凡太
平成2年の麻布中の大問５の（２）ですね。
　　 11月30日（木） 0:06:19　　 　　28766
悠仁親王
「必要であれば」なんて「ひっかけ」は不要だったのでは？
　　 11月30日（木） 0:08:38　　 　　28767
吉川　マサル
　ふぅ、今回は中学入試に実際に出題された問題らしいです..。「らしい」というのは、この問題がちょっと知り合いから聞いたものだということでして...。

　中学入試に実際に出題されたと知りつつ算チャレで出題することはほとんどないんですが、今回はちょっと理由がありまして。この問題を教えてくれた方によると、面積を求める際に「長方形２つと三角形１つ」として考えるんだそうです。私はこの解法を「美しい！」と思ったんですが、ちょっと積分チックなのが気になりました。で、これって中学入試業界？では一般的なのかなぁ、と思って出題してみたってワケです。
　皆さんいかがでしょうか？
PowerBook　　 11月30日（木） 0:10:13　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28769
きょろ文
3.14にちょっと引っかかりました
ＯＢを一回求めてしまいました・・・

まあ
13*4+10*3-4*3/2=76かな

前回の問題正解できなくてとても悔しい…
√2の隣　　 11月30日（木） 0:11:18　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　28770
吉川　マサル
#28767
　まぁ、「ひっかけ」という見方も出来ますが、実際には「おうぎ形と三角形の面積を足し引きして求める」解法もあるわけで、そうなると必要かなと思いまして。m(__)m　もちろん、常連さんには全く関係ないとは思いましたが。(^^;
PowerBook　　 11月30日（木） 0:11:59　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28771
DrK
この問題は、三角形の通過する分だけを考えても出てきませんね。
最初の扇形が接する正方形と三角形が通過した場合の図形が接する長方形について考えれば答えは簡単。
正方形は10かける0=100
長方形に対しては、三角形の底辺が3、高さが4ですのでそれぞれ扇形の半径に足したものが長方形の辺となる。
長方形の面積は13×4=182
ここから求める面積は、正方形から扇形を引いた部分、扇形部分と左上の欠けた部分を長方形から引けばよい。
左上の欠けた部分は、三角形の面積そのものである
以上から
182-(100-25Π)-25Πー(3×4)/2=182-100-6=76
今度こそ地上の楽園　　 11月30日（木） 0:17:48　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　28773
かっくん
14×13の長方形から、10×10÷2の三角形2枚分と、3×4÷2の三角形をひきました。
　　 11月30日（木） 0:18:01　　 　　28774
みかん
過去問でチェックしましたが、（１）で誘導として扇形の平行移動が
載っていました。２段階に扇形を平行移動したと考えられるかが勝負の
分かれ道かな。
　　 11月30日（木） 0:23:48　　 　　28775
アヒーのおじさん
3×10＋4×10＋6＝76 でした

カヴァリエリの定理ですかね？
2003UB313　　 11月30日（木） 0:25:37　　 HomePage:正体不明　　28776
Ｓ Ｋ
28776がよいのでしょうね。このタイプは記憶のどこかに確実に存在している問題でしたが、思い出せませんでした。
　　 11月30日（木） 0:41:32　　 　　28777
コリン大佐
平行移動による解法が美しいですね。
私は、ｆ(ｘ)＋５−ｆ(ｘ)の積分で解きました。
ここの掲示板にはふさわしくない者かもしれません。
　　 11月30日（木） 1:27:44　　 　　28778
がっかり
麻布中の良問　
　　 11月30日（木） 1:46:57　　 　　28779
ma-mu-ta
マサルさん、いつも楽しい問題ありがとうございます。
#28769
> これって中学入試業界？では一般的なのかなぁ

直接には求められないＡについて、「Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ｃならば、Ａ＝Ｃ」を用いて解く方法ですから、
中学入試問題の解法としては普通だと思いますが…

△ABCの点Aが扇形OPQの弧の上を移動し、辺ACは扇形の辺0Qと常に平行なことから、
点Bが移動した跡は、扇形OPQを下へ4、左へ3 平行移動した扇形の弧ということになる。
すると、△ABCが通過した部分＋扇形OPQ
　　　　＝平行移動した扇形OPQ＋（△ABC＋4×10の長方形＋10×3の長方形）
よって、△ABCが通過した部分＝△ABC＋4×10の長方形＋10×3の長方形
即ち、求める面積＝3×4×1/2＋4×10＋10×3＝76(c��)
　　 11月30日（木） 4:14:42　　 　　28780
スモークマン
まったく説得力に欠けますが、、、
全体としては、縦と横に動いてるので、10*4+10*3+3*4/2=76
ということは、A,C を通れば、円の中心がDでなくてもいいし、常に前の点よりも右下になる点の軌跡上を動く時は同じ面積になるんですよね？極限は、対角線ACに沿って動いた時も同じ面積になるわけですよね？
#28776 のカヴァリエリの定理ですよね？
金光　　 11月30日（木） 23:14:48　　 　　28781
uchinyan
はい、おはようございます。さて、今回の問題は．．．
ふむ。何か妙に算数らしい問題ですね。「算数にチャレンジ」なのだから当然なんだけど、何か異質な感じが．．．(^^;
図を描いてみれば、描かなくても？、△ABC の通過した部分は、
扇形を AB の方向にずらしたものの弧と、元の扇形の弧とで囲まれた部分に、右下の△ABC 一個を加えたものと分かります。
これは見方を変えると、ずらして取り残された部分、つまり、上及び右の直線で囲まれた部分に、
右下の△ABC 一個を加えたものに等しいと分かります。
この取り残された部分を含む方の図形は、うまく分割すると、
(底辺 10cm × 高さ 4cm の平行四辺形)＋(底辺 10cm × 高さ 3cm の平行四辺形)＋△ABC
又は
(10cm×4cm の長方形)＋(10cm×3cm の長方形)＋△ABC
になります。いずれにしても、
求める面積 = 10×4＋10×3＋3×4×1/2 = 76 cm^2
になります。
ネコの住む家　　 11月30日（木） 8:51:28　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28782
uchinyan
掲示板を読みました。

#28766, #28769, #28779
既存の中学入試問題だったのですね。だから、マサルさんらしさがなかったわけか．．．(^^;
＞面積を求める際に「長方形２つと三角形１つ」として考えるんだそうです。
＞私はこの解法を「美しい！」と思ったんですが、ちょっと積分チックなのが気になりました。
＞で、これって中学入試業界？では一般的なのかなぁ、と思って出題してみたってワケです。
「中学入試業界？」のことは私には分かりませんが、ma-mu-taさんが#28780で書かれているように、
算数では、使える業が、基本的な面積計算か、等積変形をしてそれに持ち込むか、しかないわけですから、
扇形を平行移動して考えるのが自然な気がします。
「積分チック」とは思わないですけど．．．

具体的な算数解法は、説明(の仕方)がちょっと？なのもあるような気がしますが、似たり寄ったりという気がするので、省略します。
ただ、#28776, #28781、及び暗黙に使っているっぽい、のカヴァリエリの定理 or 原理は、確かにそうですが、
個人的には、算数としては、扇形を平行にずらす方が自然な気がしています。
ネコの住む家　　 11月30日（木） 11:16:55　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28783
吉川　マサル
えと、「積分チック」に感じたのは、

http://www.sansu.org/toi527A.gif

こんな解法の方です。ma-mu-taさんの解法は全く積分チックでも何でもない、100%算数と言えますよね。上記の図のような解法は、中学入試では一般的な教え方なのかなーと思いまして。
PowerBook　　 11月30日（木） 13:34:32　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28784
ma-mu-ta
#28784
なるほど、図は辺ACについてのものだけですが、辺BCについても同様にするのですね。
これだと、まさにカヴァリエリの原理ということになりますね。
「平面図形は無限に沢山の数の平行線の集まり」と考えれば、「どんな図形でも、平行なずらしによって面積は変わらない」ということですが、算数でこれを教えるのはあまり一般的ではないような気がします。
例えば、「三角形の底辺を固定して頂点を平行にずらすと、どんなに頂点をずらしても面積は変わらない」ということは、形としては同じですが、あくまでも底辺と高さが一定であることをその理由とするはずで、カヴァリエリの原理を持ち出すことはないと思います。
また、このとき高さが同じ位置の底辺に平行な線は、いつも等しい長さになるということは、相似によって説明するものと思います。
塾や指導者によっては考え方の拡張として教えるのかも知れませんが…。

ふと思ったので追記します。
他にもあるのですが、もしかすると特定の問題のときに使う裏技(?)として、これを教えるのかも知れません。
　　 11月30日（木） 15:50:18　　 　　28785
uchinyan
#28784, #28785
う〜ん、なるほど。実は、#28773辺りがこれっぽい解法かな、と思っていたのですが、敢えて踏み込みませんでした (^^;
#28773は、実際にどう考えたのかはよく分かっていないのですが、
ma-mu-taさんがおっしゃるとおり、辺BCについても同様にして、カヴァリエリの原理を使ってもできます。
なお、マサルさんの図ですが、扇形を下に移動すると、右側の図の長方形が上の方にできるので、
確かに一瞬「積分チック」でギョッとする図ですが、実は算数の範囲では？、という気もしています。
ネコの住む家　　 11月30日（木） 18:29:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28786
きょろ文
自分は中学入試前のときこういう問題をよくやらされました。
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ｃならば、Ａ＝Ｃ
図形が円を動く問題はこれを使うという感じで見た瞬間分かりました。
√2の隣　　 11月30日（木） 20:56:38　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　28787
ts
#28783
このuchinyanさんの方法やその他の方とかぶるかもしれませんが、
平行四辺形1つともとの三角形1つで求めました。
http://ff.sansu.org/sansu/527.gif
　　 12月1日（金） 8:05:21　　 　　28788
DrK
確かにいわれてみれば、平行移動したということに着目すれば、すでに平行移動した分がわかりますね。
#26773はややこしく考えすぎかなという気がしました。
今度こそ地上の楽園　　 12月1日（金） 11:25:38　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　28789
小島
インターネット上のトラブルで１ヶ月ちかく問題をやることができませんでした。スモークマンさんがだいぶ前に解いた時計の問題は正解です。おめでとう！！
　　 12月3日（日） 9:22:18　　 　　28790
小島
今回の問題は、まず長方形にして（１３＊１４）からまわりを引いて解きました。１８２−７８．５（１０�僂量明僉法治供丙絃紊虜能蕕里覆ど�分）＝９７．５。ここから左下のいらない部分を計算して１０＊１０−７８．５＝２１．５。よって、９７．５−２１．５＝７６になりました。
　　 12月3日（日） 9:30:37　　 　　28791
小島
易しい問題　１〜１００００までを＋、−とこうごに入れて式を作ると答えはいくつになるでしょう。（１＋２−３＋４−・・・・）というふうに＋から始めてください。
　　 12月3日（日） 9:44:41　　 　　28792
スモークマン
>#28792
いただきました。(^^)
1+10000+(10000-2)/2=15000
金光　　 12月3日（日） 10:01:46　　 　　28793
小島
スモークマンさん答えが違います。ヒント　奇数と偶数をそれぞれ別々でだしてみましょう。水曜日の午後９時までに答えがでなかったら解説といっしょに答えを書いておきます。
　　 12月3日（日） 11:15:39　　 　　28795
uchinyan
#28792
1 + 2 - 3 + 4 - 5 + ... - 9999 + 10000
= 1 + 2 + ((4 - 3) + (6 - 5) + ... + (10000 - 9999))
= 1 + 2 + (1 + 1 + ...4999個... + 1)
= 1 + 2 + 4999
= 5002
ネコの住む家　　 12月3日（日） 11:48:04　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28796
ma-mu-ta
#28792,#28795　>奇数と偶数をそれぞれ別々で出してみましょう。
偶数と奇数は、どちらも、10000÷2＝5000個なので、
偶数の和＝5000×(5000＋1)＝5000×5000＋5000
奇数の和＝5000×5000
（偶数の和−奇数の和）では、はじめの１も引いてしまうので、それを補って更に1を足す必要があり、1＋1＝2を加えます。
1＋2−3＋4−5＋…−9999＋10000
＝5000×5000＋5000−5000×5000＋2
＝5000＋2
＝5002
　　 12月3日（日） 16:03:02　　 　　28797
s
完成図を書く
↓
偶然同じ形の図形が出来る。
↓
ソレを取り除いたところの面積は出せる。
　　 12月3日（日） 18:07:57　　 　　28798
小島
uchinyanさん、ma-mu-taさんおみごと。まあこれくらいならできるでしょう。
　　 12月3日（日） 20:18:26　　 　　28799
スモークマン
#28792 あら、間違ってましたね・・・
訂正
1+10000-(10000-2)/2=5002　でした。(^^;
金光　　 12月3日（日） 20:42:21　　 　　28800
スモークマン
こんなのはいかが？（友人問）

(a-1)(b-1)(c-1)がabc-1の約数となるような整数a、b、c
1<a<b<c　をすべて求めよ。
金光　　 12月3日（日） 20:48:42　　 　　28801
uchinyan
#28801
類題？をどこかで解いたような気も．．．詳細は、他の方にお任せします。
(a,b,c) = (2,4,8), (3,5,15)
ネコの住む家　　 12月3日（日） 22:50:48　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28802
スモークマン
#28802
uchinyanさん、正解！！
友人からのコメントは、かなり難問ということでした・・・(^^)
金光　　 12月4日（月） 8:48:54　　 　　28803
久保文男
いやーっ、やっと入れた。とほほ
　　 12月4日（月） 12:26:23　　 　　28804
ファルコン
マサルさんへ
例の部屋へ入れたのですが、記帳する前にエクスプローラーに問題が発生して、画面が閉じてしまいました…。トホホ。

凡太さん、キノピー、画面が表示された瞬間ニンマリしたでしょ！
　　 12月5日（火） 13:15:31　　 MAIL:hiro-w@jttk.zaq.ne.jp 　　28806
魚師
辺ＯＰから３、辺ＯＱから４伸ばした長方形から余分な三角形を引いていく方法で解けました。
13*14-(10*10/2)-(10*10/2)-(3*4/2) 数式汚くてすみません
　　 12月5日（火） 23:41:46　　 　　28807