b)*(−a＋b)*φ(c)/2 になりました。 過去問題の書き込みの見方がわからなくて・・・。やっと読めました。 uchinyanさんありがとうございます。 |
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4月10日（月） 17:46:10
27149 |
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スモークマン |
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#27140 0 から考えないといけないんですね。。。
3) ((Σ(0~pb)-Σ(0~pa)+pa)-p(Σ(0~b)-Σ(0~a)+a)/p =((pb(pb+1)-pa(pa+1)-p(b(b+1)-a(a+1))/2p =(p(b^2-a^2)-(b^2-a^2))/2 =(p-1)(b^2-a^2)/2 でも、4) は、下の方を読んでもよく分かりません。。。(^^;) |
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金光
4月9日（日） 14:45:52
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27151 |
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uchinyan |
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#27149
＞(a＋b)*(−a＋b)*φ(c)/2 はい、正解です。きれいな結果でしょう ^^/ お花見は、どうでしたか？ #27151 (3)は、正解です！ (4)は、スモークマンさんのやり方だと、ツライと思います。 私の#27144を発展させる感じで考えてみてください。 c = 12 のとき、 0 〜 1 で 1/12 + 5/12 + 7/12 + 11/12 = 2 1 〜 2 で 13/12 + 17/12 + 19/12 + 23/12 = (1 + 1/12) + (1 + 5/12) + (1 + 7/12 + (1 + 11/12) = 4 + (1/12 + 5/12 + 7/12 + 11/12) ．．． でしたよね。 各区間で計算に現れる既約分数の個数が、c と互いに素な c 以下の自然数の個数 φ(c) に、分子がそれら自然数に、なります。 また、c と互いに素な c 以下の自然数の和というのは、算チャレの第470回に掲示板で議論したのですが、1/2 * c * φ(c) になります。 #25898, #25903, #25908 辺りをご覧ください。 後、��[i=a,b-1]{i} = ��[i=1,b-1]{i} - ��[i=1,a-1]{i} をうまく使ってみてください。 (細かいことを言うと、a = 0,1, b = 0,1 では上の�瑤亮阿六箸┐泙擦鵝�ただ、結果は容易に分かると思います。) ちなみに、c = p のとき、φ(p) = p-1 になって、(4)は(3)の自然な拡張であることも分かると思います。 |
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ネコの住む家
4月9日（日） 16:04:42
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27152 |
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スモークマン |
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#27152
ヒントをそのまま使って。。。 ４）は、、、 0~b のとき、Σ(0~b)*φ(c)+2*1/2*c*φ(c)/c=(Σ(0~b)+1)*φ(c) 0~a のとき、(Σ(0~a)+1)*φ(c) つまり、 上式ー下式=(Σ(0~b)-Σ(0~a))*φ(c) =((b(b+1)-a(a+1))*φ(c)/2 =(b-a)(b+a-1)*φ(c)/2 どっかおかしい？？ |
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金光
4月9日（日） 18:23:32
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27153 |
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ER部長 |
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こんなのはどうでしょう？？
・a以上b以下の自然数をq、a≦p≦bを満たす素数をpとする。 pを分母,qを分子とする分数（ q/p ということです。）で既約分数の合計を 求めてください。 |
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4月9日（日） 18:47:32
27154 |
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uchinyan |
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#27153
注意して考えてください。足す範囲が微妙に違います。また、1/2 * c * φ(c) の項は、(b-a) 個だけ残るはずです。 c = 12 のときは、 0 〜 1 で 1/12 + 5/12 + 7/12 + 11/12 = 2 1 〜 2 で 13/12 + 17/12 + 19/12 + 23/12 = ... = 4 + (1/12 + 5/12 + 7/12 + 11/12) ．．． でしたよね。一般の c では、 0 〜 1 で、0 * φ(c) + 1/2 * c * φ(c) * 1/c 1 〜 2 で、1 * φ(c) + 1/2 * c * φ(c) * 1/c ．．． a-1 〜 a で、(a-1) * φ(c) + 1/2 * c * φ(c) * 1/c a 〜 a+1 で、a * φ(c) + 1/2 * c * φ(c) * 1/c ．．． b-1 〜 b で、(b-1) * φ(c) + 1/2 * c * φ(c) * 1/c のハズです。 |
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ネコの住む家
4月9日（日） 22:02:05
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27155 |
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ER部長 |
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こんなのはどうでしょう？？
・a以上b以下の自然数をq、a≦p≦bを満たす素数をpとする。 pを分母,qを分子とする分数（ q/p ということです。）で既約分数の合計を 求めてください。 |
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4月9日（日） 18:54:57
27156 |
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ER部長 |
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こちらの掲示板でも解答を受け付けておりますのでよろしくお願いしますm(__)m
http://8915.teacup.com/tacky_bingo/bbs |
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4月9日（日） 18:55:59
27157 |
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ER部長 |
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こちらの掲示板でも解答を受け付けておりますのでよろしくお願いしますm(__)m
http://8915.teacup.com/tacky_bingo/bbs |
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4月9日（日） 18:56:21
27158 |
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スモークマン |
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#27155
uchinyanさんへ。 やっと求めることができました。。。 ４） 0~b のとき、Σ(0~(b-1))*φ(c)+b*1/2*c*φ(c)/c=(Σ(0~(b-1))+b)*φ(c) 0~a のとき、(Σ(0~(a-1))+a)*φ(c) つまり、 上式ー下式=(Σ(0~(b-1))-Σ(0~(a-1)+(b-a)*1/2)*φ(c) =((b-1)b-(a-1)a+(b-a))*φ(c)/2 =(b^2-a^2)*φ(c)/2 でも難しかったなあ・・・わたしには (^^;) |
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金光
4月9日（日） 20:19:38
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27159 |
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スモークマン |
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#27154
ER部長さんへ。 考えてみました。。。 (Σ(a~(p-1))+(Σ(p~b)-pΣ(1~[b/p]))/p =((a+p-1)(p-a)+(p+b)(b-p+1)-p(1+[b/p])([b/p]))/2p =((b+a)(b-a+1)-p(1+[b/p])([b/p]))/2p あまりきれいでないから、また間違ってるかなあ・・・？ PS:ER部長さんのご指摘で気付きました。最後の式の+を-に直しました。(OrZ) |
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金光
4月9日（日） 21:17:12
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27160 |
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ＥＲ部長 |
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#27160
正解です(^O^)/ さすがですね(^_-)-☆ |
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4月9日（日） 20:59:00
27161 |
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ER部長 |
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#27160
あ、でも一番最後の式に一カ所だけ符号が違う所があります(^^ゞ |
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4月9日（日） 21:02:27
27162 |
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スモークマン |
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#27162
あっ、たしかに。直しときました。 これでよかったんですね！？ ホッ(^^) |
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金光
4月9日（日） 21:18:34
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27163 |
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uchinyan |
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ER部長さんの問題ですが、p は固定、つまり、p についての和は取らなくていい、という題意なのですか？
それと、a, b によっては、p が存在しない場合もありますよね。 |
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ネコの住む家
4月9日（日） 22:00:09
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27164 |
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スモークマン |
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#27164
わたしも最初、a~b の間にあるすべての p に関してかと思いましたが、、、 単純に固定して考えました。。。 p もあるものとして。。。 b は少なくとも、2a 以上なら必ず１個は p が存在するようですね！？ 放浪の数学者エルデシュでしたかの証明をみたことがありますがよく分かりませんでした。。。(^^;) |
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金光
4月9日（日） 22:24:32
MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 27165 |
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ER部長 |
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スモークマンさん了解しました(^^ゞ
pは固定ですね。あとご指摘の通り、a、bの範囲の取り方によっては存在しないですよね(´〜`；) 甘かったかな(>_<) |
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4月9日（日） 23:01:14
27166 |
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ER部長 |
| はっきりしない曖昧な問題で申し訳ありませんm(__)m |
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4月9日（日） 23:06:26
27167 |
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uchinyan |
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#27159
ごめんなさい。うっかりしていました。 ＞(b^2-a^2)*φ(c)/2 もちろん、正解です！ おめでとうございます ^^/ ＞でも難しかったなあ・・・わたしには (^^;) (4)は、予備知識がないと難しいと思います。 なお、以前にも書きましたが、φ(c)は、オイラー関数と呼ばれる有名な関数です。 第470回の私の書き込みのリンク先や、Webで調べて頂ければ、具体的な計算の仕方も分かると思います。 知っておくと、いろいろ便利ですよ。 #27165 ＞b は少なくとも、2a 以上なら必ず１個は p が存在するようですね！？ そういえば、そういう定理ありましたね。 残念ながら、私は証明を読んだことはないのですが．．． |
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ネコの住む家
4月10日（月） 15:36:25
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27168 |
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しんちゃん |
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c と互いに素な c 以下の自然数の和が、1/2 * c * φ(c) になるとは！！
とても不思議に感じましたが、ｃの素因数が3種類以下の場合は、ベン図をかいたりして納得しました。 算数とは言えないのでしょうが、一見不思議でも、よくよく考えるとなるほどと納得です。 皆さんも同じかと思いますが、この、なるほど、と思えたときの快感が好きです。 花見は、前日の強風でかなり散っていましたが、大勢の人出でした。 花見より人見という感じでしたが、楽しそうな人を見るのも楽しかったですよ。 |
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4月10日（月） 18:10:39
27169 |
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ｔａｐｕ |
| かたくなに162と信じて疑いませんでした。 |
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4月10日（月） 18:58:07
27170 |
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uchinyan |
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今週の問題に戻って．．．
#27128の補足 ＞なお、今までの掲示板の議論で明らか、と思いますが、1 〜 n の場合には、 ＞f(n) = f(n-2) + (n-2)C2 for n >= 6, f(4) = 2C2 = 1, f(5) = 3C2 = 3 ＞になるようですね。 #27124の(解法3)や(解法4)の結果から類推すれば「明らか」なのですが、ナイーブに考えるとそうでもなさそうでした。 そこで、ナイーブに考えた#27124の(解法1)に準じた方法で、(解法7)として、一応、証明しておきましょう。 なお、規則性のポイントは、#27124の(解法1)と同じになります。 (解法7) 今、1 〜 n までとして、このときの取り出し方を f(n) 通りとします。 これは、1 〜 n-1 に、n を追加した場合と考えられます。 明らかに、エが n-1 以下の場合には f(n-1) 通りなので、新たに考えなければならないのは、エ = n の場合だけです。 そこで、ア＋エ＝ア＋n に関して、場合分けしてみます。 実際にやってみると、n が偶数か奇数かで、分けて考える必要があることが分かります。 ・n が偶数の場合 (1) ア = 1 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝n+1 です。 イは 2 〜 n/2、ウは n-1 〜 (n+2)/2 が可能です。したがって、(n-2)/2 通り。 (2) ア = 2 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝n+2 です。 イは 3 〜 n/2、ウは n-1 〜 (n+4)/2 が可能です。したがって、(n-4)/2 通り。 (3) ア = 3 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝n+3 です。 イは 4 〜 (n+2)/2、ウは n-1 〜 (n+4)/2 が可能です。したがって、(n-4)/2 通り。 (4) ア = 4 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝n+4 です。 イは 5 〜 (n+2)/2、ウは n 〜 (n+6)/2 が可能です。したがって、(n-6)/2 通り。 ．．． (n-6) ア = n-6 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝2n-6 です。 イは n-5 〜 n-4、ウは n-1 〜 n-2 が可能です。したがって、2 通り。 (n-5) ア = n-5 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝2n-5 です。 イは n-4 〜 n-3、ウは n-1 〜 n-2 が可能です。したがって、2 通り。 (n-4) ア = n-4 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝2n-4 です。 イは n-3 だけ、ウは n-1 だけが可能です。したがって、1 通り。 (n-3) ア = n-3 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝2n-3 です。 イは n-2 だけ、ウは n-1 だけが可能です。したがって、1 通り。 これで、すべてです。結局、新たに追加されるのは、 2 * (1 + 2 + ... + (n-4)/2) + (n-2)/2 = 2 + 4 + ... + (n-4) + (n-2)/2 通り です。 ・n が奇数の場合 (1) ア = 1 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝n+1 です。 イは 2 〜 (n-1)/2、ウは n-1 〜 (n+3)/2 が可能です。したがって、(n-3)/2 通り。 (2) ア = 2 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝n+2 です。 イは 3 〜 (n+1)/2、ウは n-1 〜 (n+3)/2 が可能です。したがって、(n-3)/2 通り。 (3) ア = 3 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝n+3 です。 イは 4 〜 (n+1)/2、ウは n-1 〜 (n+5)/2 が可能です。したがって、(n-5)/2 通り。 (4) ア = 4 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝n+4 です。 イは 5 〜 (n+3)/2 、ウは n-1 〜 (n+5)/2 が可能です。したがって、(n-5)/2 通り。 ．．． (n-6) ア = n-6 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝2n-6 です。 イは n-5 〜 n-4、ウは n-1 〜 n-2 が可能です。したがって、2 通り。 (n-5) ア = n-5 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝2n-5 です。 イは n-4 〜 n-3、ウは n-1 〜 n-2 が可能です。したがって、2 通り。 (n-4) ア = n-4 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝2n-4 です。 イは n-3 だけ、ウは n-1 だけが可能です。したがって、1 通り。 (n-3) ア = n-3 の場合：イ＋ウ＝ア＋エ＝2n-3 です。 イは n-2 だけ、ウは n-1 だけが可能です。したがって、1 通り。 これで、すべてです。結局、新たに追加されるのは、 2 * (1 + 2 + ... + (n-5)/2 + (n-3)/2) = 2 + 4 + ... + (n-5) + (n-3) 通り です。 まとめると、 n が偶数のとき f(n) = f(n-1) + 2 + 4 + ... + (n-4) + (n-2)/2 n が奇数のとき f(n) = f(n-1) + 2 + 4 + ... + (n-5) + (n-3) ただし初期値として、f(4) = 1 です。 漸化式としてはこれで十分ですが、少し見にくい形です。しかし、次の変形ができます。もっとも、結果を知らないととても気付きませんが (^^; n が偶数のとき、n-1 は奇数なので、 f(n) = f(n-1) + 2 + 4 + ... + (n-4) + (n-2)/2 = f(n-2) + 2 + 4 + ... + ((n-1)-5) + ((n-1)-3) + 2 + 4 + ... + (n-4) + (n-2)/2 = f(n-2) + 2 + 4 + ...(項が (n-4)/2 個ある！)... + (n-6) + (n-4) + 2 + 4 + ... + (n-4) + (n-2)/2 = f(n-2) + (2 - 1) + (4 - 1) + ... + ((n-6) - 1) + ((n-4) - 1) + (n-4)/2 + 2 + 4 + ... + (n-4) + (n-2)/2 = f(n-2) + 1 + 3 + ... + (n-7) + (n-5) + 2 + 4 + ... + (n-4) + (n-2)/2 + (n-4)/2 = f(n-2) + 1 + 3 + ... + (n-7) + (n-5) + 2 + 4 + ... + (n-6) + (n-4) + (n-3) = f(n-2) + 1 + 2 + 3 + ... + (n-5) + (n-4) + (n-3) = f(n-2) + (n-2)(n-3)/2 = f(n-2) + (n-2)C2 同様の計算は、n が奇数の場合でもできて、結局、すべての n に対して、 f(n) = f(n-2) + (n-2)C2 が、いえます。なお、この漸化式の場合には、初期値としては、f(4) = 1, f(5) = 3 が必要になります。 |
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ネコの住む家
4月11日（火） 13:48:15
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27171 |
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issei |
| なぜか６６と考えていました |
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4月12日（水） 16:02:07
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