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JUN |
| 最高点と最低点の差を１から４まで考えて、それぞれの場合の組合せを合計しました。 |
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Sapporo
7月20日（木） 0:07:15
27862 |
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吉川 マサル |
| う、メイルでの解答を見ると、50と70に２分してる...。文章が２通りに読めたりするとか..でしょうか。（不安...） |
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PowerBook G4
7月20日（木） 0:07:51
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27863 |
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ゴンとも |
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FOR a=1 TO 5
FOR b=1 TO 5 FOR c=1 TO 5 FOR d=1 TO 5 IF a<=b AND a<=c AND a<=d AND c<=b AND d<=b AND c<b AND a<d THEN PRINT a;b;c;d NEXT d NEXT c NEXT b NEXT a END で50通り |
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豊川市
7月20日（木） 0:09:23
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 27864 |
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おかひで博士 |
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70じゃないですか
ツヨシは「負けてない」ということは同点最下位もあるので |
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7月20日（木） 0:09:31
27865 |
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おかひで博士 |
| ・・・と、言ってる私も５０の後に７０を送信しましたが |
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7月20日（木） 0:10:19
27866 |
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吉川 マサル |
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#27865
あ、しまった...。「勝った」にしなくちゃいけなかったんだ..。m(__)m |
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PowerBook G4
7月20日（木） 0:11:28
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27867 |
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ミキティ |
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何か不審なことがあったんでしょうかね……。
70通りか、最高・最低にタイを含まない20通りかと。 |
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7月20日（木） 0:13:56
27870 |
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kasama |
| う〜ん。私も７０を送ったのですけど。。。 |
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7月20日（木） 0:14:10
27871 |
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吉川 マサル |
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というわけで、とりあえず「70」を正解に訂正いたしました。m(__)m
私は、最初「ツヨシはマサルには勝った」つもりで問題を作成したのですが、文章化するときに「負けてない＝勝った」としてしまいました。申し訳ありませんでした。m(__)m |
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PowerBook G4
7月20日（木） 0:14:13
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27872 |
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kasama |
| レ(￣ー￣)ナットクです!!(￣^￣/) |
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7月20日（木） 0:15:25
27873 |
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sugitakukun |
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やはり、問題文の解釈に手間取った方が多そうで。
かくいう私も、 「最高、最低が単独なら２０通り」→「同点優勝もありだから５０通り」→「『負けてない』だから７０通り」と迷走しましたorz |
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7月20日（木） 0:16:06
27874 |
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ヘラクレス辻。 |
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最高のツヨシくんと最低のマサルさんを固定して場合わけしました。
マサヒコくんの台詞は負けなかった＝勝ちor同点 ということで マサルさんの台詞と同値っぽいので無視しました。 個人的には、マサルさん・マサヒコ君の名前を計算用紙に書くのが面倒くさかったです（ぼそ） 他の２人はツヨシ君→ツ トモエさん→ト なんですが・・・ |
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第参新埼玉市
7月20日（木） 0:16:13
HomePage:ドンピシャ 27875 |
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ファルコン |
| 「負けていない」という表現がポイントだと思ったのですが。 |
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7月20日（木） 0:17:36
27876 |
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おかひで博士 |
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ツヨシとマサルの点差に注目して
この２人の点数 トモエの点数 ツヨシの点数 １点差のとき、 ４ × １ × ２ ２点差のとき、 ３ × ２ × ３ ３点差のとき、 ２ × ３ × ４ ４点差のとき、 １ × ４ × ５ |
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7月20日（木） 0:21:29
27877 |
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ゴンとも |
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#27864
でifの条件でc<bでなくc<=bとして訂正して FOR a=1 TO 5 FOR b=1 TO 5 FOR c=1 TO 5 FOR d=1 TO 5 IF a<=b AND a<=c AND a<=d AND c<=b AND d<=b AND c<=b AND a<d THEN PRINT a;b;c;d NEXT d NEXT c NEXT b NEXT a END でrunして70通り 私もオフ会に参加させていただきました。 あのランキングがネット上に!!でると知り目覚ましで起きました。 6位は厳しすぎのような感じですが投げていたらもっと無理なので 来週も目覚ましでいきたいと思います。 |
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豊川市
7月20日（木） 0:22:39
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 27878 |
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きょろ文 |
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最高点が一人という思い込みをしていた俺は論外ですかね＾＾；
A<D<C<B ・・・5 A<C<D<B ・・・5 A<C=D<B ・・・10 A=C<D<B ・・・10 A=C<D=B ・・・10 A<C<D=B ・・・10 よって50通り 負けていない=同点もありなら A=D<C<B ・・・10 A=D=C<B ・・・10 で70通り ※5つの数字から4つまたは3つ、2つを選べば得点は自動的に決まるを使って計算すると速いです |
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√2の隣
7月20日（木） 0:23:25
MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド 27879 |
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吉川 マサル |
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ご迷惑をおかけしてすみませんでした...。完全なチェック不足です。（簡単な問題にしようと決めていたので、気が抜けていました..）申し訳ありませんでした。m(__)m
#27874 せっかくの「ポイントランキングお披露目」の週にミスってしまって申し訳ありません。しかし、いずれにしても（私がミスっていたときも、訂正後も）１位ってのはスゴイです。 |
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PowerBook G4
7月20日（木） 0:22:46
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27880 |
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＜Melvy＞ |
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なるほど，そういうことでしたか．
70 を送ったのですがトップにも名前が出ないし掲示板にも入れない，ということで必死に間違い探しをしていました． 次に考えたのはやはり 「最高・最低が単独」 の 20 でした (が，計算を間違えていました)．50 は思いつきませんでしたね． |
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7月20日（木） 0:23:30
HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記 27881 |
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sugitakukun |
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#27880
いえいえ。こちらこそ、泥臭く全ての可能性をつぶすような送信をしてすみません^^; さて、マサルさんも仰ってますが、ポイントランキングを公開しました。 基本的には、佐藤彰夫さんが集計していらっしゃったものと同じもので、１０年間、５１０回分（今週も集計済み）を半年ごとにまとめてあります。 どうぞ一度ごらんになってください（と宣伝してみるｗ） http://www.geocities.jp/sugitakukun/ |
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7月20日（木） 0:35:10
27882 |
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スモークマン |
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マサル＜=マサヒコ＜＝トモエ＜ツヨシ か、
マサル＜=トモエ＜=マサヒコ＜ツヨシ になりますよね？ ツヨシは2,3,4,5 点の場合しか考えられないので、 2-1,1,1 の1個。 3-2,2,2 -2,2,1 -2,1,1 の3個に+1個=4個。 4-3,3,3 -3,3,2 -3,3,1 -3,2,2 -3,2,1 -3,1,1 の6個に+4個=10個。 5-4,4,4 -4,4,3 -4,4,2 -4,4,1 -4,3,3 -4,3,2 -4,3,1 -4,2,2 -4,2,1 -4,1,1 の10個+10個=20個。 合計=1+4+10+20=35 その倍だから、2*35=70 通り。 もっと簡単にできそうな予感が・・・ |
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金光＠岡山
7月20日（木） 0:36:04
27883 |
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おかひで博士 |
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ランキング見させて頂きました
総合で、私おかひでが１位になったことがないのに、１回カウントされていました 何かのミスでは？と思うのですが |
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7月20日（木） 0:37:54
27884 |
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sugitakukun |
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#27884
取ってますよ〜 第３２４回です。 というか、この手の話題は全て私のＨＰの方でお願いしますね^^; |
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7月20日（木） 0:42:57
27885 |
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tomh |
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#27882
素晴らしい〜! (^0^) sugitakukunさん、これからも継続していって下さいね。 (^.^) |
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新潟市
7月20日（木） 0:44:55
MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M 27886 |
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fumio |
| まいったなー・・・ははは。 |
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7月20日（木） 0:51:28
27887 |
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fumio |
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ポイントランキング復活！おめでとうございます。
いいですね。sugitakukunさん、がんばってください。 |
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7月20日（木） 1:07:35
27888 |
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fumio |
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ポイントランキング復活！おめでとうございます。
いいですね。sugitakukunさん、がんばってください。 |
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7月20日（木） 1:08:49
27889 |
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ビューティーフルーツWITHキムタクアンド俺 |
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３度目の正直でした。
条件を２回も勘違いしてました。アホです・・・ |
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ビューティー島
7月20日（木） 1:29:11
27890 |
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仮面ランナー サブスリー |
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呑み込みが悪いので、皆さんの書き込みを読んでかえってしばらく混乱していたのですが、 結局、整理すると以下のようになるでしょうか。 マサル君＜マサヒコ君＜＝トモエさん＜ツヨシ君 （「最高点、最低点とも一人」） マサル君＜=トモエさん＜=マサヒコ君＜ツヨシ君 （「最高点は一人だが、最低点は一人とはかぎらない」） マサル君＜トモエさん＜=マサヒコ君＜=ツヨシ君 （「最低点は一人だが、最高点は一人とはかぎらない」） 「最高点が一人、最低点が一人は 5C4*2+5C3＝２０通り」 「最高点が一人、最低点が複数は 5C3*2+5C2＝３０通り」 「最高点が複数（マサヒコ君＝ツヨシ君）、最低点が一人は 5C3＝１０通り」 「最高点が複数（マサヒコ君＝ツヨシ君）、最低点が複数は 5C2＝１０通り」 「最高点が一人、最低点が一人なら２０通り」 これに対して 「同点最下位も含める（同点優勝は含めない）と５０通り」 「同点優勝も含める（同点最下位は含めない）と３０通り」 「同点優勝も同点最下位も含めると７０通り」 ちなみに私は２０通り、３０通り、５０通り、７０通り、どれも送ってしまいました。 |
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7月20日（木） 1:56:42
27891 |
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あほ |
| 国語の問題だな、これは。今週だけ国語にチャレンジ！！って変えたらどうですか？ |
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7月20日（木） 1:56:27
27892 |
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uchinyan |
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はい、おはようございます。さて、今回の問題ですが．．．
「負けませんでした≠勝ちました」がポイントなのかな、とも思いますが、ちょっとね。 後は、条件を不等号で整理して、マサルさんが４点から１点まで可能なことに注意すれば、ただ、数えるだけ。 1 * 2 + (1 * 2 + 2 * 3) + (1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4) + (1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + 4 * 5) = 2 + (2 + 6) + (2 + 6 + 12) + (2 + 6 + 12 + 20) = 2 + 8 + 20 + 40 = 70 通り 一応、規則性とかもありますが、まぁ、ほとんど明らかなのでいいでしょう。 算チャレとしては今一つなのですが、何か隠れているのかな？ #27892 ＞国語の問題だな、これは。今週だけ国語にチャレンジ！！って変えたらどうですか？ これはちょっと言い過ぎかなぁ、とも思いますが、確かにそんな感じもしてしまう．．． |
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ネコの住む家
7月20日（木） 9:27:09
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27893 |
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吉川 マサル |
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#27892
> 国語の問題だな、これは。 はい、その国語の問題に自分自身もひっかかってしまいました...。 #27893 > 算チャレとしては今一つなのですが、何か隠れているのかな？ いえ、何も..。強いて言えば、n点満点としたときの一般解ですけど、これもさほど面白いものではないです。この問題、数年前の京大の理系後期の入試問題を改題したものでして、原題はもちろん一般解を求めるものでした。 趣旨としては、前回が「アイディアが浮かばないと解けない問題」だったので（三平方とか座標とか、飛び道具を使えば解けますが）、今回は「簡単な問題かつ作業すれば解ける問題」にしようという意図を持って作成しました。が、そんなわけでちょっと気を抜いてしまいました...。m(__)m |
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PowerBook G4
7月20日（木） 10:25:37
MAIL:masaru-y@san su.org HomePage:算チャレ 27894 |
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uchinyan |
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掲示板、読みました。が、#27894にマサルさんが書かれているように、掲示板には特に面白そうな話はないようです。
でも、一応、感想＋α など。 #27872 ＞というわけで、とりあえず「70」を正解に訂正いたしました。m(__)m ＞私は、最初「ツヨシはマサルには勝った」つもりで問題を作成したのですが、 ＞文章化するときに「負けてない＝勝った」としてしまいました。申し訳ありませんでした。m(__)m 私が、ポイントなのかな、と思った表現は、マサルさんの出題ミスだったんですか．．． 確かに、言葉での表現は難しいですね．．． ちなみに、「勝ちました」にすれば、 1 * 1 + (1 * 1 + 2 * 2) + (1 * 1 + 2 * 2 + 3 * 3) + (1 * 1 + 2 * 2 + 3 * 3 + 4 * 4) = 1 + (1 + 4) + (1 + 4 + 9) + (1 + 4 + 9 + 16) = 1 + 5 + 14 + 30 = 50 通り ますます、規則性が見えてきますね。 後は、どの解釈でどうやって数えるかがいろいろありますが、まぁ、どれもやればできる、という感じなので、省略します。 ちなみに、あくまでもご参考ですが．．． #27894 ＞いえ、何も..。強いて言えば、n点満点としたときの一般解ですけど、これもさほど面白いものではないです。 一問一点で n 点満点とすれば、(済みません。少しミスがありました。修正しました。) ・「負けませんでした≠勝ちました」の場合 マサルさんは、(n-1) 点 〜 1 点をとれて、マサルさんが k 点のときの場合の数 a(k) が、 a(k) = 1 * 2 + 2 * 3 + ... + (n-k) * (n-k+1) = ��[i=1,n-k] {i(i+1)} = ��[i=1,n-k] {i^2 + i} = (n-k)(n-k+1)(2n-2k+1)/6 + (n-k)(n-k+1)/2 = (n-k)(n-k+1)(n-k+2)/3 = 2 * C(n-k+2,3) になるので、全体の場合の数 S は、二項係数の関係 C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r) を使って S = ��[k=1,n-1] {a(k)} = ��[k=1,n-1] {2 * C(n-k+2,3)} = 2 * ��[k=1,n-1] C(n-k+2,3) = 2 * (C(n+1,3) + C(n,3) + ... + C(5,3) + C(4,3) + C(3,3)) = 2 * (C(n+1,3) + C(n,3) + ... + C(5,3) + C(4,3) + C(4,4)) = 2 * (C(n+1,3) + C(n,3) + ... + C(5,3) + C(5,4)) = 2 * (C(n+1,3) + C(n,3) + ... + C(6,4)) = ... = 2 * C(n+2,4) 通り or = (n+2)(n+1)n(n-1)/12 通り ・「負けませんでした→勝ちました」の場合 マサルさんは、(n-1) 点 〜 1 点をとれて、マサルさんが k 点のときの場合の数 a(k) が、 a(k) = 1 * 1 + 2 * 2 + ... + (n-k) * (n-k) = ��[i=1,n-k] {i^2} = (n-k)(n-k+1)(2n-2k+1)/6 になるので、全体の場合の数 S は、 S = ��[k=1,n-1] {a(k)} = ��[k=1,n-1] {(n-k)(n-k+1)(2n-2k+1)/6} = 1/6 * ��[k=1,n-1] {(k^2 - (2n+1)k+ n(n+1))(-1)(2k - (2n+1))} = 1/6 * ��[k=1,n-1] {- 2 * k^3 + (6n+3) * k^2 - (2n(n+1) + (2n+1)^2) * k + n(n+1)(2n+1)} = 1/6 * {- 2 * 1/4 * (n-1)^2 * n^2 + (6n+3) * 1/6 * (n-1)n(2n-1) - (2n(n+1) + (2n+1)^2) * 1/2 * (n-1)n + n(n+1)(2n+1) * (n-1)} = 1/12 * n(n-1) * {- (n-1) * n + (2n+1) * (2n-1) - 2n(n+1) - (2n+1)^2 + 2(n+1)(2n+1)} = 1/12 * n(n-1) * {- n(n-1) + 2n(2n+1) - 2n(n+1)} = 1/12 * n^2 * (n-1) * (n+1) 通り or = 1/12 * n^2 * (n^2 - 1) 通り or = C(n^2,2)/6 通り (少し追加) 単に計算の話ですが、「負けませんでした≠勝ちました」の場合、をうまく使うと、 1 * 2 + 2 * 3 + ... + (n-k) * (n-k+1) = {1 * 1 + 2 * 2 + ... + (n-k) * (n-k)} + {1 + 2 + ... + (n-k)} 1 * 1 + 2 * 2 + ... + (n-k) * (n-k) = {1 * 2 + 2 * 3 + ... + (n-k) * (n-k+1)} - {1 + 2 + ... + (n-k)} = (n-k)(n-k+1)(n-k+2)/3 - (n-k)(n-k+1)/2 = 2 * C(n-k+2,3) - C(n-k+1,2) なので、 S = ��[k=1,n-1] {1 * 1 + 2 * 2 + ... + (n-k) * (n-k)} = ��[k=1,n-1] {2 * C(n-k+2,3) - C(n-k+1,2)} = 2 * C(n+2,4) - {C(n,2) + C(n-1,2) + ... + C(4,2) + C(3,2) + C(2,2)} = 2 * C(n+2,4) - {C(n,2) + C(n-1,2) + ... + C(4,2) + C(3,2) + C(3,3)} = 2 * C(n+2,4) - {C(n,2) + C(n-1,2) + ... + C(4,2) + C(4,3)} = ... = 2 * C(n+2,4) - C(n+1,3) = C(n+2,4) + C(n+1,3) + C(n+1,4) - C(n+1,3) = C(n+2,4) + C(n+1,4) = (n+2)(n+1)n(n-1)/24 + (n+1)n(n-1)(n-2)/24 = (n+1)n(n-1){(n+2) + (n-2)}/24 = 1/12 * n^2 * (n+1) * (n-1) となり、�瑤侶彁擦�、若干ですが楽になります。 (追加終わり) それぞれ、n = 5 の今回の場合には、 ・「負けませんでした≠勝ちました」：(5+2)(5+1)5(5-1)/12 = 7 * 6 * 5 * 4 / 12 = 70 通り ・「負けませんでした→勝ちました」：1/12 * 5^2 * (5^2 - 1) = 1/12 * 25 * 24 = 50 通り で、一致します。 なお、結果の式を見ていると、 ・「負けませんでした≠勝ちました」：2 * 7C4 通り ・「負けませんでした→勝ちました」：1/6 * (5^2)C2 通り なので、何か一工夫できそうな感じもするのですが．．．本当に何か面白いことがないのかな？ マサルさん？ ＆ 皆さん？ |
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ネコの住む家
7月20日（木） 15:50:51
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27895 |
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スモークマン |
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国語の問題として、
この文章から、「マサヒコ＜ツヨシ」か、「トモエ＜ツヨシ」の可能性しかわたしには読み取れませんでした・・・ やっぱり、読解力不足？(^^; |
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金光
7月20日（木） 12:48:00
27896 |
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しんちゃん |
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ツヨシとマサルの差で場合分けしました。
ｎ点満点のテストの場合、 差がk点のときは、 ツヨシがa点のときは、 マサルは(a−k)点の1通り トモエは(a−k)〜(a−1)点の、ｋ通り マサヒコは(a−k)〜a点の、(ｋ＋1)通り ツヨシの点aは、(ｋ＋1)〜ｎ点までの(n−k)通り よって差がk点のときは、1×k×(ｋ＋1)×(n−k)＝k(ｋ＋1)(n−k)通り 差kは、1〜(n−1)点までなので、全ての場合の数は、 ��[i=1,n-1]{k(ｋ＋1)(n−k)}＝ｎ(ｎ−1)(n＋1)(ｎ＋2)/12 (通り) 結果は、uchinyanさんと同じなので、考え方もOKかな？ |
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7月20日（木） 15:34:56
27897 |
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ハラギャーテイ |
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引越し中です。部屋の中が足の踏み場もないところで
パソコンだけ動かしてプログラムで解きました。 日本語って難しい。 |
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北九州
7月20日（木） 15:43:01
HomePage:信号処理に挑戦 27898 |
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uchinyan |
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#27897
お、同じになりましたか。私のもあってたようでよかった ^^/ 考え方は、私のとは少し違いますが、正しいと思います。 多分、#27877と同じですね。 ちなみに、私の考え方は、スモークマンさんの#27883の裏返しのような感じで、マサルさんをベースにして、 ツヨシ＞トモエ＞＝マサル ＆ ツヨシ＞＝マサヒコ＞＝マサル なので、必ず、マサヒコ君の場合の数がトモエさんの場合の数よりも一つ大きくなることに注目して、 ・マサルさんが４点のとき ・ツヨシ君が５点だけで、トモエさんは１通り、マサヒコ君は２通り ・マサルさんが３点のとき ・ツヨシ君が４点のとき、トモエさんは１通り、マサヒコ君は２通り ・ツヨシ君が５点のとき、トモエさんは２通り、マサヒコ君は３通り ・マサルさんが２点のとき ・ツヨシ君が３点のとき、トモエさんは１通り、マサヒコ君は２通り ・ツヨシ君が４点のとき、トモエさんは２通り、マサヒコ君は３通り ・ツヨシ君が５点のとき、トモエさんは３通り、マサヒコ君は４通り ・マサルさんが１点のとき ・ツヨシ君が２点のとき、トモエさんは１通り、マサヒコ君は２通り ・ツヨシ君が３点のとき、トモエさんは２通り、マサヒコ君は３通り ・ツヨシ君が４点のとき、トモエさんは３通り、マサヒコ君は４通り ・ツヨシ君が５点のとき、トモエさんは４通り、マサヒコ君は５通り とやりました。ただ、二段目の場合分けは、結局、ツヨシ君とマサルさんの点数差に注目しているのと同じです。 「負けませんでした→勝ちました」の場合(このときは、マサヒコ君の場合の数＝トモエさんの場合の数)や一般化も、ほとんど明らかだと思います。 |
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ネコの住む家
7月20日（木） 16:37:02
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27899 |
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??? |
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Sub Macro1()
Cells(1, 1).Value = 0 Dim A As Integer 'マサルさん「う〜ん、また４人の最低点かぁ...」 Dim B As Integer 'ツヨシ君 「やっと４人の最高点がとれたよ！」 Dim C As Integer 'トモエさん「ツヨシ君には負けたわ」 Dim D As Integer 'マサヒコ君「マサルさんには負けませんでしたよ」 For A = 1 To 5 For B = A To 5 For C = A To B - 1 For D = A To B Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1 Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = A Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = B Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = C Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = D Next D Next C Next B Next A End Sub |
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7月20日（木） 16:44:27
27900 |
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DrK |
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簡単な問題ですが、単純に差を1点づつにしてしまって24で送ってしまいました。
今回については、 ツヨシ≧マサヒコ＞トモエ≧マサル もしくは ツヨシ＞トモエ≧マサヒコ≧マサル のパターンが考えられます 点差がある箇所が1箇所の場合は5C2=10 点差がある箇所が2箇所の場合は5C3=10 点差が3箇所ある場合は5C4=5 で点差が1箇所の場合はそれぞれの場合で1パターン、 点差が2箇所の場合は2パターン 点差が3箇所の場合は1パターンなので 2×(5C2+2×5C3+5C4)=2×(10+2×10+5)=2×35=70 が答え |
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今度こそ地上の楽園
7月20日（木） 18:23:05
MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 27901 |
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DrK |
| ポイントランキングですが、殆どポイントはないかなと思っていたのですが、意外と多かったのに驚きました。 |
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今度こそ地上の楽園
7月20日（木） 18:37:04
MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 27902 |
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uchinyan |
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#27901
なるほど、確かに。この解法は、不等号の置き方がうまく、そのため、簡潔で拡張性も高くなっていると思います。 一般の場合でも全く同様で、 2 * (C(n,2) + 2 * C(n,3) + C(n,4)) = 2 * (C(n,2) + C(n,3) + C(n,3) + C(n,4)) = 2 * (C(n+1,3) + C(n+1,4)) = 2 * C(n+2,4) 通り なお、「負けませんでした→勝ちました」の場合は、 ツヨシ≧マサヒコ＞トモエ≧マサル もしくは ツヨシ＞トモエ≧マサヒコ＞マサル になるので、最初の不等式とは違って、２番目の不等式では、 点差が１箇所の場合のパターンはなし、 点差が２箇所の場合は１パターン 点差が３箇所の場合は１パターン となり、 (C(n,2) + 2 * C(n,3) + C(n,4)) + (C(n,3) + C(n,4)) = C(n+2,4) + C(n+1,4) = 1/12 * n^2 * (n+1) * (n-1) 通り となります。 |
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ネコの住む家
7月20日（木） 21:28:54
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27903 |
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あほ成人 |
| 問題 円周上にN個の点を取ってそれらを結んでN角形を作るとき最大となるのはどの場合か？ またそれを証明してください 答え正N角形の場合 証明 略（余白がせますぎて書けない…っていうか微分で証明したけど、もう忘れちゃった。） |
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7月20日（木） 23:18:34
27904 |
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スモークマン |
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#27904
>問題 円周上にN個の点を取ってそれらを結んでN角形を作るとき最大となるのはどの場合か？ またそれを証明してください おもしろそうだったのでチャレンジしてみました！ 隣同士が結ばれてない場合（凹）、それを結べば、そこにできる三角形の面積分だけは増える。つまり、隣接する点同士を結んでできる凸Ｎ角形が面積最大。 そのとき、Ｎが奇数の場合、各頂点に対応する対辺とでできる三角形の面積は、明らかにその三角形の頂点から対辺への垂線が円の中心を通るときが最大。これはすべての頂点で言えるので、正Ｎ角形になる。 Ｎが偶数の場合、同じく、頂点とその対辺を結んでできる三角形の面積は、その頂点から対辺への垂線が円の直径の時であるが、同じ対辺に対応する頂点は2個ある。その2点が、1点からわずかに離れていればよい（離れないほど面積は大きい）が、逆にその2点でできる辺に対応する2点は最初の辺なので、その辺の距離だけ離れた2点の場合が最大のはず。これはどの辺においても言えるので、どのペアになる対辺同士も等しい場合となり、やはり正Ｎ角形。 わたしの場合、考え方が狭量すぎる・・・（アバウトなのに、、、）(^^; |
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金光
7月21日（金） 8:24:57
27905 |
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あほ成人 |
| ＞スモークマンさん お見事！！ |
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7月21日（金） 8:56:44
27906 |
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uchinyan |
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2 * 7C4 の直接的な説明、何とか分かりました ^^;
#27901と同様に、今回の問題と等価な、次の不等式を考えます。 ツヨシ≧マサヒコ＞トモエ≧マサル もしくは ツヨシ＞トモエ≧マサヒコ≧マサル この二つは独立なので、別々に考えればOKです。そこで、まずは、最初の不等式です。 ツヨシ≧マサヒコ＞トモエ≧マサル これに対して、 ツヨシ＋２、マサヒコ＋１、トモエ＋１、マサル＋０ という変換を考えます。すると、これらは、隣同士の差が最低１で ツヨシ＋２＞マサヒコ＋１＞トモエ＋１＞マサル＋０ となっています。 逆に、この不等式を満たす四つの数を取ってくれば、大きい方から、−２、−１、−１、−０とすれば、最初の不等式を満たします。 つまり、この変換によって、二つの不等式を満たす数は、一対一に対応します。そこで、場合の数は等しくなります。 変換後の不等式における場合の数は、１〜７＝５＋２の数の組合せなので、7C4 になります。 そこで、最初の不等式の場合の数も、7C4 になります。 次に、 ツヨシ＞トモエ≧マサヒコ≧マサル の不等式ですが、こちらは、 ツヨシ＋２、マサヒコ＋２、トモエ＋１、マサル＋０ という変換を考えれば全く同じことがいえて、やはり、7C4 になります。 結局、二つの不等式の場合を合計して、答えは、2 * 7C4 = 2 * 35 = 70 通りになります。 「負けませんでした→勝ちました」の場合も同様で、 ツヨシ≧マサヒコ＞トモエ≧マサル もしくは ツヨシ＞トモエ≧マサヒコ＞マサル ですが、最初は全く同じで 7C4、二つ目は、 ツヨシ＋１、マサヒコ＋１、トモエ＋０、マサル＋０ という変換を考えれば同じことがいえて、6C4 になります。 結局、二つの不等式の場合を合計して、答えは、7C4 + 6C4 = 35 + 15 = 50 通りになります。 一般のｎ点満点の場合も全く同じで、 ・「負けませんでした≠勝ちました」の場合は、2 * C(n+2,4) 通り ・「負けませんでした→勝ちました」の場合は、C(n+2,4) + C(n+1,4) 通り になります。 |
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ネコの住む家
7月21日（金） 9:24:23
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27907 |
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uchinyan |
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#27905, #27906
ごめんなさい。よく分からない．．．少なくとも、もう少し細かい証明が必要だと思います。 ＞隣同士が結ばれてない場合（凹）、それを結べば、そこにできる三角形の面積分だけは増える。 ＞つまり、隣接する点同士を結んでできる凸Ｎ角形が面積最大。 ここまでは、言いたいことは分かるし、その意味では正しいと思いますが、 隣接する点同士を結ばない場合は、その結ばれなかった点を、結ばれた線に関して反対側にある点と結ばざる得なくなるので、 辺が交差してしまいます。こういうのは、通常は、Ｎ角形とは言わないのではないかな、とも思います。 つまり、考えなくてもいいのではないかな、という気もします。 ＞そのとき、Ｎが奇数の場合、各頂点に対応する対辺とでできる三角形の面積は、 まず、一般のＮ角形についての「対辺」の定義を明確にしておいた方がいいでしょう。まぁ、これはいいとして．．． ＞明らかにその三角形の頂点から対辺への垂線が円の中心を通るときが最大。 個人的には、あまり明らかではないです。 まず、その三角形の高さに対する底辺の長さは、いろいろと変えられますよね？ それはどう考えるのでしょうか。 多分、底辺の長さを一定とすればその範囲で最大、ということでしょうか。 で、その場合に、おっしゃるときが最大になりそうのは、図を描いた感じではよさそうですが、「明らか」と言い切れるのかな、と心配。 ＞これはすべての頂点で言えるので、正Ｎ角形になる。 そしてここですが、この頂点と対辺を結んだ三角形の面積が最大になれば、Ｎ角形の面積が最大になるのは「明らか」でしょうか？ 少なくとも証明が要るのでは？ ＞Ｎが偶数の場合、同じく、頂点とその対辺を結んでできる三角形の面積は、 ＞その頂点から対辺への垂線が円の直径の時であるが、同じ対辺に対応する頂点は2個ある。 よく分からない。円の直径に垂直な線は、円の接線ですよね？ おっしゃるような三角形ってできるのでしょうか？ ＞その2点が、1点からわずかに離れていればよい（離れないほど面積は大きい）が、逆にその2点でできる辺に対応する2点は最初の辺なので、 ＞その辺の距離だけ離れた2点の場合が最大のはず。 ここらは、その前が分からないので、分からないです．．． ＞これはどの辺においても言えるので、どのペアになる対辺同士も等しい場合となり、やはり正Ｎ角形。 ここも、その前が分からないので、分からないです。 微分云々での証明は、Ｎ角形の各辺に対する中心角を考えて、それのsinの和で面積を表し、 中心角の和が360度という条件の下でやれば、一応できます。 厳密には偏微分という大学レベルの話になりますが、 微分する際に、一つの変数以外を定数と思って微分、というテクニックを使えば、一応、高校レベルでもできた、と思いました。 ただ、確認していないし、あまりキレイではないな、という感じだった気がします。 (少し追加) うっかりしていました。sin の凸性を示す不等式を利用するのが簡単です。 ただ、その不等式の証明自体には、微分などを使うことになると思いますが。 (追加終わり) その意味で、図形的にできればうれしいですね。 |
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ネコの住む家
7月21日（金） 21:05:01
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27908 |
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スモークマン |
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#27908
uchinyanさんへ。 つっこみありがとうございます〜(^^) 点が奇数個の時は、各辺に対応した頂点が1個存在しますよね。 その辺で考えた時、高さは円の中心を通る直線が円と交わる点がその辺に対応する頂点の時になる。その辺の両端に対応する別の２つの辺を考えてみると、最初の辺に対応する頂点から両方に延びる２つの辺であり、それらの辺に対応する頂点が最初の辺の両端になるので、形が決まってきて、円の中心から辺に垂線を下ろしてできる２つの合同な直角三角形が次々できていくことになり、つまりは、各辺がすべて等しい三角形になる。 点が偶数個の場合は、点が奇数個の図形を2個組み合わせて、それらができるだけかさならないようにすると最大の面積になりますよね？ 点が4個の場合は、対角線が直交するときが円の中心でできる4個の三角形の面積の合計が最大になるのは明らかなので、すべての偶数個の場合も正Ｎ角形の時といえるかな？ もっと明確に図形的に言えないのかな〜 （自分でも重なり部分が最小の時・・・なんていうあたりは明確ではないかと。。。(^^;） |
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金光
7月21日（金） 14:40:20
27909 |
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＜Melvy＞ |
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横から発言させていただきますー．
まず，点の奇数・偶数に関わらず，N-1 個の点は既に配置されているとすると，残りの 1 点を動かしたときに面積が変わるのはその両隣の点と結ばれた三角形の部分だけですよね．そうすると，この 1 点は両隣の点と距離が等しいように配置したときに (高さが最大になるので) 面積が最大になります．… (*) 次に，このことをふまえて N-2 点が固定され，隣り合う特定の 2 点だけが固定されていない状況を考えます．すると，このうちのどちらかの点について 「両隣の点と距離が等しい」 状態でないとすると，(*) によりこの四角形の部分は面積最大でないことになります．一方，この 2 点を動かすとどこかに面積最大になる 2 点の位置の組合せがあるのは明らかですから，それはこの 2 点に関して両隣の距離がそれぞれ等しいときになります． これを繰り返していくと，すべての点が等間隔に並んでいると言えると思いますが，いかがでしょう？ |
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7月22日（土） 1:16:07
HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記 27910 |
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スモークマン |
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#27910
Melvyさんへ。 なるほど〜！！ シンプル＆スマートですね！ 逆帰納法（？）みたいな考え方ですね！OrZ |
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金光
7月22日（土） 8:27:58
27911 |
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uchinyan |
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#27910 ごめんなさい、少し修正。
こういう解法は、何を「明らか」として議論するかが微妙なんですが．．． 「算数」にチャレンジの掲示板という前提では、 多分、これならば簡明、といってもいいのだろう、と思います ^^ |
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ネコの住む家
7月22日（土） 14:18:45
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 27912 |
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大岡 敏幸 |
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久しぶりに覗きました。今回は国語にチャレンジっぽかったですね（＾＾；
何となく同点というのが頭になくて（＾＾； 各場合で ｛１＋（１＋３）＋（１＋３＋６）＋（１＋３＋６＋１０）｝×２＝７０ こんな感じでやりました。等差数列の和を用いた問題かなと思いました。（＾＾） |
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石川県
7月26日（水） 19:32:55
MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 27913 |